1. Introducción

La lógica es la disciplina filosófica que se ocupa de determinar cómo y por qué un argumento es válido o, en su defecto, inválido. Por supuesto, también se ocupa de llevar adelante todas las discusiones metafísicas, ontológicas, pragmáticas —y, si las hubiere, éticas y políticas— que surgen al tratar de responder a la cuestión primaria. Para llevar a cabo este conjunto de tareas, en el transcurso de la historia de la filosofía, los estudiosos han tomado distintos caminos. El camino que nos interesa en este artículo para estudiar diversas lógicas es el semántico: el que recorren aquellos que creen que, para determinar si un argumento es válido o inválido, basta con prestar atención a determinadas características propias del significado de las premisas y la conclusión de dicho argumento.

Determinar el significado de las premisas y la conclusión de un argumento puede ser, sin duda, una cuestión que en sí misma encierra un número de problemáticas. En este artículo seguiremos la tradición contemporánea y entenderemos el significado de una oración como el valor de verdad otorgado a la fórmula que formaliza dicha oración. Seguiremos, también, el uso corriente de plantear las discusiones en el nivel de la lógica proposicional, pues si estos asuntos resultan de interés para dicho conjunto de sistemas, probablemente también lo serán para formalismos filosóficamente más jugosos, como la lógica de predicados de primer orden.

En este artículo propondremos, discutiremos y formalizaremos criterios gracias a los cuales podría legítimamente decirse que una inferencia o argumento es o bien analitico o bien sintético. Para ello, utilizaremos un criterio “sintáctico” para la determinación de lo que llamaremos el asunto de una oración. En el curso de dicha discusión, intentaremos mostrar que hay un interés filosófico en considerar semánticas para sistemas de lógica proposicional que admiten valores de verdad sin sentido. Dicho interés está fuertemente relacionado con la tradición contemporánea de desarrollo de lógicas relevantes o relevantistas, estimulado particularmente por lógicos de la talla de Anderson, Belnap y Parry. Para lograr este cometido, haremos uso esencial de dos sistemas de “lógicas del sinsentido” introducidos el siglo pasado por Dimitri Bochvar y Sören Halldén, respectivamente.

El presente trabajo se estructura como sigue. En la Sección 2 se introducen una serie de elementos técnicos preliminares. En la Sección 3 se presentan y discuten criterios para determinar si un argumento es analítico o sintético. En la Sección 4 se presentan formalmente las lógicas de sinsentido de Bochvar y Halldén y se muestra que algunos de sus subsistemas cumplen con una serie de refinamientos del criterio de relevancia de Anderson y Belnap. Dichos criterios, denominados ⊨-Principio Proscriptivo y ⊨-Principio Permisivo, están —respectivamente— relacionados con una posible lectura del carácter analítico y sintético de los argumentos.

2. Preliminares técnicos

Adelantamos en la sección anterior dos puntos nodales del abordaje técnico que llevaremos a cabo en este trabajo. Dijimos, oportunamente, que trabajaremos con lógicas proposicionales. Esto implicará que consideraremos lenguajes lógicos típicamente conformados por un conjunto de conectivos lógicos de variada aridad y un conjunto infinito enumerable de letras proposicionales p, q, r, etc. En todos los casos trabajaremos con un vocabulario lógico 𝓛 que contendrá los símbolos ∧, ∨, ¬, paradigmáticamente implementados para representar la conjunción, la disyunción y la negación. En este lenguaje, definiremos el conjunto de fórmulas bien formadas como el conjunto Form y utilizaremos letras griegas mayúsculas como metavariables para los conjuntos de fórmulas, y letras latinas mayúsculas como metavariables para las fórmulas de dicho lenguaje.

Por último —pero no menos importante— definimos el conjunto de átomos de una fórmula B, que escribiremos At(B), como el conjunto de letras proposicionales que aparecen en la fórmula B. Haremos lo análogo para el conjunto de átomos de un conjunto de fórmulas Γ, que escribiremos At(Γ), definiéndolo como la unión del conjunto de átomos de todas las fórmulas C que son miembros de Γ.

