Godino e colaboradores, no modelo do Enfoque Ontossemiótico do conhecimento e instrução matemática (GODINO, 2009; GODINO; BATANERO; FONT, 2007), assumem que o conhecimento resulta das práticas matemáticas (operativas e discursivas) que o sujeito realiza para resolver uma situação-problema, para comunicar a outros a solução ou validar a solução e generalizá-la a outros problemas e contextos. Essas práticas apresentam um caráter dual, podendo o seu significado ser considerado de um ponto de vista institucional (no nosso caso, a escola, os professores e os manuais escolares) ou de um ponto de vista pessoal (uma pessoa que enfrenta uma situação-problema, como seja um aluno) (GODINO; BATANERO, 1994).

Para além da dualidade institucional-pessoal, antes referida, no Enfoque Ontossemiótico reconhecem-se outras dualidades (GODINO; BATANERO; FONT, 2007), das quais é, também, relevante para o nosso estudo a dualidade expressão-conteúdo, que permite confrontar os significados dos objetos que intervêm nas funções semióticas (entendidas como correspondências estabelecidas por uma pessoa ou instituição entre um antecedente, expressão, e um consequente, conteúdo) com os significados institucionais de referência. Nesse processo de comparação, a verificação de discrepâncias entre esses significados, ou seja, entre os significados institucional e pessoal (GODINO; BATANERO, 1994), conduz à identificação de conflitos semióticos.

Em Godino (2009) reconhece-se que o conhecimento para ensinar é um conhecimento complexo e multifacetado, identificando-se uma diversidade de facetas desse conhecimento, que se referem a seguir: epistémica, que se refere aos conhecimentos matemáticos do contexto institucional em que se realiza o processo de estudo, como sejam a escola, os professores e os manuais escolares, nos diversos componentes do conteúdo (problemas, linguagens, procedimentos, definições, propriedades e argumentos); cognitiva, que se refere aos conhecimentos pessoais dos alunos e à progressão das suas aprendizagens; afetiva, que diz respeito aos estados afetivos (atitudes, emoções, crenças e valores) dos alunos em relação aos objetos matemáticos e ao processo de estudo seguido; mediacional, que é relativa aos recursos educativos, com destaque para as tecnologias de informação e comunicação, e à gestão do tempo nas distintas ações e processos de estudo; interacional, que se refere aos padrões de interação entre os alunos e entre o professor e os alunos para o estabelecimento e negociação de significados; ecológica, que se refere às relações do processo de estudo com o contexto social, político e económico, que o suportam e condicionam.

Este estudo centra-se nas facetas epistémica e cognitiva, que são as facetas-chave da formação do professor na perspetiva do Enfoque Ontossemiótico (GODINO, 2009), em que se postula para elas um ponto de vista antropológico e semiótico, em que a atividade humana adquire significado a partir das ações das pessoas para resolver situações-problema com que se deparam.

Em geral, em muitos países, em que se inclui também Portugal, a formação dos professores para ensinar Probabilidades e Estatística apresenta debilidades, não sendo considerada adequada para promover um ensino e uma aprendizagem de acordo com as orientações atuais. No contexto brasileiro, Costa e Nacarato (2011, p. 376) constataram que dos professores de Matemática em exercício no ensino básico e secundário, envolvidos no seu estudo, a maioria referiu ter tido, na sua graduação, formação em Estatística, mas poucos em Probabilidades. No caso da formação contínua, nenhum professor referiu ter tido qualquer formação em Probabilidades, salientando-se uma formação “a partir da experiência e de consultas a materiais diversos, em especial, o livro didático”. Essa formação limitada foi, também, afirmada pelos professores que nas universidades eram responsáveis pela formação dos futuros professores nessas disciplinas.

Tal como em outros temas matemáticos, também no caso das Probabilidades, a compreensão da linguagem usada em diferentes fases da exploração de tarefas, designadamente ao nível do enunciado das tarefas, do processo de resolução e da comunicação de resultados, é um aspeto decisivo no sucesso da determinação de probabilidades de acontecimentos.

