Convergencia débil de una sucesión de grafos aleatorios radiales de Bernoulli

Weak convergence of a sequence of Bernoulli radial random graphs

Bacelli y Bordenave estudiaron en [2] un grafo aleatorio en el plano llamado Árbol de expansión radial de un proceso puntual de Poisson (AER). Se puede pensar el AER como un sistemas de curvas poligonales aleatorias, cuyos vértices se encuentran en los puntos de un proceso puntual de Poisson homogéneo en el plano y además finalizan determinísticamente en el origen. Tales curvas poligonales se obtienen de la siguiente manera: Sea S un proceso de Poisson homogéneo en el plano, y supóngase que S₀ es una realización de S; entonces, en cada punto de S₀ se aplica el siguiente algoritmo:

Paso 1. Dado (x, t) Є S, denótese por C₁ la circunferencia de radio √x² + t² y centro en el origen.

Paso 2. Considérese B_r (x,t) como una bola cerrada con centro en (x, t) y radio r > 0, y sea r(x, t) = ínf_r{B_r (x, t) ⋂ C₁ ⋂ S ≠ ∅} ∧ (√x² + y²).

Paso 3. Si r(x, t) < √x² + t² , entonces exicte un punto (x₁, t₁) Є B_{r(x, t)} (x, t) ⋂ C₁ ⋂ S, y realizamos la interpolación lineal de (x, t) con (x₁, t₁). Si r(x, t) > √X² + t², entonces sde interpola linealmente el punto (x, t) con el origen.

Nótese que la construcción del AER está bien definida en casi todas partes. En [9], Fontes et al. consideran una variante del AER más "cercana" al modelo de Bacelli y Bordenave que la analizada en [4] y [12]. En [9], [4] y [12] se obtuvo el mismo límite débil en una escala difusiva, el cual fue llamado en [9], la red de puentes Brownianos (RPB). La RPB esta relacionada con la Red Browniana (RB); más precisamente, es una transformación de RB objeto que Fontes et al. en [8] caracterizaron y para el que proporcionaron criterios de convergencia. En [3], [5], [7], se propusieron modelos que convergen débilmente en una escala difusiva a la RB en los cuales se tiene un sistema de trayectorias aleatorias coalescentes que no se cruzan, y en [10] establecieron criterios para trayectorias con cruzamiento.

El propósito de este artículo es introducir un modelo más simple que los presentados en [9], [4] y [12]; si bien está un poco "distante" del AER, en una escala difusiva, el límite débil es "cercano" a la RPB en el sentido que ambos son una transformación de la RB y se comportan exactamente igual en el espacio, esto es, la transformación g(y, s) = (y/|s|, 1/|s|- 1) envía la RPB en la RB, mientras que la transformación h(y, s) = (y/|s|, s) envía al límite débil de nuestro modelo en la RB.

La motivación para estudiar el AER proviene de aplicaciones a redes de comunicación.

Por ejemplo, en sensores de redes inalámbricas la información detectada se almacena en un punto central; la información fluye desde los sensores a lo largo de las aristas del árbol soporte radial, y la raíz de dicho árbol es el punto central; para más información, ver por ejemplo [6]. La conexión de [6] con el trabajo que vamos a desarrollar se debe principalmente a la relación entre el límite débil de nuestro modelo con la RPB.

Sea n Є 2N suficientemente grande; para cada K Є {1, 2, . . . ,n}, se define:

1. · C_k: Círculo con centro en el origen del plano y radio k;

   · Θj: 2πj/N, con j € Z y —n/2 < j ≤ K n/2;

   · S_n := {p(k, k) € C_k : p(k, j) = -k (sin(Θ_j), cos (Θ_j))};

   · φ : Sn → Z es una función tal que φ (p(k, j)) = k + j;

   · P_n := {p(k, j) : φ(p (k , j)) Є 2Z } ⊂ S_n y

   · {X_y}_y€Pn es una colección de variables aleatorias i.i.d. con distribución de Bernoulli, (P(X_y = 1) = P (X_y = -1) = 1/2).

