El objeto de estudio que aquí identificamos es la elaboration de sentido por parte del adulto en proceso de formation básica, en el ámbito de la resolution de problemas elementales, utilizando los números decimales y sus operaciones fundamentales. Dicha elaboración de sentido sienta las bases de la comprensión (la cual suele permanecer limitada en muchos sujetos que tienden a apoyarse sólo en la poderosa algoritmia de los decimales) y el punto de partida de la ulterior construcción de conceptos referidos a tales números (de estos últimos objetos de estudio no nos ocupamos en la presente investigación).

En el proceso semántico de producción de sentido concedemos especial atención a las dificultades cognitivas vinculadas a la resolución de tales problemas (en tanto indicadoras de algunos nodos semánticos primordiales) y a los errores manifiestos en la mencionada ejecución (por su carácter de producciones reveladoras de la interpretación otorgada a los números decimales por quien da solución a la tarea, de acuerdo con CENTENO, 1988).

Involucramos a la resolución de problemas en nuestra indagación porque es el terreno en el que el sujeto, de un modo no deliberado, pone a prueba sus ideas de manera intuitiva y empírica, confrontándolas unas con otras, depurándolas y generando nuevos sentidos para sus acciones. Esto lo planteamos, apegándonos a los procesos atribuidos a la resolución de problemas matemáticos por Nesher (1982, 1992), Vergnaud (1982), Carpenter, Fennema y Romberg (1993), Kieren (1993), Valdemoros y Ruiz (2008), Deliyanni et al. (2009), entre muchos investigadores de la aritmética que han desarrollado este recurso.

Al situar a los números decimales en el terreno de la escuela primaria de adultos, estamos enfatizando el carácter elemental de su desarrollo cognitivo inicial y la correspondiente relevancia de su investigación.

En íntima relación con el problema de investigación planteado, y tomando en consideración las aportaciones de Bruner y Haste (1990), referidas a que la elaboración de sentido es esencialmente una decodificación por la cual se abre camino el pensamiento, el cual se expresa mediante un rico repertorio de procesos semánticos, formulamos, a continuación, nuestra pregunta de investigación fundamental.

En el desarrollo de una investigación referida a las concepciones que subyacen en la resolución de problemas con números decimales, Bell, Swan y Taylor (1981) afirman que, sobre dicha resolución y sobre la comprensión de quien procura tal solución, pesan el tipo de operación que se realice, el tamaño y complejidad de los números involucrados, la familiaridad de la situación planteada por el problema aritmético y la legibilidad de su texto.

En relación al tipo de operación a realizar, Bell, Swan y Taylor (1981) consideran más accesibles a la adición y sustracción, en tanto que más dificultosas a la multiplicación y la división (siendo, además, más complejas las operaciones inversas que las operaciones directas); a estos planteamientos les agregan las dificultades ligadas a la estructura misma del problema a resolver (es más inaccesible un problema multiplicativo de proporcionalidad múltiple que cualquier otra clase de problemas multiplicativos). A modo de conclusión del estudio aludido, estos investigadores enfatizan que es muy importante el trabajo o las elaboraciones que el sujeto realice respecto a la selección de la operación adecuada, en tanto nos proporciona evidencias de procesos subyacentes.

En cuanto a las operaciones fundamentales, Centeno (1988) afirma que la extensión de éstas desde los naturales hacia los números decimales requiere del planteamiento de nuevas situaciones didácticas que otorguen significado a dichas operaciones. En particular, dicha autora reconoce que el desarrollo de la división permite reorganizar las restantes operaciones y dar sentido pleno al orden de los números decimales. No menos importante para la comprensión de los decimales resulta que el sujeto del aprendizaje conozca muchas formas equivalentes de identificar un número decimal.

En contraste con el planteamiento anterior, Okazaki (2003) afirma que en el aprendizaje de las operaciones con números decimales, los estudiantes tienden a privilegiar los procedimientos algorítmicos asociados a dichas operaciones, permaneciendo relegadas las elaboraciones del pensamiento, las que requieren ser fortalecidas a través de una enseñanza pertinente.

