La importancia de los Elementos como fuente histórica en cualquier aspecto de la matemática, incluida la proporcionalidad, es indudable. Sin embargo, ha de tenerse muy en cuenta que este texto nos muestra la teoría ya terminada sin pistas sobre el cómo ni mucho menos sobre el porqué. Es decir, aunque los Elementos resultan de gran utilidad a la hora de conocer el conocimiento teórico que se poseía en la época respecto a los conceptos estudiados, no nos proporcionan información alguna sobre los problemas concretos que pudieron dar lugar a dicha teoría.

De los trece libros que conforman la obra de Euclides, son dos los dedicados a la temática que nos ocupa: el libro V, dedicado a las magnitudes y el libro VII, dedicado a la aritmética ⁵.

El primer inconveniente importante del texto es que el concepto ‘razón’ no está definido de una forma clara y precisa (Fowler, 1979). En el libro VII este término apenas aparece mientras que en el libro V todo lo que se dice es que “una razón es determinada relación con respecto a su tamaño entre dos magnitudes homogéneas” (V, Def. 3) y que “guardan razón entre sí las magnitudes que, al multiplicarse, pueden exceder una a otra” (V, Def. 4). Es decir, tan sólo se indica (Def. 3) que la razón entre dos magnitudes tiene algo que ver (no se especifica el qué) con su tamaño y que, utilizando lenguaje moderno, se exige la propiedad arquimedeana ⁶ (Def. 4). Lo que parece quedar claro, a la luz de la primera de estas dos definiciones es que la razón no es, en modo alguno, un número. Este carácter no numérico de las razones en los Elementos está reforzado por el hecho de que apenas se da un tratamiento sistemático a las operaciones entre razones⁷; además nunca se habla de igualdad de razones, sino de “guardar la misma razón” (V, Def. 5) o de “guardar una razón mayor” (V, Def. 7).

Parece comúnmente aceptado el hecho de que antes del desarrollo de la teoría de proporciones de Eudoxo, presentada por Euclides en el libro VII de sus Elementos, la razón entre dos números ⁸ o magnitudes homogéneas venía dada por un proceso llamado antifairesis o antanairesis⁹. Este proceso se lleva a cabo del siguiente modo: dados dos números o magnitudes homogéneas, se resta el menor al mayor tantas veces como se pueda hasta que quede un resto menor que el menor de los números de partida. Entonces se repite el proceso tomando como partida el menor de los números iniciales y el resto obtenido; y así sucesivamente. Lo importante aquí es el proceso en sí y no los números que aparecen durante el mismo; es decir, llevamos la cuenta sólo de las longitudes de las series de restas que efectuamos antes de cambiar los papeles.

Por ejemplo, veamos cómo calcular la antifairesis de 14 y 6. Para ello comenzamos restando 6 a 14 tantas veces como sea posible; en concreto dos veces¹⁰:

Ahora, hemos de intercambiar los papeles del 2 y del 6 y repetimos el proceso. En este caso podemos realizar cuatro restas:

En este punto el procedimiento termina pues ya hemos llegado a 0. Así, puesto que hemos hecho primero dos restas y luego tres, la antifairesis de 14 y 6 sería la sucesión (finita) {2,3}.

Desde un punto de vista puramente matemático, puede asignarse del siguiente modo un significado a la sucesión {2,3} que hemos encontrado (Fowler, 1979):

Así pues, puesto que

podemos concluir que la antifairesis de 7 y 5 será la sucesión {1,2,2}; como de hecho se comprueba mediante la siguiente serie de restas realizadas mediante el procedimiento anterior:

Esta definición de razón mediante la antifairesis refuerza claramente el carácter no numérico del concepto junto con su íntima relación con un proceso de medida, a la vez que aclara el motivo por el cual sólo se consideran razones entre magnitudes homogéneas. En el caso de números, además, es importante indicar que el proceso siempre termina en un número finito de pasos debido a la existencia del máximo común divisor. Sin embargo, al aplicar el proceso a magnitudes esto no tiene por qué suceder¹¹; por ejemplo, si d y l denotan respectivamente la diagonal y el lado de un cuadrado se tiene¹²:

y el proceso se repetiría a partir de aquí indefinida, pero periódicamente, puesto que D=2l-d y L=d-l son nuevamente diagonal y lado de un cuadrado¹³. En definitiva se tiene que la razón d:l vendría dada por la sucesión (infinita y periódica) {1,2,2,...}. Debe resaltarse el hecho de que todas las operaciones realizadas durante este proceso de antifairesis pueden llevarse a cabo con regla y compás al estilo de la época. Más aún, según Fowler (1980) el Libro II es un compendio de las herramientas básicas necesarias para profundizar en el estudio de la antifairesis.