Considere una realización de la colección de variables aleatorias {X_y}. Sea y = p(k, j) € P_n cualquiera con K > 1; sea a₀ (y) = y, e inductivamente se define a_h (y) = p(k – h, j + Σh i =1 X_ai(y)) para h = 1, 2, . . . , K -1. Bajo estas condiciones se introduce la siguiente definición:

Definición 1.1 ζ_n (y) es la trayectoria obtenida al interpolar linealmente los puntos a₀(y), a₁(y), . . . , a_{k – 1} (y) en el respectivo orden.

Nótese que las trayectorias aleatorias construidas de esta manera no presentan cruzaminetos.

El límite de escala de este modelo (bajo ciertas restricciones) está relacionado con la Red Browniana (RB), la cual puede pensarse como una colección de movimientos brownianos coalescentes comenzando en cualquier punto del espacio tiempo. Este objeto fue introducido en [1], y su motivación era resolver un problema relacionado con el modelo del votante unidimensional, posteriormente analizado en detalle por Tóth y Werner en [11]. Fontes et al. en 181 caracterizaron la RB y proporcionaron criterios de convergencia para una sucesión de trayectorias aleatorias sin cruzamiento. En este artículo se prueba que, bajo una escala difusiva, la colección de trayectorias aleatorias representadas en la Figura 2, restringidas a cierto subconjunto de R² bajo una escala difusiva, convergen débilmente a un homeomorfismo de la RB.

El resto del artículo esta organizado de la siguiente manera: en la Sección 2 se realiza una construcción formal del modelo, se define el espacio métrico completo separable donde la sucesión de grafos aleatorios que se estudia en este artículo asume sus valores, y finalmente se enuncia el teorema principal. La Sección 3 está completamente dedicada

a la demostración del teorema principal.

En esta sección se propone un modelo y se enuncia el resultado principal de este trabajo. A partir de ahora, las trayectorias del modelo se restringen a una región del semiplano inferior {(x, y) € R² : y < 0}.

Para determinar el límite débil en una escala difusiva de nuestro modelo, es necesario realizar ciertas restricciones sobre P_n.

Definición 2.1 (Puntos), Sean ζ € (0, 1/2), € € (0,1) y n € 2N (suficientemente grande).

Sea V_n ⊂ P_n definido por

Los puntos en V_n pertenecen a la región acotada ilustrada en la Figura 3, y serán usados como vértices en los cuales comienzan las trayectorias poligonales del modelo.

Definición 2.2 (Trayectorias aleatorias). Sea n ∈ 2N suficientemente grande. Para cada y = p(k, j) ∈ V_n se define β(y) = |y|−⌊n∈⌋ y

Sea T_n = {γ_y | y ∈ V_n} formada por todas las trayectorias poligonales γ_y comenzando en y ∈ V_n y pasando a través de los puntos α₀(y), α₁(y),...,α_τ (y),(0, 0) restringidas a la región R × [−n, −nǫ]. Se llamará Grafo de Bernoulli Radial (GBR) el grafo aleatorio T_n.

Como se verá posteriormente, la probabilidad de ocurrencia del evento

infinitas veces, es cero. Esto implica que la probabilidad de {T_n(y) = β(y)+1} eventualmente es igual a uno.

Es importante resaltar que la elección de δ y ∈ es necesaria para garantizar que, con gran probabilidad, las trayectorias aleatorias interpoladas se puedan representar de la forma x = g(y), donde g es una función.

A continuación se define un espacio métrico en el cual T_n asume sus valores; además, se caracterizará y se darán los criterios para la convergencia a un objeto conocido como la red browniana restricta (ver [9] y [4]), el cual es una modificación del trabajo de Fontes et al. en [8]. El objetivo principal es mostrar que el límite débil en la escala difusiva de T_n, es decir, de GBR, es un homeomorfismo evaluado en la red browniana restricta, el cual al igual que en [9] se llamará red de puentes brownianos (RPB).

