El uso de la tecnología en la enseñanza de la estadística ha sido reconocido, entre otros, por Pratt, Davies y Connor (2011), que destacan la reducción del tiempo de cálculo y la ampliación del tipo de gráficos que el alumno puede realizar interactivamente. Igualmente, señalan la posibilidad de trabajar con proyectos, en que el alumno parte de un problema de investigación y completa todos los pasos de una investigación. Este tipo de trabajo fomenta los componentes del razonamiento estadístico: reconocimiento de la necesidad de datos, percepción de la variación, transnumeración, uso de modelos estadísticos e integración de la estadística y el contexto (WILD; PFANNKUCH, 1999).

Además, si se trabaja con datos reales, como en el caso del proyecto usado en este trabajo, se potencia la interdisciplinariedad en clase de estadística, permitiendo aprender contenidos que no se adquieren habitualmente con problemas tomados de los libros de texto (HALL, 2011). Al facilitar el cálculo y la representación gráfica, la tecnología disminuye el problema tradicional en la enseñanza de la estadística en cuanto al desfase entre la comprensión de los conceptos y los medios técnicos de cálculo para poder aplicarlos (BATANERO; BOROVCNIK, 2016).

Otra aplicación, característica del uso de la tecnología, es la simulación y visualización (BIEHLER et al., 2013). Las representaciones icónicas de conceptos (por ejemplo, la desviación de los puntos de un diagrama de dispersión a la recta de regresión) pueden ayudar a los estudiantes a pensar a través de modelos concretos, cuando todavía no son capaces de generalizar sus ideas matemáticas. Por otro lado, permiten explorar objetos abstractos, creando micromundos virtuales donde los estudiantes pueden experimentar con las diferentes variables que intervienen. Fernandes, Batanero, Contreras y Díaz (2009) añaden el interés de la simulación en el aprendizaje de la modelización, pues una simulación es ya un modelo matemático (al haber simplificado la realidad), pero es menos abstracto que el modelo matemático y constituye un puente entre éste y la realidad (EICHLER; VOGEL, 2014).

Hoy en día, hay una amplia línea de investigación centrada en el análisis del conocimiento requerido por el profesor para la enseñanza de las matemáticas (descrita, por ejemplo, en BLÖMEKE et al., 2014; LLINARES; KRAINER, 2006; TATTO; SENK, 2011).

Dentro de esta línea de investigación, algunos autores tienen en cuenta los conocimientos específicos que necesita el profesor para enseñar con apoyo de la tecnología. Así, Lee y Hollebrands (2011) adaptan a la estadística el modelo de Niess (2005), que toma de Shulman (1986), que incluye el Conocimiento del Contenido (CC) y Conocimiento Pedagógico (CP) y añade el Conocimiento Tecnológico (CT), y tiene en cuenta todas las posibles intersecciones de estos tres componentes (Figura 1), de entre las que destacamos:

Siguiendo este modelo, en este trabajo analizamos específicamente el conocimiento tecnológico del contenido sobre la correlación y regresión (que sería una parte del CTC). Específicamente, analizamos su conocimiento del ajuste de modelos de regresión utilizando la hoja Excel, que es el recurso didáctico específicamente sugerido en el currículo español (MECD, 2015). Puesto que el CTC es intersección del conocimiento tecnológico (CT) con el conocimiento del contenido (CC), en este trabajo, indirectamente, también se describe el conocimiento sobre la correlación y regresión de los futuros profesores.

El estudio se desarrolló en un curso del Máster de Formación del Profesorado de Educación Secundaria y Bachillerato, especialidad de matemáticas, que tiene un año de duración y es obligatorio para todos los que quieren concursar para una plaza de profesor de matemáticas de secundaria, en España. El máster consta de un total de sesenta créditos (cada crédito corresponde a veinticinco horas de trabajo, incluyendo docencia en el aula y trabajo personal del alumno). Estos créditos se dividen en doce créditos de materias de Psicología y Didáctica General, seis de complementos de matemática, doce de Enseñanza y Aprendizaje de las Matemáticas, seis de Innovación Docente en Matemáticas, ocho de libre disposición (atención a la especificidad del alumnado o gestión educativa, así como de otros másteres), diez de prácticas en el aula y seis de elaboración de un trabajo fin de Máster.

La muestra estuvo constituida por un grupo de veinticinco estudiantes, quienes fueron informados de la finalidad del estudio, y cedieron sus datos voluntariamente. Sólo 14 (56%) de ellos eran licenciados en Matemáticas o Estadística y el resto habían cursado ingenierías, arquitectura u otras ramas de ciencias. Todos habían cursado una o más asignaturas de estadística y quince (50%) tenían experiencia de enseñanza en colegios privados o clases particulares. Todos ellos conocían el manejo de la hoja Excel, cuyo aprendizaje es recomendado en la enseñanza de las matemáticas en el currículo español (MECD, 2015).

