El sistema de afinación usado actualmente en Occidente es el temperamento igual. Para entender este temperamento y explorar sus procesos de génesis y desarrollo, hay que partir considerando el sistema de afinación usado en la Edad Media: el sistema pitagórico. Este sistema, ya en desuso en los instrumentos actuales, divide la cuerda mediante razones. Estas razones, a su vez, definían los intervalos musicales (½ definía la octava, ⅔ la quinta, – la cuarta, etc.). Esto se explica visualmente en la Figura 3, considerando la posición actual de los trastes de la guitarra, para una mejor comparación. Para el siglo XVI este sistema de afinación ya cumplía dos mil años de uso y desarrollo en Occidente.

Figura 3
División pitagórica de la cuerda y su ejemplo para la tonalidad de Do

Ahora bien, durante el siglo XVI ocurre un hecho que revolucionó por completo la teoría y práctica musical de la Edad Media: la introducción de trastes a los instrumentos de cuerda con mástil. Estos instrumentos fueron el laúd, la viola y la vihuela, instrumentos predecesores de la guitarra, el bajo y el ukelele, entre otros (Figura 3). Al introducir los trastes sobre los mástiles, se creó una manera de dividir el traste que en términos geométricos es continuamente proporcional (Figura 4). Es así como nace el temperamento igual, el cual es el sistema musical que usamos en la actualidad.

Figura 4
División proporcional del mástil (temperamento igual)

Espinoza et al. (2020) sostienen que existe evidencia del uso de instrumentos de cuerda con mástil en el mundo árabe desde el siglo VII. Sin embargo, fue en el siglo XVI que se le incluyeron trastes. Y esto ocurrió, dado que, en este siglo y en el contexto del renacimiento europeo, hubo cambios en la estética y el gusto musical en relación a los siglos anteriores. En efecto, en la Edad Media se valoró y desarrolló la música coral. Sin embargo, en el siglo XVI se dio una mayor preponderancia al uso de instrumentos musicales. La existencia de los trastes permite que personas con poco conocimiento musical puedan tocar estos instrumentos. Sin embargo, bajo el sistema de afinación pitagórico los trastes no quedan rectos (como se puede apreciar en la Figura 5). En efecto, y a diferencia de otros instrumentos en los que cada cuerda se afina por separado, en los instrumentos de cuerdas con mástil los trastes rectos afectan simultáneamente a todas las cuerdas.

Figura 5
Muestra de división del mástil para tocar afinaciones pitagóricas del siglo XVI

En definitiva, las dificultades técnicas de la fabricación de instrumentos y el carácter más simple de su uso práctico, justificó que proliferaran los trastes rectos en la época (Figura 6). Con tales trastes no se siguió el sistema de afinación pitagórico (½, ⅔, ¾, etc.), más bien, era una división continuamente proporcional del mástil. Tal división de afinación alcanzó gran popularidad, al punto que su uso en instrumentos de cuerda con trastes se masificó durante el siglo XVI (Espinoza et al., 2020). Dado el uso masivo de los instrumentos de cuerda con trastes, teóricos musicales de la segunda parte del siglo XVI se interesaron en el temperamento igual como objeto de conocimiento. Fue así como surgió la formulación teórica del temperamento igual.

Figura 6
Ilustración de la ubicación de los trastes en instrumentos de cuerda con mástil publicada en 1511 (Virdung, 1993, p. 157)

El temperamento igual consiste en la división de la octava en doce partes iguales. Esta igualdad no se refiere a una longitud, sino hace referencia al sonido. Es decir, se refiere a intervalos de sonido que ascienden o descienden con base en una misma razón. De esta manera, en términos geométricos la división en partes iguales debe entenderse como división proporcional de longitudes. Cabe señalar que esta división de intervalos de sonido en partes iguales se puede realizar, de forma geométrica, mediante el uso del teorema de Euclides. Nos referimos a la proposición 13 del libro VI de los Elementos de Euclides, en la que se tiene, siguiendo la Figura 7, que AB/BD = BD/BC.