Declaramos, asimismo, que trabajaremos estudiando a los sistemas lógicos desde el punto de vista semántico. Volviéndonos ahora hacia la faceta más formal de este estudio, brindaremos a continuación una serie de definiciones preliminares que revisten un carácter fundamental para entender las secciones venideras.

En primer lugar, entenderemos por una lógica a un par ordenado ⟨ 𝓛, ⊨𝐋 ⟩, donde el primer elemento es un lenguaje lógico y el segundo elemento es una relación de consecuencia entre conjuntos de fórmulas y fórmulas. En segundo lugar, esta relación de consecuencia es obtenida luego de aplicar una serie de consideraciones a una estructura denominada matriz lógica que consiste en un par ordenado ⟨ 𝐋, 𝓓𝐋 ⟩. La primera coordenada de este par es un álgebra 𝐋, que a su vez definimos como un par ⟨ 𝓥𝐋, 𝓞𝐋 ⟩ cuyo universo es 𝓥𝐋, y su conjunto de operaciones es 𝓞𝐋. Llamaremos al conjunto 𝓥𝐋 el conjunto de valores de verdad de la lógica 𝐋, y al conjunto 𝓓𝐋 (un subconjunto propio de 𝓥𝐋) el conjunto de valores de verdad designados, o distinguidos, de la lógica 𝐋. Alternativamente, diremos que si un determinado elemento x pertenece a 𝓓𝐋 —lo cual notaremos como x ∈ 𝓓𝐋— entonces x es designado o distinguido.

En tercer lugar, las consideraciones que se deben aplicar para obtener una relación de consecuencia a partir de una matriz lógica son las siguientes. Definimos v, una función de valuación sobre una matriz lógica como un mapeo de los elementos del conjunto de fórmulas Form al conjunto de valores de verdad 𝓥𝐋, como es corriente en la literatura. Luego, dado un conjunto de fórmulas Γ y una fórmula B, si para toda función de valuación v, siempre que toda C ∈ Γ es tal que v(C) ∈ 𝓓𝐋, esto implica v(B) ∈ 𝓓𝐋, entonces diremos que B es consecuencia semántica de Γ en la matriz lógica que caracteriza a la lógica 𝐋. Notaremos esto como Γ ⊨𝐋 B.

3. Argumentos analíticos y argumentos sintéticos

En esta sección tenemos como objetivo proponer, justificar y formalizar las nociones de argumento analítico y argumento sintético. El objetivo es lograr extender las nociones de analítico y sintético, comprensibles en relación a enunciados, para que se apliquen, también, a argumentos.

De este modo, lo primero que debemos destacar es que al referirnos a argumentos analíticos o sintéticos no pretendemos enfocar nuestra atención en argumentos cuyas premisas o conclusiones son, respectivamente, enunciados analíticos o sintéticos. Por el contrario, se trata de intentar extender por analogía las nociones de analiticidad y de sinteticidad.

En este sentido, lo propio de estas nociones, aplicadas a enunciados, es que refieren a la relación entre la verdad de un enunciado y los significados de las expresiones involucradas en él. Es así que la frase “Los solteros son no casados” es tenida por analítica, pues su verdad depende del significado de las expresiones “soltero” y “no casado”. Mientras que la verdad de la frase “Los solteros son sinceros” no puede determinarse de este modo, refiriéndonos ahora a las expresiones “soltero” y “sincero”, sino que depende, además, de cómo sea el mundo (para determinar v.g. si hay solteros insinceros), y es por eso que dicho enunciado es tenido por sintético. Dados nuestros objetivos en lo que sigue del trabajo, es apropiado recordar las consideraciones de Immanuel Kant (1781/2009, A6-7) sobre estos menesteres, donde destaca a los enunciados analíticos como aquellos donde el predicado está incluido o contenido en el sujeto, y a los sintéticos como aquellos donde esto último no se da.

