1. Introducción

En el trabajo doctoral de R. Ruiz, Change of Models In Algebraic Topology [21], se evidenció que la topología algebraica estaba determinada por un funtor Λ : Δ - Top, que el autor denominó objeto modelo sobre la categoría Top, en el cual Λ ([n]) es el n-simplejo topológico Δⁿ para n = 0,1,..., con el cual se determina la homotopía en Top y por medio del funtor singular del objeto A se obtiene la homología singular la cual cumple el axioma de homotopía de teorías de homologías dado por Eilenberg-Steenrod [9, pág. 111]. Además se mostró que cambiando el modelo A por un funtor covariante F : Δ → Top con la condición de que F([0]) sea un punto, se producen resultados paralelos, algo así como otra topología algebraica. De este trabajo quedó abierta la pregunta de si estos modelos producen, por medio del correspondiente funtor singular, teorías de homología

Posteriormente en el artículo Overview on Models in Homotopical Algebra [20], se extiende y se estudia el concepto de objeto modelo para categorías en general. De nuevo queda abierta la pregunta si con estos objetos modelos se pueden hacer teorías de homología. Sin embargo para definir un concepto análogo al de teoría de homología en categorías no topológicas, es decir en categorías donde sus objetos no son espacios topológicos, era necesario determinar qué es una teoría de homología, para categorias en general, comenzando por el concepto de categoría admisible para homología, tal como se tiene en las teorías de homología en los espacios topológicos [12, pág. 1]. En particular era necesario axiomatizar el concepto de categoría admisible para homología, trabajo desarrollado en el texto Introducción a la Teoría de Homología General [22] en el cual se demuestran las principales consecuencias y está abierto el problema de precisar cuándo un objeto modelo realmente produce una teoría de homología general. Este problema puede enfrentarse de manera general pero las bondades de la categoría misma producen diferencias significativas en la necesidad de la construcción de dicha teoría. Es por esta razón que este trabajo se enfoca en la categoría de los grupos abelianos (Ab), además de la posibilidad de extenderlo a categorías abelianas.

Así pues en este artículo presentamos una teoría de homología general, en el sentido de R. Ruiz [22], en la categoría de los grupos abelianos, definida por medio de lo que llamamos Esqueleto Homoto-Homológico.

2. Preliminares

Definición 2.1. Consideremos Mod_R la categoría que tiene por objetos ñ-módulos y por morfismos a los homomorfismos de ñ-módulos, los cuales llamamos ñ-homomorfismos. Una sucesión finita de ñ-homomorfismos

es exacta si Ker(f_i+₁) = Im(fi) para i = 1, 2,... ,n - 1. Una sucesión infinita

es exacta si Ker(fi+1) =Im(fi) para todo i Є ℤ.

Una suceción exacta de la forma es llamada sucesión exacta corta.

Teorema 2.2 ([11, Tma 1.18. pág. 177]). Consideremos en Mod_Rla siguiente sucesión exacta corta

entonces las siguientes condiciones son equivalentes.

1. 1. Existe un R-homomorfismo h : C → B tal que gh = 1_c.
2. 2. Existe un R-homomorfismo k : B → A tal que kf = 1_a.
3. 3. La sucesión (1) es isomorfa a la sucesión exacta corta

en particular, B ≅ A ⊕ C.

Una sucesión exacta corta que cumpla las condiciones equivalentes del Teorema 2.2 se dice que se descompone.

Definición 2.3. Se define el funtor Hom(A, -), para A un R-módulo, como sigue:

donde Hom(A,f )(α) = fα, para α Є Hom_R(A, X).

Proposición 2.4 ([11, Prop. 4.4, pág. 201]). Seauna sucesión exacta de R-módulos que se descompone, entonces la sucesión

es exacta y se descompone, para todo R-módulo D.

Definición 2.5. La categoría Δ es aquella en la cual sus objetos son los conjuntos ordenados [n] = {0,1... ,n}, para n ≥ 0. Los morfismos en Δ son las funciones no decrecientes, esto es funciones f : [n] - [m] tales que i < j implica que f (i) ≤ f (j), para 0 ≤ i,j ≤ n.

En la categoría Δ se tienen los monomorfismos δⁱ_n: [n - 1] - [n], para i = 0,... ,n y los epimorfismos σ^j_n: [n + 1] → [n], para j =0,... ,n dados por

los cuales satisfacen las siguientes propiedades:

Teorema 2.6 ([5, Lema 2.2, pág. 24]). Todo morfismo φ Є Hom_Δ ([m], [n]) puede ser escrito como composición de epimorfismos y monomorfismos de forma única como sigue:

donde n = m - t + s y n ≥ i_s> ... > i₁≥ 0, 0 < j_t< ... < j₁< m.

Definición 2.7.

1. 1. La categoría de los Conjuntos Simpliciales, denotada como Δ ° Set, es aquella en la que sus objetos son funtores contravariantes X : Δ → Set, donde Set es la categoría de los conjuntos. Los morfismos son transformaciones naturales entre estos funtores.
2. 2. La categoría de los Grupos Abelianos Simpliciales, denotada como Δ °Ab, es aquella en donde los objetos son funtores contravariantes X : Δ →Ab donde Ab es la categoría de los grupos abelianos. Los morfismos son transformaciones naturales entre estos funtores.

La Definición 2.7 es lo que P. May en [18, pág. 4], denomina como objeto simplicial. Los objetos de la categoría de los Conjuntos Simpliciales (Grupos Abelianos Simpliciales), también pueden ser vistos como una sucesión [X_n}_n≥o de conjuntos (grupos abelianos) junto con funciones (homomorfismos) entre ellos como sigue

donde X_n= X([n]), dⁱ_n= X(δⁱ_n) y s^j_n= X(σ_n^j ), para X un conjunto simplicial (grupo abeliano simplicial), es decir X : Δ → Set (X : Δ → Ab) un funtor contravariante. Estas funciones (homomorfismos) satisfacen las siguientes propiedades, llamadas propiedades combinatorias:

El subíndice n de dⁱ_n y s^j_n se omitirá en la mayoría de los casos, siempre que no haya confusión.

Definición 2.8. Si X y Y son conjuntos simpliciales, se define como función simplicial, digamos f : X → Y, a una familia de funciones

tal que los siguientes diagramas conmutan

para todo n Є ℕ, i = 0,...,n y j =0,...n-1.

Definición 2.9. Denotamos como Δ[n] al conjunto simplicial el cual para q Є ℕ se define Δ [n]_q= Hom_Δ ([q], [n]), y para f : [p] → [q] un morfismo en la categoría Δ, el morfismo Δ [n](f) : Δ[n]_q → Δ[n]_p está definido por Δ[n](f)(α) = αf.

Definición 2.10.

1. Un complejo de cadenas D de grupos abelianos, es una familia de grupos abelianos [D_n}_nЄ ℤ junto con homomorfismos de grupos como sigue

tales que ∂_n-1o ∂_n= 0 para todo n Є ℤ. El subíndice n de ∂_n se omitirá en la mayoría de los casos, siempre que no haya confusión.

2. Si C y D son complejos de cadenas de grupos abelianos, una transformación de cadenas f : C → D es una familia de homomorfismos {f_n: D_n → C_n}_{n Єℕ} tal que el siguiente diagrama conmuta para todo n

3. La categoría Ch(Ab) es aquella en donde los objetos son complejos de cadenas de grupos abelianos y los morfismos son transformaciones de cadenas.

Denotamos como Ch⁺(Ab) a la categoría la cual sus objetos son complejos de cadenas C positivas, es decir C_n = 0 si n < 0 y (Ch+ (Ab))_d=0 a la categoría de cadenas positivas tales que d_n : C_n → C_n-i son homomorfismos nulos para todo n Є ℤ.

Existe en la literatura una definición más general de complejos de cadenas sobre R-módulos, para R un anillo, la cual denotan por Ch(R) o Chain_R (ver [10, pág. 40]), más en este trabajo nos enfocamos en el caso de complejos de cadenas sobre ℤ -módulos.

Definición 2.11 (Grupos de Homología). Sea C un complejo de cadenas, entonces los grupos de homología de C están definidos por H_n(C) = Ker∂_n/Im∂_n+_i para n Є ℤ.

Sea f : C → D una transformación de cadenas, entonces f induce un homomorfismo

como sigue: Sea C_n+∂ (C_n+1) Є Hn(C), entonces f_n* (cn + ∂ (C_n+1)) = fn(c_n)+ ∂ (D_n+1). El subíndice n generalmente se omite de f_n* para dar la notación f_* : H_n(C) → H_n(D) siempre que no haya confusión.

3. Objetos modelo para homotopía y homología

Los objetos modelo en una categoría C que se presentan en [20] son importantes en el estudio de homotopía y homología, pues ellos bajo ciertas condiciones, que se presentan en esta sección, pueden generar grupos de homología y una relación de homotopía en la categoría C, por medio de un sistema homotópico en el sentido de [14] y [15].

