Na literatura, é possível identificar pesquisas como as de Ponte e Oliveira (2002), Ferreira (2003), Lopes (2003), Santana, Alves e Nunes (2015) e Oliveira e Passos (2017) que abordam a formação de professores e têm buscado compreender a relação entre a formação de professores, suas ações nas atividades de sala de aula e a formação continuada, no sentido de promover o seu desenvolvimento profissional. Procura-se saber de que modo os processos formativos podem estimular e envolver o professor no desenvolvimento de sua autonomia em sala de aula e em seu papel para a aprendizagem do estudante.

No que diz respeito à Matemática, assumimos, tal como Ponte (2012), que o ensino de qualidade da mesma perpassa por pontos, tais como: a formação matemática adequada para os professores; o desenvolvimento das competências no campo da didática da Matemática; as condições que o professor precisa ter para tomar decisões favoráveis e estabelecer o contexto do ensino e da aprendizagem. Para contemplarmos esse “ensino de Matemática de qualidade” é preciso investir na formação adequada dos professores, o que justifica os esforços que vêm sendo canalizados nas pesquisas para compreender e estabelecer processos formativos e modelos de prática formativa que dialoguem com o professor, sua prática na sala de aula e favoreçam a sua mobilização de conhecimentos. Pesquisas como as de Elbaz (1983), Ponte e Oliveira (2002), Jaworski (2003, 2006) e Ball, Mark e Geoffrey (2008) discutem a respeito das possibilidades de mobilização de conhecimentos feita por professores em processos formativos e apontam a sua importância para o desenvolvimento das ações profissionais e da prática letiva dos professores que ensinam Matemática.

Motivados pela possibilidade de desenvolver um processo formativo que dialogasse com o professor, com o seu fazer em sala de aula e a mobilização de conhecimentos aportamo-nos a um modelo de prática formativa desenvolvido por Magina et al. (2018) denominado espiral RePARe e que, tal como o modelo de Korthagen (2001), procura interligar prática e teoria. Ele parte das noções de desenvolvimento profissional do professor, de prática reflexiva de Schön (2000) e busca definir as fases para um processo formativo que possibilite a reflexão a partir de um processo dialético de reflexão-planejamento-ação-reflexão, tendo sido usado nas pesquisas de Santana (2013) e Santana, Alves e Nunes (2015). Nesse contexto, desenvolvemos um processo formativo durante um ano escolar e temos, para o presente estudo, a seguinte questão de pesquisa: quais perspectivas e conhecimentos são evidenciados nos relatos de uma professora, antes e depois da sua participação num processo formativo baseado na espiral RePARe?

A formação continuada de professores assume diferentes vertentes de pesquisa, entre as quais estão os estudos referentes aos conhecimentos mobilizados pelos professores no processo formativo. Shulman (1986) afirma a importância de o professor ter conhecimento do conteúdo, bem como o que designa por “conhecimento pedagógico do conteúdo”. O autor elenca sete domínios de conhecimento de base: do conteúdo; pedagógico geral; do currículo; pedagógico do conteúdo; dos estudantes e das suas características; dos contextos educacionais e das metas; finalidades e valores da educação. Entre esses domínios, o conhecimento pedagógico do conteúdo é de interesse especial, considerando-se o papel central na atividade docente (SHULMAN, 1987).

No âmbito do ensino e da atuação do professor de Matemática, pesquisadores têm proposto outras noções para descrever o seu conhecimento profissional. Ball, Mark e Geoffrey (2008) referenciam o conhecimento pedagógico do conteúdo definido por Shulman (1986, 1987), mas focam no que os professores precisam saber sobre Matemática, como e onde os professores podem usar esse conhecimento na prática. Para os autores, o domínio do conhecimento matemático para o ensino pode ser subdividido em: conhecimento do conteúdo e conhecimento pedagógico do conteúdo. O primeiro, tendo o foco no objeto matemático, é concebido como conhecimento comum do conteúdo, conhecimento do horizonte do conteúdo e conhecimento especializado do conteúdo. Os autores consideram que o segundo, cujo foco está no ensino da Matemática, pode subdividir-se em conhecimento do conteúdo e dos estudantes, conhecimento do conteúdo e do ensino e conhecimento do conteúdo e do currículo.

