Para Marx (citado por Radford, 2014), la labor puede entenderse en razón de dos grandes categorías. La primera se refiere a los medios de producción, esto es, la manera de producir de los individuos. Según Radford (2014, p. 144), los medios de producción tienen que ver con las prácticas culturales de producción y reproducción de la vida material y espiritual, en las que entran en juego diversos recursos semióticos en forma de artefactos materiales e intelectuales (p. ej., lenguaje, gestos, diagramas, software de aplicación, entre otros). Para la TO, tales recursos representan los medios semióticos de objetivación “que se utilizan para hacer visible una intención y para llevar a término una acción” (RADFORD, 2005, p. 203).

Durante la ESG, alumnos y profesores se involucran en procesos de modelación que demandan la combinación de distintos medios semióticos para idear formas más o menos sofisticadas de resolver las tareas de simulación que la propia actividad les demanda. En la Figura 1 indicamos, con sendas flechas, los cuatro procesos de modelación característicos de la ESG: problematización, matematización, trabajo matemático e interpretación. Una explicación más detallada de estos procesos se ofrece en Prieto (2017).

Cada tarea de simulación se refiere al trabajo de representar con GeoGebra alguna de las partes que conforman al fenómeno seleccionado para tal fin. Hasta este momento, los objetos geométricos no intervienen en actividad. La resolución de este tipo de tareas comienza con la producción de un boceto (dibujo a mano alzada) de la parte en cuestión. Este boceto se convierte en el modelo real para la tarea de simulación. Un cambio en la interpretación del boceto, que pasa a verse desde una perspectiva geométrica, conduce a los alumnos a vincular las formas, dimensiones y movimientos propios del modelo real con ciertos objetos de la geometría. Llamamos modelo matemático al conjunto de objetos geométricos que son evocados como objetos ideales para la representación del modelo real.

A partir de ese momento, alumnos y profesores se encuentran en condiciones de formular y resolver una serie de tareas de construcción geométrica con el GeoGebra; una por cada objeto del modelo matemático. En el contexto de la ESG, la resolución prototípica de una tarea de construcción con GeoGebra comprende las siguientes etapas: (i) seleccionar la herramienta del software que permite construir el objeto geométrico de la tarea; (ii) identificar en la vista gráfica la presencia o ausencia de cada elemento requerido por la herramienta; (iii) construir los elementos faltantes con base en relaciones entre lo espacial y lo teórico evocado por el dibujo; (iv) aplicar la herramienta (PRIETO; ORTIZ, 2019).

En el desarrollo de esta labor conjunta se producen y reproducen técnicas de construcción³ que son mediadas, principalmente, por las herramientas del software (SÁNCHEZ; PRIETO, 2017). La producción de una técnica se basa en el establecimiento de relaciones entre las propiedades espaciales del dibujo geométrico en papel (modelo matemático) y las propiedades geométricas del objeto que este dibujo intenta modelar (LABORDE, 1997). El producto obtenido al emplear una técnica de construcción es un dibujo dinámico, esto es, un dibujo creado en un ambiente de geometría dinámica, de manera que “conserve ciertas propiedades espaciales impuestas cuando se desplace por uno de los puntos básicos del dibujo” (LABORDE, 1997, p. 42).

Durante el trabajo matemático se producen distintos tipos de dibujos dinámicos. Un primer tipo de dibujo se obtiene al resolver cada tarea de construcción, indistintamente del lugar que ésta ocupe en la secuencia de trabajo (Figura 2 a). El segundo tipo está asociado al conjunto de dibujos dinámicos que responden a las tareas de construcción del mismo modelo matemático (Figura 2 b). Al ser la respuesta a una tarea de simulación, este dibujo recibe el nombre de modelo computacional. El tercer tipo de dibujo es aquel formado por el conjunto de modelos computacionales que dan forma y sentido al simulador.

