1. Introducción

La siguiente desigualdad

fue conjeturada por Özban en [15] y fue probada recientemente por Matejíčka [11]. Se recuerda que la introducción de varias desigualdades algebraico-trigonométricas por Özban [15], se inspiró en la siguiente desigualdad exponencial-potencial

que fue probada de forma independiente por Laub-Ilani [6, 5] y Zeikii-Cîrtoaje-Berndt [17, 2]. Para obtener detalles importantes sobre generalizaciones, extensiones y desigualdades relacionadas con (2), consultar las referencias [4, 3, 1, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 14, 16]. Además, se observa que la prueba de (1) desarrollada por Matejícka en [11] se basa en métodos de análisis matemático y numérico. Sin embargo, se puede construir una prueba alternativa basada en las propiedades elementales de las funciones exponencial, potencial y trigonométricas. Así, el objetivo de este artículo es presentar una prueba alternativa de (1) y extender la desigualdad al caso x,y ∈ [0, π/2], es decir, se demostrará el siguiente teorema:

Teorema 1.1. La siguiente desigualdad

es válida.

2. Prueba del Teorema 1.1

Se introduce la notación S = [0, π/2] × [0, π/2] y los siguientes conjuntos

Se observa que la familia de conjuntos {S_d, S^u₁, S^u₂, S^u₃, S^l₁, S^l₂, S^l₃} es una partición de S.

Además, se considera la función G : S → ℝ definida por

Entonces, para probar la desigualdad (3), demostraremos G(x,y) ≥ 0 en cada conjunto de la partición.

Caso (x, y) Є S_d. La desigualdad (3) se satisface en S_d, dado que (3) en S_d es equivalente a la identidad: cos(x^x) + cos(x^x) = cos(x^x) + cos(x^x).

Caso (x,y) Є S^u₁. En este caso se sigue un procedimiento análogo a la demostración del Teorema 2.3 en [15]. Seleccionamos arbitrariamente y Є (0,1] y se define la función g : [0, y] → ℝ mediante la relación g(t) = G(t,y) siendo G la función dada en (4). Note que x < y ≤ 1 implica que 0 ≤ t ≤ y ≤ 1, es decir [0, y] ⊂ [0,1]. Así la función g es definida explicitamente por

la cual se estudiará en lo que sigue. Más precisamente, se demostrará que la función g, es decreciente sobre su intervalo de definición [0,y]. Para ello se observa que la derivada de g se puede escribir como g'(t) = g’₁ (t) + g’2 (t) con las funciones g'₁ y g’₂ dadas por las reglas de correspondencia

y se analiza el signo de cada una de estas funciones sobre [0, y], demostrando que ambas son negativas sobre [0, y].

Para estudiar el signo de g’₁ nos apoyamos en la función ϕ (s) = s^t sen(s^t) ln s definida para s Є [t, y], cuya derivada sobre [t, y] es expresada de la siguiente manera

Observando que las siguientes desigualdades se cumplen

deducimos que φ’₁(s) = ts^t-1 cos(s^t)(t ln s + 1) + s^-1t sen(s^t) > 0 y en consecuencia la función φ1 es creciente sobre [t, y]. En el caso de la función p₂ se tiene

debido a que el primer término es positivo por la primera desigualdad dada en (8) y el segundo término por el hecho que ln(s) ≤ 0 para s ≤ 1. Así, tenemos que la función φ2 es creciente sobre [t, y]. Equivalentemente, se tiene que la función - φ2 es decreciente sobre [t, y].

El crecimiento de φ1 y el decrecimiento de - φ2 implican que las siguientes desigualdades

sean válidas para t ≤ s ≤ y. Además, es posible demostrar que φ₁ ( t) > - φ₂ ( t) para t Є [0,1]. Observemos que para t Є [0,1] el recorrido de la función t^t es [(1/e)¹/^e, 1], es decir t^tЄ [(1/e)¹/^e, 1], lo cual conduce a la validez de las siguientes desigualdades

por aplicación directa de las propiedades de crecimiento o decrecimiento de las funciones seno, coseno y logaritmo natural sobre el intervalo [1/e, 1] ⊂ [0,1] ⊂ [0,7r/2]. Luego, es posible deducir las siguientes cotas inferiores

para t Є [0,1]. Así, tenemos que

es decir,

Luego, de (9) y (10) deducimos la cadena de desigualdades φ₁(s) ≥ φ₁ (t) > 0 ≥ - φ₂ (t) ≥ - φ₂ (s), lo cual demuestra que φ₂(s) + φ₂ (s) > 0 para s Є [t, y] ⊆ [0,1]. En consecuencia Ф'(s) > 0 sobre [t, y], implicando que Ф es creciente sobre [t, y]. De esta manera t ≤ s ≤ y implica Ф (t) ≤ Ф (s) ≤ Ф (y) o equivalentemente tenemos que la función g’₁(t) = Ф (t) - Ф(y) es negativa sobre [0, y].

