Para nuestro trabajo adoptamos el marco desarrollado en Rico (2012) denominado el significado de un contenido matemático escolar. Tal como señala Biehler (2005), la educación matemática, y en nuestro caso la investigación, debe basar sus decisiones en aspectos curriculares, por lo que el significado debe ser pensado y construido para la matemática escolar. Precisamente, esta es una de las potencialidades del marco teórico que contemplamos, que está pensado y dirigido a la matemática escolar.

Dicho marco adopta la postura de significado que plantea Frege (1996), en la que el significado de un concepto, desde una perspectiva semántica, está determinado por tres elementos: signo, sentido y referencia. Esta idea ha sido retomada y adaptada en Rico (2012) considerando que el significado de un contenido matemático escolar está compuesto por: (a) estructura conceptual, (b) sistemas de representación, y (c) los sentidos y modos de uso. Desde esta perspectiva, el significado de un concepto matemático escolar viene caracterizado por las tres componentes, consideradas como un todo. Cada una de estas tres componentes se conforma de una serie de aspectos y elementos que permiten caracterizar el significado (ver Cuadro 1), lo cual, a su vez, puede usarse como herramienta metodológica para el análisis.

De este modo, en la matemática escolar comprender el significado de un concepto implica “conocer su definición, representarlo, mostrar sus operaciones, relaciones y propiedades, sus modos de uso, interpretación y aplicación a la resolución de problemas” (RICO, 2016, p. 94). Esta idea ha sido considerada en distintos trabajos como Castro-Rodríguez et al. (2016), Fernández-Plaza, Rico y Ruiz-Hidalgo (2013) y Martín-Fernández, Ruiz-Hidalgo y Rico (2016, 2019). A continuación, describimos brevemente las componentes del significado:

Existen diversos aspectos a analizar sobre las tareas escolares; hemos organizado las categorías de análisis de tareas propuestas por Moreno y Ramírez (2016) y Gómez y Romero (2015) en tres grandes bloques:

En este trabajo se consideraron solo los aspectos semánticos y cognitivos, estos últimos como un complemento importante del significado. Nuestro objetivo se concretiza en identificar los elementos del significado y cognitivos que se destacan sobre la derivada de una función en los libros de texto, lo cual permita visualizar la idea que sobre esta noción se pone de manifiesto.

Tal como señalamos en el marco teórico, hemos contemplado para el análisis aspectos de la categoría semántica, dado que nos permiten profundizar en los componentes del significado y de la cognitiva, ya que nos ayudan a entender a qué nivel de dificultad son abordados dichos componentes. El análisis fue revisado por cada uno de los autores del artículo.

De la categoría semántica consideramos:

Las seis variables consideradas en este análisis pueden entenderse en términos de los elementos que constituyen el significado de un contenido matemático, tal como se muestra en el Cuadro 3. Pues, como mencionamos anteriormente, los aspectos cognitivos sirven para profundizar en el análisis.

Para llevar a cabo el análisis de los datos hemos empleado el análisis de conglomerados. Este análisis tiene por objetivo principal la clasificación de los casos en grupos relativamente homogéneos, a partir de un conjunto de variables clasificatoria (HÄRDLE; SIMAR, 2015; WENDLER; GRÖTTRUP, 2016), lo cual nos permitirá identificar grupos de ítems similares, que mediante su caracterización definan perfiles de significado dados a la derivada, agrupación que sería imposible detectar de manera explícita a través de la observación directa de los datos.

Para ello, consideramos las modalidades de cada variable como características independientes, codificándolas con 0 (ausencia de dicha característica) o 1 (presencia), cada ítem analizado se representó mediante un vector de entradas 0 y 1, de dimensión 27. Por ejemplo, el ítem cuyo vector se aprecia en la Figura 1 es un ítem que abordaba el contenido de recta normal a una curva (8), con una función simple, en un contexto geométrico, utilizando el sistema de representación verbal y simbólico, que demandaba un proceso sin conexión y un procesamiento del sistema de representación.