Tomando en cuenta todo lo aportado por los mencionados investigadores, nosotros procuramos apoyarnos en estos aspectos a la hora de diseñar los problemas incorporados al cuestionario y a la entrevista, para lograr en ellos una presentación acorde con las posibilidades cognitivas de nuestros sujetos. Por otra parte, atendiendo a las reflexiones contenidas en los dos últimos párrafos, el análisis de los resultados de la presente investigación está orientado hacia la detección de los procesos de pensamiento que se desarrollan en la resolución de problemas aditivos y multiplicativos como para poder dar respuesta a los planteamientos diferenciados de Centeno (1988) y Okazaki (2003).

Con referencia a la familiaridad de los problemas, Bell, Swan y Taylor (1981) la atribuyen a la proximidad que los mismos guarden con la experiencia habitual de quien da solución a la tarea, Además, distinguen los problemas familiares de los problemas abstractos, resultando, los primeros, en una sencilla resolución, y los últimos son de complejo abordaje.

Por su parte, los investigadores abocados a la problemática educativa básica de los jóvenes y adultos afirman que tanto los conocimientos generales, como los conocimientos matemáticos a ser construidos institucionalmente por tales sujetos en proceso de formación elemental, deben partir del cúmulo previo de experiencias logradas en ámbitos no escolarizados, es decir, en los otros espacios vitales en los que se desenvuelven dichas personas y donde, desde un entorno familiar para el sujeto, se construye un saber estable y con sentido (MESSINA, 1993, GARCÍA CARRASCO, 1997, JÓIA, 1997, entre otros).

En coincidencia con lo destacado en último término, Gimeno y Pérez (1992), han caracterizado a las escenificaciones planteadas en el terreno didáctico como una reconstrucción crítica de la realidad (esta última expresión se ajusta al planteamiento de reconstrucción crítica de concepciones y experiencias de GIMENO y PÉREZ, 1992, a la par de coincidir con la reconstrucción de la realidad expresada por SCHWARTZ y JACOBS, 1984), lograda en un ámbito educativo y reproduciendo características fundamentales de aquélla. Todo ello brinda a los jóvenes y adultos un campo simbólico cargado de sentido para el planteamiento y resolución de problemas aplicando números decimales, en los que se planteen situaciones de su vida personal y comunitaria, razón por la cual incorporamos esta aportación en nuestro enfoque del caso de Francisca.

Broitman, Itzcovich y Quaranta (2003) consideran que las situaciones familiares para el sujeto del aprendizaje, en la escuela elemental, son las que involucran el cálculo con dinero y con medidas porque estos contenidos de los números decimales establecen nexos entre el saber previo de los alumnos y los nuevos significados que deberán construir; en especial, el cálculo con dinero posibilita el desarrollo de recursos y notaciones espontáneas de los estudiantes, en el tratamiento inicial de tales números. En nuestra interpretación de este planteamiento, el involucrar lo familiar ofrece un puente importante para la generación de sentido en el aprendizaje y la consiguiente comprensión de los contenidos matemáticos abordados.

Con respecto a la producción de sentido, Hunter y Anthony (2003) enfatizan la relevancia de llevar a cabo una enseñanza eficaz que propicie un ambiente adecuado para el aprendizaje matemático, donde el estudiante razone, fundamente sus elaboraciones, explore ideas alternativas, valide y re-organice su pensamiento. Nosotros consideramos que todo eso es alcanzable en el terreno de la resolución de problemas y en la realización de experiencias especiales como el tipo de entrevista que promovemos a través del presente estudio de caso.

Centeno (1988) plantea que los errores cometidos al hacer uso de los números decimales permiten un interesante acercamiento a cómo el sujeto cognoscente concibe dichos números y qué sentido les otorga, lo cual acentúa la relevancia que tiene una adecuada exploración de dichos errores. En lo fundamental, los errores vinculados a las dificultades de lectura y escritura numérica derivan en distorsiones asociadas al valor posicional de las cifras decimales (esto se evidencia, especialmente, cuando se trata de números menores que la unidad). Los errores asociados a la interpretación del cero se expresan por distintas vías, dependiendo del marco en el que aparezcan (en vinculación con la posición ocupada por el cero con respecto al número en el que se inserta). Son muy variados los errores ligados al orden de los decimales, siendo particularmente notorios aquéllos que suponen un desplazamiento de las ideas de orden desde los enteros hacia los decimales.

