En una primera etapa, la complejidad de los objetos matemáticos propuesta por el EOS permite organizar la revisión bibliográfica (CORBERÁN, 1996; FREUDENTHAL, 1983; SARAMA; CLEMENTS, 2009) en subsistemas de prácticas de los que emergen, a modo de categorías, SP del área que se caracterizan de manera explícita mediante la configuración de objetos primarios. Se identifican cuatro SP del área, que van desde un enfoque geométrico, es decir, manipulación de objetos concretos mediante transformaciones rígidas, hacia un enfoque numérico y algebraico. En el Cuadro 1 se presentan, de manera sintetizada, los cuatro SP del área. Se hace énfasis en los procedimientos, ya que permiten buscar evidencias de propiedades, representaciones y conceptos de los diferentes SP, además de transformaciones de tratamiento y conversión.

En una segunda etapa, los cuatro SP permiten direccionar el diseño de un cuestionario de siete tareas de comparación y medición de áreas. El cuestionario se estructuró de la siguiente manera: dos tareas que admitían únicamente una aproximación geométrica del área (Tareas 1 y 2). En ambas tareas sólo es posible hacer uso de los SP1 o SP2. Cinco tareas que admiten tanto una aproximación geométrica, como aritmética del área (Tareas 3, 4, 5, 6 y 7). En estas tareas es posible hacer uso de dos o más SP del área. Las tareas se ordenan aumentando el número de SP del área, que pueden ser utilizados para resolverlas de manera competente. Así, en la Tarea 7 es posible poner en práctica todos los SP del área. Esto se promueve pidiendo, de manera explícita, el uso diferentes tipos de resoluciones. Por las restricciones de extensión, en este artículo se presentan los diferentes perfiles de estudiantes mostrando, únicamente, evidencias de las resoluciones de los estudiantes a las tareas 2, 3 y 7 del cuestionario (Cuadro 2).

La Tarea 2 permite buscar evidencias de la capacidad de los estudiantes para resolver tareas que admiten aproximaciones geométricas del área. Las tareas 3 y 7 permiten buscar evidencias de la capacidad de los estudiantes para resolver tareas que admiten aproximaciones geométricas, numéricas y/o algebraicas del área, ya que, permiten el uso de diferentes SP del área. De esta manera, la consideración de estas tres tareas permite mostrar evidencias de los SP del área que ponen en práctica los estudiantes a lo largo del cuestionario y, permite mostrar evidencias de transformaciones de tratamiento y conversión.

Se realiza un análisis de contenido para identificar los tipos de procedimientos utilizados por los estudiantes. En los procedimientos se buscan evidencias de los diferentes SP del área a partir de la identificación de representaciones, propiedades y conceptos utilizados. Se definen dos etapas para esta fase. En la primera etapa se realiza un análisis individual de las respuestas de los estudiantes. Se buscan evidencias de los procedimientos, propiedades, representaciones y conceptos que los estudiantes ponen en práctica al resolver cada tarea. Además, se buscan evidencias de transformaciones de tratamiento y conversión en las resoluciones.

En la segunda etapa, las respuestas de los estudiantes se codifican en correctas, parcialmente correctas y erróneas. Las respuestas erróneas causadas por errores de cálculo, pero que mostraban un uso justificado de los procedimientos, conceptos y propiedades asociados a los SP se contabilizaron como correctas. Las resoluciones incompletas que mostraban un uso justificado de todos los procedimientos se consideraron parcialmente correctas. Además, se consideraron parcialmente correctas aquellas resoluciones que, en la Tarea 2, no consideran que una de las figuras (A, B, C o D) tiene un área sombreada equivalente a la de la Figura T (modelo). Las resoluciones en blanco fueron consideradas como resoluciones erróneas.

Una vez codificadas las respuestas, se identifican patrones de resolución de los estudiantes a las tareas presentadas. Para ello se consideran los SP del área más utilizados, además de las transformaciones de tratamiento y conversión. La interpretación de las respuestas de los estudiantes permite diferenciar 6 tipos de perfiles de estudiantes.

Perfil 1. Inconsistente: agrupa las resoluciones en blanco y aquellas que carecen de sentido. No hay evidencia de la puesta en práctica, de manera coherente, de los SP del área. Tampoco se encuentran evidencias de tratamientos y conversiones.

