Se aplicó un cuestionario de dieciséis actividades en un contexto principalmente algebraico de ecuaciones y operaciones con polinomios. El tiempo máximo para responder este cuestionario fue de 120 minutos repartidos en una primera sesión de 80 minutos y una segunda sesión de 40 minutos. Los estudiantes recibieron y entregaron las actividades del cuestionario en forma alternada, para evitar nuevas correcciones que interfirieran en el análisis posterior. Se focaliza, a continuación, en el análisis a priori de las cuatro actividades de este cuestionario que exploran los significados que los alumnos le atribuyen explícitamente al signo igual (actividad i, Cuadro 2) y el trabajo de los alumnos con este signo en un contexto algebraico de polinomios (actividades ii, iii y iv).

En la actividad i se consulta el nombre y el significado del símbolo =, se solicita un mínimo de tres situaciones de clase en las que se hubiere utilizado este símbolo y la finalidad con que este símbolo se habría utilizado en cada situación. El propósito es indagar cuáles son los significados que los estudiantes le atribuyen explícitamente al signo igual, tanto al referirse al símbolo = como al plantear y describir las situaciones de clase solicitadas. En el análisis posterior, se considerará que un alumno presenta dos situaciones distintas si estas dejan entrever dos significados distintos del signo igual.

Si bien los alumnos cuentan con elementos para presentar ejemplos ligados a una comprensión relacional del signo igual, porque han incursionado en el estudio de las ecuaciones y los polinomios; no se descarta que tiendan a mostrar ejemplos que evidencien una interpretación operacional de este signo, influenciados por las prácticas de enseñanza que han recibido a lo largo de sus recorridos como estudiantes de enseñanza primaria. Esta actividad aporta al objetivo de investigación, porque aflorarán interpretaciones del signo igual que serán contrastadas con el trabajo de los alumnos con este signo en las actividades de contexto algebraico de polinomios. El Cuadro 3 muestra la Actividad ii.

En la actividad ii, a partir de un polinomio dado por un profesor y la expresión simplificada de ese polinomio propuesta por un estudiante llamado Juan, se pregunta si la tarea está terminada y se solicita una justificación. La consigna se redacta con la palabra reducir porque ese es el término que habitualmente se utiliza en el ámbito de la matemática escolar uruguaya para solicitar la simplificación de una expresión algebraica (en inglés, simplify). Una posibilidad es que los estudiantes consideren que la tarea está terminada porque Juan redujo términos semejantes y obtuvo un polinomio reducido equivalente al escrito por el profesor. En este caso, los alumnos podrán interpretar el signo igual como expresión de una equivalencia simbólica. Otra posibilidad es que los estudiantes cuestionen la equivalencia que escribió Juan porque a continuación del signo igual aparece un polinomio con más de un término y eso no es consistente con el uso operacional de este signo en contexto aritmético donde, en general, los sumandos aparecen a la izquierda y el resultado a la derecha del signo igual. Entonces, si afirman que Juan no terminó la tarea, podrá quedar de manifiesto una interpretación operacional del signo igual, ligada a la dificultad para aceptar que el objeto polinomio con más de un término puede ser el resultado de una operación.

En la actividad iii (Cuadro 4) se plantean seis expresiones para que los estudiantes analicen y corrijan las que consideren falsas.

Véase que, en las partes a y b se propone una equivalencia entre un polinomio reducido que está a la izquierda del signo igual y un polinomio no reducido que está a la derecha del signo igual, la diferencia radica en las operaciones involucradas en cada caso. En las partes d y e se propone una equivalencia entre dos polinomios idénticos, en la expresión d no intervienen operaciones mientras que en la expresión e interviene una suma a cada lado del signo igual. En las partes c y f se proponen otras dos equivalencias entre polinomios, la expresión f tiene un solo término a la derecha del signo igual mientras que la expresión c tiene dos. El propósito de esta actividad es indagar si los alumnos muestran evidencias de que pueden interpretar el signo igual como, por ejemplo, expresión de una acción (partes a y b) o expresión de una equivalencia simbólica (partes c, d, e y f). En particular, se podrá explorar si la presencia de un polinomio con más de un término a cada lado del signo igual favorece una interpretación relacional del signo igual.