Figura 7
Teorema de Euclides en Simson (1774, p. 163)

Espinoza et al. (2020) señalan que la formulación teórica del temperamento igual puede ser analizada en tres momentos. En un primer momento, esta formulación teórica hizo alusión a la división de intervalos musicales en partes iguales. Teóricos musicales griegos de la antigüedad plantearon la imposibilidad de dividir un tono en partes iguales (Espinoza et al., 2020). También Erasmo Heretius, un reconocido teórico de la música de su época, sostuvo en 1498 la imposibilidad de dividir ciertos intervalos musicales en partes iguales. Sin embargo, en 1504 se retracta y señala que esto sí es posible (Van Wymeersch, 2008). En nuestra indagación encontramos como referencia más antigua, de un uso explícito del teorema de Euclides para la división de intervalos musicales en partes iguales, a Faber Stapulensis (1496). Este autor usó el teorema de Euclides para dividir en partes iguales cuatro intervalos musicales (Figura 8). Con base en esta evidencia, ubicamos la génesis de la división de intervalos musicales en partes iguales entre la última década del siglo XV y la primera década del siglo XVI.

Figura 8
Uso del teorema de Euclides para dividir consonancias (Faber Stapulensis, 1496, p. 111)

Espinoza et al. (2020) también señalan que, a lo largo del siglo XVI diversos teóricos musicales usaron el teorema de Euclides para dividir intervalos musicales en partes iguales (Figura 9). Por ejemplo, está el caso de Fogliani (1529), Bermudo (1555), Zarlino (1571) y Salinas (1577). Tales teóricos musicales utilizaron estas divisiones en la fabricación de diversos temperamentos o afinaciones musicales (García-Pérez, 2003; Espinoza et al., 2020).

Figura 9
Uso del teorema de Euclides para la división de intervalos musicales en partes iguales (Fogliani, 1529, p. XXXVI; Bermudo, 1555, p. LXviii; Zarlino, 1571, p. 161; Salinas, 1577, p. 158)

En un segundo momento de la formulación del temperamento igual, encontramos su planteamiento teórico (Espinoza et al., 2020). Esta teorización fue primero planteada por Salinas (1577) y posteriormente desarrollada con exhaustividad por Zarlino (1588). Para dividir el mástil en doce partes iguales, estos teóricos usaron tanto el teorema de Euclides como otros métodos geométricos-mecánicos que permitían encontrar dos o más medias proporcionales entre una magnitud y su mitad. Tales construcciones geométricas (Figura 10) pueden ser consultadas en detalle en García-Pérez (2003) y en Espinoza et al. (2020).

Figura 10
Construcciones geométricas del temperamento igual mediante medias proporcionales (Zarlino, 1588, p. 209 y 211)

Un tercer momento de la formulación teórica del temperamento igual lo encontramos en los desarrollos numéricos realizados por Simón Stevin (Espinoza et al., 2020). Rasch (2008) plantea que, en la década de 1580, Stevin desarrolla una resolución aritmética al problema del temperamento igual y calcula aproximaciones numéricas para la división de la octava en doce partes iguales (Figura 11). En paralelo, Stevin publicó su L’Arithmetique en 1585, una obra en la que cuestiona la consideración de las magnitudes inconmensurables como irracionales o inexplicables. Stevin postula que, en aritmética, inconmensurabilidad no implica algo que sea inaccesible a la exploración racional. Así, en el contexto de la teorización del temperamento igual, los irracionales son por primera vez considerados como números pertenecientes a la aritmética (Van Wymeersch, 2008).

Figura 11
Registro de la formulación aritmética del temperamento igual de la década de 1580 en el tratado de música de Simón Stevin (Rasch, 2008, p. 273)

En síntesis, en lo referente a la génesis del temperamento igual, sostenemos que este surge tanto en la práctica de construcción y uso de instrumentos de cuerda con trastes como en su posterior formulación teórica. En tal formulación, los teóricos musicales no sólo procuraron posicionar a este temperamento en el ámbito disciplinar de la teoría musical, sino también buscaron brindar elementos prácticos para la construcción del temperamento igual en instrumentos de cuerda con trastes.