Definición 3.1. Sea C una categoría. Un objeto modelo sobre la categoría C es un funtor covariante Y : Δ → C, es decir un objeto cosimplicial en la categoría C, para el cual usaremos la notación Y([n]) := Yⁿ, Y(δⁱ_n : [n - 1] → [n]) := dⁿ_i y Y(σⁿ_j : [n +1] → [n]) := sⁿ_j, similar a conjuntos simpliciales, donde los morfismos δⁱ_n y , para i, j = 0,1,... ,n, son los monomorfismos y epimorfismos, respectivamente, que generan a todos los morfismos de la categoría Δ. Los morfismos dⁿ_i y sⁿ_j satisfacen las siguientes identidades combinatorias:

El superíndice n de dⁿ_i y sⁿ_j se omitirá en la mayoría de los casos, siempre que no haya confusión.

Definición 3.2. Un sistema homotópico en una categoría C, es una cuádrupla η = (I,Є⁰, Є¹,μ) donde I : C → C es un funtor covariante, y Єⁱ : 1_c- I, μ : I → 1_c son transformaciones naturales tales que μ◦ Єⁱ = 1 para i = 0, 1, donde 1 denota la transformación idéntica 1_c → _1c. Sean f,g : A → B dos morfismos en C, entonces decimos que f es η-homótopo a g (f ~η g) si existe un morfismo ∅ : I (A) → B en C tal que el siguiente diagrama conmuta

Ejemplo 3.3. Sea Ab la categoría en donde sus objetos son grupos abelianos y los morfismos son los homomorfismos de grupos abelianos. Dado un anillo unitario R, entonces en Ab existe un sistema homotópico, presentado en [8], dado por

para i = 0,1 y donde ⊗ denota el producto tensorial como ℤ -módulos.

Un objeto modelo sobre una categoría C puede generar un sistema homotópico en C bajo ciertas condiciones que presentamos a continuación.

Sea Y : Δ → C un objeto modelo y supongamos que existe un bifuntor (-)⊗ ( -) : C xC → C y existe un isomorfismo p_C : C → C⊗ Y⁰ natural en C, entonces los siguientes diagramas son conmutativos

Se puede generar entonces un sistema homotópico en la categoría C por medio de un objeto modelo Y : Δ → C como sigue.

Definición 3.4. Sea Y Δ →C un objeto modelo en la categoría C, ( - ) ⊗ (-) : C xC → C un bifuntor y p : (-)→ ( - ) ⊗ Y⁰ un isomorfismo natural. Entonces la terna (Y, ⊗,p) induce un sistema homotópico η_Y= (I,Є°, Є¹,μ) como sigue:

1. I : C → C; donde I(C) = C ⊗ Y¹ y I(f) = f ⊗ 1_y1 .

2. Єⁱ: 1c →I, definido para i = 0,1 por

para C Є ObjC.

3. μ : I → 1c , definido por

para C Є ObjC.

Ejemplo 3.5 (Homotopía en Categorías Monoidales). En una categoría monoidal (M, ⊗, 1) se tiene un bifuntor ⊗: M x M → M, llamado producto tensorial y un objeto identidad 1 el cual cumple que M ⊗ 1 ≅ M naturalmente para todo objeto M en M (ver [4, pág. 21]). Así pues, si se tiene un objeto modelo Y : Δ → M tal que Y⁰ = 1, entonces Y genera un sistema homotópico en M.

Los objetos modelos también juegan un papel importante para la construcción de funtores de homología de la forma H : C → (Ch⁺(Ab))_∂=0, los cuales se generan por medio de los grupos de homología en la categoría Ch(Ab) (ver Definición 2.11) y a partir del funtor singular S_Y que definimos a continuación.

Definición 3.6 (Funtor Singular). Sea C una categoría y Y : Δ → C un objeto modelo sobre C, entonces el Funtor Singular S_Y está dado por

donde

1. Para C un objeto en C, se define el funtor contravariante S_y(C) por

y para α Є Sy (C)q se define Sy (C)(ω)(α) = α o Y(ω).

2. Para un morfismo en C, la función simplicial S_y(f) : S_y(C₁) 4 S_y(C₂) se define por la siguiente familia de funciones

Puesto que para un objeto de Ch(Ab) existen sus grupos de homología y el funtor singular de un objeto modelo Y : Δ → C asigna a un objeto C de C un conjunto simplicial¹, para definir grupos de homología de C es necesario un funtor desde la categoría Δ °Set a la categoría Ch(Ab), el cual se construye pasando primero por una categoría que es equivalente a Ch+(Ab), la cual es la categoría de los grupos abelianos simpliciales Δ °Ab.

Para pasar de Δ °Set a Δ ° Ab, considere el funtor SetAb tal que para B un conjunto, Al(B) es el grupo abeliano libre generado por los elementos de B, y para f : A → B una función entre conjuntos, Al(f) : Al(A) 4 Al(B) es el homomorfismo definido por Al(f)( α) = f(α) para todo a perteneciente al conjunto generador A. Así, si X es un conjunto simplicial, es decir un funtor contravariante de Δ a Set, entonces Al o X es un grupo abeliano simplicial, con esto se define un funtor desde la categoría Δ ° Set a Δ ° Ab, denotado por Δ^°Al, el cual puede ser presentado también de la forma de sucesión, en donde cada nivel del grupo abeliano simplicial es de la forma Al(X_n) y los morfismos que cumplen las propiedades combinatorias son Al(di) y Al(si).

Así pues tenemos el funtor . Ahora para un objeto X en Δ °Ab se tiene la sucesión {X_n}_n≥₀ donde cada X_n con n ≥ 0 es un grupo abeliano y también para cada n > 0 se tienen homomorfismos dⁱ_n: X_n → X_n-1, para i = 0,1, 2,... ,n, con esto formamos los complejos de cadenas N(X) y M(X), conocidos en la literatura como Complejo de Moore y Complejo Normalizado, respectivamente, dados por

Donde

donde . Por tanto obtenemos dos

funtores desde la categoría C a la categoría Ch+(Ab) (un funtor tomando N y otro funtor tomando M) de la siguiente forma

Observación 3.7. El morfismo inclusión i : N(X) → M(X) es una transformación de cadenas la cual es una equivalencia de cadenas (ver [6, Tma 2.4, pág. 150]), entonces los grupos de homología de los complejos M(X) y N(X), para X un grupo abeliano simplicial, son isomorfos (ver [17, Cor 2.2, pág. 40]).

Notación. Denotaremos por C_y^N a la composición N o Δ ° Al o S_y y Cy^M a la composición M o Δ° Al o S_y , por lo tanto, para un objeto X en la categoría C, se pueden definir grupos de homología de X por medio de los grupos de homología del complejo de cadenas (X), los cuales por la Observación 3.7 son iguales a los grupos de homología del complejo de cadenas Cy¹(X). Así pues, en algunos casos realizaremos cálculos de grupos de homología por medio del funtor y en otros por medio del funtor Cy^M por conveniencia. En particular para objetos modelos Y : Δ → Ab, puesto que S llega a la categoría de los grupos abelianos simpliciales, es decir S : Ab → Δ^°Ab, entonces para estos objetos modelos denotamos por C_y^N al funtor N o S_y y C_y^N a la composición M o S_y .

En particular para objetos modelos Y : Δ → Ab sobre la categoría de los grupos abelianos, al aplicar el funtor singular S a una sucesión exacta que se descompone en Ab, es decir que satisface una de las condiciones del Teorema 2.2, se obtiene por cada nivel n ≥ 0 una sucesión exacta. Este resultado es de interés en este trabajo puesto que por medio de él se define una transformación natural necesaria para teorías de homología general la cual se presenta posteriormente en la sección 8 en la Observación 8.8.

Corolario 3.8. Sea Y : Δ → Ab un objeto modelo yuna sucesión exacta en Ab que se descompone, entonces la sucesiónes exacta para todo n ≥ 0.

Demostración. La sucesión es por definición la cual es exacta por la Proposición 2.4, puesto que es exacta y se descompone.

Definición 3.9. Sea Y : Δ → C un objeto modelo sobre una categoría C, entonces el funtor H_y: C → (Ch⁺(Ab))_∂=0, que llamaremos el funtor de homología generado por Y, está definido como sigue:

1. Para un objeto en C, H ( ) es el complejo de cadenas siguiente

donde ∂_n= 0 para todo n.

2. Para f : X → Z un morfismo en la categoría C, H_y(f) : Hy (X) → Hy (Z) es la transformación de cadenas tal que H_y(f)_n= H_n(Cp(f)).²

4. Objeto modelo en los grupos abelianos

En esta sección definimos el objeto modelo Ψ^R en la categoría de los grupos abelianos, la relación de homotopía y grupos de homología que genera, donde la relación de homotopía es igual a la presentada por L. Hernández en su tesis doctoral [13].