La recogida de datos se llevó a cabo como parte de un taller formativo realizado dentro de la asignatura de Innovación Docente en Matemáticas, único curso en que los estudiantes trabajan con la tecnología. Se dedicaron tres sesiones de dos horas cada una, de las cuales las dos primeras estaban dirigidas a describir y desarrollar el Conocimiento tecnológico del contenido (CTC) sobre la correlación y regresión de los participantes, mientras la tercera estuvo dedicada a describir y desarrollar su Conocimiento tecnológico-pedagógico del contenido (CTPC) sobre el tema.

En estas sesiones se trabajó con un proyecto estadístico, alrededor de una pregunta de investigación (¿Cuáles son los factores que más influyen en la esperanza de vida al nacer en un país?) que permitió plantear diferentes tareas. Los datos para este proyecto se tomaron de los utilizados en la elaboración de los Informes sobre Desarrollo Humano por las Naciones Unidas (ONU, 2016)., que están disponibles en su servidor (http://hdr.undp.org/es/data).

Las variables utilizadas en el proyecto son indicadores internacionales de desarrollo humano y, al seleccionarlas, se trató de no limitar la relación de dependencia entre las variables a la regresión lineal e incluir otros modelos de ajuste con funciones que se estudian en la Educación Secundaria. Igualmente, se brindó la posibilidad de observar el signo positivo y negativo y los diferentes grados de intensidad en la correlación.

El formador proporcionó a los futuros profesores una hoja Excel que contenía los datos correspondientes a las variables del fichero que ofrece el servidor de las Naciones Unidas, junto con los resúmenes estadísticos de su distribución y algunos gráficos. El formador de profesores recordó a los participantes las herramientas de regresión de Excel realizando preguntas para comprobar su conocimiento previo sobre el programa y mejorarlo en aquel que hubiesen olvidado, utilizando como ejemplo la primera de las variables independientes (Cuadro 1). Dichas herramientas permiten visualizar, junto con el diagrama de dispersión, diferentes funciones de ajuste junto con su expresión algebraica y el valor del coeficiente de determinación. Se consideran los modelos exponencial, lineal, logarítmico, polinómico (grado 2 a 6) o potencial.

Sobre el proyecto trabajado en el aula, se propusieron a los futuros profesores tres tareas sobre el uso de la tecnología en el tema de correlación y regresión que se muestran en el Cuadro 1.

El objetivo general de la investigación se descompuso en dos objetivos específicos a los que se trata de responder mediante las tareas propuestas:

O1. Describir el Conocimiento Tecnológico del Contenido (CTC) de los futuros profesores para ajustar un modelo de regresión para cada una de las variables independientes, utilizando la hoja Excel, así como identificar aquella que mejor describa a la esperanza de vida (Tareas 1 y 2).

Indirectamente, se pretendía reforzar en los futuros profesores el conocimiento de la herramienta que proporciona Excel, muy sencilla de utilizar para el estudio de la correlación y regresión, no sólo lineal, pues incluye diversas funciones de ajuste. Asimismo, las dos tareas permiten, indirectamente, reforzar el Conocimiento del Contenido (CC) de los futuros profesores; específicamente sobre la regresión, análisis del coeficiente de determinación, como medida de la bondad del ajuste, y la proporción de la varianza explicada por el modelo. Igualmente, se encuentra latente en ambas tareas el análisis de la correlación pues se pide a los participantes reflexionar sobre la conveniencia del uso de la función de ajuste obtenida para predecir una variable.

De este modo, los participantes tuvieron ocasión de relacionar los valores del coeficiente de correlación y de determinación en casos en que la dependencia fuese o no lineal. En cualquiera de estas dos tareas, para decidir el mejor ajuste, se toma en cuenta la simplicidad de la expresión y la mejora sustancial de la precisión, es decir, el incremento del valor del coeficiente de determinación. Asimismo, se refuerza su conocimiento del contenido de diversas funciones elementales y del significado de sus parámetros, así como la interpretación del coeficiente de determinación para valorar el ajuste de diferentes modelos matemáticos.

Mientras en la Tarea 1 se trabaja con la principal variable del proyecto, en la Tarea 2 se propone a los participantes cambiar la variable dependiente y repetir el análisis con la finalidad de promover su creatividad en la formulación de nuevos problemas y su iniciativa en el trabajo autónomo con variables de su interés.

O2: Describir y desarrollar algunos elementos del Conocimiento Tecnológico-Pedagógico del Contenido (CTPC) sobre correlación y regresión de los futuros profesores.