Décadas después de la formulación teórica del temperamento igual, el clérigo y científico Mersenne sistematiza estos conocimientos en su Armonía Universal, la obra de teoría musical escrita en francés más completa de su época. Situamos a este libro en el momento de desarrollo del saber, dado que los conocimientos que desarrolla surgieron y fueron usados en el momento de génesis descrito en la sección anterior. Al ser un científico, Mersenne hace transitar estos saberes al ámbito de la ciencia, contribuyendo a la disciplinarización de los mismos. Por esto, Mersenne nos permite mirar, desde los ojos de un científico, la relación Música-Matemática en la formulación teórica del temperamento igual. Habiendo señalado esto, a continuación, presentamos los tres métodos para la construcción del temperamento igual identificados en nuestro análisis de Mersenne (1637).

Un primer método que encontramos en Mersenne (1637) es el que usaron los fabricantes de instrumentos durante el siglo XVI. En la primera proposición del libro segundo de los instrumentos, Mersenne señala lo siguiente (Figura 12):

Figura 12
Método de los fabricantes de instrumentos para la fabricación del temperamento igual¹ (Mersenne, 1637, p. 48)

Mersenne (1637) menciona que esta manera de dividir la octava es atribuida a Vicent Galilei, padre de Galileo Galilei. El método consiste en considerar la longitud de la cuerda y tomar 17/18 partes. Posteriormente, de las 17 partes resultantes volver a tomar 17/18 partes y así sucesivamente. Es decir, este método de los fabricantes de instrumentos consiste en dividir repetidamente siguiendo una misma razón. Mersenne (1637) señala que Vicent Galileo se esforzó en probar que esta división en términos prácticos era el mejor sistema existente. Sin embargo, también cita la explicación de Zarlino (1588) para sostener que, dividiendo iteradamente con la razón 17/18 no se divide exactamente la octava (la ubicación de este esquema en un mástil será explicada más adelante, en la sección 5).

Zarlino desarrolló esta idea en su Sopplimenti musicali (1588). En la proposición XXVIX presenta un exhaustivo análisis de este método de los fabricantes de instrumentos, presentando la división de la cuerda AB de manera iterada usando la razón 17/18. En la Figura 13, los números de la parte izquierda son potencias sucesivas de 18 y los de la parte derecha son potencias sucesivas de 17. De esta manera Zarlino (1588), usando la aritmética de números enteros de la época, muestra que al iterar doce veces siguiendo la razón 17/18 no se divide exactamente la cuerda por la mitad (su octava en términos musicales). En efecto, el número 582622237229761 no llega a ser la mitad del número 1156831381425976 (la división es aproximadamente 0.50363626591)¹.

Figura 13
Método de los fabricantes de instrumentos (Zarlino, 1588, p. 202 y p. 205, respectivamente)

Zarlino (1588) concluye que con este método no se logra dividir exactamente la octava en doce partes iguales. Sin embargo, Mersenne (1637) señala que este método proporcionó una aproximación aceptable para los fabricantes de instrumentos. En efecto, García-Pérez (2014) plantea que en los instrumentos de cuerda con trastes “la tensión a la que es sometida la cuerda va aumentando ligeramente al irla presionando cada vez más lejos del clavijero” (p. 71). De esta manera, señala que el sonido sube un poco más de lo que debería, y esto compensa el error que produce la división de la cuerda siguiendo la razón 17/18. Al respecto, Mersenne (1637) señala que, a diferencia de los teóricos musicales que seguirán las divisiones armónicas mediante razones, los fabricantes de instrumentos se guiaban más por el oído.

Además, la simplicidad de llevarlo a la práctica hizo que este método (división iterada siguiendo la razón 17/18) se hiciera popular al punto de convertirse en el método de fabricación de instrumentos más usado durante el renacimiento (García-Pérez, 2014). Ciertamente, como toda labor técnica, la práctica de los constructores de instrumentos estaba influenciada por la búsqueda de economía y simplicidad de la técnica (Espinoza et al., 2018). Y este método práctico, a pesar de no dar una división exacta, fue objeto de estudio de los teóricos musicales y referenciado por Mersenne (1637) en su magna obra de teoría musical.

Un segundo método para la construcción del temperamento igual en la obra de Mersenne (1637) lo encontramos en la proposición VII del libro segundo de los instrumentos, y hace alusión a una demostración geométrica de la posibilidad de dividir el tono en doce partes iguales (Figura 14).

