A estimativa se faz presente em diversas situações cotidianas nas quais podem ser realizados cálculos rápidos e aproximados de uma quantidade, podendo ser utilizada tanto por crianças quanto por adultos. É possível perceber a estimativa em algumas situações diárias como, por exemplo, para se ter uma ideia da distância entre dois lugares, para saber em quanto tempo chegamos em casa ou para se ter uma noção aproximada do valor total gasto no supermercado. Percebemos com esses exemplos que a estimativa é fundamental para as habilidades matemáticas básicas, como cálculos aritméticos.

Pesquisas na área têm verificado a importância da estimativa numérica para o desempenho em Matemática (SIEGLER; BOOTH, 2004; BOOTH; SIEGLER, 2006; LASKI; SIEGLER, 2007; MULDOON; SIMMS; TOWSE; MENZIES; YUE, 2011; LINK; NUERK; MOELLER, 2014; MOORE; ASHCRAFT, 2015), indicando que as crianças desenvolvem o entendimento de número, quantidade e relações numéricas desde muito cedo. Nesse sentido, a representação mental de número das crianças auxilia na avaliação dessas habilidades numéricas. Autores sugerem que essas representações são realizadas por meio de uma reta numérica mental, na qual os números são ordenados de acordo com sua magnitude e as comparações entre eles podem ser feitas estimando-se mentalmente sua localização na reta numérica (LASKI; SIEGLER, 2007; LINK et al., 2014; FRISO-VAN DEN BOS; KROESBERGEN; VAN LUIT; XENIDOU-DERVOU; JONKMAN; VAN DER SCHOOT; VAN LIESHOUT, 2015). Assim, a tradução de números em posições na reta numérica fornece informações sobre suas representações mentais de magnitudes numéricas, por isso um instrumento comumente utilizado para verificar tais representações é a tarefa de estimativa na reta numérica (SIEGLER; THOMPSON; OPFER, 2009; FRISO-VAN DEN BOS et al., 2015).

A representação mental dos números e o seu desenvolvimento têm sido assunto de muitas pesquisas já que é considerado de grande importância para a aquisição do conhecimento matemático. Os estudos sobre as representações numéricas mentais e de como elas influenciam a capacidade de estimativa começaram com a Lei de Weber-Fechner, a qual descreve a relação existente entre a magnitude física de um estímulo e a intensidade do estímulo que é percebida, ou seja, descreve a resposta do indivíduo a um estímulo físico de uma maneira quantitativa (SIEGLER; OPFER, 2003; XU; CHEN; PAN; LI, 2013).

Uma das tarefas comumente utilizadas para avaliar a representação numérica é a tarefa de estimativa na reta numérica, na qual os participantes são solicitados a estimar a localização de um número em uma linha geralmente delimitada pelos valores 0 à esquerda e 100 à direita. Esta tarefa auxiliou pesquisadores em estudos sobre os modelos de representações numéricas. Dehaene (1997) propôs o Modelo Logarítmico (Figura 1A), o qual sugere que as crianças aumentam as distâncias entre os números menores e diminuem as distâncias entre os números maiores, por exemplo, a distância representada entre 10 e 20 será maior do que a distância representada entre 80 e 90.

Um estudo realizado por Siegler e Opfer (2003) utilizou duas tarefas na reta numérica, a tarefa número-posição (estimar a localização de um número na reta numérica) e a tarefa posição-número (estimar um número a partir de sua localização na reta numérica), com 32 crianças de Educação Infantil, 2°, 4° e 6° anos do Ensino Fundamental. Esse estudo indicou que as precisões das estimativas melhoram conforme a idade da criança, porém entre as tarefas houve diferença na distribuição das precisões. A tarefa número-posição apresentou uma distribuição logarítmica e a tarefa posição-número, uma distribuição exponencial, que é oposta à logarítmica (menores distâncias entre números menores e maiores distâncias entre números maiores).