Centeno (1988) también destaca la relevancia de los errores asociados a las operaciones fundamentales, en torno a las cuales emergen concepciones tales como que al multiplicar se genera un producto mayor que los factores originales, por citar tan sólo un ejemplo notable.

Steinle y Stacey (2004) señalan que de los muchos errores reconocidos por la investigación previa, con respecto al uso de números decimales, el rasgo común a todos ellos es que tienden a expresarse como sistemáticos y predecibles; en otras palabras, esos rasgos identifican a los errores como lo contrario de manifestaciones casuales del sujeto cognoscente. A lo cual hay que agregar que, en el desarrollo de un estudio longitudinal llevado a cabo con cientos de estudiantes, Steinle y Stacey (2003) pudieron determinar que diferentes errores persisten a través del tiempo y de distintos niveles de escolaridad.

Asimismo, Boufi y Shaftouru (2002) conceden especial importancia a las condiciones colectivas e individuales en las que los errores emergen, en relación con la enseñanza impartida. Tal reconocimiento deriva de la circunstancia de que los mencionados investigadores consideran que el aprendizaje matemático es tanto social como individual, y que los aspectos relacionales del mismo son importantes.

Una vez más, los antedichos planteamientos en torno a los errores los tomamos en cuenta cuando diseñamos las tareas que integran el cuestionario y la entrevista. A nivel del análisis de los errores detectables en el desempeño de Francisca, procuramos establecer los nexos posibles entre estos últimos y los planteamientos contenidos en la presente sección.

El cuestionario exploratorio fue resuelto por diecisiete jóvenes y adultos de sexto, quinto y cuarto grados, para facilitarnos la selección de los casos a estudiar; ellos tenían edades comprendidas entre 15 y 70 años y desempañaban actividades laborales diversas (obreros, artesanos, vendedores ambulantes, dependientes de comercio, amas de casa y vigilantes).

De los cinco casos conformados, aquí tan sólo presentamos el de Francisca, con 19 anos de edad, en quinto grado de la escuela nocturna y empleada en una papelería. El perfil de ella correspondió al de una persona capaz de efectuar clasificaciones de distinta naturaleza, atender comercialmente diferentes demandas de los clientes, realizar el cálculo inicial del monto de cada una de sus ventas, efectuar pedidos a numerosos proveedores de la tienda, entre otras muchas actividades ocupacionales en las que se desarrollan múltiples procesos aritméticos. Escogimos a Francisca, a partir del cuestionario, porque ella exhibió, allí, resultados globalmente adecuados y presumiblemente cargados de significación, a la par de generar algunos errores que concitaron nuestro interés.

La investigación se realizó en una escuela primaria nocturna, en un barrio periférico de la Ciudad de México, situado al interior de una zona industrial habitada por trabajadores procedentes de varias regiones rurales del país y dedicados, con posterioridad, a otras ocupaciones. La escuela está conformada por pequeños grupos de adolescentes y adultos incorporados a los seis grados establecidos en todas las instituciones educativas de este tipo, las cuales pertenecen al sistema público escolarizado de enseñanza básica. Las actividades académicas se desarrollan de lunes a viernes, durante dos horas diarias.

Para legitimar el cuestionario se ejercieron controles cruzados entre dos observadores. Esencialmente, los controles cruzados consisten en el contraste entre dos fuentes distintas de observación para llegar a constatar la persistencia y equilibrio de lo observado, con lo cual se verifica su consistencia (de acuerdo con TAYLOR; BOGDAN, 1987).