Para analizar el signo de la función g2, se observa que g’₂ se puede reescribir como

Para s Є [t,y] ⊂ [0,1] definimos la función φ₃(s) = sen(t^s)t^s. Observamos que la derivada de φ₃ es tal que φ_’3(s) = st^s-1(t^s cos(t^s) + sen(t^s)) > 0 y así φ₃ es creciente sobre [t, y]. Luego, t ≤ s ≤ y implica que φ₃(t) ≤ φ₃(s) ≤ φ₃(y), es decir,

Ahora, utilizando esta última desigualdad y el hecho que sen(t^y)yt^y-1(t - y) para t ≤ y, por la relación (11) deducimos que la función g’₂(t) es negativa sobre [0, y].

Habiendo demostrado que tanto g’₁(t) como g’₂(t) son negativas sobre [0, y], deducimos g'(t) = g’₁(t) + g’₂(t) ≤ 0 y claramente g(t) es decreciente sobre [0,y]. Ahora, el decrecimiento de g y el hecho que g(y) = 0 implican que g(0) ≥ g(t) ≥ g(y) = 0 para 0 ≤ t ≤ y. Demostrando así que la desigualdad g(t) = G(t,y) ≥ 0 se satisface para cada t Є [0, y], es decir, G(x, y) ≥ 0 sobre S^u₁.

Caso (x,y) Є S^u₂. Fijando y Є (1,7π/2], se define la función h : [0,1] → ℝ mediante la relación h(t) = G(t,y) con G dado en (4). Aplicando las identidades trigonométricas de suma-producto se tiene

Se observa que

Las estimaciones en (13) son consecuencia de los siguientes hechos: la función definida de [0,1] a R por t → t^y es creciente, y la función definida de [0,1] a ℝ por t → t* tiene un mínimo global en t = 1/e. En efecto, de cada uno de estos comportamientos se deduce que 0 ≤ t < 1 implica 0^y- t^y≤ 1^y y que (1/e)^1/e≤ t^t≤ 1, respectivamente. En consecuencia de las desigualdades 0 ≤ t^y< 1 y (1/e)^1/e≤ t* ≤ 1 se deduce (13). Ahora, (14) se deduce del hecho que la función definida de [1,n/2] a ℝ por y → (y^t + y^y )/2 es creciente y así la restricción para y dada por 1 < y - π/2 implica

En la penúltima desigualdad de (17) se utilizó el hecho que t → ( π/2)^t es creciente y t Є [0,1]. Para demostrar (15) se observa que la función definida de [1,π/2] a ℝ por y → ( t^y- t^t ) /2 es decreciente y por lo tanto del hecho que 1 < y ≤ π/2 se deduce

Ahora, hay que obtener una cota superior para (t →t^t)/2 y una cota inferior para (t^π/2- t^t)/2 y para ello utilizamos la función m : [0,1] → ℝ definida por m(t) = (t -t^t)/2. La primera y segunda derivadas de la función m son dadas por

Se tiene que m’’ (t) < 0 sobre [0, 1] debido a la positividad de n la cual se deduce como sigue: n(t) → 1 cuando t → 0⁺, n(1) = 2, n(1/e) = 1, n(1/e³) = (16 + e³)/e³, n tiene un máximo en t = 1/e³ y un mínimo en t = 1/e³ lo cual implica que n(t) Є [1, 2] para cada t G [0,1]. Luego, m'(t) es decreciente sobre [0,1] y así m'(t) ≥ m'(1) = 0, es decir m es creciente sobre [0, 1]. En consecuencia la cota superior para m sobre [0, 1] es m(1) = 0 o equivalentemente

Ahora de la desigualdad t^π/2 + 1 > 1 > t^t, la cual se cumple para t Є [0,1], se deduce que

Luego, de (18), (19) y (20), obtenemos (15). Las estimaciones en (16) son consecuencia de que la función definida de [0,1] a ℝ por t → (y^y- y^t)/2 es decreciente, y así se tiene que (y^y- y⁰)/2 > (y^y- y^t)/2 > (y^y- y¹)/2 sobre [0,1]. Ahora para y Є (0, π/2] se tiene que y^y≤ (π/2)^π/2 lo cual implica la desigualdad (y^y-y⁰)/2 ≤ ((π/2)^π/2-1)/2 < π y además dado que y es la tangente en y = 1 de la función estrictamente convexa y^y se deduce que y^y> y y en consecuencia (y^y- y¹)/2 > 0. Luego, resumiendo las desigualdades obtenidas se tiene la siguiente cadena

de donde claramente se deduce (16).

