En la actualidad, los estudiantes han incrementado el uso de videotutoriales de matemáticas disponibles en internet como recursos fiables de la educación, situándolos en ocasiones al mismo nivel que los libros de texto e integrándolos, funcionalmente, a la clase de matemáticas (SANTOS MELLADO, 2018). La casi ilimitada disponibilidad de estos materiales ha alcanzado las aulas, donde pueden ser usados para complementar las tareas de los estudiantes (RIVADENEIRA LOOR, 2013), para valorar la actividad docente (KERSTING, 2008), o como recurso para visualizar y comparar la práctica del profesor (BADILLO et al., 2013), entre otros variados objetivos. Ante esta realidad, creemos que es necesario analizar los distintos modos de enseñanza que se utilizan en estas producciones, apoyando estilos cognitivos de pensamiento.

Los videos disponibles en internet no sólo abordan temas matemáticos escolares, sino que el tratamiento que se hace de ellos transmite una concepción refleja distintos modos de enseñanza. Para reconocer las diferencias entre estos modos y entender las bondades y restricciones de cada uno, es crucial permitir al profesor elegir el respaldo adecuado para su clase a corto plazo, como parte de las actividades que le permitirán enfrentar las condiciones de enseñanza-apredizaje actuales (SULLIVAN; MOUSLEY, 2001).

Por otro lado, la utilidad de estos videotutoriales ha sido frecuentemente asociada a la idea de calidad. Por ejemplo, se han elaborado catálogos de autores de videos de la plataforma Youtube que cumplen ciertos estándares para la enseñanza, tales como aspectos técnicos, didácticos, de contenido y de comunicación, entre otros. Por ejemplo, en Romero, Vásquez y Graván (2017), la idea de calidad se asocia a la introducción de mejoras técnico-didácticas y se decide a través de un consenso entre expertos.

Para nosotros, la ides de calidad se asocia a las llamadas Idoneidades Didácticas (GODINO, 2013; BREDA; FONT; PINO-FAN, 2018). Por esta razón, en la presente investigación analizamos los modos de enseñanza en videos de internet representativos, usando una adaptación de las idoneidades mediante indicadores empíricos. Estas idoneidades establecen aspectos necesarios para enseñar matemáticas que se vinculan con la corrección del contenido matemático, su tratamiento didáctico, la comunicación de los contenidos, el uso de medios tecnológicos, la disposición afectiva y la proximidad con los objetivos escolares (según el nivel del estudiante). Precisamente, estas ideas, transformadas en consignas reconocibles que permitan valoración de videos, serán las que hagan posible nuestro estudio. Por ello, necesitamos valorar los productos elegidos respecto de los modos de enseñanza y su potencial aporte como apoyo a la clase de matemáticas, considerando que son materiales que promueven un estilo cognitivo particular (KRUTESTKII, 1976; PRESMEG, 1986). A través de determinadas estructuras, estos estilos destacan las habilidades naturales de representación de la información para resolver problemas matemáticos (PITTA-PANTAZI; CHRISTOU, 2009; PITTA-PANTAZI; SOPHOCLEOUS; CHRISTOU, 2013).

Los estudios en este ámbito proponen agrupar estas habilidades en dos grandes bloques: un estilo que aborda el problema como si fuese un todo formado por sus partes (estilo llamado holístico-analítico, HA), y otro estilo para resolver los problemas usando imágenes visuales (estilo verbal-imaginativo, VI). Por supuesto, estas categorías no son disjuntas, sino que hay estudiantes que ponen en funcionamiento habilidades que les permiten representar la información como las partes de un todo, o sustentado por imágenes mentales. Esta actitud bimodal lo que da lugar a un tercer estilo llamado armónico.

El objetivo de este trabajo es plantear que los modos de enseñanza, representados por la eficacia puntual, la utilidad formativa y el equilibrio entre ellas, son instrumentos que determinan la diferencia de los estilos cognitivos promocionados por los videotutoriales y pueden ayudar a los profesores a elegir videos de matemáticas, según sus necesidades. Para mostrar el funcionamiento y alcance de nuestra propuesta, se analizan algunas producciones representativas de autores hispanoparlantes muy reconocidos en la plataforma Youtube.

Para usar videos como apoyo en el aula, se requiere saber cómo se usan y con qué frecuencia. Por esta razón, en 2017 nos planteamos la necesidad de realizar una encuesta a estudiantes de la Facultad de Matemáticas de la Universidad de Valencia, España, y la Facultad de Ciencias de la UNAM, México (SANTOS MELLADO, 2018). Las preguntas que se plantearon aparecen en el siguiente cuadro.

