Comparación de métodos de cálculo de la reactancia de dispersión en transformadores de devanados helicoidales concéntricos

Cristian Ivan Torres Suquilanda; Orestes Hernández Areu

Trabajo Teórico Experimental

Recepción: 01 Abril 2018

Aprobación: 01 Septiembre 2018

ABSTRACT: Para estudiar los fenómenos que se originan durante la operación de los transformadores, empleando las herramientas de simulación existentes con resultados de una exactitud aceptable, es necesaria la obtención de datos reales del transformador y su aplicación en un modelo adecuado para cada fenómeno.Entre estos datos, tienen gran relevancia las reactancias del transformador.

En este artículo se presenta y evalúan los métodos de cálculo de la reactancia de dispersión en transformadores de devanados helicoidales concéntricos más generalizados en la literatura especializada y se propone la adecuación del método descrito por Kulkarni-Khaparde para su aplicación a devanados rectangulares. Se realiza el cálculo de la reactancia por los métodos descritos y por la variante propuesta, a un transformador de distribución, comparando los resultados teóricos con los valores obtenidos experimentalmente sobre el mismo transformador, y determinándose el error relativo que arroja cada procedimiento con relación al valor numérico de la medición realizada.

Palabras clave: inductancia, reactancia de dispersión, transformadores.

RESUMEN : In order to study the phenomena that originate during the operation of the transformers, using the existing tools of simulation with results of an acceptable accuracy, is necessary to obtain real data of the transformers and apply these in a suitable model for each phenomenon.Between these data, the reactances of transformers have great relevance.This paper presents and evaluates the two methods more generalized in the specialized literature of calculation of leakage reactance in transformers of helicoidal concentric windings and is proposed the adjusting of a method described by Kulkarni-Khaparde for its application in rectangular windings. It begins with a brief description of these methods and a discussion of them .The calculation of reactance by the described methods and the proposed variant is developed to a distribution transformer, comparing the theoretical results with the values obtained experimentally on the same transformer, and determining the relative error that yields each procedure with respect to the numerical value of the realized measurements.

Key words: inductance, leakage reactance, transformers.

Introducción

Desde hace algunos años, la modelación y simulación de fenómenos transitorios en los transformadores han ganado espacio en el campo de la ingeniería. La exactitud de los resultados obtenidos mediante un proceso de simulación depende del grado de detalle que se tenga en el modelo empleado y de la exactitud de los datos aportados, donde el valor de la reactancia de dispersión de los transformadores, tiene gran relevancia.

La reactancia de dispersión del transformador puede determinarse experimentalmente, mediante mediciones cuando existen las condiciones y es posible realizar el ensayo. También puede obtenerse de forma analítica con resultados razonablemente buenos. Algunos autores han documentado métodos teóricos de obtención de las reactancias de dispersión estableciendo una altura equivalente para cada bobina del transformador, como el resultado de la suma de la longitud axial de cada bobina más dos veces su espesor [1- 3]. Las expresiones de reactancias de dispersión que aportan estas publicaciones no pueden ser aplicadas directamente a transformadores con devanados de sección rectángular, dado que los autores realizan sus desarrollos sobre transformadores de devanados de secciones circulares.

El método descrito por Kulkarni-Khaparde realiza su desarrollo también sobre transformadores de devanados de secciones circulares, pero establece una altura equivalente común para todas las bobinas del devanado como el cociente de la altura real del devanado entre un factor menor que la unidad llamado Factor de Rogowski (K_R) [4; 5]. Las expresiones de reactancias de dispersión que aporta tampoco pueden ser aplicadas directamente a transformadores con devanados de sección rectángular.

Ambos autores plantean expresiones de aplicación en transformador de devanados helicoidales cuyos perímetros estén inscritos en un círculo, sin embargo, la gran mayoría de los transformadores de mediana potencia y de distribución tienen devanados cuyos perímetros están inscritos en un rectángulo, por lo que es necesario realizar modificaciones a estos métodos para poder aplicarlos a estos últimos.