Perfil 2. Procedimental: pone en práctica, mayoritariamente, el SP₄. Se asocia el área exclusivamente a valores numéricos (excepción Tarea 2). Se evidencia un uso de los procedimientos vinculados a partición equitativa y del concepto de estructuración espacial. Las propiedades implicadas en la medida del área (acumulación y aditividad; y, conservación) y el concepto de unidad de medida no son usados. En general las resoluciones dependen de cálculos para medir áreas, lo que ocasiona dificultades al comparar áreas en contextos geométricos y en figuras no prototípicas (Tarea 1, Figura 1). A continuación, en la Figura 1, se presenta un ejemplo de respuestas de estudiantes ubicados en este perfil.

En la Tarea 3 no se relaciona el área del rectángulo y del triángulo con las unidades cuadradas en las que se ha descompuesto la figura. Existen dificultades para establecer una correcta relación entre las áreas de rectángulos y triángulos (el triángulo tiene la mitad del área del rectángulo de igual base y altura que lo contiene) y, no se relaciona las medidas de longitud con la estructura de filas y columnas del rectángulo. Por otro lado, es posible que se consideren iguales los objetos matemáticos área y longitud al no considerar, por ejemplo, los cm² como la unidad que mide al área (Figura 1).

Finalmente, no hay evidencia de tratamientos y conversiones, pues el área se ve reducida sólo a una de sus representaciones, la fórmula de base por altura. En este sentido, la capacidad de los estudiantes de resolver las tareas de área se ve limitada por el uso de fórmulas.

Perfil 3. Procedimental-estratégico 1: pone en práctica mayoritariamente el SP₄. Evidencia un uso incompleto de las propiedades de conservación y acumulación y aditividad, así como, también del concepto de estructuración espacial. Puede utilizar dos SP del área en al menos dos tareas y resolver bien al menos cinco tareas. Se evidencian dificultades al comparar áreas en contextos geométricos y en figuras no prototípicas, tal y como se ilustra en la respuesta a la Tarea 2 (Figura 2). En la Tarea 3 (Figura 2) se relaciona, por influencia de valores numéricos, el área del rectángulo y el triángulo del centro. Sin embargo, existen dificultades para relacionar las medidas de longitud, del rectángulo y del triángulo, con la estructura de filas y columnas del rectángulo.

En la Tarea 7 (Figura 2) se identifica que el lado del cuadrado negro puede ser 1/3 de la diagonal del blanco, pero no se advierte que la diagonal no posee la misma medida que el lado del cuadrado grande, por lo que la respuesta es errónea. Es posible que se consideren iguales los objetos matemáticos área y longitud al no considerar, por ejemplo, los cm² como unidad que mide al área (Figura 2). No se encuentran evidencias de tratamientos y conversiones, pues se sigue asociando el área con su registro de representación numérico. En este sentido, al igual que en el perfil anterior, la capacidad de los estudiantes de resolver tareas de área se ve limitada por el uso de fórmulas.

Perfil 4. Procedimental-estratégico 2: pone en práctica mayoritariamente el SP₄. Existe una aproximación tanto del uso de las propiedades de conservación y de acumulación y aditividad, como de los procedimientos vinculados a estructuración espacial y de las unidades de medida. Se relacionan dos SP del área en dos o más tareas y se resuelven correctamente al menos seis tareas. Se evidencian errores producto de la adquisición incompleta de procedimientos, conceptos y propiedades (Figura 3).

Se observa un uso adecuado de los SP₂ y SP₄. Por ejemplo, en la Tarea 7 (Figura 3) se descompone el cuadrado negro y se obtiene el área por medio de la suma del área de los triángulos que lo componen (acumulación y aditividad). En la Tarea 2 (Figura 3), con base en estimaciones visuales, se concluye que tres de las figuras poseen un área equivalente, pero no se advierte que todas las figuras poseen área equivalente (conservación del área). Por último, en la Tarea 3 (Figura 3) se establece una correcta relación, por influencia de valores numéricos, entre las áreas de rectángulos y triángulos. Se menciona, erróneamente, que cada cm es una unidad cuadrada, pero no se dice que las medidas de longitud del rectángulo y del triángulo del centro están dadas por la estructura de filas y columnas del rectángulo.