Analisando as ações dos professores em sala de aula, Ponte e Oliveira (2002), Ponte e Chapman (2006) e Ponte (2012) apontam outras vertentes do conhecimento do professor. Para Ponte e Oliveira (2002), o conhecimento profissional do professor “refere-se a atividades socialmente reconhecidas, realizadas em domínios de prática bem definidos” (p. 3). Esse conhecimento refere-se à ação do professor em sala de aula no exercício de sua profissão e inclui, também, “a visão do professor sobre o seu próprio desenvolvimento profissional” (PONTE; OLIVEIRA, 2002, p. 4).

Compreender as aprendizagens, os conhecimentos mobilizados e o próprio desenvolvimento profissional do professor, impulsionados por um processo formativo, envolve que ele tenha uma visão sobre suas perspectivas que podem ser sustentadas em ações anteriores ou posteriores ao processo formativo. As perspectivas baseadas em ações anteriores dizem respeito a atitudes, reflexões e pensamentos fundamentados em experiências anteriores ao processo formativo. As perspectivas baseadas em ações posteriores dizem respeito a intenções futuras que podem ser expressas em forma de atitudes, reflexões e pensamentos que aportam no processo formativo e se projetam para o futuro. Esses dois tipos de perspectivas se referem à esfera do conhecimento profissional dimensionada para as relações inerentes ao contexto de ação desse profissional e seu fazer em sala de aula. As perspectivas emergentes do conhecimento profissional são elaboradas pelas experiências individuais e sociais próprias do exercício das ações da profissão do professor. Essas experiências vão desde a aprendizagem dos estudantes até as questões sociais que envolvem o contexto escolar, o próprio conteúdo da matéria a lecionar e a maneira de gerir a sala de aula. Essas experiências caracterizam o conhecimento prático do professor (ELBAZ, 1983).

No exercício das ações profissionais, o professor efetiva sua prática em sala de aula que interliga fatores que se influenciam mutuamente. Por exemplo, Jaworski e Potari (1998) utilizam uma tríade de ensino para analisar o papel do professor que define a prática de ensino em: (i) gestão da aprendizagem, que envolve as regras e normas para que seja possível o professor e o estudante atuarem de modo a ocorrer o processo de ensino e de aprendizagem; (ii) sensibilidade para conhecer o estudante e gerir as interações com ele e (iii) desafio matemático, no sentido de desafiar o estudante para se engajar nas tarefas propostas em sala de aula. Essa tríade delineia uma interligação entre fatores que descrevem a prática profissional do professor.

É possível associar diferentes vertentes do conhecimento profissional às ações peculiares do exercício prático da profissão do professor. Quando nos referimos nomeadamente ao professor de Matemática, temos especificidades peculiares para essa área. Ponte e Oliveira (2002) associam esse conhecimento à prática letiva, designam-no como conhecimento didático e diferenciam quatro vertentes: conhecimento da Matemática, conhecimento do currículo, conhecimento do aluno e de seus processos de aprendizagem e o conhecimento dos processos de trabalho na sala de aula.

O conhecimento da Matemática refere-se à interpretação que o professor faz a esse respeito para trabalhar em sala de aula. Circunscreve a visão que o professor tem sobre a Matemática e de como ensinar conceitos, relações, propriedades e teoremas, bem como identifica quais pontos considera importante para trabalhar em sala de aula. Não se refere exatamente ao saber científico posto pela ciência, mas à “adaptação” que o professor faz para colocar o saber científico na sua prática da sala de aula.