Segundo Watson (2005), tradicionalmente, sugere-se no currículo escolar o ensino de probabilidades numa vertente de matemática pura, com situações limitadas a espaços amostrais finitos em que se pode listar, contar e comparar resultados de forma explícita. Considerando importante essa abordagem, a autora advoga, também, a exploração de situações inseridas em contextos sociais, em que os espaços amostrais são de natureza mais difusa, não são explicitamente referidos, não envolvem necessariamente números e onde se salientam questões de linguagem e interpretação probabilística.

Tversky e Kahneman (1982a) foram pioneiros no estudo de situações probabilísticas em contextos públicos, como sejam os meios de comunicação social, nos quais são especialmente relevantes as questões de linguagem. Nos seus muitos estudos, com estudantes universitários, estes autores concluíram que os sujeitos recorriam ao uso de heurísticas e aderiam a raciocínios causais (TVERSKY; KAHNEMAN, 1982b) e à falacia da conjunção (TVERSKY; KAHNEMAN, 1983) na avaliação de probabilidades. As heurísticas, apesar de úteis em muitos situações, revelam-se limitadas em outras pois, enquanto estratégias simplificadoras das situações, elas poderão não captar aspetos que são essenciais para a resolução dessas situações.

No caso dos raciocínios causais, tal como Tversky e Kahneman (1982b), também Pollatsek et al. (1987) obtiveram evidência acerca da prevalência das inferências de efeitos a partir de causas. Mais concretamente, esses autores concluíram que as dificuldades de avaliação de probabilidades condicionadas resultavam de dificuldades de tradução do enunciado para uma simbologia adequada, e avançaram que o maior erro de tradução podia ter resultado da confusão entre as probabilidades condicionada e conjunta, isto é, entre P(A|B) e P(A ∩ B). Segundo esses mesmos autores, o facto de as pessoas disporem de algum esquema que integre acontecimentos do mundo real parece diminuir os erros de tradução e a maior discrepância entre os valores de P(A|B) e P(B|A), isto é, entre a probabilidade condicional e a sua transposta, permitiu melhorar a realização dos sujeitos nesses problemas.

Finalmente, a adesão à falácia da conjunção significa que os estudantes avaliam a probabilidade da conjunção como sendo mais provável do que a probabilidade de qualquer dos acontecimentos que a constituem, violando, assim, a lei da extensão que afirma que P(A ∩ B) ≤ P(A) e P(A ∩ B) ≤ P(B). Este fenómeno ocorre, sobretudo, quando um dos acontecimentos é altamente representativo do outro, como acontece com o acontecimento Um ser humano nasceu em África, que é altamente representativo do acontecimentos Um ser humano é de cor negra. Em consequência, os sujeitos tendem a afirmar que o acontecimento Um ser humano é de cor negra e nasceu em África é mais provável do que o acontecimento Um ser humano é de cor negra (FERNANDES, 1990).

Ao nível dos enunciados das tarefas probabilísticas, elas podem revelar-se mais ou menos explícitas em termos do seu propósito, isto é, daquilo que se pretende obter com tais tarefas. Por exemplo, no universo dos portugueses, são equivalentes as afirmações Que um português seja professor, sabendo que é mulher e Que uma mulher seja professora, portanto, são também equiprováveis, mas a probabilidade condicionada é formulada de forma explícita na primeira afirmação e de forma implícita na segunda.

Entre esses dois tipos de formulação, a implícita revela-se mais difícil ao requerer que o aluno reconheça o tipo de probabilidade que nela está envolvida. A esse respeito, um estudo de Fernandes et al. (2015), em que participaram futuros professores dos primeiros anos, tal como acontece no presente estudo, confirmou que a determinação de probabilidades conjuntas e condicionadas de afirmações implícitas se revelou muito mais difícil do que no caso das afirmações explícitas.

Também, Watson e Moritz (2002), num estudo envolvendo tarefas em contextos sociais e alunos de vários níveis escolares, do ensino primário, secundário e recémmatriculados na universidade, verificou-se que as questões lógicas e de linguagem associadas à conjunção de acontecimentos são difíceis para os alunos do 3.° ciclo do ensino básico, antecipando, ainda, dificuldades dos alunos quando é requerida a transferência do que aprenderam em pequenos espaços amostrais bem definidos para contextos sociais mais complexos e difusos.