Aunque en trabajos como los de Fowler (1980,1982) o Thorup (1992) se muestra cómo esta definición de razón permite construir toda la teoría de proporciones del Libro VII, lo cierto es que las dificultades en el manejo¹⁴ superan con mucho las potencialidades de la definición. De este modo la teoría original quedó relegada al ámbito de la aritmética y del Libro V, mientras que para el caso de magnitudes hubo que idearse una nueva teoría. En concreto fue Eudoxo ¹⁵ el que dio con una solución satisfactoria que pasó por dejar indefinido el concepto de razón y definir únicamente aquello que importaba desde un punto de vista puramente geométrico; es decir, definir lo que significa ‘guardar la misma razón’ y ‘guardar una razón mayor’. En concreto “una primera magnitud guarda la misma razón con una segunda que una tercera con una cuarta, cuando cualesquiera equimúltiplos de la primera y la tercera excedan a la par, sean iguales a la par o resulten inferiores a la par, que cualesquiera equimúltiplos de la segunda y la cuarta, respectivamente y tomados en el orden correspondiente” (V, Def. 5) y una definición análoga se da para el caso de ‘guardar una razón mayor’ en (V, Def. 7). Estas definiciones tienen la virtud de que son válidas para cualquier tipo de magnitudes, conmensurables o inconmensurables, dejando de lado la necesidad de calcular la sucesión definida por la antifairesis de dichas magnitudes.

Un aspecto a tener en cuenta respecto del tratamiento de la proporcionalidad en los Elementos es que se desarrollan dos teorías aparentemente distintas. Una para números y otra para magnitudes. Ello hace que surja la necesidad de probar resultados similares dos veces. Esto es así por la forma en la que los griegos concebían las magnitudes¹⁶. Para ellos no tenía sentido considerar el producto de dos magnitudes¹⁷ y así resultados como “si cuatro números son proporcionales, el producto del primero y el cuarto será igual al del segundo y el tercero” (VII, Prop. 19) y “si cuatro rectas son proporcionales, el rectángulo comprendido por las extremas es igual¹⁸al rectángulo comprendido por las medias” (VI, Prop. 16) requieren de tratamientos radicalmente diferentes¹⁹. Nótese, además, que ambos enunciados se basan en definiciones distintas de la proporcionalidad y mientras que el primer enunciado se presenta con toda generalidad, el segundo se circunscribe a un ámbito muy concreto (rectas y rectángulos).

Estos tratamientos se reconciliarán en el Libro X cuando se pruebe que dos magnitudes son conmensurables si y sólo si guardan entre sí la misma razón que un número con otro número (X, Prop. 5-8). Sin embargo, no pueden obviarse las dificultades epistemológicas subyacentes a esta unificación, puesto que requiere asumir que los números son magnitudes lo que, como hemos dicho, no está claro. De hecho, Heath (1957, pág. 25) apunta que una prueba de que la Proposición 5 del Libro X carece de rigor es la siguiente: “Euclides debió haber probado que magnitudes proporcionales en el sentido de la definición 20 del libro VII, son también proporcionales en el sentido de la definición 5 del libro V, o que la proporción de números se incluye en la proporción de magnitudes como un caso particular”. Este problema no se solucionó hasta el siglo XVIII con su “restauración” de los Elementos.