Sea R un anillo unitario y consideremos los siguientes homomorfismos de grupos abelianos definidos como sigue. Sea entonces

Y

Estos homomorismos satisfacen unas identidades las cuales son de importancía para la construcción de el objeto modelo Ψ^R.

Proposición 4.1 ([7, Prop. 1.39 pág. 57]). Los homomorfismos T_i^ky x^k_jsatisfacen las siguientes identidades:

A continuación presentamos la aplicación Ψ^R que posteriormente en el Teorema 4.4 se prueba que es, en efecto, un objeto modelo sobre la categoría Ab.

Definición 4.2. Sea Ψ^R: Δ → Ab, donde R es un anillo unitario, la aplicación tal que

2. La imagen de los morfismos δ_i y σ_i presentados en la categoría A son

Y

respectivamente, definidos de la siguiente manera:

a) Para n = 0 definimos d_i⁰: ℤ - ℤ ⊕ R, donde d_i⁰(m) = (m, (-m i)1_R) para i = 0,1 y s₀⁰: ℤ ⊕ R → Z, donde s0(m, r) = m.

b) Para n ≥ 1, se define

por casos como sigue:

c) Para n ≥ 1, se define

por casos como sigue:

Observación 4.3. Nótese que para 2 ≤ i ≤ n + 1 y n ≥ 1 se tiene que

y para 1 ≤ j ≤ n se tiene que

sⁿ(m,rk,...,rn+k) = (s^n-^(m,rk,. .. ,rn), -xVji (rn+k)) .

Ahora, con esta observación y la Proposición 4.1, podemos demostrar que la aplicación Ψ^R de la Definición 4.2 es un objeto modelo sobre la categoría Ab.

Teorema 4.4. Los morfismos d_iⁿy sⁿ_jde 4-2 satisfacen las identidades combinatorias presentadas en 3.1.

Demostración. Actuemos por inducción sobre n.

I. Sea n = 1, entonces

II. Supongamos que se cumple para algún n Є ℕ, verifiquemos para n + 1.

1. Sea j = 1 y i = 0, entonces

Sea i = 0 y 1 < j ≤ n + 1, entonces

Sea i = 0 y j = n + 2, entonces

Sea 0 < i < j ≤ n + 1, entonces

Puesto que i < j, entonces n - i + 1 ≥ n - j + 2, por tanto por el ítem 1 de la Proposición 4.1 se tiene que Tn-j+2Tn-i+i = Tn-i+2Tn-j+2. Luego

Sea 0 < i < j = n + 2, entonces

Puesto n - i + 1 ≥ 0, entonces por el ítem 1 de la Proposición 4.1 se tiene que T₀T_n-i+i = T_n-i+₂T0, entonces

2. Sea i = 0 = j, entonces

Sea i = 0 < j, entonces

Sea 0 < i < j, entonces

Por hipótesis de inducción y por el ítem 2 de la Proposición 4.1 se tiene que X_n-jX_n+i_-i= X_n-iX_n-j, puesto que j > i implica que n+1 - i > n - j, entonces

3. Sea i = 0 y j = 1, entonces

Sea 0 = i < j, entonces

Sea 1 = i < j, entonces

Ahora, puesto que j > 1, tenemos que n > n +1 - j, por lo tanto, por el ítem 3 de la Proposición 4.1, se obtiene que X_n+₁-jT_n+₁= T_nXn+₁-j. Luego,

Sea 2 ≤ i < j < n + 2, entonces

Por hipótesis de inducción y por el ítem 3 de la Proposición 4.1 se tiene que Xn^_j+₁^Tn-i+2 = T_n^__i+₁X_n^_j+₁. Ya que i < j, tenemos que n - i + 1 > n - j + 1 y luego

4. Sea i = 0, entonces

Sea i = 1, entonces

Por el ítem 4 de la Proposición 4.1 se tiene que Xn^Tn+₁= identidad = Xn^Tn. Luego

Sea 2 ≤ i ≤ n + 1 , entonces

Por hipótesis de inducción sⁿ_i-₁dⁿ_i-1= identidad = sⁿ_i-₁dⁿ_i y por el ítem 4 de la Proposición 4.1 se tiene que X_n^_i+1^Tn^_i+2 = identidad = X_n^_i+1^Tn^_i+1. Luego

5. Sea i = 2 y j = 0, entonces

Sea i > 2 y j = 0, entonces

Sea i > j + 1 y j > 1, entonces

Por hipótesis de inducción y por el ítem 5 de la Proposición 4.1 se tiene que X_n+₁^_j^T_n+₂^_j =^T_n+₂^_iX_n^_j. Ya que i > j + 1, tenemos que n + 2 - i < n + 1 - j y luego

Así pues la propiedad se cumple para n + 1. Entonces las identidades se cumplen para todo n Є ℕ.

Teorema 4.5. Consideremos el bifuntor (-)⊗ (-) : Ab x Ab → Ab dado por A ⊗ B := A⊗ ℤ B, donde (&% denota el producto tensorial como ℤ -módulos. La relación de homotopía que genera el objeto modelo Ψ^r, junto con el bifuntor (-)⊗ (-), por el proceso descrito en 3.4, es la relación de homotopía en Ab descrita en [13].

Demostración. Puesto que (Ψ^r)⁰= ℤ, entonces X⊗(Ψ^r)⁰ ≅ X naturalmente para todo grupo abeliano X, por lo tanto Ψ_r genera un sistema homotópico ηФ^R= (I,Є⁰,Є¹,μ), donde I(X) = X ⊗ (ℤ ⊕ R) ≅ X ⊕ (X ⊗R) ,Є⁰_X(x) = (x, 0),Є¹_x(x) = (x, -x ⊗1r) y μ_X(x,y ⊗r) = x, el cual es el sistema homotópico descrito en el Ejemplo 3.3, donde la relación de homotopía que genera es la homotopía en la categoría de los grupos abelianos, no trivial, descrita por L. Hernández en su tesis doctoral [13]. 0

A continuación explicitamos la construcción dada en la Definición 3.6 asociada al objeto modelo Y = Ψ^r definido en 4.2, para ello utilizaremos la notación de tipo exponencial, HomAb(A,B) = B^A: Sea A un grupo abeliano y R un anillo unitario, entonces

, por tanto obtenemos que SΨ_R(A) es el siguiente grupo abeliano simplicial

donde los morfismos dⁱ_n para i = 0,...,n +1 y s^j_n para j = 0,..., n son como sigue:

1. Para , donde , donde s₀⁰(α) = (α, 0).

2. Para n ≥ 1

Y

Por la Definición 3.9 tenemos que el objeto Ψ^R modelo definido en 4.2, genera al funtor de homología HΨr donde HΨr (A)_n: = H_n(C_Ψ^N_R(A)) = Ker(∂_n)/Im(∂_n+1), donde ∂_n: = ( -1)ⁿd_nⁿ para d_nⁿ definido por el grupo abeliano simplicial SΨr (A) el el ítem 1 al inicio de esta sección. Veamos pues los grupos de homología que genera el objeto modelo para un grupo abeliano A, grupos de homología introducidos en este trabajo, los cuales presentamos en el siguiente teorema.

Teorema 4.6. Sea A un grupo abeliano y R un anillo unitario, entonces

Demostración. Sea A un grupo abeliano y R un anillo unitario, entonces aplicando el funtor N : Δ°Ab → Ch+(Ab) al grupo abeliano simplicial SФ,r(A), se obtiene el siguiente complejo de cadenas

Donde

y para todo n ≥ 3, con lo cual se tiene el resultado.

Ejemplo 4.7.

1. Sea R un cuerpo, entonces

2. Consideremos R = ℚ y A = ℚ / ℤ. Afirmación: todo objeto en ℚ ⊗ ℚ es de la forma r ⊗ 1 para r Є ℚ. En efecto, consideremos ^p(g> J un elemento del conjunto generador de ℚ ⊗ ℚ, entonces . Análogamente también se prueba que en ℚ ⊗ ℚ se tiene que r ⊗ 1 = 1 ⊗ r, para todo r Є ℚ. Así pues, si un homomorfismo g : ℚ ⊗ ℚ → ℚ / ℤ satisface que gt¹₁= 0, entonces gt¹₀= 0, por lo tanto HΨr (ℚ / ℤ)₁= {f Є ( ℚ / ℤ) ^ℚ: f (1) = 0} con lo cual obtenemos HΨr (ℚ / ℤ)₁= 0, puesto que la proyección canónica π : ℚ → ℚ / ℤ dada por π(r) = r + ℤ, para r Є ℚ, está en el conjunto {f Є (ℚ / ℤ)^ℚ: f (1) = 0} y no es el homomorfismo nulo.