En cualquiera de los casos, conviene someter el dibujo dinámico obtenido a la prueba de arrastre, esto con la intención de validar las construcciones realizadas o detectar inconsistencias en las técnicas empleadas. Esta prueba es una modalidad de arrastre de los entornos dinámicos que consiste en:

Una vez que los alumnos resuelven todas las tareas de construcción derivadas de un mismo modelo matemático, el trabajo matemático se da por concluido. Este proceso se vuelve a retomar para el resto de tareas de construcción que surjan al resolver las demás tareas de simulación.

La segunda categoría de la labor, según Marx (citado por Radford, 2014) está referida a las relaciones de producción. Para Radford (2014), las relaciones de producción tienen que ver con las formas de colaboración humana que mediatizan las interacciones entre los individuos inmersos en la actividad. En escenarios escolares en donde domina la lógica capitalista, las relaciones de producción quedan supeditadas por formas de trabajo individualistas que reducen al alumno a lo que este es capaz de producir para sí mismo y para otros. Como consecuencia, el único futuro posible para los alumnos, en estos escenarios, no es otro que el de la alienación engendrada en el aula (RADFORD, 2017).

Ante tales circunstancias, Radford (2013) refiere que no basta con mostrar las contradicciones del sistema capitalista en el campo educativo. Es necesario que alumnos y profesores establezcan relaciones sociales que favorezcan el surgimiento de una ética de cooperación humana diferente a la de la lógica del capital; una ética que propicie “la creación de nuevos individuos capaces de reflexionar críticamente de manera matemática sobre las cuestiones urgentes de sus comunidades y su mundo” (RADFORD, 2017, p. 141).

Lo anterior supone la emergencia de un Ser cuyas interacciones sociales giran en torno a una ética comunitaria que favorece el despertar de una sensibilidad especial hacia el Otro, la solidaridad colectiva y el desarrollo de una conciencia crítica. En esta perspectiva, la relación con el Otro se convierte en el fundamento de la existencia del Ser en tanto crea condiciones para el reconocimiento de otras voces y perspectivas, y su propia constitución como un sujeto cultural e histórico único.

La ética comunitaria en clases de matemática refleja formas de colaboración como la responsabilidad, el compromiso hacia los demás y el cuidado del otro (RADFORD, 2017), aspectos de una subjetividad emergente que trasciende el rigor matemático de la clase, hacia una dimensión más humana de transformación del alumno (LEÓN; LASPRILLA, 2018). Para Radford (2017) la subjetividad es un proceso social de coproducción de la condición humana dentro de un contexto cultural e histórico, en donde los profesores y los alumnos se encuentran en relación de presencia mútua.

El Cuadro 1 describe las tres formas de colaboración característica de una ética comunitaria asociada a los procesos de subjetivación en clases de matemáticas.

Si bien la aparición de la nueva ética comunitaria no es algo que se dé “por arte de magia” (RADFORD, 2017, p. 158), es posible que durante la ESG estas formas de colaboración aparezcan, sin que necesariamente sean reconocidas por profesores y alumnos. Por lo tanto, con el fin de fomentar su aparición en la dinámica de trabajo de los clubes GeoGebra, nos preguntamos: ¿cómo son las formas de colaboración humana producidas en el trabajo matemático que permiten el posicionamiento de alumnos y profesores como sujetos de la educación en ese proceso? ¿Cuáles son las acciones específicas que despliegan los profesores en procura de fomentar estas formas de colaboración humana entre sus alumnos?

Para proporcionar respuestas a estas preguntas, vemos necesario describir el modo en que profesores y alumnos del club GeoGebra colaboran, conjuntamente, en la producción y comunicación de las técnicas de construcción que dan cuerpo a los modelos computacionales. En este sentido, nos hemos propuesto: (i) caracterizar las formas de colaboración humana entre quienes participan durante el trabajo matemático y, particularmente, cuando los alumnos intentan comunicar sus técnicas de construcción al profesor, y (ii) describir las acciones del profesor que favorecen el surgimiento de tales formas de colaboración durante la labor conjunta.

Santiago era un joven que, para el momento de la investigación, cursaba el tercer año de educación media en una institución oficial localizada en la ciudad de San Rafael de El Moján, en Venezuela. Tras la incorporación al Club GeoGebra de la institución, este alumno decidió trabajar en la producción del modelo computacional de un brazo robótico⁵ (Figura 3 a) en la vista gráfica del GeoGebra, bajo la orientación de un profesor de matemáticas y física, quien cumplía el rol de promotor responsable del club.