Materiales y métodos

En el campo magnético de dispersión de un transformador tiene notables diferencias entre la distribución del flujo de dispersión que existe en la dirección axial de la ventana del núcleo y la que existe en la dirección perpendicular a esta. Cuando las bobinas de alta tensión (AT) y baja tensión (BT) tienen la misma altura, los amper-vueltas, se encuentran distribuidos uniformemente en la altura de los devanados, entonces el flujo de dispersión es predominantemente axial, excepto en los extremos, donde se deforma buscando el camino más corto para cerrar a través del yugo o la columna del núcleo [1 - 5]. Ver figuras 1a y 1b.

Fig. 1
(a)Líneas de flujo en la dirección axial de la ventana. (b) Líneas de flujo en la dirección radial de la ventana.

El modelo del flujo de dispersión típico que se muestra en la figura 1a, puede ser reemplazado por líneas de flujo paralelas, todas de una longitud igual a una altura equivalente como se muestra en la figura 2a.

Fig. 2
(a) Líneas del campo de dispersión con altura equivalente. (b) Diagrama de fuerza magnetomotriz.

En la figura:

A.T.Devanado de alta tensiónB.T.Devanado de baja tensiónδ₁Espacio que ocupa radialmente el conductor en A.Tδ₂Espacio que ocupa radialmente el conductor en B.Tδ_oEspacio entre el conductor de A.T. y B.T. También llamado entre cara activaLILado más interno del devanadoLELado más externo del devanadoh_dAltura real del devanadoAvAltura de la ventana del núcleo

Método de Juan Corrales Martín [1].

Plantea que las alturas equivalentes primaria y secundaria para las trayectorias del flujo de dispersión son las siguientes. Vea ecuaciones (1-6).

{heq}_{1} = h_{d 1} + 2 δ_{1}

(1)

{Si heq}_{1} > A_{v}, {Leq}_{1} = A_{v}

(2)

{heq}_{2} = h_{d 2} + 2 δ_{2}

(3)

{Si heq}_{2} > A_{v}, {Leq}_{2} = A_{v}

(4)

X_{1} = 2 {πFN}_{1}^{2} μ_{0} (\frac{δ_{0} \cdot {Lm}_{0}}{2 \cdot {heq}_{1}} + \frac{δ_{1} \cdot {Lm}_{1}}{3 \cdot {heq}_{1}}) [H]

(5)

X_{2} = 2 {πFN}_{2}^{2} μ_{0} (\frac{δ_{0} \cdot {Lm}_{0}}{2 \cdot {heq}_{2}} + \frac{δ_{2} \cdot {Lm}_{2}}{3 \cdot {heq}_{2}}) [H]

(6)

Donde:

h_eq1Altura equivalente del devanado primarioh_eq2Altura equivalente del devanado secundarioh_d1Altura real del devanado primarioh_d2Altura real del devanado secundarioX₁Reactancia de dispersión del devanado primarioX₂Reactancia de dispersión del devanado secundarioFFrecuencia del sistema eléctricoμ_oPermeabilidad del vacío; 4π . 10^-9 H/cmN₁Número de vueltas del devanado primarioN₂Número de vueltas del devanado secundarioLm₁Perímetro medio del devanado primarioLm₂Perímetro medio del devanado secundarioLm_oPerímetro medio de la entre cara activa

Método de Kulkarni-Khaparde [4, 5].

Plantea que una altura equivalente para todos los devanados como se muestra en las ecuaciones (7) y (8).

h_{eq} = \frac{h_{d}}{K_{R}}

(7)

Donde:

K_RFactor de Rogowski.

K_{R} = 1 - \frac{1 - e^{- π \cdot h_{d} / (δ_{1} + δ_{0} + δ_{2})}}{\frac{π \cdot h_{d}}{(δ_{1} + δ_{0} + δ_{2})}}

(8)

El factor de corrección de Rogowski es utilizado para tener en cuenta el flujo de dispersión en la parte superior e inferior de los devanados y el efecto del núcleo magnético [6;7].

Los autores consideran un trayecto cerrado de flujo a una distancia x desde el lado interior (LI) del devanado, estableciendo la densidad de flujo como se muestra en la ecuación (9).

B_{x} = \frac{μ_{0} \cdot {(N \cdot I)}_{x}}{h_{eq}} [T]

(9)

Para llegar a la ecuación de la reactancia, se obtiene una expresión general de las concatenaciones de flujo de un tubo de flujo con una altura equivalente h_eq y una pared de grosor δ, como se aprecia en la figura 3.