Para n ∈ 2N suficientemente grande, la definición en (1) obliga a que las trayectorias de T_n tengan sus puntos contenidos en la región {(x, t) ∈ R² : −n ≤ t ≤ −nǫ, |tan(x/t)| ≤ n^δ−1/2}. El siguiente lema permite demostrar que, con gran probabilidad, la restrición de que las trayectorias estén contenidas en la región anterior no ocurre. Esto implica que la restricción impuesta no es “artificial”. Recuérdese que para y ∈ V_n se tiene entonces β(y) = |y|−⌊nǫ⌋.

Lema 3.1.

Nótese que B ⊂ lím sup A_n. Para probar el lema es suficiente probar que P[lím sup A_n] = 0. Para cada y = p(k, j) ∈ V_n se tiene que 2π/n |j| = |θj| ≤ n^δ/2−1/2; entonces para n suficientemente grande y determinístico,

donde (4) sigue del hecho de que |Vn| ≤ n² y de un argumento de dominación estocástica con una colección de variables aleatorias {ςj} i.i.d con distribución Bernoulli (1, −1) de parámetro 1/2.

Sea Sj = ∑j k=1 ςk; como |Sj | ≤ j, se tiene que

Como P ­ [|Sk|/√n > n^1/2−η/4π] ≤ 2 exp { −n^1−2η/32π2(1+n^1/2−η/4π √k)} ≤ 2 exp {−n^1−2η/64π²} para n suficientemente grande y k ≥ ⌊n1−η/4π⌋, entonces por (5) se sigue que:

Finalmente, de (6) y del Lema de Borel-Cantelli se concluye que P(lím sup A_n)=0.

Para n ∈ 2N, Λ_n es un homeomorfismo de H_−n,−nǫ a H_−1,−ǫ. Se necesita probar que existe N₀ ∈ N suficientemente grande tal que si n ≥ N₀ y n ∈ 2N, entonces T_n ∈ H_−n,−nǫ, i.e., Tn es un conjunto finito de funciones restringidas a R × [−n, −nǫ]. Supóngase por el momento que dicho N₀ existe; entonces Λ_n(T_n) ∈ H_−1,−ǫ, y se quiere encontrar la convergencia débil de la sucesión de grafos aleatorios Λ_n(T_n). El siguiente lema prueba que existe N₀ ∈ N con la propiedad anteriormente mencionada. Nótese que |V_n| < ∞, y si n ≥ N₀, entonces T_n ∈ H_−n,−nǫ.

Lema 3.3. Existe N0 ∈ N tal que si n ≥ N0 y n ∈ 2N, entonces para cada y ∈ V_n, γ_y es una función, y por tanto T_n ∈ H_−n,−nǫ.

Demostración. Sea y ∈ V_n, siendo γ_y es la trayectoria poligonal obtenida al interpolar linealmente los puntos α₀(y), α₁(y),...,α_τ (y),(0, 0), restringida al conjunto R×[−n, −nǫ], donde τ está definido en (1). Sea θ ∈ ­ (−n^δ−1/2, n^δ−1/2); por definición de τ, es suficiente mostrar que existe un N0 ∈ N suficientemente grande tal que si n es par, n ≥ N0 y k ∈ {n, n − 1,..., ⌊nǫ⌋}, entonces k cos(β) > (k − 1) cos(β ± 2π/n), lo cual es equivalente a

Como k|(cos(β ± 2π/n) − cos(β)) | ≤ n|sin(γ_n)|2π/n, donde γ_n ∈ (β − 2π/n, β + 2π/n), entonces k|(cos(β ± 2π/n) − cos(β))| < C|γ_n|, con C > 0 una constante fija. Así,

Luego (8) y (9) implican (7).

En adelante se supone que n ≥ N₀ y n es par, donde N₀ es el mismo del lema anterior.