En la actividad iv (Cuadro 5) se presenta un ejemplo de cómo simplificar polinomios y se plantean tres expresiones relacionadas con ese ejemplo para que los estudiantes analicen y corrijan las que consideren falsas.

Una posibilidad es que los alumnos simplifiquen los dos polinomios que intervienen en cada expresión y comparen entre sí los polinomios así obtenidos. Otra posibilidad es que reconozcan que los dos polinomios equivalentes del ejemplo inicial han sido multiplicados por un mismo número (parte a) o han sido invertidos de lugar con respecto al signo igual (parte b) o han sido restados por números distintos (parte c). El propósito es explorar las estrategias que desarrollan los estudiantes para resolver esta tarea y contrastar esas estrategias con las interpretaciones del signo igual que han evidenciado los alumnos al resolver las otras tres tareas del cuestionario. En particular, se pretende indagar si los alumnos que explícitamente le han atribuido un significado relacional al signo igual son más propensos a desarrollar la segunda estrategia señalada, en comparación con aquellos estudiantes que explícitamente le hayan atribuido un significado operacional a este signo.

El diseño de estas actividades posibilita una exploración de una visión estructural de las expresiones, porque favorece la observación de características superficiales y ocultas (LIEBENBERG et al., 1998). Por ejemplo, los estudiantes, al mostrar y explicar situaciones de clase que involucren el signo igual, en la actividad i, podrán proponer expresiones del tipo 2 + 3 = 3 + 2 e identificar que, en casos como este, se tiene el mismo resultado a cada lado del signo igual, que es una característica superficial, o que el orden de los sumandos no altera la suma, que es una característica oculta. Asimismo, al analizar la expresión de la actividad ii, podrán apreciar que a izquierda y derecha del signo igual se tiene la misma cantidad de equis, que es una característica superficial, o que x + x es igual a 2x porque se cumple la propiedad distributiva de la multiplicación frente a la adición, que es una característica oculta.

Por otra parte, este diseño, permite focalizar en el desarrollo de un pensamiento relacional (MOLINA, 2006) porque las expresiones seleccionadas y el tipo de actividad que se solicita implican establecer relaciones entre y dentro de estas expresiones. Por ejemplo, los estudiantes, al analizar la expresión c de la actividad iii, en lugar de simplificar términos podrán detectar la compensación que se establece entre los términos involucrados para concluir que se trata de una expresión verdadera. Asimismo, al analizar la expresión c de la actividad iv, podrán reconocer que la transformación aplicada a la expresión inicial no conserva la igualdad para concluir que se trata de una expresión falsa.

Luego de aplicar el cuestionario y realizar un análisis preliminar de los resultados obtenidos, se preseleccionaron siete estudiantes para realizarles una entrevista semiestructurada. La finalidad de estas entrevistas fue profundizar en algunas de las respuestas presentadas por estos estudiantes al cuestionario, ya sea por la originalidad de esas respuestas o por ser representativas de las respuestas dadas por otros estudiantes. Se seleccionaron estudiantes que, en su totalidad, abarcaran distintas maneras de pensar y responder el cuestionario. El día que se llevaron a cabo las entrevistas asistieron cinco de los siete alumnos preseleccionados. Las entrevistas fueron audio-grabadas.

En la actividad i, Miguel asegura que el símbolo = se llama es igual (parte a) y que este símbolo se utiliza cuando haces una cuenta, para saber cuánto da (parte b). Esta respuesta del alumno deja entrever una interpretación operacional del signo igual (por ejemplo, como operador o propuesta de actividad), porque manifiesta que es un signo que se escribe para indicar el resultado de una operación. Asimismo, Miguel señala o explica tres situaciones en las que se utiliza el signo igual: para hacer cuentas y saber el resultado, por ejemplo, 2 + 3 = 5, en ecuaciones, para saber si son iguales y en geometría, para saber el lado de un triángulo, por ejemplo (partes c y d).