Fig. 3
Tubo de flujo con una altura equivalente h_eq y una pared de grosor δ.

En la figura 3; NI es el valor de los amper-vueltas nominales del devanado, a(NI) y b(NI) son las fracciones de amper-vueltas correspondientes a LI y LE respectivamente.

Para un punto a una distancia x desde LI la f.m.m. se puede plantear según la ecuación (10).

f . m . m ._{x} = a (NI) + [b (NI) - a (NI)] \frac{x}{δ} [A - v]

(10)

Sustituyendo la ecuación (9) en la ecuación (8) y sacando factor común NI; el valor eficaz de la densidad de flujo a una distancia x de LI queda según la ecuación (11).

B_{x} = \frac{μ_{0}}{h_{eq}} [a + \frac{b - a}{δ} x] NI [T]

(11)

Las concatenaciones de flujo de un tubo de flujo incremental de ancho de x emplazado en x, son las expresadas en la ecuación (12).

dψ = N_{x} \cdot ϕ_{x}

(12)

Donde:

ϕ_xFlujo que concatena con las vueltas N_xN_xCantidad de vueltas en el punto x. Se puede obtener de acuerdo con la ecuación (13)

N_{x} = aN + (bN - aN) \frac{x}{δ} [vueltas]

(13)

Si se tiene en cuenta lo que se expresa en la ecuación (14):

Ф = B \cdot A [Wb]

(14)

Donde:

AÁrea de la pared del tubo de flujo, m²

Entonces la ecuación (11), se puede transformar en ecuación (15).

dψ = N_{x} \cdot B_{x} \cdot dA

(15)

Donde dA es el área incremental del tubo de flujo.

Sustituyendo las ecuaciones (11) y (13) en (15), quedan las ecuaciones (16) y (17).

dψ = {(a + \frac{b - a}{δ} x) N} {\frac{μ_{0}}{h_{eq}} (a + \frac{b - a}{δ} x) NI} dA

(16)

dψ = {\frac{μ_{0}}{h_{eq}} {(a + \frac{b - a}{δ} x)}^{2} N^{2} I} dA

(17)

En devanados circulares concéntricos, como se muestra en la figura 4, el área incremental del tubo de flujo se obtiene según la ecuación (18).

dA = π (LI + 2 x) dx

(18)

Sustituyendo la ecuación (18) en (17) queda la ecuación (19).

dψ = {\frac{μ_{0}}{h_{eq}} {(a + \frac{b - a}{δ} x)}^{2} N^{2} I} [π (LI + 2 x) dx]

(19)

Fig. 4
Devanados helicoidales circulares concéntricos.

En la figura:

D₁Diámetro medio del devanado primarioD₂Diámetro medio del devanado secundarioDmDiámetro medio de todo el devanado o la entre cara activa

Por lo tanto, el flujo total del tubo se obtiene de la siguiente integral. Vea ecuación (20).

ψ = \int_{0}^{δ} dψ = \frac{μ_{0} {πN}^{2} I}{h_{eq}} \int_{0}^{δ} {{(a + \frac{b - a}{δ} x)}^{2}} (LI + 2 x) dx

(20)

Integrando y resolviendo, la ecuación (20) queda de la siguiente manera. Vea ecuación (21)

ψ = \frac{μ_{0} {πN}^{2} I}{h_{eq}} \cdot \frac{δ}{3} \cdot [(a^{2} + ab + b^{2}) LI + \frac{(a^{2} + ab + b^{2}) 3 δ}{2} - \frac{(2 a^{2} + ab) δ}{2}]

(21)

El último término dentro de los corchetes puede ser despreciado sin que esto arroje un error apreciable [4, 5]. Vea ecuación (22).

ψ = \frac{μ_{0} {πN}^{2} I}{h_{eq}} \cdot \frac{δ}{3} \cdot (a^{2} + ab + b^{2}) [LI + \frac{3 δ}{2}]

(22)

El término [LI + 3δ/2] puede ser considerado igual al diámetro medio (D_m) del tubo de flujo (esto es admisible, principalmente, para arrollamientos que tienen valores de diámetro comparativamente más grande que los valores de sus espesores radiales) [4; 5]. Vea ecuación (23).