Para cada y ∈ V_n, se define ξ y k = (|y| − k) (√1/n sin ( θj + 2π/n ∑k i=1 X_αi(y)) , − 1/n), donde 0 ≤ k ≤ |y| − (⌊nǫ⌋)+1. Sean Syk = ∑k j=1 X_{αj (y)} para k = 0, 1,..., |y| − (⌊nǫ⌋)+1, (S₀ ≡ 0), Sn,y t = 1 n Sy i−1 + (t−(i−1))/n X_αi(y); si t ∈ [i − 1, i] para i = 1,..., |y| − (⌊nǫ⌋ − 1), esto es, la interpolacion lineal de los ángulos definidos por la trayectoria que comienza en y, sea

para t ∈ [0, |y| − nǫ]. Nótese que para n ≥ N0, γz ∈ (Π_−1,−ǫ, d_−1,−ǫ).

Definición 3.4. Para (x, t) ∈ R × (−∞, 0) se define θ(x, t) := tan⁻¹(x/|t|). Además, si D_n :={ (x, t) ∈ R × (−∞, 0) : |θ(x, t)| < n^δ−1/2 y t ∈ [−n, −nǫ]} , entonces para cada (x, t) ∈ D_n se definen l(x, t) := (|(x, t)|sin ­ (θ(x, t)), −|(x, t)|) y En := {l(x, t):(x, t) ∈ D_n}. Finalmente, por simplicidad de notación se define Λn(A) := {(√x/n , t/n) : (x, y) ∈ A}.

Sea ρ la métrica de Hausdorff inducida por los subconjuntos compactos de R². Para simplicidad en la notación, se hace la siguiente observación:

Observación 3.5. ρ ­ (Λ_n(D_n), Λ_n(En)) converge a 0 cuando n → ∞, pues para cada (x, t) ∈ D_n, ρ (­Λ_n({(x, t)}), Λ_n({l(x, t)})) ≤ |(x,t)|/n ­(1−cos(θ(x, t)) ≤ ­ (1−cos(n^δ−1/2)) ‑ . Por tanto, ρ­ Λn(An), Λn(Bn) ≤ 1 − cos(n^δ−1/2).

Lema 3.6. Sea Φⁿ := {γ_y : y ∈ V_n}; entonces Φⁿ pertenece a H_−1,−ǫ y d_H−1,−ǫ (Φⁿ, Φⁿ) converge a 0 en probabilidad cuando n → ∞.

Demostración. Sean η > 0 fijo y On ǫ el conjunto de trayectorias tales que d_−1,−ǫ(γ_y, Λ_n(γ_y)) > η, (γ_y ∈ Φⁿ y Λⁿ(γ^y) ∈ Φⁿ). Sea A_n como en el Corolario 3.2. Entonces

En la prueba del Corolario 3.2 se tiene que P [A_n] converge a 0 cuando n tiende a infinito. Supóngase que γ_y ∈ Ac n. Entonces, si (x, t) es un punto de la gráfica de γ_y, se tiene que (x, t) ∈ Dn, y por tanto, de la observación 3.5 se tiene que ρ ­ (γ_y, Λ_n(γ_y)) ≤ 1−cos(n^δ−1/2). Luego para n suficientemente grande, es claro que ρ ­ (γ_y, Λ_n(γ_y)) ‑ ≤ η/2, lo que implica que

Por tanto, de (11) y (12) se sigue que P [On η] converge a 0, cuando n tiende a infinito.

Observación 3.7. Del Lema 3.6 se concluye que si existe una variable aleatoria Φ que toma sus valores en H^−1,−ǫ y tal que Φ˜ n converge débilmente a Φ cuando n tiende a infinito, entonces Φⁿ converge débilmente a Φ cuando n tiende a infinito.

De los criterios de convergencia a la red browniana restricta, y mediante una una transformación (homeomorfismo) T de H^−1,−ǫ en H^−1,−ǫ de tal forma que T (Φⁿ) converja débilmente a W^−1,−ǫ, se tendrá que T (Φⁿ) también converge débilmente a W^−1,−ǫ, y por tanto Φn converge débilmente a T⁻¹(W^−1,−ǫ).

Lema 3.8. La transformación

de H_−1,−ǫ en H_−1,−ǫ. es un homemomorfismo.