Si bien en la primera situación, el estudiante vuelve a evidenciar una interpretación operacional del signo igual, en la segunda situación se refiere al proceso de verificación de una ecuación, que implica una comparación de valores numéricos a dos miembros y que es consistente con una interpretación del signo igual como expresión de una equivalencia condicional, porque deja entrever que la equivalencia dada por una ecuación no necesariamente es cierta para cualquier valor de la variable. En la tercera situación, el alumno se está refiriendo a expresiones del tipo AB = 6 cm, que son habitualmente utilizadas en la matemática escolar para asignarle un valor numérico a la medida de un segmento; por lo tanto, deja al descubierto el significado de asignación de un valor numérico.

En la actividad ii, que se muestra una situación en la que un profesor pide reducir términos semejantes en la expresión 4x²+ x + x + 5x² y un alumno llamado Juan escribe la expresión 4x²+ x + x + 5x²= 9x²+ 2x; Miguel responde: No está terminada [la tarea] porque él [Juan] nunca reduce los términos sino que suma todo, ve cuánto da y entonces pone otra ecuación que dé lo mismo que la primera. Por un lado, cuando al justificar, Miguel afirma que Juan pone otra ecuación [9x²+ 2x] que dé lo mismo que la primera, si bien está utilizando el término ecuación en lugar de utilizar el término expresión o polinomio, su explicación da cuenta de una interpretación del signo igual como expresión de una equivalencia simbólica, porque hace mención a una igualdad entre dos expresiones: la que se ubica a la izquierda y a la derecha del signo igual. No obstante, esta interpretación del signo igual no le permite identificar que Juan terminó la tarea. Por otro lado, cuando al seguir justificando señala que Juan nunca reduce los términos, Miguel manifiesta la necesidad de continuar realizando operaciones hasta obtener un solo término a continuación del signo igual. Esto puede deberse a una interpretación del signo igual como operador que, en un contexto aritmético, implica plantear los sumandos a la izquierda y el resultado a la derecha del signo igual. El estudiante fue consultado sobre este asunto:

Miguel insiste en que Juan no terminó la tarea, aunque sobre el final de la entrevista deja entrever lo contrario. Una posibilidad, es que el alumno continúe presentando dificultades para aceptar un polinomio con más de un término a la derecha del signo igual porque en otros contextos ha utilizado este signo en su carácter de operador. Otra posibilidad, que cobra fuerza cuando agrega que Juan está diciendo que [los polinomios] son iguales pero no está reduciendo, es que su respuesta esté influenciada por una interpretación de la palabra reducir como invitación a obtener un polinomio con menor cantidad de términos.

En la actividad iii, que se proponen seis expresiones para analizar, Miguel sostiene que la expresión x²− 9 = (x + 3)(x − 3) es verdadera porque si hacés 3x ⋅ −3x = − 9x² (parte a) y que la expresión 4x = x + 3x es verdadera porque 3x + x te da 4x (parte b). En el primer caso, que simplifica términos que no son semejantes (por ejemplo, x + 3 lo simplifica a 3x y x²– 9 a −9x²), el producto que está a la derecha del signo igual le da como resultado el polinomio que está a la izquierda del signo y eso lo conduce a aceptar la expresión planteada. En ambos casos, el estudiante interpreta el signo igual como expresión de una acción, porque entiende que a la derecha del signo se planteó una operación y a la izquierda se planteó un posible resultado de esa operación. Esto, se fundamenta en el uso de la palabra da en 3x + x te da 4x.