Para validar las entrevistas, nosotros decidimos triangular distintos procesos de solución desplegados por Francisca ante problemas aritméticos con números decimales que presentasen una organización similar entre sí. Para ello, apelamos a una triangulación mixta consistente en la comparación entre los diversos métodos usados, los cambios registrados en diferentes momentos de la experiencia de campo y distintas tareas aritméticas desarrolladas (TAYLOR; BOGDAN, 1987; WOODS, 1987; COHEN; MANION, 1990).

Esta information la presentamos brevemente en la Figura 1, la cual incluye tanto las tareas aritméticas integradas al cuestionario como las respectivas producciones de la estudiante que constituye nuestro caso, respuestas finales que hemos distinguido al subrayarlas, además de escribirlas con grafías itálicas. Cabe mencionar que en todas las tareas y en su análisis se incluyen las posiciones decimales precedidas por un punto decimal (no por una coma decimal), ya que la primera de estas opciones es la convención adoptada en México y múltiples países (Inglaterra, Estados Unidos, Canadá, Tailandia, Japón, entre otros).

Esos ocho problemas tienen el objetivo de: explorar las relaciones de orden entre decimales (Tareas 1 y 2), la sustracción (Tarea 3), la adición (Tarea 4), la multiplicación (Tarea 5), la división (Tarea 6), la lectura adecuada de determinada notación decimal (Tarea 7) y la escritura correcta de cierta expresión decimal (Tarea 8). En seis de estas actividades se usan medidas de distinto tipo; los dos ítems restantes involucran la utilización del dinero. Además, se incluyen algunas dificultades de cálculo: el involucramiento del cero antes del punto decimal, en las medidas dadas por el problema (Tareas 3 y 4) y la obtención de un cociente por parte de la estudiante, el que también se inicia con cero antes del punto decimal (Tarea 6).

Esta sección está destinada al análisis de la información recogida aquí, ya sea mediante la interpretación de las correspondientes expresiones y algoritmos escritos o escogidos por Francisca (los que en la Figura 1 transcribimos con grafías itálicas y negritas, además de subrayar las mencionadas expresiones) o del planteamiento de nuestros supuestos ligados al cuestionario exploratorio, los que deberían ser confirmadas a posteriori.

En general, el desempeño de Francisca en el cuestionario fue adecuado, aunque incurrió en tres errores cuya naturaleza comentamos seguidamente. Advertirá el lector que la prueba de lápiz y papel nos permitió seguir más de cerca las elaboraciones de la joven en lo referente a los errores, donde dispusimos de más evidencias (en este instrumento).

El primer error fue planteado en la Tarea 1, donde ella procedió adecuadamente en el ordenamiento de las estaturas, pero invirtió el sentido del mismo, el que debía plantearse de mayor a menor y Francisca lo efectuó de menor a mayor; no parece haber aquí más que un descuido de su atención con respecto a las condiciones requeridas en este problema.

El segundo error lo presentó Francisca ante la Tarea 3, en la que desarrolló correctamente el algoritmo de la sustracción pero no respetó el señalamiento del punto decimal en la diferencia resultante, lo que la condujo a reconocer como solución final del problema a 62 m (o sea, 62 metros), sin que esto llamase su atención ni la indujera a rectificar el señalado resultado. Ante esta dificultad de lectura (la cual se expresa en la interpretación de los datos numéricos dados en el problema, así como de los obtenidos al aplicar el algoritmo), formulamos el supuesto de que, tal vez, las dudas generadas por el despliegue del algoritmo las procuró resolver, evadiendo los números decimales a través de un malogrado intento de establecer una correspondencia con los números naturales para dar sentido a la situación indicada en el problema, sin lograrlo (véase en la Figura 1 que ella no escribe 62 centímetros sino 62 metros). De acuerdo con las distinciones de Centeno (1988) en torno a los errores fundamentales detectados en la investigación previa, una clave de esta distorsión la constituye el ignorar la presencia del punto decimal, interpretando a partir de ello que el cero situado a la izquierda de dichas medidas es irrelevante. Presumiblemente, al desconocer Francisca el cero seguido del punto decimal en el resultado del algoritmo, suprimió el reconocimiento de una parte entera (expresada por el cero) y de una parte decimal en tal número, manteniendo, así, la designación final de metros.