El simulador de Santiago fue elaborado por partes y de forma progresiva a través de sesiones de trabajo semanales, cada una de dos horas de duración. La primera tarea de simulación atendida por el alumno fue la siguiente: representar el antebrazo en el GeoGebra. Sobre el boceto del antebrazo, Santiago identificó cinco figuras geométricas: dos semicírculos, dos círculos y un rectángulo (Figura 3 b).

Algunas sesiones de trabajo con Santiago fueron dedicadas a reflexionar sobre la manera de producir los dibujos dinámicos correspondientes a cada objeto geométrico de la Figura 3 b. En estas reuniones, además de Santiago y el promotor, participaban otros alumnos del mismo club interesados en cooperar con el trabajo realizado por el joven.

Una de las sesiones de trabajo del club de Santiago fue dedicada a revisar las construcciones de los alumnos que, hasta ese momento, se habían realizado. Tal revisión estuvo a cargo de dos promotores del proyecto Club GeoGebra (Juan y Rafael), distintos de aquel que se desempeñaba como responsable del espacio (Luis). Durante esta reunión, los alumnos debían comunicar las técnicas de construcción que emplearon para producir sus modelos computacionales. En el caso de Santiago, el joven explicó a los promotores las técnicas de construcción con GeoGebra de cada uno de los objetos geométricos de la Figura 3 b. Durante su explicación, Santiago encontró apoyo en algunos de sus compañeros del club y en su promotor (Luis), quienes se sumaron a la discusión para acompañarle y darle ánimos.

El momento de más apoyo hacia Santiago ocurrió cuando el joven trataba de comunicar la técnica correspondiente a la cuarta tarea de construcción: construir un semicírculo homólogo a otro previamente dibujado. En ese momento, participaron en la discusión los alumnos Elías, Yolanda y Leonardo⁶, y los promotores Juan, Rafael y Luis. Los alumnos deciden cooperar con Santiago al percatarse que el joven tiene dificultades para explicar adecuadamente la técnica, y alentados por Juan y Rafael, quienes les invitaban, reiteradamente, a participar con ellos en la discusión.

Los datos de la investigación provienen del modo en que interaccionan alumnos y promotores cuando Santiago intenta comunicar al grupo la técnica de construcción del semicírculo. Para recolectar los datos, se hizo un registro de toda la sesión en formato de vídeo, con el propósito de capturar la realidad compleja del trabajo conjunto realizado por estos individuos, mientras transitan por el proceso trabajo matemático que fue descrito en apartados anteriores. De esta manera, los datos fueron tomados de dos de los cuatro registros de vídeo que componen las grabaciones de la sesión.

El análisis de los datos se realizó por etapas. La primera etapa consistió en preparar la información de los vídeos mediante el siguiente procedimiento: (i) exploramos cada registro a fin de entrar en contacto con los datos; (ii) identificamos los intervalos de tiempo en los que se explica la técnica de construcción del semicírculo; y (iii) transcribimos las interacciones producidas en esos intervalos de tiempo, considerando solo el discurso oral producido por los participantes. Para la trascripción de los episodios, utilizamos un instrumento similar al mostrado en el Cuadro 2.

En la segunda etapa identificamos los episodios destacados, es decir, aquellos pasajes de la transcripción en los que se muestran posibles evidencias de las formas de colaboración humana puestas en movimiento durante la comunicación de la técnica por parte de Santiago (MUÑOZ-CATALÁN; CARRILLO; CLIMENT, 2010; POWELL; FRANCISCO; MAHER, 2003; RADFORD, 2015).

En la tercera etapa examinamos los segmentos destacados por medio de un análisis interpretativo (RADFORD, 2015) bajo el siguiente procedimiento: (i) definimos las categorías analíticas de colaboración que podían servirnos como referentes teóricos para el análisis, atendiendo a ciertos indicios de la presencia de tal o cual modo de cooperación entre los participantes (Cuadro 3); e (ii) interpretamos lo ocurrido en cada segmento a la luz de las categorías analíticas. Mientras interpretamos, tratamos de contextualizar los segmentos (o parte de éstos) añadiendo tanto imágenes de la discusión que reflejaran cuestiones de la colaboración que no fueran posibles de ver a través del discurso oral, como nuestros comentarios interpretativos.