Em seguida, Siegler e Booth (2004) identificaram que as crianças passam de uma representação logarítmica para uma representação linear de acordo com o intervalo numérico que está sendo avaliado (SIEGLER; OPFER, 2003; SIEGLER; BOOTH, 2004; BOOTH; SIEGLER, 2006; LASKI; SIEGLER, 2007). Os autores avaliaram 85 crianças de Educação Infantil, 1° e 2° anos do Ensino Fundamental. A representação linear (Figura 1A) sugere que as distâncias representadas entre os números se mantêm proporcionais, independente da magnitude numérica. Portanto, conforme aumentam os anos escolares e as crianças ficam mais velhas, mais lineares se tornam as suas representações dos números na reta numérica, ou seja, as crianças tendem a manter distâncias proporcionais entre os números e isso é explicado pelos autores pela familiaridade das crianças com o intervalo numérico proposto.

Nos últimos anos, pesquisadores propuseram modelos alternativos de representação numérica como, por exemplo, o Modelo Duplo Linear (Figura 1B), proposto por Ebersbach e colaboradores (2008), no qual eles indicam que a representação é segmentada em duas representações lineares separadas por um determinado número; isto é, as crianças representam mais precisamente a localização dos números que são conhecidos para elas e mantém as distâncias proporcionais entre eles até o ponto de separação entre as representações. A partir desse ponto, as crianças diminuem as distâncias representadas entre os números que são desconhecidos para elas, mas essas distâncias continuam proporcionais entre si. Por exemplo, supondo que o ponto de separação entre as duas representações seja o número 10, as crianças irão localizar com maior precisão os números abaixo de 10, mas serão menos precisas com os números acima de 10. Porém, ambas as representações apresentarão o comportamento linear, isto é, as distâncias entre os números serão proporcionais entre si, sendo representadas em proporção maior para os números acima de 10, nesse caso.

Os autores explicam que esse ponto de separação está associado à familiaridade das crianças com os números que estão sendo avaliados. Esse modelo também é proposto por Moeller e colaboradores (2009), porém, esses autores indicam que o ponto de separação entre as representações se dá pelos números de um dígito e números de dois dígitos.

Por outro lado, Barth e Paladino (2011) propuseram as versões de um e de dois ciclos do Modelo Proporcional. Neste modelo, marcados os pontos das extremidades da reta, por exemplo 0 e 100, as crianças marcam o ponto central, no caso 50, estimando melhor a posição de números abaixo da metade e estimando pior os números que ficam acima da metade, na versão de um ciclo (Figura 1C). Já na versão de dois ciclos (Figura 1D), os autores explicam que, marcadas as extremidades 0 e 100, as crianças marcam os quartis 25, 50 e 75 e obtêm um bom desempenho de estimativa entre 0 e 25 e entre 50 e 75, porém o desempenho não é tão bom entre 25 e 50 e entre 75 e 100. Esses estudos evidenciam a versão de um ciclo em crianças de 5 anos de idade e a versão de dois ciclos em crianças de 6 a 8 anos de idade.

Um estudo recente de Dackermann e colaboradores (2015) propõe uma integração desses modelos, a qual compartilhamos (DORNELES; DURO; RIOS; NOGUES; PEREIRA, 2017) na presente pesquisa. Essa ideia de integração indica que esses modelos são complementares, pois cada um provê uma maneira de compreender a representação de estimativa na reta numérica em um determinado momento do desenvolvimento. Os autores sugerem que os padrões de representação de estimativa na reta numérica refletem diferentes estágios de desenvolvimento da compreensão das crianças sobre a estrutura do sistema numérico e do valor-posicional, bem como as relações de proporção entre os números.