Se utilizan procedimientos más variados, pero se sigue asociando el área con su registro de representación numérico basado en fórmulas. Sin embargo, es posible evidenciar en la Tarea 7 (Figura 3), transformación entre tratamientos dentro de un registro de representación gráfico al descomponer la superficie del cuadrado negro en triángulos congruentes y visualizar la cantidad de triángulos que componen el cuadrado negro. Además, se evidencia conversión entre un registro de representación gráfico y numérico, al descomponer la superficie en triángulos congruentes y obtener el área del cuadrado negro por medio de multiplicar el área del triángulo por cuatro. En este sentido, la capacidad de resolver tareas de área podría considerarse mayor que los perfiles anteriores.

Perfil 5. Estratégico: pone en práctica 2 o 3 SP del área. Depende de cálculos para medir áreas, pero complementa con el uso de procedimientos geométricos. Evidencia más complejidad en el objeto matemático de área, mostrando un uso más estratégico de algunos conceptos, procedimientos y propiedades implicados en la medida del área (unidad de medida, estructuración espacial, acumulación y aditividad, conservación del área y transitividad).

En la Tarea 2 (Figura 4), se identifica que todas las figuras tienen un área equivalente, estableciendo relaciones correctas con base en estimaciones visuales, descomposiciones convenientes de superficies y movimientos de traslación y/o rotación. En la Tarea 7 (Figura 4) se evidencia una correcta relación entre las figuras en las que se ha descompuesto el cuadrado grande y el cuadrado negro. Se calcula el área de cada uno de los triángulos que rodean el cuadrado negro y luego se resta al área total del cuadrado grande (acumulación y aditividad). En la Tarea 3 se evidencia un uso estratégico de los SP₂, SP₃ y SP₄. Se identifica, con ayuda de cálculos, que el triángulo del centro y los dos de cada esquina al interior del rectángulo corresponden a ½ del área total del rectángulo. Así, se establece una relación correcta entre el área de rectángulos y triángulos y se aproxima a que las medidas de longitud están dadas por la estructura de filas y columnas. Además, se obtiene el área del rectángulo por medio de la suma de las áreas de los tres triángulos que lo componen (Figura 4), evidenciando conversión entre un registro gráfico, al visualizar cuántos triángulos componen el rectángulo, y, un registro numérico al obtener el área del rectángulo por medio de la suma de las áreas de los triángulos.

En la Tarea 2 se evidencia, dentro de un registro de representación gráfico, transformaciones de tratamiento. Se descompone la figura D (Tarea 2, Figura 4) de forma conveniente y luego, por medio del procedimiento de reconfiguración por complementariedad de formas, se visualiza que el área representada es ¼ del cuadrado. Para las figuras A, B y T (Tarea 2, Figura 4) se realizan movimientos de rotación y/o traslación, para luego visualizar que las áreas son equivalentes. Por último, en la Tarea 7 se observa una conversión entre registro gráfico y numérico. Primero se visualiza la cantidad de triángulos en las que se ha dividido el cuadrado negro y, posteriormente, por medio del uso de fórmulas y operaciones de adición y sustracción, se obtiene el área del cuadrado negro. Además, se observa tratamiento dentro de un registro numérico, pues el área del cuadrado negro se obtiene por medio del uso de fórmula y, por medio de restar al triángulo que conforma la mitad inferior del cuadrado de 12 cm de lado, las áreas de los triángulos pequeños y medianos. En este sentido, se observa un uso más complejo del objeto matemático de área, mostrando un uso más justificado de los conceptos y propiedades implicados en la medida del área.

Perfil 6. Estratégico-sofisticado: pone en práctica 2 o 3 SP del área. Se muestran procedimientos más variados pudiendo medir áreas sin llegar a calcularlas. Se evidencia un uso más estratégico y sofisticado del objeto matemático de área, aplicando todos los conceptos y propiedades implicados en la medida del área. En este perfil se ubica sólo a una alumna y en la Figura 5, se presenta su respuesta a las tareas 2, 3 y 7.