En lo que sigue propondremos aplicar estas nociones a argumentos. Al extenderse a este ámbito, estas nociones referirán a variadas relaciones de inclusión entre los asuntos de —es decir, aquello de lo que hablan— tanto de las premisas como de la conclusión de un determinado argumento.1 Esta propuesta lleva consigo un número de sutilezas.

En primer lugar, notemos que la determinación de la validez o invalidez de un argumento tal como la entendemos en este trabajo, depende de la lógica subyacente utilizada en cada caso. No sería correcto afirmar que hay argumentos analíticamente válidos o sintéticamente validos simpliciter. Sí lo sería, en cambio, afirmar que hay argumentos válidos en cierta lógica que son también analítica o sintéticamente válidos, tanto como hay argumentos válidos en cierta lógica que no son analítica o sintéticamente válidos. En consonancia, también podremos considerar argumentos inválidos en cierta lógica que cumplen los requisitos para ser analíticos o sintéticos, tanto como argumentos inválidos en cierta lógica que no cumplen dichos requisitos. De este modo, cabe notar que el carácter analítico o sintético de un argumento y su validez refieren a criterios ortogonales.

En segundo lugar, debemos hacer explícita una particularidad presente en nuestra elección para formalizar la noción de asunto de una oración o fórmula. Para ello, definiremos el asunto de una fórmula B como el conjunto de átomos proposicionales, también llamados letras o variables proposicionales, que aparecen en la fórmula B, v.g. At(B), generalizando esto, apropiadamente, para conjuntos de fórmulas.2

Por una parte, esta elección, que identifica el asunto de una oración con el conjunto de proposiciones que aparecen en su formalización, retrata nuestra propuesta para estudiar la analiticidad o la sinteticidad como una propiedad sintáctica de los argumentos. En la medida en que la determinación del asunto de una oración o fórmula depende de criterios sintácticos, el carácter analítico o sintético de un argumento también lo hará.3

Por otra parte, esta propuesta implica una disanalogía en el análisis de los enunciados y los argumentos analíticos o sintéticos. En el caso de los enunciados analíticos o sintéticos, el elemento que atrae el foco principal es el significado de las expresiones involucradas, mientras que, en el caso de los argumentos, el elemento central es el asunto de las oraciones o fórmulas involucradas. Pero, ¿por qué en este segundo caso no es determinante el significado de las oraciones involucradas? ¿Acaso el significado y el asunto no están relacionados?

La respuesta a estas preguntas es compleja. Ciertamente, hay alguna relación entre el significado y el asunto de una oración. Pero su relación no es de identidad. Si comprendemos el significado de una oración como el valor de verdad que ella tiene, entonces es natural admitir —con Lewis (1988) y Yablo (2014)— que oraciones que tienen el mismo valor de verdad pueden, sin embargo, hablar de distintas cosas, es decir, tener distinto asunto. De esto extraemos que la noción de asunto es, al menos, intensional. Si, seguidamente, admitimos que oraciones que tienen necesariamente el mismo valor de verdad pueden hablar de distintas cosas,4 es decir, tener distinto asunto, concluiremos que la noción de asunto es hiperintensional. De modo que, si deseamos describir a los argumentos con propiedades analíticas o sintéticas haciendo uso de la noción de asunto (como hemos propuesto más arriba), entonces como esta última es una noción hiperintensional, no podrá ser rescatada por el mero significado de las oraciones, por su valor de verdad, pues dicha característica es una propiedad extensional.