O conhecimento do currículo como vertente do conhecimento didático do professor de Matemática “diz respeito ao currículo e ao modo como o professor faz a gestão curricular” (PONTE, 2012, p. 88). Envolve o conhecimento das orientações curriculares estabelecidas em nível macro e micro dos sistemas educacionais aos quais está associado e a gestão do conteúdo matemático a ser trabalhado em sala de aula, bem como os mecanismos de ensino e de avaliação a serem utilizados. Refere-se a toda uma gestão do que ensinar, como ensinar e como avaliar o desenvolvimento do estudante em determinado conteúdo, podendo fazer ligações com os objetivos gerais postos pelo sistema de educação.

O conhecimento do aluno e de seus processos de aprendizagem envolve, além de conhecê-lo como estudante, percebê-lo como uma pessoa inserida num contexto social, levando em conta que cada um deles possui interesses e pontos de vista diferenciados. Deve ser considerada também a sua condição como aprendiz que é influenciada pelo contexto de vida em que se encontra. Com relação ao professor, o “seu conhecimento sobre estas questões [é] fundamental para o exercício do seu papel profissional” (PONTE, 2012, p. 88).

A quarta vertente do conhecimento didático do professor está relacionada com as ações a serem desenvolvidas em sala de aula no que diz respeito aos processos de ensino e de aprendizagem. Esses processos vão desde a forma de planejar as ações para um ano letivo, para um período letivo ou para uma aula específica, à tomada de decisões do que ensinar e como ensinar, até a forma de conduzir as aulas, de intervir com os estudantes e de desenvolver os processos avaliativos.

A visão do conhecimento profissional do professor de matemática na perspectiva de conhecimento didático possibilita analisar os conhecimentos mobilizados pelos professores em suas ações profissionais. Essas ações envolvem a prática do professor em sala de aula.

As práticas formativas para professores em serviço podem ser orientadas no sentido de promover o seu desenvolvimento profissional. Nesse sentido, buscamos implementar um processo formativo que possibilite o diálogo entre teoria e prática de sala de aula. Korthagen e Kessels (1999) e Korthagen (2001) apresentam um modelo de prática formativa que liga teoria e prática visando a mudança da pedagogia do professor em sala de aula. Elegem três princípios para que a aprendizagem seja mais efetiva durante o processo formativo: (i) direcionar para as necessidades do estudante; (ii) embasar-se nas experiências dos estudantes e (iii) refletir sobre suas próprias experiências. Nesse modelo, a discussão e as reflexões sobre a prática são efetivamente realizadas num elo entre pesquisadores e escola.

A espiral RePARe é um modelo de prática formativa de professor em serviço que apresenta similaridades com o Modelo de Korthagen e colaboradores. Essa espiral, concebida por Magina et al. (2018), foi estabelecida a partir da prática de pesquisa com formação de professores de Matemática, utilizando-se a perspectiva do trabalho colaborativo, no qual professores e escolas atuam em parceria com pesquisadores, estudantes de graduação e de pós-graduação (Figura 1). Em conformidade com a definição de Pinto e Leite (2014, p. 148), o trabalho colaborativo é um “trabalho em conjunto (dois ou mais sujeitos) com benefício para o desenvolvimento profissional dos envolvidos”. Assumimos, nesta pesquisa, a espiral RePARe como modelo de prática formativa.

A dinâmica desse modelo de formação em serviço toma como base um processo dialético de reflexão-planejamento-ação-reflexão, formando um movimento espiralar crescente que se torna mais largo, em termos de conhecimento, em cada volta percorrida. Pode servir de base para o desenvolvimento de pesquisas que foquem a formação do professor ou a aprendizagem dos estudantes. É preciso definir previamente os conhecimentos curriculares e didáticos que devem movimentar as espirais a traçar. Um fator a atender é que, para que ocorra o desenvolvimento do processo formativo, a quantidade de espirais a serem utilizadas depende das circunstâncias desse processo. Existem três termos basilares da espiral: ação, planejamento e reflexão.