Ahora, mediante la aplicación de las propiedades de la función seno sobre [-π, π ], se tiene que las desigualdades en (13)-(16) implican

Al utilizar los signos de (21) en (12) se deduce que h(t) ≥ 0 para todo t Є [0,1] y cada y Є (0, π/2], concluyendo la prueba de la desigualdad (3) para (x, y) Є S^u₂.

Caso (x, y) Є S^u₃. En este caso se fija arbitrariamente y Є (1, π/2] y se define la función ω : (1, y] → ℝ mediante la relación ω(t) = G(t, y) con G definida en (4), es decir

Se observa que ω es decreciente sobre ]1,y] dado que t^y,y^t,t^tЄ [0, (π/2)^n/2] ⊂ [0,π) implican

Luego ω (t) ≥ ω (y) = 0 para todo t Є (1, y] y similarmente a los casos anteriores se concluye que la desigualdad (3) es satisfecha sobre S^u₃.

Caso (x,y) Є S^u₁ U S^u₂ U S^u₃. Para probar la desigualdad (3) sobre S^l_i para i = 1, 2, 3, se observa que (x, y) Є S^l_i si, y solo si, (y, x) Є S^u_i, entonces intercambiando (x, y) por (y, x) en la prueba para (x, y) Є S^u se concluye que la desigualdad (3) es tambien válida sobre S¡.

Agradecimientos:

Los autores agradecen al Departamento de Ciencias Básicas de la Universidad del Bío-Bío de Chile. Además agradecen las observaciones muy importantes hechas por el revisor anónimo.

Referencias

[1] Cîrtoaje V., "Proofs of three open inequalities with power-exponential functions", J. Nonlinear Sci. Appl., 4 (2011), No. 2, 130-137. doi: 10.22436/jnsa.004.02.05.

[2] Cîrtoaje V., "On some inequalities with power-exponential functions", J. Inequal. Pure Appl. Math., 10 (2009), No. 1, 1-6.

[3] Coronel A. and Huancas F., "The proof of three power-exponential inequalities", J. Inequal. Appl., 509 (2014), No. 1, 1-10. doi: 10.1186/1029-242X-2014-509.

[4] Coronel A., Korus P., Lozada E., and Irazoqui E., "On the Generalization for Some Power-Exponential-Trigonometric Inequalities", Mathematics., 7 (2019), No. 10, 1-6. doi: 10.3390/math7100988.

[5] Laub M. and Ilani I., "A subtle inequality", Amer. Math. Monthly., 97 (1990), 65-67.

[6] Laub M., "Elementary Problems: E3111-E3116", Amer. Math. Monthly., 92 (1985), 666. doi: 10.2307/2323718.

[7] Matejička L., "Solution of one conjecture on inequalities with power-exponential functions", J. Inequal. Pure Appl. Math., 10 (2009), No. 3, 1-5.

[8] Matejička L.,"Some remarks on Cîrtoaje's conjecture", J. Inequal. Appl., 269 (2016), No. 1, 1-11. doi: 10.1186/s13660-016-1211-0.

[9] Matejička L., "On the Cîrtoaje's conjecture", J. Inequal. Appl., 152 (2016), No. 1, 1-6. doi: 10.1186/s13660-016-1092-2.

[10] Matejička L., "Next generalization of Cîrtoaje's inequality", J. Inequal. Appl., 159 (2017), No. 1, 1-10. doi: 10.1186/s13660-017-1436-6.

[11] Matejička L., "Proof of one open inequality of Laub-Ilani type", Journal of Mathematical Inequalities., 14 (2020), No. 1, 83-98. doi: 10.7153/jmi-2020-14-07.

[12] Miyagi M. and Nishizawa Y., "A short proof of an open inequality with power-exponential functions", Aust. J. Math. Anal. Appl., 11 (2014), No. 1, 1-6.

[13] Miyagi M. and Nishizawa Y., "Extension of an inequality with power exponential functions", Tamkang J. Math., 46 (2015), No. 4, 427-433. doi: 10.5556/j.tkjm.46.2015.1831.

[14] Miyagi M. and Nishizawa Y., "A stronger inequality of Cîrtoaje's one with power exponential functions", J. Nonlinear Sci. Appl., 8 (2015), No. 3, 224-230. doi: 10.22436/jn-sa.008.03.06.

[15] Özban A., "New algebraic-trigonometric inequalities of Laub-Ilani type", Bull. Aust. Math. Soc., 96 (2017), No. 1, 87-97. doi: 10.1017/S0004972717000156.

[16] Qi F. and Debnath L., "Inequalities of power-exponential functions", J. Inequal. Pure Appl. Math., 1 (2000), No. 2, 1-5.

[17] Zeikii A., Cîrtoaje V. and Berndt W., Mathlinks. Forum, Forum, http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=118722. [cited 11 November 2006].

Notas