Para lograr este objetivo, la Tarea 3 ofrece al futuro profesor espacios de investigación y reflexión, para poder elegir sus propios datos, analizarlos y establecer conclusiones sobre otras variables disponibles en la web de las Naciones Unidas. En particular, se trata de desarrollar su capacidad de elaboración de proyectos de estadística en que pueda trabajarse el tema; dichos proyectos son recomendados para el trabajo con estadística en las orientaciones curriculares españolas (MECD, 2015).

Como ayuda en esta tarea, el formador de profesores mostró a los participantes el servidor, y explicó la forma en que podrían elegirse variables para introducirlas en la hoja Excel, al igual que se había hecho con la utilizadas en el proyecto. El formador resaltó la cantidad de variables disponibles para analizar su posible dependencia con la esperanza de vida, o plantear nuevos estudios. También explicó que este es sólo uno de los muchos servidores que proporcionan datos. Se explicó que en el trabajo con estudiantes de Bachillerato, el objetivo es que el estudiante formule nuevas preguntas que requieran disponer de datos para resolverlas, desarrollando su razonamiento estadístico. También se espera que conozcan mejor la forma en que se recogen estas variables, y aprecien la complejidad del proceso de elaboración de las estadísticas demográficas o económicas, así como la utilidad de la información que aportan para el desarrollo de un país. Todas las explicaciones del formador de profesores fueron complementadas con presentaciones de Power Point que describían el uso de la tecnología y que se pusieron a disposición de los participantes.

La descripción y desarrollo de este conocimiento fue objeto del objetivo específico O1 y se aborda mediante el análisis de las dos primeras tareas que se realiza a continuación.

En la Actividad 3, quince de los veinticinco participantes seleccionaron nuevos datos del servidor de las Naciones Unidas y los descargaron en la hoja Excel para realizar nuevos estudios de correlación y regresión, mostrando, por tanto, su Conocimiento Tecnológico-Pedagógico del Contenido (CTPC) sobre correlación y regresión. Fueron menos que los que realizaron las actividades anteriores, pues resultó más complicado el obtener nuevos datos y exportarlos para tratarlos con Excel. Encontraríamos en este sentido una carencia en el conocimiento tecnológico en general (NIESS, 2005), es decir, de la obtención de datos de Internet y su exportación a formato Excel de dichos participantes, que les puede dificultar la enseñanza de la estadística por medio de proyectos que tengan como base obtener datos reales desde Internet.

Los participantes que completaron la actividad eligieron diferentes variables como dependiente; generalmente, el futuro profesor elige una sola y la cruza con varias independientes, como vemos en el Cuadro 2, donde, en la primera columna indicamos la variable dependiente y en la segunda, todas las independientes analizadas por el mismo participante. Seis de ellos usan variables proporcionadas por el formador como dependientes, pero la cruzan con nuevas variables, cuyos datos han descargado del servidor de las Naciones Unidas; entre ellas, variables relacionadas con la educación, la medida de la pobreza o el empleo. Así, IE selecciona siete variables independientes, nuevas, sobre igualdad de género, que cruza con el índice de desarrollo humano y obtiene todos los modelos de regresión correctamente, aunque no comenta sus conclusiones.

Once futuros profesores proponen otros temas de estudio, relacionados con la igualdad de género, como por ejemplo JP, quien toma como variable dependiente la proporción de mujeres en el parlamento y HD, quien relaciona la mortalidad infantil con varios indicadores de igualdad de género. Por su parte, GO elige como campo la investigación y el desarrollo tecnológico, tomando como variable dependiente el gasto en I+D+i, y una serie de variables independientes relacionadas con la tecnología e investigación.

Observamos un interés por el empleo y la educación en estos participantes. Así, JPA y VC relacionan el índice de ingresos con varias variables educativas; y AA analiza la tasa de empleo en función de varios indicadores de desigualdad de género, educación y confianza en diversas instituciones. Incluso, un participante se interesa por explicar los resultados de los estudios PISA, analizando las puntuaciones en matemáticas, comprensión lectora y ciencias respecto al abandono en la Educación Secundaria, como expone en sus comentarios:

En resumen, este grupo de futuros profesores ha mostrado, no sólo conocimiento tecnológico para seleccionar diferentes datos del servidor de las Naciones Unidas, sino también conocimiento del contexto para seleccionar variables relevantes, que les sirvan para estudiar fenómenos de su interés, planteando y resolviendo nuevos problemas. Con todo ello, muestran un alto grado de conocimiento del contenido estadístico, y en particular, de la correlación y regresión; asimismo, conocimiento tecnológico-pedagógico del contenido, pues muestran la competencia para proponer nuevas investigaciones que pueden servir de base a la enseñanza de la estadística mediante proyectos que es, hoy, recomendada en las orientaciones curriculares (FRANKLIN et al., 2007; MECD, 2015).