Figura 14
Método geométrico para la formulación teórica del temperamento igual² (Mersenne, 1637, p. 249)

Mersenne (1637) señala que, para dividir la cuerda en dos partes iguales, solo hay que construir una cuerda que sea media proporcional entre las dos cuerdas que conforman el tono, la octava, o cualquier otro intervalo que se desee dividir. Agrega que esto se puede hacer mediante el teorema de Euclides (Figura 15). Considerando las cuerdas AB y EF que producen un intervalo de octava, donde EF es la mitad de AB, el autor señala que para encontrar la media proporcional CD es necesario ubicar las dos líneas dadas de manera contigua. Así, GH=AB y HI=EF. Luego, desde l, punto medio de GI se construye un semicírculo. Se traza la línea perpendicular a GI desde el punto H, obteniendo el punto K. Por último, se construye CD=HK.

Figura 15
Uso del teorema de Euclides para la formulación teórica del temperamento igual (Mersenne, 1637, p. 249)

Mersenne (1637) señala que la recta HK será la media proporcional buscada, pues esta “divide la razón doble de AB y EF en dos razones iguales, y consecuentemente la octava en dos intervalos iguales, ya que hay la misma razón de CD, a EF, que de AB a CD”² (Mersenne, 1637, p. 66). A su vez, justifica este hecho señalando que los triángulos GHK, y KHI son semejantes, de lo que se infiere que la razón entre GH a HK es la misma que entre KH a HI. Aquí, al aludir a la semejanza de triángulos, la argumentación de Mersenne hace referencia a la proposición 8 del libro VI de los Elementos de Euclides y sus significados. Estos significados aluden a que CD está en la misma razón a AB que EF a CD $\left(\frac{AB}{CD}=\frac{CD}{EF}\right)$. Además, el método de construcción de la media proporcional geométrica está descrito en la proposición 13 del libro VI de los Elementos de Euclides.

Posteriormente, Mersenne (1637) plantea que, al usar iteradamente el método, se podrán encontrar una infinidad de otras medias proporcionales. Así, usando el teorema de Euclides se pueden dividir los intervalos AB y CD, y CD y EF en partes proporcionales, con lo que se dividirá la octava en cuatro partes iguales. Continuando con la iteración, el autor señala que se pueden encontrar 1, 3, 7, 15, 31, 63, etc., medias proporcionales, lo cual permite dividir la octava en 2, 4, 8, 16, 32, etc., partes iguales. Es decir, no se logra dividir la octava en 12 partes iguales. Por este motivo, Mersenne plantea que se requiere incluir otro método complementario para dividir un intervalo musical en tres o más partes iguales. Del mismo modo, el autor afirma que, si bien no se pueden construir dos medias proporcionales de manera geométrica, existen múltiples formas de hacerlo mediante técnicas geométricas-mecánicas, de las cuales presenta una.

Dadas las rectas BH y GA, donde GA es la mitad de BH, considera la recta GE, sobre la cual copia la magnitud GA tres veces, obteniendo los segmentos GA, AH y HO (Figura 16). Luego, sobre el segmento GA y HO, construye los triángulos equiláteros GAD y HOF, y traza la recta AF. Finalmente, incluye un procedimiento mecánico al trazar una recta que pasa por D y cruza los segmentos AF y HO, obteniendo los respectivos puntos de intersección B y C. Mersenne plantea que hay que mover esta recta DC de modo que BC sea igual a la mitad de BH, es decir, a GA. Con esto, el autor sostiene que se encuentran las dos medias proporcionales buscadas, esto es, DB y AC. Cabe señalar que Mersenne atribuye este método a un tal Molthée y no brinda una justificación o demostración matemática.

Figura 16
Construcción geométrica de dos medias proporcionales para la formulación teórica del temperamento igual (Mersenne, 1637, p. 249)

Mersenne (1637) plantea que, usando los métodos descritos de manera conjunta, se puede dividir la octava en doce partes iguales. En efecto, si la octava se divide primero en dos partes iguales (encontrando dos medias proporcionales), y después se encuentran medias proporcionales sobre estas divisiones mediante el teorema de Euclides, se dividirá la octava en seis partes iguales. Finalmente, si se usa el teorema de Euclides nuevamente sobre las divisiones resultantes, se logrará dividir la octava en doce partes iguales. Cabe señalar que el orden de iteración puede permutar. Es decir, también se puede dividir la octava primero en dos partes iguales, después en cuatro partes iguales, y después en doce partes iguales. O bien, primero dividir la octava en dos partes iguales, después en seis partes iguales, y después en doce partes iguales.