Al triangular las tareas de naturaleza análoga, nos llamó la atención el contraste entre las Tareas 3 y 4, ya que, en esta última, lo escrito por la joven fue adecuado (0.76 m), aunque esas medidas estaban conformadas, de modo similar, a las de la Tarea 3 (es decir, la parte entera de esos números estaba representada por el cero). Supuestamente, por tratarse de medidas ligadas al cuerpo humano y por eso, ser más familiares para ella (en la Tarea 4), Francisca efectuó una adecuada interpretación y resolución de la suma de decimales involucrada en el mencionado problema; esta situación la consideramos ligada al escrito de Freudenthal (1983), quien señala que el primer instrumento de medida que él ha identificado en los niños son los pasos, agregando a ello que hay una gran variedad de instrumentos de medida vinculados con el cuerpo humano tales como pulgadas, dedos, palmas, pies, entre muchos otros, los que son frecuentemente usados por los adultos, en distintas culturas.

El tercer error correspondió a la Tarea 7 de la Figura 1, en la que la joven escogió, (de acuerdo a las convenciones de México), la lectura adecuada del decimal: ocho kilómetros, ciento ochenta y cinco metros, conforme al sentido nacionalmente otorgado al punto decimal. Al mismo tiempo, canceló dicha respuesta escogida, al seleccionar también la expresión que corresponde a la lectura de un número natural: ocho mil ciento ochenta y cinco kilómetros (según las ya aludidas convenciones). Tal vez, Francisca se apoyó en una indebida interpretación de la expresión decimal dada como si fuese un entero positivo (véase la Figura 1). En ello, supuestamente consideró equivalentes la adecuada expresión decimal y la del número natural incorrecto de la Tarea 7; de ser así, nuevamente distorsionó la muchacha el sentido del punto decimal inserto en el número, al comienzo de este problema aritmético, aunque el cero no precedió aquí al punto decimal.

Con respecto a las demás tareas del cuestionario, la joven comparó satisfactoriamente dos distancias y estableció cuál de ellas era la mayor (Tarea 2), multiplicó y dividió correctamente los números decimales involucrados en los respectivos problemas (Tareas 5 y 6). En la Tarea 8, Francisca escogió la cantidad de dinero adecuada y la expresó en pesos y centavos para hacerla corresponder a la lectura indicada; el uso de la moneda fue para ella muy frecuente debido a sus actividades laborales en la papelería, situación que no sólo la identifica como la persona que ejerce cierto trabajo en la sociedad de la que forma parte, sino que revela su condición de joven adulta en proceso de formación matemática básica. Al triangular las actividades del cuestionario, contrastando el acierto de la Tarea 8 con el error de la Tarea 7, interpretamos que el uso del dinero le facilitó optar por la expresión numérica correcta y fijar adecuadamente el punto decimal, circunstancia que permite corroborar cuán importante es la familiaridad que presente cierta tarea para que ésta resulte satisfactoriamente resuelta.

En la entrevista se reconstruyeron las Tareas 3, 4, 5 y 6 del cuestionario (a las que hemos designado como las Tareas A, B, C y D de la entrevista), con el propósito de ampliar la información que habíamos reunido en ellas originariamente, en torno a la adición, sustracción, multiplicación y división de números decimales, intentando constatar los supuestos derivadas del cuestionario. Además, se incluyeron otros cuatro problemas; en dos de estas nuevas tareas Francisca tuvo que comparar entre sí algunas medidas, en tanto que en las dos tareas restantes la entrevistada elaboró problemas, aplicando una suma y una resta de decimales, con el propósito de que ella pudiera evidenciar qué referentes concretos son de mayor relevancia, en su caso. Véase en la Figura 2 cada nuevo problema y su respectiva respuesta final.