Observación 4.8. En [13] se define lo siguiente: Sea i : ℤ → R el homomorfismo de grupos abelianos dado por i(1 _ℤ)= 1r y sea S = Coker(i), por tanto S = R/i(ℤ), donde i(ℤ) es el grupo abeliano generado por 1_R, es decir i(ℤ) = {n1_R\n Є ℤ }. Se define

y con esto el n-ésimo grupo de homotopía π_n(A) = [⊗ⁿS, A]_R para un grupo abeliano A, donde [A, B]_R= HomAb(A, B)/ η para η el sistema homotópico presentado en el ítem 3 del Ejemplo 3.3. Así pues tenemos que π₀(A) = [ℤ, A]_R . Posteriormente en este trabajo, en el Teorema 6.8, se demuestra que HΨr (A)₀ ≅ π₀(A).

5. Esqueletos homoto-homológicos

Definición 5.1. Un Esqueleto Homoto-Homológico en una categoría A consiste de lo siguiente:

1. Un objeto modelo Y : Δ → A.

2. Una relación de homotopía ~ que sea compatible con la composición; es decir, si f, g : A → A' y f', g' : A → A" son tales que f ∼ g y f' ∼ g', entonces f’f ∼g'g.

3. Un funtor H: A → (Ch+ (Ab))_∂=0 tal que si dos morfismos f, g son tales que f ∼ g, entonces H(f) =H(g).

Por ejemplo, la relación ∼ puede ser definida por medio del sistema homotópico n_Y presentado en 3.4, si existe, o definida por medio del funtor H_y: A → (Ch⁺(Ab))_∂=0 definido en 3.9. ³. Como funtor H podemos considerar H= H_y: A → (Ch⁺(Ab))_∂=0 definido en 3.9, en el caso que este funtor sea invariante bajo la relación ∼, es decir que cumpla la condición exigida en 3 de la Definición 5.1. Usaremos la abreviación (A,Y, ∼ , H) para referirnos a esqueletos homoto-homológicos sobre la categoría A.

En [2] se deine una relación de homotopía en una categoría A por medio de la categoría de cocientes (A/ ℳ, k) (o llamada también en [5] como categoría de fracciones de A por M), donde A/ ℳ es una categoría con los mismos objetos de A y k : A → A/ ℳ es un funtor covariante que preserva los objetos de A y satisface las siguientes dos condiciones:

1. Si α Є ℳ, entonces K(α) es invertible en A/ ℳ, es decir K(α) es un isomorfismo en A/ ℳ.

2. Si T : A →K es un funtor, donde K es una categoría cualquiera, tal que T(α) es invertible para todo α Є M, entonces existe un único funtor t : A/ ℳ → K tal que T = t o k, es decir que el siguiente diagrama conmuta

Dada una categoría A cualquiera y ℳ una clase arbitraria de morfismos en una categoría A, entonces en [2, Tma 1.1, pág. 240] demuestran que la categoría cociente (A/ ℳ,k) existe. Con esto, definen M-homotopía en A como sigue: Dos morfismos f,g : A → B en A son llamados M-homótopos (f ℳ g) si y sólo si n(f) = n(g).

Observación 5.2. Si F : A → C es un funtor covariante cualquiera, se define la familia de morfismos ℳ (F) := {f Є A | F(f) es invertible en C}, por tanto existe la categoría cociente (A/ ℳ (F), k) la cual genera la relación ℳ(F) en A. Ahora, dado un objeto modelo Y : Δ → A, entonces por la Definición 3.9 existe el funtor de homología (Ch⁺(Ab))_∂=0 el cual genera entonces la relación en la categoría A.

Veamos que el funtor H_Y es invariante bajo la relación en A.

Teorema 5.3. Dado un objeto modelo Y sobre la categoría A y f,g : A → B morfismos en A tales que f es ℳ (Hy)-homótopo a g, entonces Hy(f) = Hy(g).

Demostración. Por definición ℳ (H_Y) = {f G A | Hy(f) es invertible en (Ch+ (Ab))_d=0], entonces existe un único funtor t : A/ ℳ - (Ch⁺(Ab))_∂=0 tal que el siguiente diagrama conmuta

Luego, por otro lado, puesto que f es ℳ (H_y)-homótopo a g, entonces K(f) = K(g) y por tanto TK(f) = TK(g), es decir, H_y(f) = H_y(g).

Así pues, dado un objeto modelo Y sobre A, entonces es un Esqueleto Homoto-Homológico.

5.1. Esqueletos homoto-homológicos en categorías simpliciales

En [6, pág. 81] se define categoría simplicial, a una categoría C para la cual existe un bifuntor Hom_c: C x C → Δ° Set con las siguientes propiedades para A y B objetos en C:

1. Hom_C(A,B)₀= Hom_C(A, B).

2. Cada funtor Hom_c(A, •) : C → Δ° Set tiene un adjunto a izquierda A⊗_C• : Δ°Set → C el cual es asociativo en el sentido que existe un isomorfismo A⊗_C(K x L) ≅ (A ⊗_CK) ⊗_CL natural en A ЄC y K, L Є Δ°Set.

3. Cada funtor Hom_c(•, B) : C^op → A°Set tiene un adjunto a izquierda homc(•, B) : Δ°Set → C^op.

Ahora, si una categoría simplicial C tiene objeto final *, entonces en C se puede obtener un Esqueleto Homoto-Homológico, como lo muestra el siguiente corolario.

Corolario 5.4. Sea C una categoría simplicial con objeto final * y Y : Δ → C el objeto modelo definido por Yⁿ= *⊗_CΔ[n]⁴, Y(δⁱ_n) = 1* ⊗_Cdⁿ_ie Y(σ^j_n) = 1* ⊗_Csⁿ_j, para dⁿ_iy sⁿ_jdefinidas por (dⁿ_i)_p(α) = δⁿ_iα y (s_jⁿ)_p(β) = σⁿ_jβ, donde α Є HomΔ([p], [n - 1]) y β Є HomΔ([p], [n +1]), entonceses un Esqueleto Homoto-Homológico.

Demostración. Dado que Y es un objeto modelo en C, entonces por el Teorema 5.3 se obtiene el resultado. 0

Por lo visto en la Observación 5.2 se tiene que un objeto modelo Y : Δ→ A genera una relación de homotopía por medio de la categoría cociente A/M y con lo visto en la Definición 3.4, Y genera bajo ciertas condiciones un sistema homotópico en A, el cual a su vez define una relación de homotopía. Queda aquí pues abierta la pregunta de que tipo de relación hay entre estas dos relaciones de homotopía.

6. Esqueleto homoto-homológico en Ab

En la categoría de los grupos abelianos, existe la relación de homotopía presentada por L. Hernández en su tesis doctoral (ver [13]), la cual utilizó para definir los grupos de homotopía para un grupo abeliano, entre otras cosas. Por tanto, dada la importancia de esta relación de homotopía, en este trabajo se presentará un Esqueleto Homoto-Homológico en Ab para el cual la relación ~ de la propiedad 2 de la Definición 5.1, sea la descrita en [13], la cual es generada por medio del objeto modelo Ψ^R, definido en 4.2. Ahora, este modelo genera el funtor de homología HΨr (ver Definición 3.9), al cual se le hizo una modificación a los objetos de la categoría de partida, es decir a los grupos abelianos.

Para R un anillo unitario, en [8, pág. 163] se define una relación de homotopía en la categoría de los grupos abelianos dada como sigue: Sean f,g : A → B homomorfismos de grupos abelianos, entonces se dice que f es nulo-homótopo si existe una función bilineal F : A x R → B tal que F(α, 1_R) = f (α), para todo α Є A. Luego f es homótopo a g (f ≅_Rg) si y sólo si .

Ahora, sea A un grupo abeliano, entonces A ≅Hom_Ab(ℤ, A), así pues se puede definir una relación en A por medio de la relación ≅_R en HomA_b(ℤ, A) como sigue.

Definición 6.1. Sea A un grupo abeliano y α_i,α₂Є A, entonces si y solo si ψ_a1 ≃_Rψ_a2 , donde ψ_ai: ℤ → A es el homomorfismo de grupos abelianos dado por ψ_ai(n) = nα_i, para i = 1, 2. Así pues si y sólo si existe una función bilineal F : ℤ x R → A tal que F(n, 1_R) = n(α₁- α₂), para todo n Є ℤ.

Puesto que la relación ≃_R es de equivalencia, entonces también lo es. Usaremos la notación ∿_R en cambio de , cuando se entienda el grupo abeliano A.

Tomando la operación del grupo A, el conjunto {f(1_R) : f Є HomAb(R,A)} es un subgrupo de A. Este subgrupo es de interés aquí, pues él es el que determina la relación ∿_R , lo cual mostramos en la siguiente proposición:

Proposición 6.2. Sea A un grupo abeliano y α₁, α₂Є A, entonces α₁ ∿_Rα₂si y sólo si α₁- α₂Є{f (1r) : f Є HomAb(R A)}. Así pues A/ ∿r ≅ A/{f (1r) : f Є HomAb(R A)}.