Conforme indica a Figura 1, a ação será ação diagnóstica inicial e ação em sala de aula. A reflexão pode ser teórica ou empírica e o planejamento pode ser realizado em pequeno ou em grande grupo. A ação é circunscrita ao que se refere às atividades a serem realizadas com os estudantes. Para efeito de pesquisa e para iniciar o processo formativo apoiando-se na realidade da sala de aula e da escola, a ação diagnóstica visa levantar dados referentes à aprendizagem dos estudantes a respeito do conteúdo a ser trabalhado durante o processo formativo, fornecendo elementos que subsidiem as discussões a respeito da aprendizagem dos estudantes. Se a parceria e as bases colaborativas já estiverem firmadas para o desenvolvimento da formação, o próprio professor poderá aplicar o instrumento diagnóstico, contando com o assessoramento dos pesquisadores. A ação em sala de aula é desenvolvida pelo professor em sua própria sala de aula. Essa ação é planejada durante o encontro formativo, tomando como base resultados da ação diagnóstica inicial e a discussão feita no momento que antecede ao planejamento a respeito do conhecimento didático (em suas quatro vertentes). A ação diagnóstica final, como etapa de pesquisa, visa analisar os efeitos do processo formativo na aprendizagem do estudante.

Na espiral RePARe, as reflexões estão relacionadas aos momentos de pensar e repensar o que é desenvolvido com o professor quando se efetiva cada espiral. A reflexão teórica é feita sobre os resultados da ação diagnóstica inicial (desempenho e esquemas cognitivos dos estudantes) e sobre o conhecimento didático. Como consequência da reflexão teórica, tem-se a elaboração do planejamento que será desenvolvido em sala de aula (ação em sala de aula). A reflexão empírica é fomentada em um grupo pequeno, formado por professores que atuem num mesmo ano ou ciclo escolar. Na sequência, deve ser fomentada num grande grupo, com todos os participantes do grupo colaborativo¹. A reflexão empírica é feita sobre os resultados da ação em sala de aula, considerando a forma como foi desenvolvida pelo professor e a aprendizagem dos estudantes (desempenhos, esquemas, compreensões sobre o conteúdo matemático, dificuldades), oportunizando reflexões sobre o conhecimento didático (conhecimento do aluno e de seus processos de aprendizagem, o conhecimento dos processos de trabalho na sala de aula, conhecimento do currículo e o conhecimento da Matemática). Os apontamentos feitos pelo grande grupo na reflexão empírica são, consequentemente, levados em conta no novo planejamento a ser efetuado.

O planejamento ocorre num movimento similar ao da reflexão e decorre dos resultados das reflexões (empírica e teórica). É nesse momento que são elaboradas as tarefas a serem desenvolvidas na ação da sala de aula. Os professores, reunidos, planejam em pequenos grupos as tarefas sobre o conteúdo matemático focado na reflexão teórica e considerando os resultados da reflexão empírica realizada sobre os resultados do desenvolvimento em sala de aula do planejamento anterior. Na sequência, ocorre o planejamento no grande grupo e as tarefas planejadas são discutidas coletivamente com todos os participantes do grupo colaborativo.

O processo formativo foi desenvolvido no âmbito do Programa Observatório da Educação, com o projeto de pesquisa intitulado “Um estudo sobre o domínio das Estruturas Multiplicativas no Ensino Fundamental (E-mult)”². O Grupo de Pesquisa em Educação Matemática, Estatística e em Ciências (GPEMEC) desenvolveu o processo formativo em três escolas. Nesse estudo, referimo-nos apenas à Escola C³. A escolha dessa escola justifica-se por ser a primeira vez que, nela, o GPEMEC desenvolveu a formação. Os professores participaram voluntariamente. No intuito de iniciar a constituição do grupo colaborativo⁴, a equipe de pesquisadores iniciou, em 2013, o contato com a Escola C e realizou duas reuniões para apresentar e discutir o projeto com a direção e a coordenação pedagógica. Em 2014, foram realizadas mais duas reuniões com a direção, a coordenação e com os professores. O grupo colaborativo foi constituído, inicialmente, por 13 professores que atuavam do 1º ao 5º ano da escola. Participaram, também, uma coordenadora pedagógica, uma professora de tutoria (que atendia os estudantes com dificuldades em turno oposto), um mestrando em Educação Matemática e duas pesquisadoras.