En esta actividad, Miguel también señala que la expresión x = x es verdadera porque no hay suma y son los mismos números (parte d) y que la expresión 5 + x = 5 + x es verdadera porque si hacés la cuenta de los dos lados te da lo mismo: 5 + x = 6x y 5 + x = 6x (parte e). En ambos casos, Miguel interpreta el signo igual como expresión de una equivalencia simbólica, porque hace alusión al resultado obtenido a cada lado del signo igual. No obstante, cuando al intentar simplificar los polinomios que intervienen en la parte e, escribe que 5 + x = 6x, el alumno interpreta el signo igual como operador porque lo utiliza para indicar que el resultado de la operación 5 + x es 6x. Miguel simplifica términos que no son semejantes. Esta manera de proceder, que se ha observado en varias de las respuestas de Miguel al cuestionario, se relaciona con la necesidad de visualizar un solo término a continuación del signo igual y está ligada a una interpretación operacional del signo igual en contexto aritmético.

Por otra parte, Miguel señala que la expresión 7x + 2x = 9x es verdadera porque 7x + 2x = 9x (parte f) y que la expresión 3x²+ 4x²= 2x²+ 5x² es verdadera porque te da lo mismo: 3x²+ 4x²= 7x² y 2x²+ 5x²= 7x² (parte c). En el primer caso, cuando se limita a reescribir la expresión planteada en la actividad: 7x + 2x = 9x, está visualizando que 9x es el resultado de 7x + 2x o que 7x + 2x y 9x son dos maneras diferentes de expresar lo mismo. En el segundo caso, cuando al justificar simplifica términos semejantes y compara el monomio que se obtiene a cada lado del signo igual, está interpretando este signo como expresión de una equivalencia simbólica, porque reconoce que se obtiene el mismo resultado a cada lado.

No obstante, cuando al simplificar los polinomios que intervienen en la expresión escribe 3x²+ 4x²= 7x² y 2x²+ 5x²= 7x², da cuenta de una interpretación del signo igual como operador, porque lo utiliza para indicar que el resultado de 3x²+ 4x²es 7x²y que el resultado de 2x²+ 5x² es 7x². Esto muestra que distintos usos del signo igual conviven en un mismo estudiante y que puede utilizarlos en forma flexible de acuerdo con lo que desea expresar en cada caso, así como también, que la presencia de un polinomio con términos semejantes a ambos lados del signo igual puede favorecer una interpretación relacional del signo igual.

En la actividad iv, que a partir de la expresión x + x + 5 + 7 = 2x + 12 se plantean tres expresiones para analizar, Miguel contesta que −5(x + x + 5 + 7) = −5(2x + 12) es verdadera y para justificar plantea que 5 + 7 = 12, x + x = 2x y agrega que si sumás te da lo mismo del otro lado y si lo multiplicas por −5 de los dos lados te da lo mismo (parte a). Cuando al justificar, señala que 5 + 7 = 12 y que x + x = 2x, deja entrever una interpretación del signo igual como operador, porque lo utiliza para indicar el resultado de una operación entre números o una simplificación. No obstante, cuando agrega que si lo multiplicas por −5 de los dos lados te da lo mismo, en referencia al número por el que fueron multiplicados los dos polinomios de la consigna, evidencia una interpretación del signo igual como expresión de una equivalencia simbólica, porque reconoce que a cada lado de este signo se obtiene el mismo resultado.

Esta respuesta del alumno muestra, además, la emergencia de pensamiento relacional (MOLINA, 2006), porque establece relaciones entre y dentro de las expresiones al reconocer una transformación que conserva la igualdad. Asimismo, se evidencia que la adopción de un uso del signo igual en particular no desplaza los otros usos de este signo: por ejemplo, un entendimiento del signo igual como expresión de una equivalencia simbólica no impide que el alumno siga viéndolo como operador.