Finalmente, en la cuarta etapa decidimos cómo organizar los resultados para su presentación en el próximo apartado.

La responsabilidad es la forma de colaboración que más se manifestó a lo largo del análisis. Esta categoría se vio especialmente reflejada en la relación dialógica que mantienen Juan (el promotor) y Santiago en la búsqueda de una forma conveniente de comunicar la técnica de construcción. La vinculación con el prójimo que caracteriza esta forma de colaboración fue materializada tanto en las acciones de Juan hacia los alumnos, como de los alumnos hacia el promotor y entre ellos mismos.

Para esta forma de colaboración, se encontraron evidencias de la disposición a responder o rendir cuenta de algo por parte de Santiago, quien, pese a las recurrentes fallas que comete al comunicar la técnica, se mantuvo dispuesto a cooperar con Juan y los demás compañeros, aceptando el llamado que estos le hicieran a trabajar conjuntamente. En el siguiente segmento se puede notar esta forma de responsabilidad en cada una de las repuestas de Santiago a las inquietudes de Juan, quien trata que el joven dote de sentido a los pasos de la técnica.

Con respecto al compromiso, el análisis muestra que esta forma de colaboración se vio reflejada en las acciones de Juan (el promotor) hacia los alumnos, y especialmente hacia Santiago, durante toda la sesión. Por un lado, se encontraron evidencias de cómo Juan reconoce el esfuerzo responsable de Santiago por atender sus inquietudes, pese a las dificultades que el joven tiene para Comunicar los pasos de la técnica.

Este reconocimiento es un acto de motivación de Juan hacia Santiago, que busca mantener al alumno comprometido en la causa común que les convoca. Tal forma de compromiso se observa en el siguiente fragmento, el cual muestra al promotor tratando las frustraciones de Santiago como algo que puede ocurrir a cualquier otro alumno enfrentado a la misma situación de comunicar los pasos de su técnica, pero también haciéndole ver que el origen de sus problemas está en sí mismo, es decir, en el miedo que padece y le paraliza.

Por otro lado, como puede notarse en el segmento anterior, muy a pesar del estado de frustración en el que se encuentra Santiago, Juan persiste en ofrecer su ayuda al alumno como un acto pleno de dedicación que deja frutos al término de la sesión, cuando el joven se vuelve capaz de identificar sobre la pizarra el segmento correspondiente a la mediatriz que él utiliza como eje de reflexión en su técnica. En este momento, el reconocimiento del trabajo de Santiago por parte del promotor viene cargado de una alegría que se siente en el tono de las palabras de Juan, pero también en la expresión facial de Leonardo, quien comparte la misma alegría del promotor al ver a su compañero salir adelante.

El cuidado del otro se manifestó de una forma muy particular en las acciones de Juan (el promotor) hacia Santiago, al tratar de protegerlo de aquellos quienes buscaban imponer su punto de vista al joven, aunque de forma inconsciente. Por ejemplo, en el siguiente segmento el profesor, quien muestra empatía hacia Santiago, pide insistentemente a Luis (promotor responsable del club al que asiste Santiago) que no diga las respuestas al joven, ya que ese acto no representa una verdadera ayuda para él. Este modo de actuar de Luis es un reflejo de la necesidad de sobreprotección que puede sentir un promotor hacia sus alumnos cuando les ve desenvolverse en situaciones de alta tensión, como ocurre cuando comunican a otros sus técnicas de construcción.