A continuación, propondremos distintos criterios para clasificar un argumento como analítico o sintético. El lector debe notar que estas distintas caracterizaciones pueden no ser equivalentes sino alternativas. Nuestra tarea será ofrecer distintas aproximaciones a este fenómeno y luego mostrar, en lo que sigue del trabajo, que ciertas lógicas formales son tales que todos sus argumentos válidos son analíticos o sintéticos, bajo alguna de las acepciones de estos términos discutidas en lo que sigue.5

Diremos, en una primera aproximación, que un argumento es analítico si el conjunto de temas del que habla la conclusión no excede el conjunto de temas del que hablan las premisas. Alternativamente, diremos en una segunda aproximación que un argumento es analítico si el conjunto de temas del que habla la conclusión está incluido en el conjunto de temas del que hablan las premisas. En este sentido, sostendremos que lo dicho en la conclusión es fruto de un mero análisis de lo dicho en las premisas. Un caso notable de un argumento clásicamente válido que goza también de la suerte de ser analítico será, por ejemplo, cualquier instancia del esquema de argumento “A y B, por lo tanto, A”, usualmente llamado eliminación de la conjunción. Asimismo, un caso notable de argumento clásicamente válido que no goza de la suerte de ser analítico será, por ejemplo, cualquier instancia del esquema de argumento “A, por lo tanto, A o B”, usualmente llamado introducción de la disyunción.6

En segundo lugar, diremos, en una primera aproximación, que un argumento es sintético si el conjunto de asuntos del que habla la conclusión excede el conjunto de temas del que hablan las premisas. Alternativamente, diremos en una segunda aproximación que un argumento es sintético si el conjunto de asuntos del que habla la conclusión no está incluido en el conjunto de temas del que hablan las premisas. En este sentido, sostendremos que lo dicho en la conclusión es una síntesis entre aquello dicho en las premisas y otros temas no mencionados en las premisas. Un caso notable de un argumento clásicamente válido que goza también de la suerte de ser sintético será, por ejemplo, cualquier instancia del esquema de argumento “A, por lo tanto, A o B”. Asimismo, un caso notable de argumento clásicamente válido que no goza de la suerte de ser sintético será, por ejemplo, cualquier instancia del esquema de argumento “A y B, por lo tanto, A”.7

Habiendo discutido estos puntos, procedemos ahora a proveer formalizaciones adecuadas de nuestras propuestas. Volvamos a recordar nuestra tentativa para entender los argumentos analíticos. Nuestra caracterización negativa decía que un argumento analítico es tal que el conjunto de temas de los que habla la conclusión no excede el conjunto de temas del que hablan las premisas. Si caracterizamos al conjunto de temas de los que habla la conclusión B como At(B), y al conjunto de temas de los que hablan las premisas Γ como At(Γ), entonces lo que precisamos de manera negativa es:

(A1) El argumento de Γ a B es analítico, si no se da que At(Γ) ⊊ At(B)

Seguidamente, lo que precisamos a través de nuestra caracterización positiva es que el conjunto de temas de los que habla la conclusión esté incluido en el conjunto de temas del que hablan las premisas, es decir:

(A2) El argumento de Γ a B es analítico, si de hecho se da que At(B) ⊆ At(Γ)

Esto deja abierto si debe ser un subconjunto propio (léase: At(B) ⊊ At(Γ)) o si puede ser un subconjunto impropio (léase: At(B) ⊆ At(Γ)).8

Análogas discusiones surgen de nuestra propuesta para entender a los argumentos sintéticos. Nuestra caracterización negativa decía que un argumento sintético es tal que el conjunto de temas de los que habla la conclusión excede o no está incluido en el conjunto de temas del que hablan las premisas. Si caracterizamos al conjunto de temas de los que habla la conclusión B como At(B) y al conjunto de temas de los que hablan las premisas Γ como At(Γ), entonces lo que precisamos de manera negativa es:

(S1) El argumento de Γ a B es sintético, si no se da que At(B) ⊈ At(Γ).

Seguidamente, lo que precisamos a través de nuestra caracterización positiva admite varias lecturas.9

Una primera lectura implicaría que el conjunto de temas de la conclusión tiene permitido exceder el conjunto de temas de las premisas, tomado este último como un todo, es decir:

(S2) El argumento de Γ a B es sintético, si de hecho existe un conjunto X ⊆ At(Γ), tal que X ⊆ At(B).