En esta actividad, Miguel también contesta que la expresión 2x + 12 = x + x + 5 + 7 es verdadera porque es la misma que la que hizo la profesora, solo que cambió de lado los términos (parte b) y que la expresión x + x + 5 + 7 − 4 = 2x + 12 − 6 es falsa porque 2x + 12 − 6 = 6, x + x + 5 + 7 − 4 = 8 y lo que está mal es el −6 y el −4, si los sacás o ponés el mismo número te da bien la ecuación (parte c). En el primer caso, en vez de simplificar y comparar los polinomios involucrados en la expresión planteada, que sería consistente con pensar en la definición de polinomios equivalentes, el alumno aplica implícitamente una propiedad equivalente a esa definición: si se invierten de lugar dos polinomios equivalentes respecto del signo igual, entonces, siguen siendo equivalentes.

En otras palabras, el alumno reconoce una característica oculta (LIEBENBERG et al., 1998) de la expresión que analiza y la toma en cuenta para justificar su respuesta. En el segundo caso, si bien vuelve a confundir expresión con ecuación, el alumno está interpretando el signo igual como expresión de una equivalencia simbólica, porque inspecciona globalmente la expresión e identifica que se restó un número distinto a cada lado del signo igual de la expresión inicial. No obstante, al intentar simplificar los polinomios que intervienen en la expresión, Miguel escribe que 2x + 12 − 6 = 6 y que 2x + 12 − 4 = 8, evidenciando un uso operacional del signo igual. Además, omite la variable que figura en cada polinomio y se limita a simplificar los términos numéricos, haciendo caso omiso de lo desconocido (KIERAN, 1984).

En la actividad i, Gerónimo asegura que el símbolo = se llama igual (parte a) y que todo lo que esté a sus lados, finalmente, luego de hacer las cuentas, son iguales, tienen el mismo valor (parte b). Esta respuesta del estudiante evidencia una interpretación relacional del signo igual (por ejemplo, como expresión de una equivalencia numérica o simbólica) porque deja entrever que este signo relaciona expresiones que arrojan el mismo valor numérico. Asimismo, Gerónimo ejemplifica y explica tres situaciones en las que se utiliza el signo igual: en 3x=9, para representar cuánto vale 3x y poder hallar x, en f(x) = 6x − 3, para explicar que la función correspondiente al gráfico f(x) es 6x − 3 y en 5 + 5 = 10, para expresar que lo de la derecha del signo es igual o equivalente a lo del otro lado del signo (partes c y d). En la primera situación, el estudiante manifiesta una interpretación del signo igual como expresión de una equivalencia condicional, porque deja entrever que la ecuación que propone se transforma en una igualdad numérica para un valor particular de la variable. En la segunda situación, Gerónimo está interpretando el signo igual como definición de un objeto matemático, porque lo utiliza para asignarle un nombre a una función. En la tercera situación, si bien presenta un ejemplo numérico en un contexto de operaciones igual respuesta, el alumno interpreta el signo igual como expresión de una equivalencia numérica porque hace referencia al valor numérico obtenido a cada lado del signo igual.

En la actividad ii, que se muestra una situación en la que un profesor pide reducir términos semejantes en la expresión 4x²+ x + x + 5x² y un alumno llamado Juan escribe la expresión 4x²+ x + x + 5x²= 9x²+ 2x; Gerónimo responde: Creo que está en lo correcto, ya que además de reducirlos bien, están perfectamente ordenados de mayor exponente a menor exponente. Por un lado, Gerónimo da cuenta de que, al simplificar un polinomio que se encuentra a la izquierda del signo igual, es posible obtener un polinomio con más de un término a la derecha del signo igual. Esto, es coherente, por ejemplo, con el significado que él le atribuyó al símbolo = en la actividad i del cuestionario. Por otro lado, cuando dice que están perfectamente ordenados de mayor exponente a menor exponente, deja entrever que simplificar un polinomio también implica ordenar el polinomio reducido que se obtiene.