ψ = \frac{μ_{0} {πN}^{2} I}{h_{eq}} \cdot \frac{δ}{3} \cdot (a^{2} + ab + b^{2}) D_{m}

(23)

Se considera. Vea ecuación (24).

{ATD}_{C} = \frac{δ}{3} \cdot (a^{2} + ab + b^{2}) D_{m}

(24)

Que corresponde al área del Diagrama de Amper - Vueltas para el caso del devanado de forma circular. La inductancia de dispersión de un transformador con n tubos circulares de flujo se puede obtener como se muestra en la ecuación (25). [4; 5]:

L = \frac{\sum_{k = 1}^{n} ψ}{I} = \frac{μ_{0} {π N}_{1}^{2}}{h_{eq}} \cdot \sum_{k = 1}^{n} {ATD}_{C}

(25)

Y la correspondiente expresión para la reactancia de cortociruito Xcc es como se muestra en la ecuación (26). [8-10]:

Xcc = 2 πF \cdot \frac{μ_{0} {π N}_{1}^{2}}{h_{eq}} \cdot \sum_{k = 1}^{n} {ATD}_{C}

(26)

Las constantes a y b de la ecuación (24) tienen los valores de 0 y 1 para BT, 1 y 1 para la entre cara activa y 1 y 0 para AT. Entonces, utilizando la ecuación (26) se obtiene el área del Diagrama de Amper - Vueltas para devanados cilíndricos como se muestra en la ecuación (27).

\sum^{​} {ATD}_{C} = \frac{1}{3} (δ_{1} D_{1}) + (δ_{0} D_{m}) + \frac{1}{3} \cdot (δ_{2} D_{2})

(27)

Modificación del método de Kulkarni-Khaparde para devanados helicoidales con forma rectangular.

Cuando el núcleo y el devanado tienen sección rectangular el Diagrama de Amper - Vueltas no es el mismo dado que el área incremental del tubo de flujo y los perímetros de los devanados tienen otra forma de obtención.

Haciendo el análisis para un trayecto cerrado de flujo a una distancia x desde el lado interior de un devanado de forma rectángular como se muestra en la figura 5, se tiene:

Fig. 5
Vista superior de la sección del tubo de flujo de forma rectangular.

En la figura:

AfeLongitud del lado menor de la columna del núcleo magnético rectangularProLongitud del lado mayor de la columna del núcleo magnético rectangularLI₁Longitud del lado interior menor del devanadoLI₂Longitud del lado interior mayor del devanadoLmLongitud media de la espira del devanado a una distancia xHolaHolgura entre el núcleo y el devanado por su lado de mayor longitudHolpHolgura entre el núcleo y el devanado por su lado de menor longitud

En este caso, el área incremental del tubo rectangular de flujo se obtiene según la ecuación (28).

dA = (2 {LI}_{1} + 2 {LI}_{2} + 2 πx) dx

(28)

Donde:

Dado que (2LI1+2LI2) es el perímetro interno del tubo rectangular, la ecuación (28) se escribe como se muestra en la ecuación (29)

dA = (P_{int} + 2 πx) dx

(29)

Donde:

P_intperímetro interno del tubo rectangular

Sustituyendo la ecuación (29) en la ecuación (17), queda la ecuación (30).

dψ = {\frac{μ_{0}}{h_{eq}} {(a + \frac{b - a}{δ} x)}^{2} N^{2} I} [(P_{int} + 2 πx) dx]

(30)

Por lo tanto, el total de las concatenaciones de flujo de un tubo de forma rectangular está dado por la ecuación (31).

ψ = \int_{0}^{δ} dψ = \frac{μ_{0} N^{2} I}{h_{eq}} \int_{0}^{δ} {(a + \frac{b - a}{δ} x)}^{2} (P_{int} + 2 πx) dx

(31)

Resolviendo la integral, aplicando la regla de integración por partes, queda de la siguiente manera. Vea ecuación (32).

\begin{array}{l} \int_{0}^{δ} {(a + \frac{b - a}{δ} \cdot x)}^{2} (P_{int} + 2 πx) dx = \\ = \frac{δ}{3} [(a^{2} + ab + b^{2}) (P_{int} + \frac{1}{2} πδ) + \frac{1}{2} πδ (ab + 2 b^{2})] \end{array}