La justificación de esta forma de codificar reside en que las modalidades dentro de cada variable no se pueden ordenar. Por ejemplo, si en la variable contenido hubiésemos asignado un código del 1 al 8, el algoritmo del análisis clúster entendería que aquellos ítem en cuya primera entrada aparece un 2 y un 3, estarían más cercanos que aquellos que tienen un 2 y un 8; lo cual en nuestro caso no tiene sentido.

Una vez representados todos los ítems, recurrimos al programa RStudio. La técnica requiere que se establezca una medida de asociación, es decir, de cercanía (métrica) o similitud según el tipo de variable que se esté trabajando. Para variables dicotómicas como las aquí consideradas, una de las opciones como medida de similaridad es la basada en coincidencias. En el Cuadro 4 se aprecian las posibles combinaciones para dos variables.

De todas las medidas de similaridad, nosotros hemos empleado la denominada Rogers-Tanimoto, la cual mide la probabilidad de coincidencia entre dos variables, duplicando la ponderación en las no coincidencias y cuya fórmula es

Empleamos el análisis jerárquico aglomerativo, que comienza con tantos clústeres como objetos tengamos que clasificar y en cada paso se recalculan las distancias entre los grupos existentes y se unen los grupos más o menos similares. El algoritmo acaba con un clúster conteniendo todos los elementos, formando una jerarquía. Para el análisis jerárquico pueden emplearse distintos métodos, entre los más usados están Single, Average, Complete o Ward. D; en nuestro caso, empleamos este último, el cual minimiza la suma de los cuadrados de las diferencias entre cada individuo y su centroide dentro de cada grupo (PÉREZ, 2004). Aunque reconocemos que con otros métodos se obtenían resultados bastantes similares.

En un primer grupo, al que denominamos simbólico-algebraico (ver Figura 4), los ítems abordaban el cálculo de derivadas de funciones simples, empleando para ello tanto la definición como las reglas de derivación, siendo su contexto predominante el algebraico, aunque algunos de sus ítems son más aplicados. La redacción de estos ítems se hace utilizando mayormente el sistema simbólico y no se requieren conversiones.

Como indicamos anteriormente, al agrupar los ítems no hicimos distinción por editorial; sin embargo, una vez identificados los grupos procedimos a identificar el número de ítems de cada editorial que conformaban cada grupo. En la Tabla 2 se observa que en este grupo la mayor participación la tiene Santillana y Bruño. Teniendo menos presencia el libro de la editorial Edelvives.

El segundo grupo (ver Figura 5), al que denominamos simbólico-geométrico, se caracteriza por abordar, fundamentalmente, el contenido de extremos relativos, la monotonía de una función y la recta tangente o normal, es decir, ítems en un contexto casi exclusivamente geométrico, empleando para ello funciones simples. Lo interesante de este grupo es que, aunque el sistema de representación suele ser el simbólico-verbal, no solo se espera un procesamiento, sino que en algunos de ellos se solicita el paso a otro sistema de representación (conversión). Además, en este grupo es posible hallar ítems que demandan un procedimiento con conexión, e incluso hacer matemáticas, aunque predominan las tareas sin conexión.

Al analizar la cantidad de ítems por editorial que conforman este segundo grupo, tal como se observa en la Tabla 2, notamos que las cinco editoriales tienen una presencia similar, aunque podemos destacar que más de un cuarto de los ítems de este grupo pertenecen a la editorial Bruño.

Finalmente, el tercero y más particular de los grupos (Figura 6), se conforma de ítems dedicados a las reglas de derivación donde el trabajo del estudiante consiste solo en conocerlas y aplicarlas, por lo que le llamamos algorítmico. Tratándose ítems en los que predominan procedimientos sin conexión, en un contexto meramente algebraico. Aunque sin duda en el grupo 1 también se hallan varios ítems de este tipo, en este grupo aparecen funciones de tres o más rasgos.

En la Tabla 2 vemos como Edelvives es el libro que más ítems presenta dentro de este grupo, seguido por Santillana.