Dessa maneira, o modelo de integração sugere que aspectos de cada um dos modelos de representação na reta numérica sejam levados em consideração. Assim, é proposto que esses padrões de representação dependem do intervalo numérico sendo avaliado, da idade das crianças e da familiaridade com esse intervalo (SIEGLER; BOOTH, 2004; BOOTH; SIEGLER, 2006) e que o desconhecimento das crianças de grandes magnitudes numéricas pode influenciar a capacidade delas de estimar (EBERSBACH; LUWEL; FRICK; ONGHENA; VERSCHAFFEL, 2008). Portanto, conforme o aumento dos anos escolares, a compreensão das crianças sobre a estrutura do sistema numérico o do valor-posicional parece influenciar mais fortemente os padrões de estimativa (MOELLER; PIXNER; KAUFMANN; NUERK, 2009). Deste modo, somente depois das crianças estarem familiarizadas com o intervalo numérico que será avaliado e dominarem a estrutura de valor-posicional do sistema numérico, parece ser mais vantajoso basear-se em estratégias de julgamento-proporcional, como indicado pelos modelos de um e de dois ciclos sugeridos por Barth e Paladino (2011).

Assim, os autores do modelo de integração consideram que tanto os aspectos conceituais, como a familiaridade com os números, quanto os aspectos de procedimento, como os julgamentos de proporção, permitem uma compreensão mais abrangente do desenvolvimento das crianças em estimativa na reta numérica. Essa ideia de integrar os modelos parece ser relevante, também, para as relações entre o desempenho em estimativa numérica e o desempenho em matemática (DACKERMANN; HUBER; BAHNMUELLER; NUERK; MOELLER, 2015).

No presente estudo avaliou-se o desempenho de um grupo de alunos de 3° e 4° anos do Ensino Fundamental em duas tarefas de estimativa numérica e verificou-se em qual tarefa esses estudantes apresentaram melhor precisão de estimativa e o modelo de distribuição que melhor se adequa às estimativas dos participantes. A escolha por esses anos escolares se justifica pela proximidade das idades e pelos estudantes estarem em momentos da aprendizagem muito semelhantes em relação aos conteúdos curriculares, especialmente em relação ao conhecimento numérico.

Esta pesquisa, realizada de forma transversal, teve como objetivo verificar o desempenho de um grupo de alunos do 3° e 4° anos do Ensino Fundamental em duas tarefas de estimativa numérica: a número-posição e a posição-número, bem como verificar o modelo de distribuição mais adequado ao desempenho desses estudantes.

O presente estudo teve como objetivo verificar a capacidade de estimativa de um grupo de alunos de 3° e 4° anos do Ensino Fundamental. As precisões dos alunos foram avaliadas por duas tarefas de estimativa na reta numérica, a NP e a PN, e foram analisadas as distribuições das precisões dos alunos de acordo com os modelos logarítmico e linear de representação.

Entre os anos escolares avaliados, a média de idades não apresentou diferença estatisticamente significativa para as tarefas avaliadas e há pouca diferença em relação ao conhecimento numérico por parte das crianças. Entretanto, o desempenho nas tarefas de estimativa numérica apresentou diferença significativa entre os 3° e 4° anos escolares. Assim, sugere-se que a experiência e o aumento da escolaridade apuram a acurácia nesse tipo de tarefa, como encontrado em estudos anteriores (SIEGLER; OPFER, 2003; BOOTH; SIEGLER, 2006, LASKI; SIEGLER, 2007).

Conforme as crianças ficam mais velhas, suas precisões na tarefa de estimativa numérica são cada vez melhores. A precisão melhora em consequência de as crianças adquirirem maior entendimento sobre número e suas relações, aprenderem que os números maiores se posicionam mais à direita na reta numérica e que a distância entre 10 e 20 é a mesma entre 80 e 90, por exemplo (LASKI; SIEGLER, 2007; FRISO-VAN DEN BOS et al., 2015). Essa acurácia mais desenvolvida resulta em associações mais lineares, entre as posições dos números e seus valores reais e quanto mais precisas e lineares são as estimativas, melhor o desempenho em tarefas de Matemática (FRISO-VAN DEN BOS et al., 2015).