En la actividad iii, Gerónimo sostiene que las expresiones a y b son verdaderas. En la parte a, cuando dice que está bien ya que quedaría x²+ 3x − 3x − 9 y abajo escribe x²– 9 (Figura 1), deja entrever que el resultado de la operación (x + 3)(x − 3) es x²– 9. En la parte b, cuando escribe x + 3x = x + x + x + x = 4x, lo hace para señalar que el resultado de la operación x + 3x es 4x. Desde la perspectiva del estudiante, las expresiones que aparecen a la derecha del signo igual plantean una operación y las expresiones de la izquierda son entendidas como los resultados de esas operaciones. Entonces, en ambos casos, el alumno está interpretando el signo igual como expresión de una acción. En particular, se observa que el alumno utiliza el signo igual en ese sentido al realizar la operación x + 3x, cuando escribe x + 3x = x + x + x + x.

En esta actividad, Gerónimo también señala que la expresión x = x es verdadera porque al estar el mismo número a cada lado del igual, dan lo mismo (parte d) y que la expresión 5 + x = 5 + x es verdadera porque al estar la misma cuenta a cada lado claramente son iguales (parte e). En el primer caso, el alumno reconoce que la variable toma un solo valor por vez cuando dice que está el mismo número a cada lado del igual. En ambos casos, el estudiante está interpretando el signo igual como expresión de una equivalencia simbólica porque entiende que se obtiene el mismo valor numérico a cada lado del signo para cualquier valor de la variable. Gerónimo establece una comparación entre los polinomios involucrados que evidencia una comprensión relacional del signo igual: la misma cuenta a cada lado.

Por otra parte, Gerónimo señala que la expresión 3x²+ 4x²= 2x²+ 5x² es verdadera porque las sumas de ambos lados del igual dan 7x² (parte c) y que la expresión 7x + 2x = 9x es verdadera porque ambos lados dan 9x (parte f). En ambos casos, el estudiante está interpretando el signo igual como expresión de una equivalencia simbólica, porque hace alusión al resultado que se obtiene a cada lado del signo igual. La presencia de un polinomio con un solo término a la derecha del signo igual (parte f) no impide que Gerónimo interprete el signo igual en forma relacional. Además, el estudiante pasa por las expresiones 9x = 9x (parte c) y 7x²= 7x²(parte f) para justificar sus respuestas, mostrando la necesidad de operar con los polinomios hasta obtener una misma expresión a cada lado del signo igual.

En la actividad iv, que a partir de la expresión x + x + 5 + 7 = 2x + 12 se plantean otras tres expresiones para analizar, Gerónimo sostiene que las expresiones a y b son verdaderas y que la expresión c es falsa. En los tres casos, el estudiante realiza operaciones hasta obtener un polinomio ordenado y reducido a cada lado del signo igual para analizar la validez de cada expresión. Asimismo, el alumno, para complementar los cálculos realizados, presenta una explicación verbal que relaciona la equivalencia dada en la consigna con la expresión analizada en cada parte de la actividad: son iguales, ya que al ser ambos multiplicados por el mismo número, cambian su valor pero siguen siendo equivalentes (parte a), es lo que propuso la profesora, además, luego de sumar dan igual (parte b) y son diferentes porque antes eran iguales, mientras que ahora se le resta 4 al de la izquierda y 6 al de la derecha (parte c).

Gerónimo reconoce que al multiplicar dos polinomios equivalentes por un mismo número o al intercambiar estos dos polinomios de lugar con respecto al signo igual se mantiene la equivalencia, así como al sumar un número distinto a dos polinomios equivalentes dejan de ser equivalentes. Estas explicaciones evidencian una interpretación del signo igual como expresión de una equivalencia simbólica, así como la emergencia de pensamiento relacional (MOLINA, 2006) y una atención explícita a las características ocultas de las expresiones analizadas (LIEBENBERG et al., 1998). No obstante, Gerónimo necesita operar para comparar los polinomios resultantes e inferir la validez de cada expresión.