Este método geométrico explicado por Mersenne (1637) sigue la misma línea argumentativa presente en los métodos de teóricos musicales del siglo XVI, las cuales se sustentan en significaciones geométricas proporcionales. Para la división de intervalos musicales en partes iguales, los teóricos musicales usan el teorema de Euclides (Faber Stapulensis, 1496; Fogliani, 1529; Bermudo, 1555; Zarlino, 1558; Salinas, 1577). Sin embargo, para la construcción de dos medias proporcionales estos usaron otros métodos. Stevin (1585) plantea la existencia de diversos métodos geométricos-mecánicos para realizar esta construcción, atribuídos a Platón, Herón, Apolonio, Diocles, Pappus, Spore, Menecmo, Arquitas, Eratóstenes y Nicomedes. Ejemplos de estos métodos son el uso del Mesolabio de Eratóstenes, el uso del método de Filón de Bizancio y otro método presentado también por Mersenne para la construcción de dos medias proporcionales (Figura 17).

Figura 17
Métodos para la construcción de dos medias proporcionales (Zarlino, 1558, p. 96; Zarlino, 1588, p. 182; Mersenne, 1637, p. 410)

En definitiva, la idea de usar iteradamente los métodos de construcción de una y dos medias proporcionales para dividir la octava en 12 partes está presente, al menos, en Zarlino (1588) y Stevin (1585). Mersenne explora este mismo procedimiento y lo presenta con una generalidad que incluso supera las necesidades prácticas de la música. Es el caso de la mención que hace de iterar la división para dividir la octava, inclusive, en 48 y 96 partes iguales. En esto vemos el cómo estas ideas matemáticas surgen de la teoría musical y transitan hacia la generalización propia de la Matemática como quehacer científico. Además, Mersenne también generaliza el uso del temperamento para otros instrumentos. En efecto, los teóricos musicales del siglo XVI postularon el temperamento igual para instrumentos de cuerdas con trastes, mas Mersenne generaliza su uso, por ejemplo, para la afinación de los órganos.

Un tercer método para dividir la octava en doce partes iguales que encontramos en Mersenne (1637) es un método aritmético. En la proposición XVI del primer libro de los instrumentos, Mersenne plantea una técnica aritmética para construir el temperamento igual (Figura 18).

Figura 18
Método aritmético para construir el temperamento igual³ (Mersenne, 1637, p. 37)

Mersenne (1637) comienza esta proposición afirmando que la división en partes iguales es la más útil y cómoda de las divisiones musicales del mástil. Acto seguido, presenta una tabla que atribuye a Jean Beaugrand y que plasma una técnica aritmética para encontrar once medias proporcionales comprendidas entre un intervalo y su mitad, logrando una división de la octava en doce partes iguales (Figura 19). Mersenne (1637) señala que, buscando la mayor exactitud que se pueda imaginar, esta técnica aritmética calcula las 11 medias proporcionales comprendidas entre 200000 y 100000. Con esto, obtendrá resultados aproximados de tales divisiones de manera exacta hasta la cienmilésima parte. La tabla que presenta es la siguiente:

Figura 19
Cálculo aritmético del temperamento igual (Mersenne, 1637, p. 37)