Demostración. (⇒) Supongamos α₁ ∿_Rα₂, entonces existe una función bilineal F : ℤ x R → A tal que F(n, 1_R) = n(α₁- α₂), para todo n Є ℤ, la cual induce un homomorfismo f : R → A dado por f(r) = F(1_ℤ,r). Puesto que F es bilineal, entonces f es homomorfismo de grupos. Así pues f (1_R) = F(1_ℤ, 1_R) = α₁- α₂. Por lo tanto α₁- α₂Є {f (1r) : f Є HomAb(R, A)}.

(⇐) Supongamos ahora α₁- α₂Є A tales que α₁- α₂Є {f(1_R) : f Є HomA_b(R,A)}, entonces existe un homomorfismo de grupos abelianos f : R → A tal que f (1_R) = α₁- α₂. Considere la aplicación F : ℤ x R → A dada por F(n, r) := nf (r). Así pues F es bilineal y F(n, 1r) = nf (1_R) = n(α₁- α₂), por lo tanto α₁ ∿_R. 0

De la Proposición 6.2 podemos ver que para el caso que HomA_b(R, A) = 0 entonces el grupo abeliano A/ ∿_R es el mismo grupo abeliano A.

La relación de homotopía ≃_R en HomA_b(A, B), presentada en [13], induce el grupo HomA_b(A, B)/ ≃_R , el cual en [13, pág. 37] lo denotan por [A, B]_R. Por otro lado, puesto que HomAb(A, B) es un grupo abeliano entonces tenemos el grupo abeliano HomA_b(A, B)/ ∿_R . El siguiente teorema nos muestra que estos grupos abelianos son isomorfos.

Teorema 6.3. Sean A y B grupos abelianos y f,g Є HomAb(A, B), entonces f ≃_Rg si y sólo si f ≅r g. Así pues [A,B]r = HomAb(A,B)/ . ∿R.

Demostración. (⇒) Supongamos que f ≃_Rg, entonces , es decir que existe una función bilineal F : A x R → B tal que F(α, 1R) = (f - g)(a). Considere ahora la función G : ℤ x R → HomA_b(A, B) donde G(n,r) = F o iⁿ_r, donde iⁿ_r: A → A x R es la función definida por iⁿ_r(α) := (n a, r). La función G es bilineal. Ahora G(n, 1R)(α) = F(n α, 1R) = (f - g)(n a) = n(f - g)(a), para todo α Є A, entonces G(n, 1R) = n(f - g), es decir f ∿_Rg.

(⇐ ) Supongamos que f ∿_Rg, entonces existe una función bilineal G : ℤ x R → HomAb(A, B) tal que G(n, 1R) = n(f - g). Considere ahora la función F : A x R → B definida por F(α, r) = G(1_Z, r)( α). La función F es bilineal. En efecto, F (α₁+ α₂,r) = G(1_ℤ,r)( α₁+ α₂) = G(1_ℤ,r)( α₁) + G(1_ℤ,r)( α₂) = F (α₁,r) + F (α₂,r) y F(α,r₁+ r₂) = G(1 _ℤ, r₁ + r₂)( α) = [G(l_z,n) + G(1 _ℤ,r₂)]( α) = G(1 _ℤ,n)( α) + G(l_z,r₂)( α) = F (α,r₁) + F (α,r₂).

Así pues se obtiene que el homomorfismo identidad l : HomA_b(A, B) → HomA_b(A, B) pasa al cociente 1 : [A, B]_R → HomAb(A, B)/ ∿_R , es decir [A, B]_R= HomA_b(A, B)/ ∿_R .

Teorema 6.4. Sea f : A → B un homomorfismo de grupos abelianos. Si α₁ ∿_Rα₂, entonces f (α₁) ∿_Rf (α₂).

Demostración. Si α₁ ∿_Rα₂, entonces ψα₁ ≃_Rψ α₂, luego puesto que la relación ≃_R es representada por un sistema homotópico, entonces fψ α₁ ≃_Rfψ α₂ es reflexiva (ver [19, Lema 2.3, pág. 4]). Ahora ψ_f(ai)(n)= nf (α₁) = f (n α₁) = f (ψ_ai,(n)) = fψ_ai,(n), asípues, si ai ∿r α₂ entonces ψ_f(α₁) ≃r ψf(α₂), por lo tanto f (α₁) ∿r f (α₁).

Con lo anterior tenemos que todo homomorfismo de grupos abelianos f : A → B pasa al cociente por ∿_R , por tanto se tiene el homomorfismo de grupos abelianos [f]_R: A/ ∿_R → B/ ∿_R donde [f]_R ([α]A) = [f (α)]_B . Entonces definimos el siguiente funtor.

Definición 6.5. Se define el endofuntor C^R: Ab →Ab por C^R(A) = A/ ∿_R , para A un grupo abeliano y C^R(f) = [f]_R, para f un homomorfismo de grupos abelianos.

Teorema 6.6. Sean f,g : A → B homomorfismos de grupos abelianos. Si f ∿_Rg, entonces C^R(f) = C^R(g).

Demostración. Supongamos f ≃_Rg, entonces existe una función bilineal F : A x R → B tal que F(α, 1_R) = (f - g)(α), para todo a Є A. Consideremos la función , para cada α Є A, donde T_α(n,r) = (n α,r). La función FT_a es bilineal, más aún, se tiene que FTa(n, Ir) = F (n α, Ir) = (f - g)(na) = nf (α) - ng(α) = n(f (α) - g(α)), por tanto f(a) ∿ g(α) para cada a Є A, es decir C^R(f)(a) = C^R(g)( α) en B/ ∿, entonces C^R(f )= C^R(g). 0

Observación 6.7. Para el objeto modelo Ψ^R sobre la categoría Ab, se obtuvo por el Teorema 4.6 que HΨr (A)₀= A/{f (Ir) : f Є HomA_b(R, A)}, es decir que HΨr (A)₀ ≅ C^R(A), para todo grupo abeliano A y en [13] se define el grupo cero de homotopía por π₀(A) = [ℤ,A]r, para A un grupo abeliano. Veamos que π₀(A) = HΨr(A)₀.

Teorema 6.8. Sea A un grupo abeliano, entonces no(A) ≅ HΨr(A)₀.

Demostración. En [13] definen π₀(A) = [ℤ,A]_R , luego por el Teorema 6.3 tenemos que [ℤ, A]_R ≅ HomA_b(ℤ, A)/ ∿. Por otro lado, existe un isomorfismo φ : A → HomA_b(ℤ, A), luego puesto que C^R es un funtor entonces C^R(φ) : A/ ∿ → HomA_b(ℤ, A)/ ∿ es un isomorfismo, es decir A/ ∿ ≅ HomA_b(ℤ, A)/ ∿. Por último, por la Observación 6.7 tenemos que C^R(A) = HΨr(A)₀. Así pues con lo anterior obtenemos n₀(A) = [ℤ,A]_R = HomAb(Z,A)/ ∿ ≅ A/ ∿≅ HyR (A)₀.

El funtor C^R preserva sucesiones exactas que se descomponen en Ab, propiedad que mostramos en la siguiente proposición.

Proposición 6.9. Consideremos una sucesión exacta corta enque se descompone, entonces la sucesión corta enC^R(D) → 0 es exacta y se descompone.

Demostración. Para la exactitud hay tres cosas por demostrar:

1. (C^R(f) es monomorfismo) Puesto que la sucesión se descompone, entonces f es una sección y por tanto C^R(f) es una sección, además toda sección es un monomorfismo. Así pues C^R(f) es un monomorfismo.

2. (C^R(g) es epimorfismo) Afirmación; si g es epimorfismo, entonces C^R(g) es también un epimorfismo. En efecto, sea [d] Є D/ ~, donde d Є D, puesto que g es sobreyectiva, entonces existe un b Є B tal que g( b) = d, por tanto [g(b)] = [d], luego C^R(g)(b) = [g(b)], asípues C^R(g)(b) = [d].

3. (Ker (C^R(g)⁾= Im((C^R(f)⁾) Puesto que la sucesión se descompone, entonces por el corolario 3.8 la sucesión

es exacta para todo n ≥ 0 . Ahora al aplicar el funtor M : Δ°Ab → Ch⁺(Ab) obtenemos la sucesión

en Ch+(Ab), la cual es exacta por niveles para cada n ≥ 0. Así pues obtenemos que la sucesión

es exacta para todo n ≥ 0 (ver [1, Theorem 1.3, pág. 6], la cual por la Observación 3.7 es igual a la sucesión

Así pues Ker ((NS_Y(g))_n*) = Im ((NS_Y(f ))_n*). Ahora si tomamos Y = Ψ^R y n = 0, entonces por la Observación 6.7 obtenemos que KerC^R(g) = ImC^R(f).