Otro aspecto interesante está relacionado con la necesidad de aplicar en situaciones prácticas concretas todo el aparato teórico desarrollado. La razón tenía sentido únicamente entre magnitudes homogéneas, mientras el producto de magnitudes carecía de sentido. Estos dos hechos hacen prácticamente inaplicable la teoría a las situaciones prácticas en las que debería aplicarse, que tan profusamente aparecen en los textos orientales, y que evidentemente debían ser situaciones cotidianas también en la Grecia clásica. Esta imposibilidad de aplicar rigurosamente la teoría quizás sea una explicación de por qué no hemos sido capaces de encontrar textos griegos clásicos sobre, digamos, aritmética práctica mientras que sí es posible encontrar aplicaciones al mundo de la Física, como el siguiente texto extraído de la Física de Aristóteles (Caveing, 1994):

“Supongamos que A es el moviente, Β la cosa movida, C la distancia según la cual es movida y Τ el tiempo en el cual es movida. Entonces, en el tiempo Τ una fuerza igual a A hará que algo que es la mitad de Β se mueva sobre el doble de la distancia C, y lo hará mover sobre la distancia C en la mitad del tiempo T, pues de esta manera se mantendrá la proporción. Y si la fuerza de A hace mover a Β sobre la distancia C en el tiempo T, también hará mover a Β sobre la mitad de C en la mitad del tiempo T, y una fuerza igual a la mitad de A moverá a la mitad de Β sobre la distancia C en el tiempo T.” (VII, 249b31-250a7).

Nótese que las razones son siempre entre tiempos o entre distancias y nunca entre distancias y tiempos; en otras palabras, sólo se consideran razones internas y no externas (Freudenthal, 1983). Como veremos más adelante, el enfoque chino será mucho más apropiado para las aplicaciones “comerciales”.

Pese a ciertos prejuicios, no es la griega la única cultura en la que pueden encontrarse algunos intentos de fundamentación teórica. Aunque es cierto que no puede encontrarse un texto puramente teórico como son los Elementos, no debe creerse que no existiera una preocupación por la búsqueda de métodos generales o por la justificación ²⁰ de dichos métodos. Así, aunque algunos análisis psicolingüísticos del chino, como los citados por Dauben (1998), dan cuenta de las dificultades que esta cultura pudiera encontrar al intentar desarrollar un rigor lógico, digamos, “a la griega”; no es menos cierto que en la medida de sus posibilidades los matemáticos ²¹ chinos se preocupaban por algo más que por la mera aplicación de métodos. En este sentido, Cullen (2007, pág. 39) traduce las palabras de un maestro chino del siglo I de nuestra era:

“La dificultad en cuanto a la comprensión del Camino es que, cuando uno lo ha estudiado, debe preocuparse por aplicarlo ampliamente. Una vez que ha sido ampliamente aplicado, uno se preocupa de ponerlo en práctica. Cuando ha sido puesto en práctica, surge la preocupación de no ser capaz de comprenderlo. Así, métodos similares se estudian comparativamente y problemas similares son comparativamente considerados. Esto distingue al estudiante inteligente del estúpido y al valioso del que no vale. La capacidad de clasificar para unificar categorías: esa es la esencia de cómo el valioso se dedica a refinar la práctica y la comprensión.”

Los textos antiguos orientales y los chinos en particular, por más que escondan –como ya se ha dicho– una cierta búsqueda de métodos generales, poseen un eminente enfoque práctico. Se trata de colecciones de problemas acompañados de una solución numérica o de una mera descripción del método de resolución aplicado a los datos concretos del problema presentado. Esta presentación, que choca radicalmente con el paradigma griego (que de hecho constituye la excepción en el mundo antiguo) se prolongará mucho en el tiempo y puede observarse aún su influencia en textos muy posteriores como el Liber Abaci (Sigler, 2002).

El texto de los Nueve Capítulos no pasaría de ser uno de tales repertorios de problemas si no fuera por los comentarios con los que un matemático chino del siglo III llamado Liu Hui acompañó a su edición del libro. En sus comentarios, además de relacionar unos problemas con otros o de aclarar los métodos del texto original, también aparecen algunos indicios de lo que, con algunas reservas, podríamos llamar una cierta fundamentación teórica. Más aún, Chemla (2005, pág. 124) sostiene la tesis de que los comentarios de Lui Hui “son el testimonio de otro origen [distinto del griego] del concepto de demostración matemática”.