En la notación de la época, el símbolo √ (o v) representa a la raíz y las letras q y c que acompañan al símbolo √ hacen referencia, respectivamente, al grado cuadrático y cúbico de la raíz (García-Pérez, 2014). De esta manera, $\sqrt{q}$ representa a una raíz cuadrada, $\sqrt{c}$ a una raíz cúbica, $\sqrt{qq}$ a una raíz cuarta, $\sqrt{cc}$ a una raíz sexta y $\sqrt{cccc}$ a una raíz doceava. A su vez, los números de la tabla son enteros y la cantidad de ceros que están agrupados entre las comas equivalen al número del índice o exponente de la raíz. Nótese que todos los números tienen cinco agrupaciones de ceros (5 comas). Estas cinco agrupaciones corresponden a las cinco cifras cero (o cantidad de ceros) que tienen los valores de referencia 100.000 y 200.000. A su vez, el número de ceros entre las comas se refieren al grado al que tal número está elevado a la potencia (por ejemplo, 1,00,00,00,00,00 equivale a 100,000² o 1,000,000,000,000,000 equivale a 100,000³). Considerando esto, los valores de Mersenne (1637) se expresan en potencia como se muestran en la columna A y F de la Tabla I.

Tabla I
Reconstrucción de los cálculos aritméticos de Mersenne (1637) para el temperamento igual

Respecto a los valores de las otras columnas de la Tabla I, estos explican una reconstrucción de un procedimiento para llegar a los resultados de Mersenne (1637). En efecto, el autor presenta la tabla (Figura 19) pero no da detalles de su elaboración. Para indagar algunos significados de estos cálculos, realizamos una reconstrucción con métodos aritméticos de la época, usados para la resolución del problema del temperamento igual en el siglo XVI. En la proposición 45 de su L’Arithmetique, Stevin (1585) propone un método para encontrar las medias proporcionales que se deseen entre dos números cualesquiera. Plantea que, dada dos cantidades, la media proporcional se encuentra mediante el cálculo de la raíz del producto de ambos valores. Así, teniendo los números a y b, la media proporcional será $\sqrt{a*b}$. A la vez, plantea que también se pueden encontrar dos medias proporcionales mediante los cálculos de $\sqrt[3]{{\mathrm{a}}^2\mathrm{*}\mathrm{b}}$ y de $\sqrt[3]{\mathrm{a}\mathrm{*}{\mathrm{b}}^2}$. Posteriormente, Stevin (1585) plantea que se pueden encontrar más medias proporcionales mediante la iteración de las técnicas descritas. Siguiendo este método, realizamos una reconstrucción de los cálculos presentados en Mersenne (1637), primero calculando una media proporcional entre 100.000 y 200.000 (Columna B), después calculando una media proporcional en los dos intervalos resultantes (Columna C), y finalmente calculando dos medias proporcionales en los cuatro intervalos subsecuentes (Columna D).

Esta reconstrucción muestra que los datos de la tabla de Mersenne, teniendo en cuenta los valores numéricos y los grados de las raíces y exponentes, también se pueden explicar mediante la iteración de una y dos medias proporcionales. Considerando además que en la aritmetización del problema en Stevin (1585) se lleva el mismo procedimiento geométrico al ámbito aritmético (Espinoza et al., 2020), concluimos que los significados germinales evocados en el método aritmético de Mersenne (1637) devienen de lo geométrico. En definitiva, y si bien las medidas para la construcción de los mástiles se brindan mediante cálculos aritméticos, los significados geométricos proporcionales se mantienen en la esencia de la resolución del problema.

Mersenne (1637) concluye la proposición presentando aproximaciones por defecto y por exceso al cálculo exacto de cada valor de la tabla (Figura 20). Si bien, Mersenne (1637) señala que los datos no son exactos, por estar aproximados hasta la cienmilésima parte, sostiene que el error será imperceptible al oído humano. Por esta razón, establece que estos números se pueden considerar como la verdadera división de promedios proporcionales. En definitiva, plantea que estos valores pueden usarse para construir la división en el mástil del Laúd o en el de otros instrumentos. Al respecto, señala que, si se quisiera adicionar una treceava, catorceava o quinceava división en el mástil, solo hay que tomar el valor correspondiente de la división y dividirlo por dos. En esto se hace nuevamente palpable la racionalidad proporcional desde la cual se entienden estos cálculos.

Figura 20
Aproximaciones por defecto y exceso al temperamento igual y cálculos del temperamento igual, respectivamente (Mersenne, 1637, p. 38 y p. 786)

Cabe señalar que Stevin también presenta otras tablas en las que muestra los cálculos del temperamento igual entre 72000000 y 144000000 así como entre 50000000000 y 10000000000 (Figura 20). Estos valores, que superan el interés práctico de la teoría musical, surgen del tránsito del problema desde la teoría musical hacia el ámbito de la Matemática como disciplina científica. Destaca además que, en la aritmética, fueron matemáticos como Stevin y Mersenne los que concibieron al temperamento igual fuera de los cánones pitagóricos que predominaban en aquella época, aceptando a los irracionales como intervalos plausibles para la teoría musical (Espinoza et al., 2020).