Puesto que C^R(f) es una sección, entonces la sucesión exacta se descompone.

Así pues con el funtor C^R y H_y para un objeto modelo Y : Δ → Ab (ver Definición 3.9) se tiene el funtor , este funtor satisface que si f ≃_Rg en Ab, lo cual es equivalente a que (Teorema 4.5), entonces H_yC^R(f) = H_yC^R(g) (Teorema 6.6), para R un anillo unitario. Así pues tomando a Y como el objeto modelo Ψ^R , entonces tenemos el siguiente teorema.

Teorema 6.10. Sea Ψ^Rel objeto modelo definido en 4.2, entonceses un Esqueleto Homoto-Homológico en Ab.

7. Teoría de homología general

En [22] se define lo que es una Teoría de Homología General, empezando con lo que es una Categoría Admisible para Homología en una categoría C, con objeto inicial 0 y con un sistema homotópico n. Con ello muestra los resultados que se obtienen para teoría de homología general. Para dar claridad al artículo, presentamos en esta sección las definiciones fundamentales para teoría de homología general presentadas en [22], para con esto mostrar posteriormente una teoría de homología general en la categoría de los grupos abelianos, utilizando el esqueleto homoto-homológico del Teorema 6.10. Si para el lector es de interés el conocer más propiedades de las teorías de homología general, se pueden consultar en [22].

Definición 7.1. Consideremos C una categoría. Se define la categoría Mor (C) por:

1. Los objetos de Mor (C) son los morfismos de C,

2. Un morfismo entre f y g es una pareja (β, α), donde α : A → C y β : B → D son morfismos en C tales que el siguiente diagrama conmuta

3. Sean (β₁, α₁) : f → g y β₂, α₂) : g → h, morfismos en Mor (C), la composición está dada por (β₂, α₂) (β₁, α₁): = (β₂β_1,α₂α₁).

Consideremos de ahora en adelante a (C, η) como una categoría C con objeto inicial 0 único y η = (I, Є⁰, Є¹, μ) un sistema homotópico en C tal que I(0) = 0.

Definición 7.2 (Categoría de Parejas). Llamaremos por categoría de parejas V a una subcategoría cualquiera de Mor (C) que cumpla lo siguiente:

1. Para cada par de objetos A y B de C, existe a lo más un único morfismo α : A → B, es decir no existe otro morfismo de C como objeto en V con el mismo dominio y codominio de a.

2. V es cerrada para composiciones, es decir si α Є Home (A, B) y β Є Home (B, C) son objetos en V, entonces βα es un objeto en V.

3. Para cada objeto X en C, se tiene que el morfismo identidad 1_X: X → X y el morfismo 0 → X (el cual es único por 0 ser objeto inicial) son objetos en V.

Notación. Sea α : A → X un objeto de V. Puesto que solo existe un morfismo en V con dominio A y codominio X, entonces denotamos este objeto como (X,A). Así pues con esta notación tenemos que para dos objetos (X, A) y (Y, B) en la categoría V, un morfismo (F, f) : (X,A) → (Y, B) en V es una pareja F : X → Y, f : A → B de morfismos de C tales que el siguiente diagrama conmuta

Definición 7.3 (Diagrama de (X, A)). Sea (X, A) un objeto en V, entonces se define el diagrama de (X,A), denotado por D(X,A), a

en donde los morfismos del 1 al 6 son los evidentes. Por ejemplo, (X, A) es un morfismo α : A → X en C, entonces el morfismo 5 es (α, 1a).

Con las definiciones anteriores se abre paso a la definición de Categoría Admisible.

Definición 7.4 (Categoría Admisible para Homología). Sea V una categoría de parejas sobre una categoría (C,n). Se dice que V es una categoría esencialmente admisible para homología si satisface las siguientes condiciones:

(AC1) Si (X,A) es un objeto en V, entonces V contiene a D(X,A).

(AC1) Si (X,A), (Y,B) GV y (F, f) : (X,A) → (Y, B) es un morfismo en V, entonces todos los morfismos inducidos por (F, f), desde los miembros de D(X,A) a los correspondientes miembros de D(Y, B) están en V.

(AC1) Si (X,A) Є V, entonces I(X, A) = (I(X),I(A)) está en V, donde I es el funtor del sistema homotópico n que acompaña a C.

Si V es una categoría esencialmente admisible para homología y además admite al menos un objeto (*, 0), donde * es un objeto final y 0 el objeto inicial en la categoría C, entonces se dice que V es una categoría admisible para homología.

Para V una categoría admisible para homología, a los objetos de V se les llama admisibles y a los morfismos de V morfismos admisibles.

Ejemplo 7.5 (La categoría de pares topológicos). Consideremos la categoría de los espacios topológicos con la homotopía usual. Sea Top_par la categoría en la cual los admisibles son las parejas topológicas (X,A), es decir las inclusiones A → X, para A un subespacio de X. Los morfismos entre dos admisibles (X,A) y (Y, B) son todas las funciones continuas f : X →Y que satisfacen f (A) ⊆ B. Así pues Top_par satisface las condiciones (AC1)-(AC3) y admite el morfismo 0 → *, donde * es un espacio singleton, por tanto Top_par es un categoría admisible para homología.

Con la relación de homotopía generada por el sistema homotópico n en la categoría C, se puede definir también una relación de homotopía en una categoría admisible V sobre la categoría (C,η), la cual presenta [22] de la siguiente manera.

Definición 7.6 (Homotopía en Categorías Admisibles). Sean V una categoría admisible para homología sobre una categoría (C, η) y (F, f), (G,g) : (X,A) → (Y, B) morfismos admisibles en V, entonces decimos que (F,f) es n homótopo a si existe un morfismo admisible (T, t) : I(X, A) → (Y, B) tal que el siguiente diagrama conmuta

es decir, que los siguientes diagramas son conmutativos

En [22] se define el objeto cociente en una categoría como sigue.

Definición 7.7. Sea V una categoría de parejas sobre una categoría C con objeto final * y (X, A) un objeto en V, entonces definimos el cociente X/A por medio del siguiente diagrama cocartesiano

siempre y cuando exista.

Observación 7.8. En la categorías de parejas Top_par del Ejemplo 7.5, el cociente definido en 7.7 coincide con el cociente de espacios topológicos.

Para el caso de un morfismo (F, f) : (X, A) → (Y, B) en una categoría de parejas se cumple una propiedad de isomorismo entre cocientes, propiedad demostrada en este trabajo y presentada en la siguiente proposición.

Teorema 7.9. Sea V una categoría de parejas sobre una categoría C con objeto final * y supongamos el siguiente diagrama es cocartesiano

entonces X/A ≅ Y/B, siempre y cuando existan estos cocientes.

Demostración. Por la Definición 7.7 tenemos que los siguientes diagramas son cocartesianos

luego componiendo el diagrama (1) con el diagrama (3) obtenemos el siguiente diagrama

el cual es cocartesiano. Por tanto tenemos que (2) y (4) son cocartesianos, entonces X/A ≅ Y/B. 0

Definición 7.10 (Escisión Categórica). Un morfismo (E,e) : (X,A) → (Y,B) en V es una escisión categórica si el siguiente diagrama es cocartesiano

Definición 7.11. En D(X,A), definido en 7.3, la composición será llamada la descomposición esencial de (X,A) con notación genérica y que denotaremos por E(X,A). Para un morfismo (f,g) : (X,A) → ( Y, B) su diagrama esencial es el siguiente

el cual denotaremos por E(f,g).

Ahora, consideremos una categoría admisible para homología V sobre (C ,η) y H: V → Ch(Ab) un funtor covariante, entonces H induce los funtores H_n: V → Ab y PR_n: V - Ab, donde H_n(X,A) = H(X,A)_n, PR_n(X,A) = H(A, 0)_n, para (X,A) un objeto en V y Hn(F,f) = (F,f )n, PRn(F,f) = (f, 1₀)n, para (F,f) un morfismo en V, para cada n Є ℤ, donde H(X, A)_n es n-ésimo grupo abeliano del complejo de cadenas H(X, A) y (F, f )n = H(F, f)_n. Al funtor PR_n lo llamaremos proyección n-ésima deH.

Para las teorías de homología generales, como en las teorías de homología en espacios topológicos, se pide la existencia de una transformación natural ∂_n: H_n → PR_{n_1} para cada n Є ℤ, para la cual tenemos entonces la siguiente sucesión

Así pues con el anterior breve resumen se abre paso a la definición de teoría de homología general, presentada en [22].