(32)

Sumando y restando a² en el último término dentro del paréntesis de la ecuación (32), y sacando factor común, queda de la siguiente manera. Vea ecuación (33).

\begin{array}{l} \int_{0}^{δ} {(a + \frac{b - a}{δ} x)}^{2} (P_{int} + 2 πx) dx = \\ = \frac{δ}{3} [(a^{2} + ab + b^{2}) (P_{int} + \frac{1}{2} πδ) + \frac{1}{2} πδ (a^{2} + ab + b^{2}) - \frac{1}{2} πδ (a^{2} - b^{2})] \end{array}

(33)

Sustituyendo la ecuación (33), en la ecuación (31), queda la ecuación (34):

ψ = \frac{μ_{0} N^{2} I}{h_{eq}} \frac{δ}{3} [(a^{2} + ab + b^{2}) (P_{int} + πδ) - (a^{2} - b^{2}) \frac{πδ}{2}]

(34)

El Diagrama de Amper - Vueltas para el caso de devanado de forma rectangular, sería como se muestra en la ecuación (35).

{ATD}_{R} = \frac{δ}{3} [(a^{2} + ab + b^{2}) (P_{int} + πδ) - (a^{2} - b^{2}) \frac{πδ}{2}]

(35)

El ATD_R para el devanado primario, se tiene la ecuación (36).

{ATD}_{R 1} = \frac{δ_{1}}{3} (P_{int}_{1} + \frac{1}{2} {πδ}_{1})

(36)

El ATD_R para la entre cara activa del devanado, es la ecuación (37).

{ATD}_{R 0} = δ_{0} (P_{int}_{0} + {πδ}_{0})

(37)

Y el ATD_R para el devanado secundario, se tiene la ecuación (38).

{ATD}_{R 2} = \frac{δ_{2}}{3} (P_{int}_{2} + \frac{3}{2} {πδ}_{2})

(38)

El ATD_R para el cálculo de la inductancia tanto del primario como secundario, es la suma del área del devanado primario ecuación (36), y/o devanado secundario ecuación (38), más la mitad del área de la entre cara activa ecuación (37), por lo tanto las reactancias de dispersión primaria y secundaria tendrán la siguiente forma. Vea las ecuaciones (39) y (40).

X_{1} = 2 π F \frac{N_{1}^{2} μ_{0}}{heq} \cdot [\frac{δ_{0}}{2} (P_{int}_{0} + {πδ}_{0}) + \frac{δ_{1}}{3} (P_{int}_{1} + \frac{1}{2} {πδ}_{1})] [Ω]

(39)

X_{2} = 2 π F \frac{N_{2}^{2} μ_{0}}{heq} \cdot [\frac{δ_{0}}{2} (P_{int}_{0} + {πδ}_{0}) + \frac{δ_{2}}{3} (P_{int}_{2} + \frac{3}{2} {πδ}_{2})] [Ω]

(40)

De la reactancia de dispersión del devanado primario y secundario, se puede calcular la reactancia de cortocircuito, por la ecuación (41).

X_{cc} = X_{1} + [X_{2} \cdot {(\frac{N_{1}}{N_{2}})}^{2}]

(41)

Resultados y discusión

Cálculo de la reactancia por los métodos descritos

Se muestran los resultados del cálculo de la reactancia de dispersión de un transformador de distribución de dos devanados cuya reactancia de cortocircuito medida según [11] es 39,618 Ω. Los parámetros físicos del transformador, se muestra en la tabla 1.

Tabla 1
Parámetros físicos del transformador de 50 kVA, 7620/240 - 480 V.

El valor de h_eq se calcula por medio de la ecuación (6), en la cual el factor de Rogowski está dado por la ecuación (7).

K_R=0,8819

h_eq=17,9059cm

Cálculo de las reactancias por el método de Kulkarni-Khaparde

Para la aplicación del método, dado que la sección de la columna del núcleo del transformador en cuestión es rectangular, el diámetro interior (LI) del devanado de BT, se tiene que obtener como el valor promedio entre los valores LI₁ y LI₂ del tubo rectangular de flujo. Estos son la suma de los lados de la columna del núcleo más las holguras, ver figura 5 y ecuación (42):

LI = \frac{{LI}_{1} + {LI}_{2}}{2} = \frac{(Afe + 2 Hola) + (Pro + 2 Holp)}{2} = 16,5 [cm]

(42)

Los diámetros medios de los devanados de BT y AT, y del espacio entre BT y AT se calcula a partir de las ecuaciones (43), (44) y (45).