Estos tres métodos para la construcción del temperamento igual brindan contexto y significado a nociones matemáticas escolares que suelen enseñarse como procedimientos rutinarios. Un adecuado estudio didáctico permitiría implementar diseños para la resignificación, desde el contexto de la música, de la división sucesiva de longitudes a partir de una razón dada, del teorema de Euclides, de la media proporcional geométrica y de la operatoria de raíces enésimas.

Hasta aquí, hemos analizado los tres métodos para la construcción del temperamento igual identificados en Mersenne (1637). A continuación, describimos los conocimientos puestos en uso, los procedimientos utilizados y los significados asociados identificados en esta investigación.

Uno de los usos del conocimiento matemático identificados en esta investigación, en el método de los fabricantes de instrumentos, es la división iterada de una magnitud usando una misma razón. En la técnica descrita por Vincenzo Galilei, el procedimiento utilizado fue la división geométrica sucesiva del mástil en partes aritméticas iguales, en la que se consideran 17/18 parte en cada iteración. En la explicación de Zarlino, el procedimiento es la multiplicación iterada a la cuerda por los factores 17/18, 17²/18², 17³/18³, En términos actuales, este conocimiento corresponde a una progresión geométrica, es decir, a una sucesión de la forma a, ak, akk, akkk, etc. o a, ak, ak², ak³, etc., donde a es la medida de la longitud a dividir. En esta línea, y considerando que la fracción 17/18 no permite una división exacta de la octava en doce partes iguales, resolver el problema del temperamento igual implica encontrar un factor k de modo que ak¹²=$\frac{\mathrm{a}}{2}$, donde k= $\frac{1}{\sqrt[12]{2}}$ es irracional. El uso de este conocimiento en la ubicación de los trastes de la guitarra se ilustra en la Figura 21.

Figura 21
Ilustración del método de los fabricantes de instrumentos en una guitarra

Respecto a los significados asociados al uso de este conocimiento en el siglo XVI, la noción de progresión geométrica estaba en pleno desarrollo y se definía en el ámbito de lo proporcional. Evidencia de esto es Frisius, quien, en su Arithmeticae practicae methodus facilis publicada originalmente en latín, plantea que la progresión geométrica contiene “varios números precedentes con alguna proporción, es decir, que son producidos por una multiplicación continua de un número” (Frisius, 1585/1556, p. 27-28, trad. francesa)³. En esta línea, un significado identificado de este conocimiento puesto en uso en el problema de la ubicación de los trastes sobre el mástil de instrumentos de cuerda es el siguiente: la aplicación continua de un número o razón sobre la cuerda genera sucesiones de magnitudes proporcionales entre sí. Es decir, dividiendo con la misma razón se conserva la proporción.

Otro de los usos del conocimiento matemático, tanto en los métodos geométrico y aritmético, es la construcción de 11 medias proporcionales entre una magnitud y su mitad. Los conocimientos utilizados son el teorema de Euclides como otras construcciones geométrico-mecánicas para encontrar dos o más medias proporcionales entre una magnitud y su mitad. El procedimiento utilizado es la iteración de los métodos para encontrar una o dos medias proporcionales. De aquí que los significados asociados son geométricos y relativos a la construcción de “magnitudes continuamente proporcionales” (Mersenne, 1637, p. 224). Así como una media proporcional establece la relación proporcional a:b = b:c y dos medias proporcionales la relación proporcional a:b = b:c = c:d, la división del mástil evoca el siguiente significado proporcional a:b = b:c = c:d = d:e = e:f = f:g = etc. (Figura 22). Es decir, es una división de magnitudes continuamente proporcionales, o una división que conserva la proporción. Tal división divide la octava en 12 partes iguales.