El análisis muestra que Juan (el promotor) realizó esfuerzos en la sesión por promover el cuidado del otro y la responsabilidad en los alumnos. En lo que respecta al cuidado del otro, se obtuvieron evidencias del modo en que este promotor fomenta la empatía en Elías, con el fin de hacerlo sensible ante los signos de incomprensión en Santiago y que se disponga a ofrecerle su ayuda. Esta forma de cuidado se manifiesta a partir de un gesto de frustración que hace Santiago al verse incapaz de responder las preguntas de Juan. El hecho sirvió para que el promotor invitara al resto de los alumnos a ver este signo de incomprensión como un llamado de auxilio del prójimo, que debía ser contestado de manera corresponsable.

Elías decide atender el llamado de Juan, dirigiéndose a la pizarra con el fin de explicar aquello que Santiago no comprende. Al no mostrarse sensible frente al problema de Santiago, el promotor interviene para detener a Elías en su intento de dar la respuesta correcta y pedirle que tratara de comprender la situación de su compañero actuando en correspondencia. Este llamado del promotor es apoyado por Leonardo, quien le recuerda a Elías que él no siempre estará con Santiago para darle respuestas a sus inquietudes. Como consecuencia, Elías toma a Santiago por el hombro, lo lleva a la pizarra y comienza a dialogar con él. Con este gesto, Elías le indica a Santiago que reconoce su necesidad y frustración, y que además está dispuesto a ayudarlo.

Más adelante, se encontraron evidencias del modo en que Yolanda ofreció su ayuda a Santiago ante la imposibilidad de identificar sobre la pizarra la mediatriz que sirvió de eje de reflexión en la técnica. Esta forma de cuidado del otro se interpreta como una actitud solidaria promovida por Juan al invitar a Yolanda a colaborar con Santiago, atendiendo con ello la necesidad del joven. A pesar de su disposición, el análisis muestra a una Yolanda más preocupada en expresar adecuadamente sus ideas que en ofrecer una verdadera ayuda a Santiago, lo que la lleva a dudar de si misma como se aprecia en el siguiente fragmento:

En ese momento, Elías detecta la tensión en Yolanda y se muestra solidario, ofreciendo su ayuda en el preciso momento en que ella lo necesitaba. La ayuda de Elías consistió en sugerir a la joven un retorno a los pasos de construcción del semicírculo discutidos antes de dibujar la mediatriz. Esta sugerencia fue valorada por Juan, quien junto a Elías ajustan el dibujo en la pizarra según los pasos de la técnica realizados antes de obtener la mediatriz. Con este nuevo panorama, Yolanda realiza un nuevo acto de solidaridad con Santiago, produciendo una nueva explicación en la que se muestra más segura y concentrada en el joven, como se constata en el siguiente segmento:

En cuanto a la responsabilidad, se hallaron evidencias del modo en que Juan (el promotor) trata de hacer que Leonardo y Elías se dispongan a cooperar con Santiago en su intento por identificar la mediatriz de un segmento a partir de un conjunto de rectas perpendiculares a este objeto, mostradas en un dibujo, realizado por Juan en la pizarra y localizado por encima del boceto previamente dibujado. A partir del diálogo que mantienen Juan y Santiago sobre este asunto, la postura corporal de Leonardo revela el interés del joven en participar de la discusión, señal que es captada inmediatamente por el promotor, quien redirige sus preguntas hacia este alumno, invitándole a obrar junto a Santiago en la búsqueda de una respuesta favorable para todos.

La disposición a responder materializada en las acciones de Leonardo se produce desde el momento en que este joven utiliza su cuerpo para producir una respuesta que no puede dar mediante palabras, comprometiéndose, responsablemente, con la discusión que mantienen Juan y Santiago. En ese preciso momento, Elías interviene para dar la respuesta que Leonardo no puede ofrecer, pero la interrupción de este joven no rompe con la interacción entre Juan y Leonardo, avanzando hacia un punto en el cual este último intenta producir un discurso que satisfaga las necesidades del promotor y pueda servir para que Santiago comprenda la situación.

Cabe destacar que, en diversos momentos de la sesión, Elías tuvo la intención de ofrecer respuestas sin pensar en el prójimo, como lo muestra el fragmento anterior. Tal actitud preocupa a Juan y éste dialoga, respetuosamente, con el alumno a fin de hacerle ver que no siempre tendrá una respuesta para todo y que más vale escuchar lo que otros tienen que decir para cooperar que precipitarse en responder. Este modo de actuación revela la forma en que el promotor busca que Elías acepte la pluralidad de perspectivas que se producen al comunicar una técnica de construcción y aprenda un modo de conectarse con el prójimo.