Una segunda lectura implicaría que el conjunto de temas de la conclusión tiene permitido exceder el conjunto de temas de las premisas, entendiendo por esto que puede exceder el conjunto de temas de algún subconjunto de las premisas, es decir:10

(S3) El argumento de Γ a B es sintético, si de hecho existe un conjunto Γ* ⊆ Γ, tal que At(Γ*) ⊆ At(B).

Habiendo aclarado ya las propuestas11, cabe señalar que dado lo dicho en los anteriores párrafos, podemos preguntarnos por el fragmento analítico y por el fragmento sintético de una cierta lógica, donde por estos elementos debe entenderse el subconjunto de inferencias válidas en esa determinada lógica que, además, poseen la característica de ser inferencias analíticas o sintéticas, según el caso. Asimismo —y aún más importante— diremos que un sistema lógico es él mismo analítico solo si todos los argumentos válidos en él son analíticos. Del mismo modo, diremos que un sistema lógico es él mismo sintético solo si todos los argumentos válidos en él son sintéticos.

Tras recorrer los devenires de la presente discusión, es natural preguntarse si existe alguna técnica o metodología para obtener lógicas analíticas o sintéticas. En lo que resta del artículo veremos que las lógicas del sinsentido de Bochvar y Halldén proveen elementos técnicos que nos permiten obtener lógicas que —sostendremos— pueden ser legítimamente llamadas analíticas y sintéticas.

4. Lógicas del sinsentido y lógicas infecciosas

En esta sección presentamos, finalmente, las lógicas del sinsentido de Bochvar (1938/1981) y Halldén (1949) y definimos a partir de estas una familia de lógicas con un comportamiento semántico similar, las cuales nos servirán para proveer sistemas con comportamientos analíticos o sintéticos.

Las lógicas del sinsentido fueron consideradas deliberadamente por Dimitri Bochvar y Sören Halldén para lidiar con argumentos y razonamientos que incluyen oraciones sin sentido. Estas expresiones sin sentido no deben ser confundidas ni tenidas por verdaderas, ni por falsas. En rigor, debe asignársele un tercer valor de verdad para poder hacer justicia a su condición semántica. Bochvar, inicialmente, concibió un sistema de estas características para tratar con oraciones paradójicas, tales como la ya clásica paradoja del mentiroso12 (i.e. “Esta oración es falsa”). Por su parte, con las lógicas del sinsentido Halldén pretendió modelar, también, el fenómeno de la vaguedad presente, por caso, en la helénica paradoja de Sorites.13

Hay, no obstante, un conjunto de notables diferencias entre las lógicas del sinsentido de Bochvar y de Halldén (y por tanto en todos los respectivos subsistemas). La que cabe señalar aquí respecta a lo que podría marcarse como una diferencia de políticas respecto del sinsentido. Para decirlo de manera cabal, la política de Bochvar respecto de los argumentos que incluyen oraciones sin sentido o asignificativas es que todo argumento que tenga premisas verdaderas y conclusión no verdadera (esto es, o bien falsa, o bien sin sentido) es un argumento inválido. Por lo tanto, del enfoque de Bochvar puede extraerse que su política es considerar al valor de verdad sinsentido como no distinguido o no designado.

Contrariamente, la política de Halldén respecto del tipo de argumentos recién mencionado es que solo los argumentos que tengan premisas no falsas (esto es, o bien verdaderas, o bien sin sentido) y conclusiones falsas deben ser considerados inválidos. Por lo tanto, del enfoque de Halldén puede extraerse que su política es considerar al valor de verdad sinsentido como distinguido o designado. Esta oposición se hará manifiesta cuando demos más abajo las definiciones pertinentes.

Nótese que, por otra parte, puede argüirse que las políticas de Bochvar y de Halldén no son las únicas que pueden adoptarse frente al sinsentido. En particular, podría admitirse un valor no clásico de este tipo, sin que ello exija incurrir en el tipo de comportamiento semántico que exhiben las lógicas que detallamos14 a continuación.15

Definición. La lógica del sinsentido de Bochvar, que llamaremos B3, es un par ⟨ 𝓛, ⊨B3 ⟩ tal que ⊨B3 es una relación de consecuencia inducida por una matriz lógica del sinsentido donde 𝓓3 = {t}.