Figura 22
Ilustración de las magnitudes continuamente proporcionales en la guitarra

Respecto al método aritmético, las técnicas para el cálculo de medias proporcionales se desprenden de los métodos geométricos. En este sentido, el cálculo de potencias y raíces está inmerso en un contexto de significados proporcionales. Tal significado aritmético también se encuentra en el proceso de desarrollo del saber. Es el caso de Bobillier (1827) quien, en sus Principes d’algèbre, plantea que “un término cualquiera de una progresión geométrica es igual a la media proporcional entre el término que le precede y el que le sigue” (p. 32)⁴. En definitiva, identificamos en el método aritmético los significados subyacentes al método geométrico. Y el hecho de que Stevin haya planteado simultáneamente su método aritmético para medias proporcionales y la resolución aritmética del temperamento igual, devela la significación proporcional tras sus métodos de cálculo de potencias y raíces, y ubica a la música como un contexto de significación de tales conocimientos matemáticos.

Una característica particular del temperamento igual, y que lo distingue de todos los otros sistemas de afinación existentes en los siglos XVI y XVII, es que iguala todos los semitonos en términos de sonido. Este hecho tiene significativas implicaciones tanto en la teoría musical como en las prácticas de fabricación e interpretación de instrumentos musicales. Al respecto, Mersenne (1637) señala que, en los otros temperamentos, dado que las divisiones entre los semitonos no se realizaban siguiendo una misma razón, las tonalidades no sonarán iguales. Sin embargo, con el temperamento igual todas las escalas tienen la misma sonoridad, de modo que con esta división se pueden construir todas las armonías. En efecto, para construir una armonía “no importa por donde uno comience, pues todos los tonos y medios tonos son iguales” (Mersenne, 1637, p. 38)⁵. El autor señala esto haciendo referencia a que en las tablas que presenta el temperamento igual se puede comenzar la división desde cualquier nota, como por ejemplo por las notas La, Do (Figura 20) o Sol (Figura 19).

De lo anterior se concluye que en el temperamento igual todas las armonías están autocontenidas en la misma división de la cuerda. Por ejemplo, en la Figura 23, se tiene la división de la cuerda siguiendo el temperamento igual de la primera cuerda Mi, construida ya sea a través de la multiplicación iterada de un mismo factor o mediante medias proporcionales. Si desde Fa comenzamos a hacer la división usando el mismo factor o mediante medias proporcionales, las divisiones de la cuerda calzan exactamente, o bien, están autocontenidas, en la división de la guitarra realizada desde Mi. Y esto se cumple si iniciamos la división de la cuerda desde Sol, La, Si, Mi (una octava más arriba), Sol, etc. Es decir, la división contiene todas las posibles divisiones de todas las armonías.

Figura 23
Ilustración de la autosimilitud de las armonías en la guitarra

Esta autocontención se puede explicar de la siguiente manera: cuando una magnitud se divide multiplicando iteradamente por una misma razón o mediante medias proporcionales, la sucesión resultante a_n será, en términos proporcionales, semejante a cualquiera de sus subsucesiones de la forma a_n+m, con n y m números naturales. En términos geométricos, el hecho de que en una progresión geométrica toda subsucesión sea semejante, proporcional u homotética a la sucesión dada, implica que cualquier parte de la sucesión tiene, por así decirlo, la “misma forma” que el todo. Es más, toda subsucesión de la sucesión será semejante, proporcional u homotética a cualquier otra subsucesión de la sucesión. Esta propiedad puede ser explicada mediante la noción de autosimilitud o autosemejanza. Pareyon (2011) caracteriza la autosimilitud como aquella propiedad en la que el todo es exacto, similar, o tiene la misma forma que una y cada una de sus partes. En el temperamento igual, esta autosimilitud se expresa en que el todo está autocontenido en sus partes y sus partes están autocontenidas en sus subpartes.

La construcción del temperamento igual hace emerger nociones que no pueden encerrarse en la Matemática o la Música como asignaturas escolares. En particular la autosimilitud moviliza significados que sólo pueden comprenderse desde la reciprocidad disciplinar. Esta es una característica de los problemas interdisciplinarios, que necesita seguir siendo discutida y profundizada desde la Educación Matemática. Habiendo señalado esto, a continuación, presentamos las conclusiones de esta investigación.