Watson e Moritz (2003), em outro estudo, investigaram, ao longo de vários anos, a compreensão da linguagem do acaso de alunos do 5.° ao 11.° ano, recorrendo, para tal, a duas tarefas: uma relativa à avaliação e localização na escala [1,0] das chances de realização de vários acontecimentos e outra sobre a interpretação de um enunciado envolvendo um valor de probabilidade em percentagem. Em ambas as tarefas se verificou um aumento de respostas corretas com o ano de escolaridade, sendo que, na primeira tarefa, a percentagem de alunos que avaliaram de forma limitada ou não avaliaram as afirmações variou entre 20% (10.° ano) e 46% (6.° ano) e, na segunda tarefa, a percentagem de alunos que interpretaram de forma vaga ou inapropriada variou entre 0% (11.° ano) e 44% (5.° ano).

Apesar de as maiores dificuldades sentidas pelos alunos na determinação de probabilidades no caso das afirmações implícitas, essas situações probabilísticas devem ser exploradas pelos alunos e, consequentemente, também na formação dos professores, pois elas revestem-se de uma grande importância formativa, designadamente ao nível da literacia probabilística (WATSON; MORITZ, 2003).

Independentemente de se tratar de afirmações explícitas ou implícitas, em relação à probabilidade em questão, a determinação da probabilidade de acontecimentos compostos implica a compreensão e aplicação sistemática dos conetivos lógicos e, ou e não, seja de forma isolada ou combinada. Donde, à exceção do cálculo de probabilidades de acontecimentos simples, conclui-se que a determinação de probabilidades está intimamente ligada à correta interpretação e aplicação desses conetivos.

Num estudo que incluiu a classificação de acontecimentos em certos, possíveis (mas não certos) e impossíveis, Fernandes (1999) concluiu que as maiores dificuldades dos alunos do 8.° ano e 11.° ano, que participaram no estudo, se verificaram nos acontecimentos envolvendo conetivos lógicos. Em termos mais detalhados, segundo o autor,

Neste trabalho pretende-se ampliar o estudo realizado sobre a classificação de acontecimentos, considerando, agora, a probabilidade da reunião, a probabilidade conjunta e a probabilidade condicionada de acontecimentos em que se destacam os conetivos lógicos e e ou.

Relativamente à tarefa proposta, considerando os acontecimentos M: estudar música e T: estudar teatro, tem-se a representação em diagrama de Venn dos vários acontecimentos envolvidos (Figura 1) e uma possível resolução de cada um dos itens:

Na Tabela 1 apresentam-se as frequências (percentagens) dos diferentes tipos de resposta e de não respostas em cada um dos itens da tarefa proposta.

Recorrendo aos dados da Tabela 1, conclui-se que na globalidade dos três itens se obteve apenas 26,8% respostas corretas, enquanto se registaram 61,6% respostas incorretas e 11,6% não respostas. Essas percentagens mostram que os alunos sentiram muitas dificuldades na resolução da tarefa.

As dificuldades dos alunos manifestaram-se em todos os itens, pois em todos eles foi sempre superior a percentagem de respostas incorretas, claramente mais acentuadas no item a) (73,9%) e no item c) (65,2%). Já no item b) obteve-se uma percentagem de respostas corretas (43,5%) mais próxima da percentagem de respostas incorretas (45,6%).

Considerando as probabilidades que são pedidas em cada um dos itens, verifica-se que se revelou mais difícil a determinação da probabilidade da disjunção, no item a), e da probabilidade condicionada, no item c), enquanto a determinação da probabilidade conjunta, pedida no item b), foi mais sucedida.

É possível que a maior dificuldade dos alunos na probabilidade da reunião se explique pelo facto de na disjunção o aluno ter de decidir entre a disjunção inclusiva e a disjunção exclusiva, o que não acontece no caso da conjunção. Essa explicação confirmou-se empiricamente nas resoluções dos alunos pois, como veremos aquando do estudo dos erros, foram bastantes os alunos que confundiram a disjunção inclusiva com a disjunção exclusiva.

Seguidamente, estudando as dificuldades e erros manifestados pelos alunos nas suas resoluções, esclarecem-se as razões do melhor desempenho dos alunos na probabilidade conjunta do que na probabilidade da reunião e condicional.

Nesta subsecção analisam-se as respostas erradas dos alunos em cada um dos itens, com o objetivo de identificar as dificuldades e os erros por eles manifestados nas suas resoluções.