Demostración. T está bien definida. En efecto, sea K un elemento de H_−1,−ǫ. Se debe probar que T (K) es un elemento de H_−1,−ǫ, i.e, T (K) es una colección de funciones compacta. Sea {(f_n, t_n)}_n≥1 ⊂ T (K); entonces existe una sucesión de funciones {(g_n, t_n)} en K tal que g_n(·)=2π|·|f_n(·) para t ∈ [t_n, −ǫ]. Como {(g_n, t_n)}n≥1 ⊂ K y K es compacto, entonces existe una subsucesión {(g_nk , t_nk)}k≥1 tal que (g_nk , t_nk) converge a (g, t₀) en Π_−1,−ǫ cuando n → ∞, y como ǫ ∈ (0, 1) es fijo, se sigue que (fnk , tnk) converge a (g(·)/2π|·|, t0) en Π_−1,−ǫ; así, T (K) es un elemento de Π_−1,−ǫ, luego la función T está bien definida.

La continuidad de T se prueba con argumentos similares, dado que ǫ ∈ (0, 1) y la región R × [−1, −ǫ] es acotada en el tiempo. Si se tiene una sucesión {K_n}_n≥1 de elementos de H_−1,−ǫ tal que K_n converge a K en H_−1,−ǫ, es fácil ver que T (K_n) converge a T (K) en H_−1,−ǫ. También es claro que T es biyectiva, y la continuidad de T⁻¹ se da por los mismos argumentos.

De (10) y (13) se obtiene

Lema 3.9. d_H−1,−ǫ (χn, πn) converge a 0 en probabilidad, cuando n → ∞.

Demostración. Para y ∈ V_n, tenemos que

donde la última desigualdad es consecuencia de que |sin(θ) − θ| ≤ C1θ² para θ suficientemente pequeño. Luego, sea η > 0 fijo; entonces

Para cada y ∈ Vn, |θj | ≤ n^δ/2−1/2; así, para n suficientemente grande, de (15) se obtiene:

Por un argumento de dominación estocástica, y dado que |V_n| < n², se obtiene

donde {ςi}i≥1 es una colección de variables aleatorias i.i.d con distribución de Bernoulli (−1, 1, 1/2) y Ci es una constante para i = 1, 2, 3. Luego de (3), (6) y (17), concluimos que P [d_H−1,−ǫ (χ_n, π_n) > η] converge a 0 cuando n tiende a infinito.

Para y ∈ V_n se tiene que θ_j = 4πj/n para algún j ∈ Z y |θj| ≤ n^δ/2−1/2; por tanto, |j| ≤ [n^δ/2+1/2/4π]. Nótese que {π_n}n≥N₀ define un sistema de trayectorias aleatorias, obtenidas por interpolación lineal de puntos determinados por paseos aleatorios simples simétricos coalescentes en una escala difusiva, que comienzan en la caja [− [n^δ/2+1/2/4π] , [n^δ/2+1/2/4π]]×[−1, −ǫ].

Teorema 3.10. π_n converge débilmente a W_−1,−ǫ.

Demostración. La condición I del Teorema 3 es consecuencia de que la caja [ −[n^δ/2+1/2/2π], [n^δ/2+1/2/2π]] × [−1, −ǫ] converge a R × [−1, −ǫ] cuando n tiende a infinito y del Teorema de Donsker. Las condiciones (B₁) y (B₂) se siguen del la prueba del Teorema 7.1 de la página 39 en [8].

Los resultados anteriores permiten ahora probar el Teorema 2.12, el cual es el objetivo principal de este artículo.

Del Lema 3.9 se puede concluir que d_H−1,−ǫ (χ_n, π_n) converge a 0 en probabilidad cuando n tiende a infinito. Así, del Teorema 3.10 se sigue que χ_n converge débilmente a W_−1,−ǫ. Como χ_n = T (Φⁿ) y por el Lema 3.8, se tiene que Φn converge débilmente a T⁻¹(W_−1,−ǫ), y finalmente del Lema 3.6 se sigue el resultado.

Los resultados contenidos en este artículo hacen parte del trabajo desarrollado en el proyecto de investigación “Convergencia débil de una familia de grafos aleatorios de Poisson”, financiado por el comité de investigación de la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales de la Universidad de Antioquia (CODI).