Identificamos algunas similitudes entre el último grupo y el primero. Ambos presentan ítems desarrollados en un contexto meramente algebraico, donde su objetivo principal es el aprendizaje de las reglas de derivación. Sin embargo, el programa estadístico ha identificado este tercer grupo por aparte ya que son ítems idénticos en cuanto a las variables consideradas Veamos, ahora con más detalle, las semejanzas y diferencias presentadas en cada uno de los aspectos analizados.

En cuanto al contenido, los grupos se distribuyen tal como se observa en la Figura 7. En el primer grupo, sus ítems abordan el cálculo de la derivada, tanto por reglas de derivación como mediante el uso de la definición; mientras que en el segundo grupo (el más numeroso) no destaca un contenido particular, abordando extremos relativos, la monotonía de una función y la recta normal; y el tercer grupo, que como señalamos en el apartado anterior, está compuesto por más de 250 ítems que tratan únicamente el contenido de reglas de derivación.

En cuanto al tipo de función, resultó que el grupo 3 se caracteriza por ser prácticamente el único que emplea funciones de tres o más rasgos, mientras que el grupo 1 y 2 trabajan mayormente con funciones simples, tal como se observa en la Figura 8.

Según la demanda cognitiva de los ítems, tal como se puede ver en la Figura 9, los grupos 1 y 3 se caracterizan por ser ítems que demandan un procedimiento sin conexión, aunque en el grupo 1 se hayan algunos ítems que promueven un procedimiento con conexión; por otra parte, el grupo 2 está formado por ítems cuya demanda cognitiva es más variada, pues es posible encontrar ítems que solicitan un procedimiento sin conexión, otras con conexión e incluso ítems para hacer matemática.

Tras agrupar los ítems, en la Figura 10 observamos que el primer grupo es, principalmente, simbólico, aunque se complementa con el verbal. El segundo podría llamarse verbal-simbólico, aunque es complementado de forma mínima con el sistema gráfico, mientras el tercero es meramente simbólico.

En la Figura 11 se muestra que, con respecto al manejo de las representaciones, aunque el procesamiento es el que más se propone, el grupo 2 se diferencia por ser el que más conversión de los sistemas de representación solicita. Lo cual tiene sentido, pues son ítems redactados de forma simbólica en los que muchas veces se solicita el estudio de aspectos geométricos.

Por otra parte, en lo que respecta al contexto, los resultados son los que se observan en la Figura 12. Tanto en el grupo 1 como en el 3 predominó el contexto algebraico-numérico, sin embargo, en el grupo 1 se hallan algunos ítems en un contexto más aplicado. El segundo grupo se caracteriza por un contexto más geométrico, lo cual concuerda con la Figura 7 ya que es el grupo de ítems que aborda la representación de funciones, extremos, monotonía, entre otros.

Hasta ahora hemos descrito los tres grupos de ítems identificados mediante el análisis clúster. Ahora, establecemos la presencia de cada uno de los grupos en los distintos libros. En la Figura 13 se puede observar como en los libros de SM, Anaya, Edelvives y Bruño sobresalen los ítems del segundo grupo, el simbólico-geométrico; mientras que al libro de Santillana lo caracterizan los ítems del primer grupo, el simbólico-algebraico.

Si reconocemos las similitudes entre el grupo 1 y 3, siendo ítems enfocados principalmente en el álgebra y reglas de derivación; vemos que, por ejemplo, en el libro de SM y Edelvives estos dos grupos conforman la mayoría de los ítems, de hecho, llama la atención que cerca de un 40% de los ítems de Edelvives se centran, exclusivamente, en las reglas de derivación (grupo 3, al que denominamos algorítmico).

De esta forma, si consideramos únicamente dos tipos de ítems, los simbólico-algorítmicas (grupo 1 y 3) y los simbólico-geométricos (grupo 2), tendríamos que Santillana contiene más ítems simbólico-algorítmicos; al igual que SM y Edelvives, aunque estos son bastante equilibrados en cuanto a estos dos tipos de ítem. Mientras que en Anaya y Bruño destacan ítems más simbólico-geométricos.