En la Tarea 2 se identifica que todas las figuras tienen un área equivalente, estableciendo relaciones correctas entre las áreas sombreadas con base en estimaciones visuales basadas en la propiedad de conservación y concepto de acumulación y aditividad. En la Tarea 3 se evidencia un uso estratégico de los SP₂, SP₃, SP₄. Por medio de descomposiciones convenientes del triángulo del centro, se identifica que los triángulos de las esquinas equivalen al triángulo del centro, concluyendo que el área del triángulo solicitado es ½ del área total del rectángulo. Se evidencia un uso justificado de la propiedad de transitividad y se establece una relación entre el área de rectángulos y triángulos. Además, se identifica que las medidas de longitud están dadas por la estructura de filas y columnas. En la Tarea 7 se evidencia un uso estratégico de los SP₂ y SP₃ al descomponer el cuadrado grande en cuadrados y triángulos más pequeños y determinar el área del cuadrado negro por relaciones de inclusión. Esto se complementa con el uso de fórmulas, sin embargo, puede determinar el área prescindiendo de cálculos.

Se observan evidencias de tratamientos y conversiones. En la Tarea 2 se observan transformaciones de tratamiento dentro de un registro de representación gráfico. Se descompone la Figura D (Tarea 2, Figura 5) de forma conveniente y luego, por medio del procedimiento de reconfiguración por complementariedad de formas, se visualiza que el área representada es ¼ del cuadrado. Para las figuras A, B y T (Tarea 2, Figura 5) se realizan movimientos de rotación y/o traslación, para luego visualizar que las áreas son equivalentes. Para la Tarea 3 se observan transformaciones de tratamiento dentro de un registro de representación gráfico y dentro de un registro de representación numérico. Se descompone el triángulo del centro de forma conveniente y luego, por medio de superposición de las formas en que se ha descompuesto la figura, se visualiza que el triángulo del centro es la mitad del rectángulo (respuesta b Figura 5). En la respuesta a (Tarea 3, Figura 5) obtiene el área del rectángulo por medio del conteo de unidades cuadradas y por medio del producto entre el número de unidades cuadradas de filas y columnas.

Finalmente, se observa conversión entre un registro de representación gráfico y numérico en la respuesta e (Tarea 3, Figura 5). Se visualiza que la cantidad de unidades cuadradas en cada columna se repite, tantas veces como, la cantidad de unidades cuadradas en cada fila. Así, se obtiene el área por medio del producto entre la cantidad de unidades cuadradas de filas y columnas. En la Tarea 7 se observan transformaciones de tratamiento y conversión. En la respuesta a (Tarea 7, Figura 5) se observan tratamientos dentro de un registro de representación numérico. Se utiliza la fórmula del área del cuadrado, se multiplica el número de filas por el número de columnas y se cuentan los cuadrados del interior para obtener el área del cuadrado de 12cm de lado.

Se evidencian tratamientos dentro de un registro de representación gráfico, ya que, se descompone la superficie cuadrada en cuadrados de 1cm de lado y, luego, se visualiza la cantidad de filas y columnas. Además, se observa conversión entre un registro de representación gráfico y numérico, pues se descompone la superficie cuadrada en cuadrados de 1 cm de lado y se obtiene el área por medio de un proceso aditivo y, multiplicativo. En la respuesta b (Tarea 7 Figura 5), se observan transformaciones de tratamiento dentro de un registro de representación gráfico. Se descompone la superficie cuadrada en triángulos congruentes y se visualiza la cantidad de triángulos que componen el cuadrado negro.

Dentro de un registro de representación numérico, se cuenta el número de triángulos que componen ambos cuadrados y se establece la proporción que ocupa el cuadrado negro respecto del cuadrado grande en un registro de representación numérico fraccionario. De forma similar, se evidencian tratamientos dentro de un registro de representación gráfico, pues se descompone la superficie del cuadrado negro en triángulos congruentes y se visualiza la cantidad de triángulos que lo componen.

Se observan conversiones entre un registro de representación gráfico y numérico. Se descompone la superficie del cuadrado grande en unidades congruentes y se obtiene el área del cuadrado negro por medio del conteo de tales unidades y por medio del cálculo de la fracción de una cantidad. Además, se evidencia conversión entre un registro de representación gráfico y numérico, pues se descompone la superficie en triángulos congruentes y se obtiene el área del cuadrado negro por medio del producto entre el área de un triángulo y cuatro.