Teniendo en cuenta el enfoque de la obra, es natural la aparición de aspectos relacionados con la proporcionalidad. El concepto central en el tratamiento que Liu Hui hace de la proporcionalidad es el de lü²². Liu Hui define lü como un “conjunto de números correlacionados” y enumera algunas propiedades y operaciones entre ellas. En concreto: “Las lü pueden convertirse unas en otras. Si hay fracciones en una lü, ésta puede convertirse en otra en enteros multiplicando por un número adecuado. Las lü se pueden simplificar reduciéndolas usando el común denominador” (Kangshen et al., 1999, p. 80).

Figura 2
Liu Hui

La interpretación de este concepto es sencilla. Se dispone de varias magnitudes directamente proporcionales ²³ y una lü no es más que un conjunto de valores de dichas magnitudes. Las propiedades y operaciones descritas se siguen de la proporcionalidad directa entre las magnitudes consideradas. Kangshen et al. (1999, p. 81), en este contexto, interpretan la razón entre dos magnitudes como su lü cuando una de ellas toma el valor 1. No obstante, no encontramos un análogo a la definición euclídea de razón ni a la razón por antifairesis, aunque el proceso de simplificación de fracciones descrito en los Nueve Capítulos es idéntico al Algoritmo de Euclides ²⁴. Este concepto de lü, decimos, es fundamental para Liu Hui y nos permitirá comprender el tipo de razonamiento subyacente a la génesis de la Regla de Tres.

El motivo por el que esta concepción de la proporcionalidad se adapta mejor a las aplicaciones mercantiles salta a la vista. En este contexto, no existe obstáculo alguno para relacionar directamente dos magnitudes distintas; de hecho, se consideran simultáneamente pares de magnitudes diferentes. Es más, esta forma de enfocar la situación está mucho más cerca de una concepción funcional puesto que mientras en el enfoque griego se relacionan por separado cada una de las magnitudes y después se comparan dichas relaciones, en el chino se entra directamente a analizar la relación existente entre ambas magnitudes. Aquí predomina la idea de razón externa frente a la interna.

Los comentarios de Omar al-Khayyam a los Elementos han sido traducidos por Rashed et al. (1999). En este texto se plantean, y hasta cierto punto se resuelven, los dos defectos presentados anteriormente, pero sólo en el ámbito de las magnitudes (entendidas en el sentido griego, es decir, como magnitudes geométricas). Esto es así porque al-Khayyam utilizará de modo esencial la posibilidad de dividir una cantidad de magnitud hasta el infinito, algo imposible de hacer en el ámbito numérico de los Elementos que se limita a los enteros positivos que, obviamente, no permiten su subdivisión más allá de la unidad (aunque la dialéctica discreto-continuo fuera el centro de ricas disputas. Recuérdense, por ejemplo, las paradojas de Zenón de Elea).

Al-Khayyam, igual que algunos de sus predecesores, redescubre la definición de razón como antifairesis; es decir, como proveniente de un proceso de medida por conmensuración íntimamente ligado a lo que hoy llamamos Algoritmo de Euclides. Así dos razones son iguales si ambos pares de magnitudes dan lugar a la misma sucesión de enteros tras el proceso de antifairesis. A esta nueva²⁷ definición de igualdad (y desigualdad) de razones la llama al-Khayyam –no sin cierta inmodestia– “la verdadera” mientras que la de Euclides es para él “la usual”. Todo el Libro II del comentario de al-Khayyam a los elementos está dedicado a demostrar la equivalencia entre esta noción “verdadera” y la “usual”. De esta manera el libro II se cierra del siguiente modo (Rashed et al., 1999, pág. 370):

“Hemos así demostrado que […] cada vez que una razón es más grande según la razón usual, será también más grande según la razón verdadera, y lo mismo si es más pequeña; y a la inversa, que cada vez que una razón es más grande según la razón verdadera, será también una razón más grande según la razón usual, y lo mismo si es más pequeña. Y todo […] lo que Euclides mencionó […] durante […] su quinto libro […] será parte de las consecuencias necesarias de la razón verdadera.”