A partir de las opiniones de 45 estudiantes en Valencia (V) y 41 estudiantes en México (M), en Santos Mellado (2018) se deduce que un porcentaje amplio (65.2% V, 59.2% M) usa videotutoriales de matemáticas para resolver problemas de clase (79% V, 59% M) y aunque buscan en estos productos obtener una explicación detallada (93% V, 100% M), consideran que reciben un apoyo pobre de ellos. De hecho, solo alrededor de un cuarto de los alumnos cree que el apoyo ha sido suficiente (25.8% V, 22.22% M).

En esta búsqueda, no muchas producciones les fueron útiles para sus clases (51.1% V, 40.7% M) y las localizaron por su cuenta (81.3% V, 62% M) orientados, fundamentalmente por sus amigos (69.7% V, 66.6% M), ya que sus profesores casi nunca les hacen sugerencias al respecto (86% V, 70.3% M). Estos últimos porcentajes son una muestra más de que la rapidez con la que se incorporan los conocimientos por la vía audiovisual toma por sorpresa a muchos profesores.

Considerando los datos de esta muestra, podríamos suponer que gran parte de los millones de visitas en internet a los videos de matemáticas, las hacen estudiantes por su cuenta, y que las instituciones prácticamente no intervienen en este proceso. Está claro que es necesario valorar los videos tutoriales de matemáticas para asegurar la calidad en su consumo, pero, también hay que observar las aportaciones cognitivas que promueven. En consecuencia, en este trabajo se estudiaron las producciones de algunos sitios y plataformas muy solicitados de habla hispana y que son, ya en estos momentos, un referente.

Pese a que actualmente, algunos centros educativos cuentan con una amplia producción de videos elaborados para autoconsumo como parte de su estrategia educativa, (ACUÑA-SOTO; LIERN; PÉREZ-GLADISH, 2018a), el consumo masivo se apoya en la producción abierta de internet y se lleva a cabo sin restricciones de país, régimen o filosofía educativa, pero que encontramos en internet, y con cada vez más influencia, entre nuestros estudiantes.

El videotutorial de matemáticas cubre ciertas necesidades de los estudiantes, asociadas a la disponibilidad de información, que por cualquier causa, no ha sido obtenida en clase (SANTOS-MELLADO et al., 2017). Estos materiales tienen algunas ventajas educativas que una clase no puede proveer: está permanentemente disponible, puede repetirse cuantas veces sea necesario, en caso de no cumplir nuestras expectativas, puede elegirse otro más conveniente, lo que eventualmente nos permite valorar sus cualidades y defectos según objetivos particulares.

Pese a la enorme y creciente oferta en internet, la tendencia general en la elaboración de videos de matemáticas tiene objetivos parecidos. Muchas de las producciones pueden considerarse como una clase del tipo disertación magistral, que siguen siendo muy apreciadas por un buen número de nuestros estudiantes y profesores. Por otro lado, es innegable que el consumo de videos estimula la integración de los recursos tecnológicos en los salones de clase (HOHENWATER; KOKADER; HOHENWATER, 2017), podrían mejorar la enseñanza (CHEUNG; SLAVING, 2013; DONEVSK-TODOROVA; TRGALOVA, 2017) o, incluso, intentan mejorar la docencia con la ayuda de estos recursos (ZABALZA et al., 2016).

La valoración de video tutoriales ha impulsado distintas metodologías que consideran aspectos cualitativos, como la profundidad del entendimiento de los estudiantes a través de valoraciones y la discusión de video clips de la clase de matemáticas (SHERIN; LINSENMEIER; van ES, 2009). En el caso que nos ocupa, la valoración de los videos de internet se apoya en el modelo matemático denominado Valoración Fuzzy Multicriterio ValFM, (LABIPE, 2018), que se sustenta en la lógica difusa y un método de optimización multicriterio llamado TOPSIS. Expresado de forma algorímica, los pasos de ValFM son los siguientes:

El modelo ValFM ya ha sido puesto en funcionamiento, por ejemplo, con estudiantes de licenciatura quienes hicieron y valoraron colectivamente sus propios videos (LECHUGA; MARTÍNEZ, 2019). En definitiva, se trata de un proceso en el que hay una valoración que permite cuantificar datos cualitativos y, posteriormente, los videos pueden organizarse (ordenarse, agruparse etc.) de acuerdo con los intereses prefijados.

El estudio de las habilidades requeridas para aprender matemáticas ha sido motivo de investigación desde la época en la que se priorizaban los métodos conductistas, hasta las más actuales aproximaciones cognitivas (KRUTETSKII, 1976). Los estilos cognitivos atienden las diferencias entre tipos de habilidades para representar la información que se pone en funcionamiento cuando los estudiantes se enfrentan a un problema matemático. En particular, en sus extensas investigaciones sobre las tipos y grados de habilidades entre los estudiantes, Krutetskii reportó que: “Como resultado del estudio, basado en los parámetros indicados, todos los examinados fueron divididos en tres grupos […] esto permite aislar un tipo analítico […] (mente matemáticamente abstracta) […] uno geométrico […] (mentalmente pictórica) y un tipo armónico” (KRUTETSKII, 1976, p. 315).