A fim de traçar o perfil dos participantes, em setembro de 2014, os professores responderam a um questionário de perfil do professor e decidiram que, para 2015, o dia de sexta-feira, em duas horas de Atividade Complementar (planejamento semanal), era o melhor momento para realizar os encontros formativos presenciais. Os encontros virtuais seriam realizados uma ou duas vezes por mês em sessões de duas horas e se destinariam à discussão do conhecimento da Matemática e do currículo.

Para a ação diagnóstica inicial, a equipe de pesquisadores discutiu com os professores os procedimentos para aplicar o instrumento diagnóstico com os estudantes. Uma semana depois, os professores aplicaram os instrumentos simultaneamente a todos os estudantes, e os pesquisadores acompanharam a aplicação.

No sexto encontro presencial, o grupo colaborativo avaliou que duas horas eram insuficientes para os encontros e passaram a se reunir aos sábados por quatro horas. O Quadro 1 retrata o movimento espiralar que compôs o processo formativo presencial na Escola C, de julho de 2015 a janeiro de 2016. Esse quadro apresenta as nuances do processo formativo presencial que decorreu em dez encontros (28 horas), com o movimento em seis espirais formativas.

As aulas foram planejadas com a seguinte dinâmica: o professor apresenta as situações (tarefas) para que o estudante responda, sem nenhuma explicação prévia, observa as respostas dadas, os esquemas utilizados e as suas dificuldades. Em seguida, faz uma intervenção que pode assumir formas distintas: leitura interpretativa das situações, socialização das respostas dos estudantes, uso de material manipulável para auxiliar na contagem ou para representar as situações (principalmente do 1º ao 3º ano), uso de diagramas de Vergnaud (principalmente no 5º ano) e, por fim, a sistematização da resolução. No momento da intervenção, o professor continua a identificar as dificuldades dos estudantes, objetivando planejar outras formas de intervenção e fazer a revisão de elementos conceituais.

Foram realizados oito encontros virtuais (16 horas) com uso da plataforma Moodle, nos quais os professores leram previamente os textos de Magina, Santos e Merlini (2014) e Santos (2015) que subsidiaram as discussões.

Esta é uma pesquisa de abordagem qualitativa, complementado pelas premissas do método interpretativo que requer “habilidades de observação, comparação, contraste e reflexões que todo humano possui” (ERICKSON, 1986, p. 157), fazendo uso da interpretação que privilegie a observação e a reflexão de maneira sistemática e discutida.

Para este estudo, nos referimos ao processo formativo presencial da Escola C. A constituição do grupo colaborativo foi delineada conforme a Tabela 1.

No universo dos 13 professores que concluíram o processo formativo na Escola C, selecionamos uma professora para este estudo. A professora Mara foi escolhida por ter 100% de participação nos encontros presenciais e virtuais, ter desenvolvido todas as ações programadas para a sala de aula e ter respondido a todos os instrumentos de pesquisa. A professora era formada em Pedagogia, há nove anos, e atuava na rede pública de ensino há mais de seis anos. No ano 2015, lecionava como professora polivalente, em duas turmas do 3º ano. Oficialmente, para aquele ano escolar, foram atribuídas três horas-aula por semana à Matemática.

Foram utilizados três instrumentos de coleta de dados. O primeiro foi um questionário do perfil do professor, cujo objetivo principal era compreender os traços do conhecimento profissional, no que diz respeito às perspectivas anteriores ao processo formativo e às experiências pessoais em relação ao conhecimento didático nas vertentes do conhecimento da Matemática e do currículo. O segundo instrumento foi um questionário de avaliação final do processo formativo com o objetivo de identificar as perspectivas posteriores, imediatamente depois do processo formativo, relativas às experiências individuais e coletivas vivenciadas e aos conhecimentos didáticos mobilizados nesse processo. O terceiro foi uma entrevista semiestruturada que objetivava compreender os conhecimentos didáticos mobilizados pela professora, durante o processo formativo, que perduravam em suas perspectivas depois do processo.