La dinámica global de la entrevista consistió en la presentación de cada uno de los ocho problemas incluidos en este instrumento, solicitándosele a Francisca que los leyera en voz alta para confirmar qué procesos de decodificación de los decimales desarrollaba. Luego, ella reflexionaba en silencio y escribía una operación cuando no la podía resolver mentalmente, comunicando, después los cálculos efectuados, para establecer el resultado de la tarea. El diálogo que promovía la entrevistadora consistía en explorar las dificultades cognitivas que eventualmente hubiese enfrentado la entrevistada, a la par que le requería a ésta justificar sus respuestas. Por último, la entrevistadora le pedía a la joven que escribiera lo que ya había expresado oralmente. A pesar de que el desenvolvimiento de Francisca en la entrevista fue globalmente atento y cuidadoso, incurrió en algunos errores de naturaleza diversa (de escritura y de lectura de decimales, de interpretación del punto decimal, entre los más importantes). La joven entrevistada dio muestras de que los problemas le resultaban casi siempre familiares y los resolvió comúnmente con soltura.

En las cuatro tareas del cuestionario reconstruidas en la primera sesión de trabajo de este instrumento, ella seleccionó de modo adecuado las operaciones idóneas para cada problema y, casi siempre, las resolvió correctamente. Asimismo, algunos de los errores cometidos por Francisca en el cuestionario reaparecieron en la lectura de decimales asociados a la medida de las patas de las mesas, expresadas por Francisca como cero setenta y cinco metros y la mención de producir una nueva mesa cuyas patas midan cero trece metros menos, lo cual fue expresado por la joven como cero trece metros menos [extensa pausa]… voy a restar trece metros (Tarea A de la entrevista, Tarea 3 del cuestionario). La entrevistadora introdujo, entonces, la convención nacional en torno a la lectura de esas expresiones decimales y, a partir de ello, Francisca re-significó esas notaciones y se esforzó por tomar en cuenta dicha convención (aunque no siempre lo logró, en el transcurso del diálogo de la entrevista).

En los dos problemas exclusivos de la entrevista, en los que Francisca debía comparar medidas (Tareas E y F), surgieron referencias a una medida entera en la justificación de la primera actividad (por conversión de 1 metro en 100 centímetros) y, en la segunda situación, una comparación con una fracción (allí donde Francisca reconoció implícitamente como equivalentes 0.5 litro y medio litro). Estos espontáneos procesos de significación que le permitieron a la entrevistada otorgar sentido a los decimales (en asociación con los números naturales o con las fracciones) están también ligados a otras respuestas de la entrevista.

En la Tarea D de la entrevista (Tarea 6 del cuestionario, donde tuvo una respuesta decimal adecuada) fueron notorias las dificultades de lectura de Francisca respecto a 1.5 litro de laca, pero mayor fue el conflicto cognitivo manifiesto en la aplicación del algoritmo de la división de decimales. El diálogo que sostuvo con la entrevistadora permitió a la joven, luego de prolongados silencios, dividir quince entre cinco [según ella expresó y realizó luego un cálculo mental] … es 3 … [la entrevistadora preguntó: ¿tres? … la tercera parte… [la entrevistadora nuevamente preguntó: ¿tercera parte de qué?] … de litro y medio, respondió Francisca, con esfuerzo, después de hacer la conversión de la parte decimal de 1.5 a expresión fraccionaria; así, Francisca re-significó adecuadamente el número dado en esta tarea.

En las dos actividades de la entrevista en las que le pedimos a la muchacha la elaboración de problemas verbales (Tareas G y H). La entrevistada seleccionó, en primer término, una situación de uso de dinero (Tarea G), en tanto que en el problema de medición que ella ideó se evidenciaron algunas dificultades asociadas tanto a la configuración del texto como a la designación y lectura de los correspondientes decimales.

A continuación, ante la imposibilidad de presentar todo el diálogo desarrollado en la entrevista, tan sólo reproducimos, con mayor detalle, la tarea en la que los intercambios verbales son más extensos y donde se destacan procesos importantes de elaboración o asignación de sentido a los números decimales, tanto como ciertas dificultades cognitivas y algunos errores evidenciados por la entrevistada. Para presentar los pasajes selectos de la entrevista, hemos tenido que respetar la integración natural del diálogo abajo transcripto.