Es importante indicar que para hacerlo utilizará constantemente la existencia de una cuarta proporcional a tres magnitudes dadas ²⁸, para lo cual admitirá que las magnitudes son divisibles hasta el infinito.

Figura 3
La Definición 5 del Libro V de los Elementos transcrita por Omar Khayyam (Rashed y Vahabzadeh, 1999, pág. 345).

En el Libro III de su comentario, al-Khayyam se dedica a la composición de razones ²⁹. Al-Khayyam demostrará, en particular que, dadas tres magnitudes a, b y c la razón a:c es la composición de las razones a:b y b:c. Para ello al-Khayyam procede del siguiente modo: dadas las magnitudes a y b se fija una unidad u y, entonces, por la existencia de la cuarta proporcional existe otra magnitud g tal que g:u::a:b. Ahora, como u es la unidad, al-Khayyam considera g como un número que representa la razón a:b³⁰; es decir, identifica en cierto modo las razones con números y así puede identificar la composición de razones con la multiplicación numérica. Además, este argumento permite, como lo hace al-Khayyam, extender este resultado para una cantidad cualquiera de magnitudes ³¹. Esta visión es de vital importancia y aparece aquí por primera vez en la historia, aunque bien es cierto que al-Khayyam no entrará en una discusión sobre la naturaleza numérica o no de las razones.

Una de las traducciones ³² de los Elementos que más éxito tuvieron en la Europa cristiana medieval fue la llevada a cabo a mediados del siglo XIII por Giovanni Campano. En este sentido, Rashed (1997, pág. 215) afirma que:

“de todas las obras inspiradas en el Euclides árabe, el “Comentario” de Campano, de hecho la editio princeps de Euclides (Venecia, 1492) […], fue evidentemente la de mayor difusión y la que ejerció la influencia más determinante sobre la ciencia occidental.”

El aspecto más importante que queremos destacar de esta obra es la introducción del concepto de ‘denominación de una razón’. En concreto Campano define este concepto del siguiente modo (Rommevaux, 1999, pág. 97):

“Se dice denominación de una razón, específicamente de un número más pequeño en relación a uno más grande, a la parte o las partes de ese [número] menor que están en el mayor. Y [de una razón] de un número más grande en relación a otro más pequeño, al múltiplo o al múltiplo y la parte o las partes según las cuales el mayor lo es.”

Pese a lo relativamente oscuro de esta definición ³³, se observa que lo perseguido por Campano al introducirla es aritmetizar en cierto modo el concepto de razón. Debe recordarse que en Euclides la razón es más bien una relación entre magnitudes (o entre números en este caso). Campano está asignando un número a cada razón. El problema de la inconmensurabilidad no surge aquí puesto que se restringe al caso de razones numéricas (Libro VII). Sin embargo la herencia euclídea se hace patente cuando, como aplicación de esta definición, Campano define la semejanza (y no la igualdad) de dos razones (Rommevaux, op. cit., pág. 98):

“Se dicen semejantes a las razones que reciben la misma denominación, y más grande a la que [recibe] una más grande, y más pequeña a aquella que [recibe] una menor.”

Se observa, pues, una práctica parecida a la actual. Se asocia ³⁴ la razón con un número racional y la igualdad o la relación de orden entre razones con los respectivos conceptos numéricos. A modo de ejemplo, podemos observar que en (Anzola et al., 2009) se define la razón del siguiente modo:

“Razón entre dos números a y b es el cociente”

Es importante hacer énfasis, no obstante, en que todavía se trata de una asociación más que una identificación. La razón no es aún un número sino que es nombrada mediante un número. La diferencia, aunque de índole casi filosófica, es importante.

En la Sección 3 hemos presentado los dos posibles caminos que conducen a la aritmetización del concepto euclídeo de razón. Las dos posibles maneras de enfocar dicho proceso suponen considerar que tiene sentido definir la razón:

• Entre dos cantidades de una misma magnitud.

• Entre dos números.

Esta dicotomía se ha mantenido vigente hasta épocas muy recientes. Por ejemplo, en Baratech (1966, pág. 89) se afirma que “se denomina razón entre dos números al cociente exacto de dichos números”. Por otra parte, en Mansilla y Bujanda (1984, pág. 62) leemos que “si a y b son cantidades de una misma magnitud, la medida de a cuando se toma por unidad a b, se llama razón entre a y b”.