A partir dos resultados encontrados, foi possível verificar associação entre o desempenho das crianças nas duas tarefas de estimativa numérica, isto é, os participantes que apresentaram bom desempenho na tarefa NP também apresentaram bom desempenho na tarefa PN. Quando analisadas as distribuições das estimativas, encontrou-se que em ambas as tarefas as crianças apresentaram médias de estimativa de acordo com o Modelo Linear, contrastando com o estudo de Siegler e Opfer (2003), no qual encontraram distribuição logarítmica para a tarefa NP e distribuição exponencial para a tarefa PN. A distribuição linear encontrada nos resultados deste estudo pode ser explicada pela estratégia utilizada pela maioria dos participantes, que contavam desenhando traços com espaçamento semelhante entre eles, até encontrarem a posição do número a ser estimado (Figura 5).

Quando analisados os números nos quais as crianças obtiveram melhores e piores precisões, foi constatado que tanto na tarefa NP, quanto na tarefa PN os números com melhor precisão 2, 3, 5 e 97, encontram-se próximos às extremidades da reta numérica. Já as precisões piores foram encontradas com números distintos para cada tarefa, porém a maioria desses números localiza-se entre 25 e 50 e entre 50 e 75, resultado semelhante ao de estudos anteriores que indicam que em números maiores ou afastados das extremidades da reta numérica, as crianças até o 4° ano escolar não são muito precisas (SIEGLER; OPFER, 2003; LASKI; SIEGLER, 2007; BARTH; PALADINO, 2011).

Ao analisar as precisões dos números localizados na região central da reta numérica, ou seja, números entre 25 e 75, percebemos que houve menos precisão por parte dos estudantes e que os desempenhos foram diferentes entre as duas tarefas propostas. Contudo, mesmo não obtendo bons resultados nessa região da reta numérica, observamos que na tarefa NP, os estudantes foram mais precisos nos números entre 50 e 75 em comparação aos números entre 25 e 50. Já na tarefa PN, o resultado encontrado foi oposto, as estimativas foram melhores nos números entre 25 e 50 em comparação aos números entre 50 e 75.

Outro aspecto importante a ser destacado é a concordância entre as estimativas das crianças nas duas tarefas da reta numérica. Em ambas tarefas, os participantes apresentaram o mesmo padrão de estimativa, localizando ou indicando um mesmo número em regiões muito semelhantes da reta numérica, ou seja, as marcações realizadas na tarefa NP correspondiam aos números estimados na tarefa PN, o que também pode ser constatado pela distribuição linear verificada nas duas tarefas. Isto vai de encontro ao estudo de Siegler e Opfer (2003), em que os resultados indicaram distribuições distintas para cada tarefa, na tarefa NP os participantes obtiveram uma distribuição logarítmica e na tarefa PN uma distribuição exponencial.

No entanto, os achados deste estudo devem ser considerados levando-se em conta determinadas limitações, como os anos escolares escolhidos para a avaliação. Nos 3° e 4° anos do Ensino Fundamental não há diferença significativa entre as idades dos alunos, o que impossibilita uma verificação do comportamento no desempenho da estimativa em idades menores e mais avançadas. A aplicação coletiva das tarefas, isto é, em pequenos grupos de alunos, também limita a discussão na pesquisa, pois dificultou a observação das estratégias utilizadas pelos alunos, o que poderia auxiliar no entendimento do desenvolvimento de suas estimativas.

Os resultados do presente estudo fornecem evidências sobre a capacidade de estimativa de um grupo de alunos de 3° e 4° anos do Ensino Fundamental, o que possibilita verificar o entendimento de número por parte das crianças e auxiliar no desenvolvimento de habilidades matemáticas básicas. Entretanto, pesquisas futuras no assunto são necessárias, como estudos longitudinais que acompanhem o desenvolvimento da capacidade de realizar estimativas desde os primeiros anos da escola e verifiquem as estratégias utilizadas pelos alunos no decorrer de cada ano escolar.