Para analisar as respostas dadas nos três instrumentos de coleta de dados, foram utilizados dois blocos de análise e categorias que se reportam ao quadro teórico apresentado anteriormente (Quadro 2).

As respostas dadas foram analisadas dentro dos dois blocos de análise, interpretando e descrevendo as respostas da professora. Ressaltamos que as tarefas respondidas pelos estudantes durante as seis ações de sala de aula, bem como os materiais usados (jogos, slides, material concreto, cartazes) e fotografias eram apresentados pela professora nos momentos de reflexão no pequeno e no grande grupo. Esse retorno trazia evidências da realização da prática da professora.

As ações do processo formativo buscavam promover o desenvolvimento profissional e a mobilização do conhecimento profissional do professor de Matemática a partir de reflexões empíricas sobre sua própria atuação em sala de aula. Visavam intervir na prática de ensino, discutir o conteúdo das estruturas multiplicativas e refletir sobre processos de aprendizagem dos estudantes no que diz respeito a esse conteúdo. Essas ações foram notadas pela professora ao indicar que o diálogo entre teoria e prática (JAWORSKI, 2006) proporcionou-lhe novas perspectivas a partir de sua própria prática.

O conhecimento profissional do professor de Matemática relacionado com a prática letiva, ou seja, o conhecimento didático (PONTE; OLIVEIRA, 2002; PONTE, 2012) assume quatro vertentes, que podem ser mobilizadas com foco no desenvolvimento profissional do professor. Antes do processo formativo, a professora exterioriza perspectivas negativas em relação ao conhecimento matemático e ao seu ensino, relata dificuldades com cálculo e geometria, expressa falta de confiança na sua lecionação. O processo formativo enfatizou que o professor precisa conhecer bem o objeto matemático que ensina (BALL; MARK; GEOFFREY, 2008) e ter recursos em que se sinta à vontade para ensina-lo (PONTE, 2012).

Depois do processo formativo, a professora exterioriza perspectivas positivas em relação aos conhecimentos matemático e didático. Ela evidencia um movimento reflexivo que parte do conhecimento didático adquirido, revela resultados positivos na direção do conhecimento dos processos de trabalho na sala de aula, no que se refere à aprendizagem do estudante, afirma ter ampliado o conhecimento matemático, em relação às situações do Campo Multiplicativo e liga essa ampliação ao conhecimento sobre os processos de aprendizagem e de desenvolvimento do raciocínio dos estudantes. Demonstra, com isso, um movimento de reflexão empírica e de aprendizado que parte do conhecimento adquirido em sua prática que foi motivada pelas ligações teóricas oportunizadas no processo. Para Korthagen e Kessels (1999), essa ligação entre teoria e prática mostra-se relevante para a prática em sala de aula. Esse movimento reflexivo da professora foi oportunizado pelas espirais do modelo de prática formativa RePARe, quando se utiliza do processo de reflexão-planejamento-ação-reflexão, definido por Magina et al. (2018). As fases das espirais foram apresentadas nas colocações da professora.

Esses resultados podem ser contemplados nas colocações de Mara, passados dois anos da realização do processo formativo, pois a professora continuou evidenciando a mobilização do conhecimento didático, conforme definido por Ponte e Oliveira (2002) e Ponte (2012). Ela referiu ter mais conhecimento da Matemática no que diz respeito à sua interpretação sobre o que deve ser ensinado nas operações de multiplicação e de divisão. Exteriorizou que o conhecimento sobre os processos de aprendizagem do aluno intenciona outras posturas em relação ao processo de ensino em Matemática. Assumiu outra perspectiva sobre o currículo, ao reconhecer a necessidade de valorizar o trabalho em Matemática em vez de deixa-lo para o fim do ano escolar. E, muito especialmente, revelou um conhecimento mais amplo sobre processos de trabalho na sala de aula com perspectivas que afetam positivamente o que ensinar e como ensinar.