Establecer cuáles son las habilidades personales para enfrentarse a las problemáticas matemáticas, es un recurso valioso para diseñar una enseñanza que las aproveche, ya que se esperaría que éstas fueran un recurso disponible naturalmente en los estudiantes al resolver problemas. Estas habilidades no solo se pueden aprovechar para mejorar las condiciones de aprendizaje, sino que se reflejan de forma natural en la enseñanza, como Messick (1994) sugiere:

Por su parte, Pask (1988) propone dos estrategias de aprendizaje apoyadas en dos particulares tipos de habilidades:

Las categorías de estilos cognitivos analítico-holístico y verbal-imaginativo han sido propuestas por Pitta-Pantazi y Christou (2009), caracterizándolas de la siguiente manera:

Respecto a las habilidades de visualización matemática, es importante establecer que no se trata solo del uso de diagramas para resolver los problemas, sino de usar las imágenes mentales como recursos de representación y reflexión para resolver problemas. El objetivo es el mismo con el que se usan los recursos procedimentales según Gutiérrez (1996) “Una imagen mental es una representación mental de un concepto matemático o propiedad que contiene información basada en elementos pictóricos, gráficos o diagramáticos. Visualización, o pensamiento visual es un tipo de razonamiento basado en el uso de imágenes visuales” (GUTIERREZ, 1996, p. 6).

Si la visualización es la base del razonamiento puesto en juego para resolver problemas, entonces se hace uso de imágenes visuales para resolver problemas, aunque las representaciones pictóricas no estén directamente involucradas, sino sugeridas. En particular, Presmeg (1986) afirma que

Por lo tanto, la presencia o no de diagramas no es lo que lo determina el carácter o método visual de resolución de problemas, sino el uso de las imágenes visuales que son consideradas como “esquemas mentales que representan información visual o espacial” (PRESMEG, 1986, p. 297).

La presente investigación es de corte cualitativo interpretativo y pretende utilizar los modos de enseñanza como instrumentos de análisis de la producción de videos de varios autores representativos, destacando los estilos cognitivos promovidos por ellos, así como las consignas dominantes sobre la resolución de problemas. Para ello, se tomó una muestra de la producción de tres autores, con un amplia producción, que se ajustan a los modos de enseñanza que se discutió. La elección también se basa en el reconocimiento que tienen en los paises de habla hispana, respaldados por una audiencia que se cuenta por millones de vistas en internet.

Se tomó un video del autor Julio Alberto Ríos, cuya dirección de internet es Julioprofe o Julioprofenet, (en la plataforma Youtube www.youtube.com/user/julioprofenet), otra producción de David Calle, cuya dirección en internet es Unicoos (www.unicoos.com) en la misma plataforma y, finalmente, tomamos algunos fragmentos de la producción de Juan Medina con dirección en (www.lasmatematicas.es). En adelante, se hizo referencia a estos autores por el nombre de sus respectivas direcciones de internet.

Para acotar la investigación, nuestro análisis se centró en el tratamiento de ecuaciones lineales, asociados a problemas, que pueden encontrarse en las direcciones siguientes:

Para poner en práctica nuestra propuesta metodológica, se ha solicitado a 10 profesores de Matemáticas que visualicen los videos V1, V2 y V3 (todos ellos relacionados con la solución de ecuaciones lineales) proporcionen información de dos tipos: una respuesta cualitativa a los indicadores empíricos mencionados en la Sección 4.1 y una respuesta numérica y cualitativa a las cuestiones 1 y 2 de la Sección 4.2. En el siguiente cuadro recogemos, de forma breve, el análisis de los videos de cada faceta didáctica.

Desde el punto de vista de la valoración didáctica anterior, las producciones analizadas resultan adecuadas en todos los casos, no cometen errores matemáticos y enmiendan pequeños fallos en el momento, mantienen la atención del estudiante con la empatía del discurso, el énfasis en la gesticulación y las imágenes o la solución precisa a dificultades concretas. No hay omisiones en la información requerida en ninguna de las producciones y las explicaciones incluyen la información necesaria para resolver la tarea propuesta. Además, el discurso, en general, puede considerarse ameno y los contenidos se adaptan a los programas respectivos.

En la Tabla 1 se muestran las valoraciones proporcionadas por los profesores encuestados para las cuestiones 1 y 2.