D_{2} = LI + δ_{2} = 19,51 [cm]

(43)

D_{0} = LI + 2 δ_{2} + δ_{0} = 23,045 [cm]

(44)

D_{1} = LI + 2 δ_{2} + 2 δ_{0} + δ_{1} = 25,89 [cm]

(45)

El valor de $\sum^{} {ATD}_{C}$ se calcula a partir de la ecuación (26):

\sum^{​} {ATD}_{C} = 51,7357 [{cm}^{2}]

Aplicando la ecuación (25), para calcular la reactancia de cortocircuito para devanados de forma circular, se tiene:

Xcc = 34,055 [Ω]

El error relativo que se obtiene con la aplicación de este método se obtiene por la ecuación (46):

Error relativo = \frac{X_{medida} - X_{calculada}}{X_{medida}} \cdot 100 = \frac{39,618 - 34,055}{39,618} \cdot 100 = 14,04 %

(46)

Cálculo de las reactancias con la modificación del método de Kulkarni-Khaparde

Para la aplicación del método de Kulkarni-Khaparde modificado para devanados rectangulares, las reactancias de dispersión y de cortocircuito se calculan mediante las ecuaciones (39), (40) y (41):

X_{1} = 19,956 [Ω]

X_{2} = 0,0740765 [Ω]

Xcc = 41,656 [Ω]

El error relativo que se obtiene con la aplicación de este método se obtiene por la ecuación (46):

Error relativo = 5,14 %

Conclusiones

1. Mediante la modificación del método de Kulkarni-Khaparde, se llega a un área del Diagrama de Amper - Vueltas para devanados rectangulares más exacta que la obtenida por los métodos clásicos Kulkarni-Khaparde y de Juan Corrales Martín.
2. El cálculo de la reactancia de dispersión para devanados de forma rectangular mediante la modificación del método de Kulkarni-Khaparde, es más exacto que por los métodos de Kulkarni-Khaparde y de Juan Corrales Martín.

Referencias

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[4] KULKARNI, Shrikrishna V.; KHAPARDE, S. A. Transformer engineering design and practice. Editorial Marcel Deckkerinc. .New York. EE.UU, 2004. ISBN 0824756533, 9780824756536.

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[8] OLIVEIRA, Luís MR; CARDOSO, AJ Marques. Modeling and characterization of leakage inductances for transformer winding fault studies. 2016. p.423-430. Disponible en: https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-642-37291-9_45

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Notas de autor

*Autor para correspondencia: Cristian Ivan Torres Suquilanda. E-mail:cristivantorres@gmail.com

Descripción	Símbolo	Magnitud	Unidad
Ancho de la columna del núcleo del transformador	Afe	11,60	[cm]
Profundidad de la columna del núcleo del transformador	Pro	20,00	[cm]
Holgura por el ancho de la columna del núcleo	Hola	0,30	[cm]
Holgura por la profundidad de la columna del núcleo	Holp	0,40	[cm]
Altura de la bobina del devanado primario	h_d1	15,80	[cm]
Altura de la bobina del devanado secundario	h_d2	15,80	[cm]
Espesor de la bobina primaria	δ₁	2,32	[cm]
Espesor de la entre cara activa	δ_o	0,52	[cm]
Espesor de la bobina secundaria	δ₂	3,01	[cm]
Perímetro medio del devanado de AT	Lm₁	101,30	[cm]
Perímetro medio de la entre cara activa	Lm_o	89,63	[cm]
Perímetro medio del devanado de BT	Lm₂	76,16	[cm]
Perímetro interno del devanado primario	P_int1	89,62	[cm]
Perímetro interno de la entre cara activa del devanado	P_into	86,32	[cm]
Perímetro interno del devanado secundario	P_int2	66,00	[cm]
Frecuencia	F	60,00	[Hz]
Número de vueltas del devanado primario	N₁	890,00	[vueltas]
Número de vueltas del devanado secundario	N₂	52,00	[vueltas]