A pesar de ello, en la siguiente interacción entre Juan y Elías se observa cómo el joven se resiste a aceptar la ayuda ofrecida por el promotor, evitando, así, una participación más responsable. Frente a tal resistencia, Juan decide no increpar al alumno, más opta por persuadirle haciéndole ver que, en ese preciso momento, el objetivo de la discusión era ayudar a Santiago. Es importante resaltar el modo en que el promotor le hace saber a Elías que está dispuesto a atender su necesidad, mediante el ofrecimiento de un espacio de tiempo posterior para que el alumno pueda explicar mejor su punto de vista, muy a pesar de que el promotor parece no estar de acuerdo con tal planteamiento.

Dada la naturaleza de la actividad, la comunicación de la técnica fue el medio por excelencia que convocó a promotores y alumnos a trabajar conjuntamente en la busqueda de la comprensión los pasos y acciones que componen la técnica, reduciendo al mínimo la participación individualista. Esto pudo deberse, en gran medida, a las capacidades del promotor para gestionar, de modo eficiente y responsable la comunicación de la técnica entre todos los involucrados, capacidades que constituyen parte del saber docente propio de los clubes GeoGebra y que fue reportado por Prieto y Ortiz (2019) en una investigación previa. En otras palabras, la relación dialógica revelada en el análisis fue dirigida al logro del objeto de la ESG y no al fomento del egoísmo y la competencia que imperan en las clases tradicionales.

El análisis arrojó información que revela cómo la cultura individualista aún sigue arraigada en las conductas de nuestros alumnos. Como lo sugieren los datos, algunas veces los jovenes mantuvieron una disposición a participar centrada más en los intereses propios y menos en las necesidades de todos, manifestando poca sensibilidad y una falta de capacidad para reconocer los signos de frustración en el prójimo.

Esta realidad fue enfrentada por el profesor a través de la promoción de formas de colaboración como la responsabilidad y el cuidado del otro, de modo tal que los alumnos fueran capaces de reconocer las necesidades y pedidos de ayuda de Santiago y, en consecuencia, actuaran de manera responsable. Este tipo de acciones del promotor contribuyen a fracturar la relación profesor-alumnos que domina en muchos de nuestros centros escolares, y que mantiene distanciados a estos sujetos en aras de un aprendizaje genuino (RADFORD, 2017).

Un hecho importante de destacar fue la resistencia al cambio, expresada en uno de los alumnos, es decir, la negativa de Elías a reconocer las perspectivas de sus compañeros (pluralidad de perspectiva), tratando de imponer en cada momento su punto de vista como el único válido en el grupo, sin tomar en cuenta la opinión de los demás. Para mediar con esta situación, el profesor se interesa por conocer las ideas de los alumnos, escuchar sus opiniones respetando los puntos de vista, sin dejar de atender las necesidades que emergen en la comunicación de la técnica. En el caso puntual del promotor, como sugiere Radford (2017), las acciones del profesor van dirigidas a crear condiciones iniciales para que los estudiantes asuman y adopten actitudes de respeto dentro y fuera de la actividad.

Aunque los resultados de esta investigación representan un avance en la comprensión de las relaciones sociales de producción que emergen en actividades de elaboración de simuladores con GeoGebra, el hecho de analizar una experiencia particular de simulación no garantiza la comprensión amplia de la ética detrás de las experiencias de elaboración de simuladores con GeoGebra. Concretamente, no se encontraron evidencias de la promoción de ciertas formas de colaboración, como es el caso del compromiso, lo que nos obliga a realizar nuevos estudios que ayuden a comprender por qué este tipo de cosas ocurre y cómo poder propiciar experiencias de elaboración más completas. Esta clase de estudios permitirán crear mejores condiciones para promover en los clubes una nueva ética comunitaria alrededor de la elaboración de simuladores, impactando inclusive en la formación de nuevos promotores de los clubes GeoGebra.