Definición 7.12 (Teoría de Homología General). Sea V una categoría admisible para homología sobre una categoría (C, η) y H: V → Ch(Ab) un funtor covariante. Decimos que H es una teoría de homología general si satisface los siguientes axiomas:

1. Axioma de Exactitud. Si (X,A) es un objeto en V, entonces

es una sucesión exacta.

2. Axioma de Homotopía. Sean (F, f), (G,g) : (X,A) → (Y, B) morfismos en P tales que , entonces H(F,f) =H(G,g).

3. Axioma de Dimensión. Si n = 0, entonces H_n(*, 0) = 0, para todo admisible (*, 0), donde * es un objeto final en C.

4. Axioma de Escisión. Si (E,e) : (X,A) → (Y,B) es una escisión categórica, entonces H(E,e) es un isomorfismo. Más aún H(X/A) ≅ H(Y/B), si X/A y Y/B existen.

Nota. Toda categoría C con objeto inicial y final se puede cambiar para todo propósito en C igual que pero con un solo objeto inicial 9 y un solo objeto final * y trabajar con .

8. Teoría de homología general en Ab

Presentaremos una categoría de parejas en la categoría de los grupos abelianos (Ab) desarrollada en este trabajo, la cual utilizaremos posteriormente para mostrar una teoría de homología general en la categoría Ab.

Definición 8.1. Definimos la categoría Ab_inj como sigue:

1. Consideramos como objetos admisibles los siguientes morfismos

a) Para todo grupo abeliano A, consideramos el morfismo 0 → A y el morfismo identidad 1a : A → A.

b) Las inclusiones A → X, donde A es un ℤ -módulo inyectivo.

c) Para las inclusiones i : A → X del ítem anterior, consideramos también como admisibles a Iⁿ(i : A → X), para n Є ℤ +, donde

para I el funtor cilindro del sistema homotópico en Ab mostrado en el ítem 4 del Ejemplo 3.3, el cual I(f : X → Y) = f ⊕ (f ⊗1r), para f un homomorfismo de grupos abelianos.

2. Como morfismos entre objetos admisibles (X, A) y (Y, B), consideramos los morfismos en la categoría Mor(Ab) entre estos objetos, es decir una pareja de homomor-fismos de grupos abelianos (F, f) : (X, A) → (Y, B) tal que f (A) ⊂ B y f = F|a.

Consideremos el funtor H:Ab_inj → (Ch⁺(Ab))_∂=0 definido por medio del funtor de homología HΨr, presentado explícitamente en el Teorema 4.6, como H(X,A) = HΨr (C^R(X/A)), donde C^R es el funtor definido en 6.5. Para (F, f) : (X, A) → (Y, B) un morfismo en Ab_inj definimos H(F, f) := HΨr (C^r(F)), el cual denotamos por (F, f )*, donde el homomorfismo F : X/A - Y/B es dado por F(x + A) = F(x) + B.

Nótese que H(X, 0) = HΨr (C(X)), por tanto a las parejas de la forma (X, 0) las denotaremos solo por X, para X un grupo abeliano. Así pues un morfismo f : X → (Y,B) es un morfismo de la forma (f, 0) : (X, 0) → (Y,B), donde f es un homomorfismo de X a Y. Por lo visto en la sección 7 tenemos los funtores H_n y PR_n.

8.1. Dimensión

Teorema 8.2. H_n(0) = 0 para todo n ≥ 0.

Demostración. Por definición H_n(0) = HΨr(C^R(0))_n, luego C^R(0) = 0 y por el Teorema 4.6 tenemos que HΨr (0)_n= 0 para todo n ≥ 0, entonces H_n(0) = 0 para todo n ≥ 0.

Toda teoría de homología general H debe satisfacer que H_n(X,X) = 0 para todo n (ver [22, pág. 47]), luego en Ab se tiene que H_n(*) = H_n(*, 0) = 0 puesto que * = 0 = 0, donde * es el objeto final y 0 es el objeto inicial, lo cual quiere decir que toda teoría de homología H en Ab sería una homología reducida. En busca de una teoría de homología general no reducida en Ab nos vemos en la necesidad de cambiar el axioma de dimensión en el sentido de que * no sea el objeto final pero sin alterar lo establecido en teorías de homología en la categoría Top. Nótese lo siguiente; el funtor olvido U_T: Top → Set es representable (ver [16, Proposición 4.1.11, pág. 87]) puesto que tiene como adjunto a izquierda al funtor

donde V( X) denota partes de X, es decir la topología discreta, así pues tenemos que U_T(X) ≅ Top(D(l), X), para X un espacio topológico y donde 1 es un conjunto uni-puntual y en Top el objeto D(1) coincide con el objeto inicial, lo cual no sucede en la categoría Ab. El funtor olvido Ua : Ab → Set tiene como adjunto a izquierda el funtor abeliano libre

así pues tenemos

por tanto en Ab, tomamos * = ℤ, luego por el ítem 1 del Ejemplo 4.7 tenemos que la homología no es reducida, en el caso que R sea un cuerpo. Por otra parte, pensando en el cálculo de los grupos de homotopía, tomando * = Z, se presenta una diicultad en la construcción de las esferas por suspensión, puesto que se requiere de un morfismo único S^n-1 → * para generar Sⁿ, partiendo de S⁰= * + * = ℤ ⊕ ℤ, donde + denota la suma categórica, así pues estudiamos actualmente la categoría Ab _ℤ, en donde es el objeto inal, el cual es diferente al objeto inicial el cual es el morismo 0 - ℤ.

8.2. Exactitud y escisión

Lema 8.3. Sea X un grupo abeliano y A un subgrupo de X, entonces

1. I(X/A) ≅ I(X)/I(A).

2. Si A es un ℤ -módulo inyectivo, entonces I(i : A → X) = i : I(A) → I(X), donde i es el monomorfismo inclusión.

Demostración.

1. Consideremos la aplicación h : (X ⊗R)/(A ⊗ R) → (X/A) ⊗ R, donde h(x ⊗ r +(A ⊗ R)) = (x+A) ⊗r. Veamos que h está bien definida. Supongamos x\⊗r\ + (A⊗ R) = x₂ ⊗r₂+ (A ⊗R), entonces tenemos los siguientes casos:

a) Si r₁= r₂, entonces x₁- x₂Є A, por tanto (x₁+ A) ⊗ r₁= (x₂+ A) ⊗r₂.

b) Si r₁= r₂, entonces x₁,x₂Є A, por tanto (x₁+ A) ⊗ r₁= 0 = (x₂+ A) ⊗ r₂.

Por otro lado, consideremos la aplicación k : (X/A) x R - (X ⊗ R)/(A ⊗ R), donde k(x + A, r) = x ⊗ r + (A ⊗ R). Veamos que k está bien definida. Supongamos (x₁+ A,r_i) = (x₂+ A,r₂), entonces tenemos que x₁+ A = x₂+ A y r₁= r₂, por tanto (x₁- x₂) ⊗ r₁+ (A ⊗ R) = 0 + (A ⊗ R), es decir x₁ ⊗ r₁+ (A ⊗ R) = x₂ ⊗ r₂+ (A ⊗ R).La función k es una función bilineal. En efecto, k((x₁+ A) + (x₂+ A), r) = k((x₁+ x₂) + A,r) = (x₁+ x₂) ⊗ r + (A ⊗R) = (x_i ⊗r + x₂ ⊗r) + (A ⊗ R) = (x₁ ⊗ r +(A ⊗ R)) + (x2 ⊗ r + (A ⊗ R)) = k((xi + A),r) + k((x2 + A),r) y k(x + A,r₁+ r₂) = x ⊗ (r₁+ r₂) + (A ⊗ R) = (x ⊗ r₁+ x ® r₂) + (A ⊗ R) = (x ⊗r_i + (A ⊗ R)) + (x ® r₂ + (A ⊗R)) = k(x + A, r_i) + k(x + A,r₂).

Así pues, existe un homomorfismo de grupos abelianos k : (X/A) ⊗ R → (X ⊗ R)/(A ⊗ R), tal que k((x + A) ⊗ r) = k(x + A, r). Ahora

y

Por lo tanto k es un isomorfismo, es decir (X/A) ⊗ R ≅ (X ⊗ R)/(A ⊗ R). Entonces tenemos lo siguiente

2. Puesto que la inclusión i : A → X es monomorfismo, entonces la sucesión 0 → A X es exacta, ahora puesto que A es inyectivo, entonces existe un homomorfismo de grupos abelianos h : X → A tal que el siguiente diagrama conmuta

Así pues i : A → X es una sección, por lo tanto i ⊕ (i ⊗ 1_r) es una sección, luego toda sección es monomorfismo, entonces i ⊕ (i ⊗ 1_r) es un monomorfismo, más aún I (i)(a, b ⊗ 1r ) = [i ⊕ (i ⊗ 1r )] (a, b ⊗ r) = (a,b ⊗ r), para (a,b ⊗ r) Є A ⊕ (A ® R), por tanto I(i) : A ⊕ (A ⊗ R) → X ⊕ (X ⊗ R) es el monomorfismo inclusión. 0

Teorema 8.4. Sea (X,A) un objeto en Ab_inj, entonces la sucesión exacta

se descompone, donde i es el monomorfismo inclusión y π la proyección canónica.