De acuerdo con los resultados expresados en la Tabla 1, los encuestados prefieren la producción de Julioprofe para la eficiencia puntual (con una media de 8.5, frente a 7.7 y 6.9 de las otros dos), y la de Lasmatematicas para la utilidad formativa (una media de 8.3, frente a un 5 y un 6.2). Sin embargo, si lo que se busca es que en el video haya un equilibrio entre ambos objetivos, Lasmatematicas y Unicoos presentan un resultado muy similar (un 1.4 y 1.5, respectivamente).

En el Cuadro 3 mostramos los resultados del análisis de los videos con respecto a los modos de enseñanza, desarrollado a través de dos rubros: 1. Tratamiento de la información, 2. Esquema de pensamiento.

A partir del análisis recogido en el Cuadro 3, parece claro que los modos de enseñanza permiten diferenciar, tanto las habilidades de representación de la información como las consignas educativas particulares. En definitiva, cada modo de enseñanza puede resultar útil dependiendo de las necesidades del profesor, dado que no son incompatibles entre sí.

Consideramos que los videos de matemáticas disponibles en internet pueden ser una fuente de recursos muy valiosa para apoyar la clase de matemáticas. Esta ayuda no se restringe al tratamiento de temas matemáticos fuera de clase, el tratamiento de aspectos que no son tratados en ella o la resolución de una tarea en casa, sino que estos materiales pueden reforzar de manera positiva el proceso de enseñanaza-aprendizaje.

Cuando nos cuestionamos sobre las aportaciones cognitivas de los videotutotiales de matemáticas a sus millones de usuarios, nos percatamos de claras diferencias que podrían contribuir a explicar su popularidad. Hemos analizado una pequeña muestra de la producción de tres de los autores de habla hispana más renombrados para mostrar el alcance de la idea de rúbrica de autor en las modalidades: eficacia puntual, utilidad formativa y equilibrio formativo. Esto nos ha permitido profundizar en las ventajas y posibles limitaciones de cada modo de enseñanza, dependiendo de las necesidades.

En la base del éxito de las producciones de estos autores, está el hecho de que cumplen con los requisitos didácticos para ser un referente confiable, como vimos con el análisis de indicadores empíricos, y esto los hace aconsejables para la educación matemática en general. Además, todos muestran una actitud razonablemente empática, ya sea enfatizando aspectos que son frecuentes obstáculos para los alumnos y alumnas o a través del tono comedido del ponente, quien cubre la necesidad de explicar los detalles que, por experiencia propia, sabe que resultan complejos.

Nuestro análisis de los modos de enseñanza ha mostrado grandes diferencias en los posibles efectos de cada aproximación. Las producciones de Julioprofe cubren con creces una necesidad urgente entre nuestros alumnos y alumnas de resolución de problemas, sin omisiones ni titubeos, se establece un orden de indicaciones, contribuye a representar la información como una estructura global formada por sus partes. Los videos del autor son apreciados por quienes requieren indicaciones directas, evitando el desvío de la atención. La consigna dominante es resolver aquí y ahora.

En el caso de Unicoos, la situación específica es abordada correctamente, al mismo tiempo que extiende su explicaciones a través del uso de imágenes visuales lo que, aún sin ser la intención, es posible vincularlo a resultados afines, ya que proporciona ligas funcionales. En este caso, en los problemas se mencionan posibles variaciones y hay un interés marcado por establecer afirmaciones con un alcance más general a partir de problemas particulares. Se trata de una propuesta adecuada para quienes requieren de una aproximación a la matemática de forma vinculada. La consigna dominante sería resuelve aquí y para después.

En Lasmatematicas parece buscarse intencionadamente el equilibrio formativo optando por una representación de la información armónica. Enfatiza en los procedimientos y definiciones matemáticos como partes de un todo encadenado, pero igualmente hace uso de una secuencia de imágenes mentales de carácter matemático, tratamiento que confiere al video un alto grado de rigor. Muchas de estas producciones requieren un seguimiento desde el inicio del tratamiento del tema, debido a que la información requerida se va acumulando. La consigna dominante en este caso es resuelve ahora con bases generales.

Más allá de las producciones analizadas, hemos propuesto un método para estimar la eficacia puntual, la utilidad formativa y el equilibrio formativo: Se valoran las dos primeras, mediante dos preguntas sencillas, y el equilibrio formativo puede aproximarse como la diferencia entre la eficacia puntual y la utilidad formativa. Es una manera sintética de comprobar si un video en cuestión sirve igualmente para aprender a resolver problemas o para estudiar la asignatura.

Por último, queremos comentar que, como decíamos al inicio de este trabajo, creemos que podemos contribuir a la tarea pendiente de analizar y valorar los videos que consumen nuestros alumnos y alumnas. Estudiar estos factores proporciona información sobre el tipo de enseñanza que es promovida, y este material puede ser útil para que el profesor tome sus decisiones sobre el video que eventualmente puede sugerir a sus estudiantes.