Sin embargo es interesante señalar que, en un estudio realizado por los autores (Gairín y Oller, 2012), no se ha encontrado rastro de la razón entre cantidades de una misma magnitud en ningún texto de Secundaria español de los últimos 20 años. Además, no se encuentra mención alguna a una posible definición de la razón entre cantidades de distintas magnitudes. Estos aspectos dan lugar a algunos inconvenientes de cara a la comprensión de los alumnos. Por ejemplo:

1. 1. Todas las situaciones problemáticas relacionadas con la proporcionalidad que se presentan a los alumnos involucran el manejo de magnitudes. En ese caso, lo que suele suceder es que se deja de lado por completo a las magnitudes para que los alumnos se centren en la faceta puramente numérica del problema, con lo que se pierde de vista el sentido de los pasos dados para resolverlo.
2. 2. Aún si se recurre al uso de la razón entre cantidades de una misma magnitud, pensamos que dicha razón no constituye el mejor punto de vista para comprender los procesos que subyacen a una relación de proporcionalidad entre dos magnitudes. Eso es así, principalmente, porque dicha razón es un escalar, que carece de un significado claro en el contexto del problema.

En ambos casos, la consecuencia fundamental es que un problema en el contexto de las magnitudes acaba transformándose es una situación en la que priman ante todo las manipulaciones meramente numéricas (recuérdese el algoritmo de la Regla de tres, por ejemplo).

Puesto que las situaciones problemáticas relacionadas con la proporcionalidad suelen implicar una relación de carácter funcional entre, al menos, dos magnitudes, pensamos que la introducción de la idea de razón entre cantidades de diferentes magnitudes puede proporcionar una visión más clara de las situaciones puesto que posee un importante significado: el “tanto por uno”, es decir, la cantidad de una de las magnitudes que se corresponde con una unidad de la otra bajo la relación que las liga. En esencia esta propuesta supone reforzar la visión “china” de la proporcionalidad frente la “griega”. Así, por ejemplo, en la situación “por traducir 12 páginas se pagan 150 euros”, la idea “china” de razón indica que 150/12 es la cantidad de euros que se pagan por traducir 1 página.

Consideremos el siguiente enunciado extraído de un manual escolar cualquiera: “Una fuente arroja 42 litros de agua en 6 minutos. ¿Cuántos litros arrojará en 15 minutos?”

Desde el punto de vista griego, debe tenerse en cuenta que los litros arrojados guardan la misma razón que los tiempos necesarios para arrojarlos. Es decir, se busca un número de forma que dicho número guarde con 42 la misma razón que 15 con 6. En términos modernos y empleando el lenguaje algebraico, plantearíamos la proporción:

Desde el punto de vista chino, consideraríamos el par (6,42) y estaríamos interesados en encontrar un par correspondiente a la misma situación bajo la restricción de que el primer elemento ha de ser 15. De nuevo empleando un lenguaje algebraico, plantearíamos la proporción:

Consideradas desde un punto de vista puramente numérico y descontextualizado, ambas situaciones son equivalentes. Sin embargo, el significado es bien distinto. El primer enfoque carecería de sentido para un resolutor chino puesto que si el problema muestra claramente que la relación es entre litros arrojados y tiempo necesario para hacerlo ¿por qué relacionar tiempos y litros separadamente? Para un griego, es el segundo enfoque el carente de sentido puesto que no concibe “dividir” o “repartir” litros entre tiempo.

Es muy interesante observar cómo al plantear situaciones de este tipo a alumnos que no están familiarizados con las técnicas de la proporcionalidad y, dejando de lado estrategias aditivas o argumentos incorrectos, la dialéctica entre estos dos enfoques permanece viva. Desde un punto de vista pedagógico, pensamos que lo deseable es conseguir ambas visiones en los alumnos, pero no podemos evitar señalar el mayor sentido que proporciona a las operaciones y la mejor comprensión de la situación que, a nuestro juicio, se obtiene pensando “a lo chino” antes que “a lo griego”, donde prima el aspecto puramente numérico de la relación.