Demostración. Sea (X,A) un objeto en Ab_inj, entonces tenemos los siguientes casos:

1. Si A = 0, entonces tenemos la sucesión , la cual es exacta y se descompone.

2. Si A = X, es decir (X,A) = (A, A) = 1a, entonces tenemos la siguiente sucesión , la cual es exacta y se descompone.

3. Si A = 0 es un ℤ -módulo inyectivo, entonces la sucesión exacta se descompone (ver [11, Prop. 3.13, pág. 197]).

4. Si (X,A) = Iⁿ(X',A'), para algún n ≥ 0, donde A' es un ℤ -módulo inyectivo y X un grupo abeliano que contiene a A , entonces tenemos por el ítem 3 que la sucesión exacta se descompone, entonces existe un homomorfismo z : X' → A' tal que zi = 1a' . Luego por el ítem 2 del lema 8.3, puesto que A es un Z-módulo inyectivo, tenemos que I(i : A' → X') = i : I(A') - I(X'), entonces Iⁿ(i : A' → X') = i : Iⁿ(A') - Iⁿ(X'), por tanto Iⁿ(z)i = Iⁿ(z)Iⁿ(i) = 1¡n(x). Así pues tenemos que la sucesión exacta se descompone, es decir que la sucesión exacta se descompone.

Observación 8.5. Sea una sucesión exacta en Ch(Ab). Entonces un conjunto de homomorfismos ∂_n* : H_n(C) → H_n-1(A) es definido en [1, pág. 5] como sigue: Los elementos de H_n(C) tienen la forma c_n+ ∂C_n+₁, donde ∂c_n= 0. Puesto que j_n es un epimorfismo, existe un b Є B_n tal que j_n(b_n) = c_n. Así pues j_n-1(∂b_n) = ∂ (j_nb_n) = ∂c_n= 0 y por la exactitud en la n-ésima posición existe un a_n-1Є A_n-1, para el cual i_n-₁(a_n-i) = ∂b_n. Por tanto definimos ∂_n* (c_n+ ∂C_n+₁) = a_n-1+ ∂A_n. El símbolo ∂* será escrito en lugar de ∂_n*

Teniendo en cuenta este conjunto de homomorfismos ∂_n* : H_n(C) → H_n-1(A), en [1] demuestran los dos siguientes teoremas (8.6 y 8.7), los cuales son de importancia en este trabajo, puesto que definen la transformación natural a utilizar para la teoría de homología general que estamos construyendo en la categoría Ab.

Teorema 8.6. Sies una sucesión exacta en Ch(Ab), entonces la sucesión

es exacta en Ab.

Teorema 8.7. En el diagrama de complejos de cadenas

sean las sucesiones exactas y cada diagrama conmutativo, entonces el siguiente diagrama

en Ab

es conmutativo.

Observación 8.8. Sea (X,A) un objeto en Ab_inj . Entonces, por el Teorema 8.4, la sucesión exacta se descompone. Luego, por la Proposición 6.9, la sucesión es exacta y se descompone en Ab y, por el Corolario 3.8, la sucesión

es exacta para todo n ≥ 0. Así pues, al aplicar el funtor M obtenemos la sucesión exacta en Ch+ (Ab)

entonces por la Observación 8.5 se tiene un conjunto de homomorfismos ∂* :H_n(X,A) →U_n-1(A, 0).

Veamos que efectivamente ∂* : H_n(X,A) →H_n-1(A) es transformación natural.

Proposición 8.9. Sea (F, f) : (X,A) → (Y,B) un morfismo en Ab_inj, entonces el siguiente diagrama es conmutativo

Demostración. Puesto que (F, f) es un morfismo en Ab_inj , entonces tenemos en Ab el siguiente diagrama conmutativo

en el cual las flechas horizontales forman sucesiones exactas. Aplicando el funtor MSΨrC^R obtenemos en Ch+(Ab) el siguiente diagrama conmutativo

donde las flechas horizontales forman sucesiones exactas (Obs. 8.8), y por el Teorema 8.7 el siguiente diagrama es conmutativo

A continuación mostramos que el funtor H : Ab_inj → Ch+(Ab) satisface el axioma de exactitud y posteriormente el axioma de escisión.

Teorema 8.10. Considere (X,A) un objeto en Ab_injy E(X,A), definido en 7.11, entonces

es una sucesión exacta.

Demostración. Para (X, A) tenemos que E(X, A) es la sucesión (X, A), donde i es el homomorfismo inclusión de A a X y j es el homomorfismo identidad del objeto X. Así pues i* = HΨr (C^R(i))_n y j* = HΨr (C^R(n))_n, para los morfismos i y π del Teorema 8.4. Luego por la Observación 8.8 tenemos que la sucesión

es exacta en Ch+ (Ab), por tanto, aplicando el Teorema 8.6, obtenemos que la sucesión

es exacta en Ab. 0

Teorema 8.11. Si (E, e) : (X, A) → (Y, B) es una escisión categórica en Ab_inj, entonces H(E,e) es un isomorfismo.

Demostración. Por definición tenemos que - Y/B es dado por E(x + A) = E(x) + B, por otro lado por la Definición 7.10 tenemos el siguiente diagrama cocartesiano

Ahora, por la Proposición 7.9 tenemos que X/A ≅ Y/B, donde el isomorfismo h : X/A → Y/B es definido por medio del siguiente diagrama conmutativo

es decir h(x + A) = hπ(x) = π'E(x) = E(x) + B, entonces h =. Por lo tanto es un isomorfismo, entonces HΨrC^r() es un isomorfismo, es decir H(E, e) es un isomorfismo.

8.3. Invarianza homotópica del funtor H

El objeto modelo Ψ^r genera un sistema homotópico η = (I,Є⁰,Є¹,μ) por medio de la Definición 3.4, utilizando como bifuntor ⊗: CxC → C el producto tensorial de Z-módulos, entonces I(X) = X ⊕ (X ⊗ R), Є⁰_X(x) = (x, 0), Є¹_X(x) = (x, -x⊕ 1_R) y μ_X(x, y ⊗ r) = x) y este sistema homotópico define la relación de homotopía en Ab descrita en [13] (Teorema 4.5). Así pues (Ab, η) define una relación de homotopía en Ab_inj por medio de la Definición 7.6, la cual cumple el siguiente teorema.

Teorema 8.12. Sean (F, f), (G,g) : (X,A) → (Y,B) morfismos en la categoría Ab_inj, tales que, entonces H(F, f) =H(G,g).

Demostración. Por hipótesis tenemos que , entonces existe un morfismo admisible (T,t) : I(X,A) → (Y,B) en Ab_inj tal que los siguientes diagramas conmutan

entonces el siguiente diagrama conmuta

Ahora, de la teoría de grupos tenemos que el homomorfismo λ : X₁/A₁ ⊕ X₂/A₂- (X₁⊕X₂)/(A₁⊕A₂) dado por A(x₁+A₁,x₂+A₂) = (x₁,x₂) + (A₁⊕A₂) es un isomorfismo, donde Ai es un subgrupo del grupo abeliano X_i para i = 1, 2. Por tanto

es un isomorfismo. En la prueba del ítem 1 del lema 8.3 se mostró que el homomorfismo es un isomorfismo, por lo tanto

es un isomorfismo. Ahora nótese lo siguiente

Por lo tanto el siguiente diagrama es conmutativo

donde . Entonces , luego puesto que es un Esqueleto Homoto-Homológico (Teorema 6.10) entonces , por lo tanto H_n(F, f) =H_n(G,g), para todo n ≥ 0, es decir H(F, f) =H(G,g).

Agradecimientos:

Quiero expresar mis más sinceros agradecimientos al profesor Roberto Ruiz Salguero, director de mi tesis doctoral de donde surge este artículo, por sus grandes enseñanzas, dedicación y orientación, los cuales han sido fundamentales en la formación para mi vida profesional. A los evaluadores de este artículo que con sus observaciones y sugerencias contribuyeron al mejoramiento del contenido y presentación inicial del documento. Al programa de Doctorado en Ciencias Matemáticas y a la Vicerrectoría de Investigaciones de la Universidad del Valle por su financiación por medio de sus ayudas Asistencias de Docencia y Apoyo a Estudiantes de Doctorado respectivamente, las cuales facilitaron el tiempo y la culminación para esta investigación. Finalmente, agradezco a los profesores externos a la Universidad del Valle que con sus sugerencias y aportes ayudaron a la elaboración de este trabajo.

Referencias

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Notas