Alternativamente, la lógica del sinsentido de Halldén, que llamaremos H3, es un par ⟨ 𝓛, ⊨H3 ⟩ tal que ⊨H3 es una relación de consecuencia inducida por una matriz lógica del sinsentido donde 𝓓3 = {t, i}.

El objetivo del presente escrito no es, sin embargo, estudiar particularmente las lógicas de Bochvar y Halldén, sino obtener generalizaciones a partir de ellas, para estudiarlas globalmente.

La primera generalización que propondremos refiere a los valores de verdad sin sentido. Llamamos la atención, aquí, sobre el hecho de que en la matriz lógica del sinsentido expuesta más arriba, dicho valor tiene un carácter que podríamos llamar infeccioso y que algebraicamente podría caracterizarse como absorbente o anihilante.16 Podemos calificar este valor de tal modo, porque cada vez que una operación involucra un valor de este tipo, el resultado retorna ese mismo valor y no otro. Proponemos considerar, entonces, lógicas basadas en matrices lógicas que cuenten con valores de verdad que tengan esta característica.

Definición. Una matriz lógica infecciosa es un par ⟨ 𝐋, 𝓓𝐋 ⟩ donde el primer elemento 𝐋 es un álgebra ⟨ 𝓥𝐋, 𝓞𝐋 ⟩, y el segundo elemento es un subconjunto propio del universo del álgebra, tal que en el álgebra existe un elemento z, i.e. un valor de verdad, de 𝓥𝐋 tal que para toda operación n-aria f # incluida en 𝓞𝐋:

si z ∈ {v1, …, vn}, entonces f #(⟨v1, …, vn⟩) = z

Dada esta definición de matriz lógica infecciosa, la consiguiente definición de lógica infecciosa es inmediata.

La segunda generalización que propondremos refiere a las políticas de Bochvar y Halldén respecto de los valores de verdad sin sentido. Intentaremos generalizar dichas políticas para lógicas que cuenten con valores absorbentes, anihilantes o infecciosos, sin exigir que dichos valores tengan la carga filosófica de ser pensados como valores sin sentido.

Definición. Dado una matriz lógica infecciosa ⟨ 𝐋, 𝓓𝐋 ⟩ donde 𝐋 es un álgebra de la forma ⟨ 𝓥𝐋, 𝓞𝐋 ⟩, tal que su valor infeccioso característico es un determinado z perteneciente a 𝓥𝐋, diremos que las lógicas ⟨ 𝓛, ⊨𝐋 ⟩ definidas en base a dicha matriz adoptan:

• una política de Bochvar respecto de su valor infeccioso, si z ∉ 𝓓𝐋

• una política de Halldén respecto de su valor infeccioso, si z ∈ 𝓓𝐋

Proseguimos en esta sección constatando que los valores de verdad infecciosos se transmiten de manera indefectible desde las mínimas letras proposicionales que aparecen en una fórmula hasta el valor de verdad de la fórmula misma.

Proposición. Sea ⟨ 𝓛, ⊨𝐋 ⟩ una lógica infecciosa, tal que su valor infeccioso es z, y sea v una valuación para 𝐋.

Si B es una fórmula del lenguaje de 𝐋 tal que p es una letra proposicional que aparece en B —es decir, p ∈ At(B)— y asimismo v(p) = z, entonces también v(B) = z.

Prueba: Probamos este resultado por inducción en la complejidad de B.

Caso base: B = p. En este caso, trivialmente v(p) = v(B) = z

Hipótesis Inductiva:

Para n ≥ 0 y para toda fórmula B con una cantidad k ≤ n de conectivos lógicos, si existe p ∈ At(B) tal que v(p) = z, entonces v(B) = z. Sea B con n + 1 conectivos y supóngase que existe p ∈ At(B) tal que v(p) = z.

Paso Inductivo: Ofrecemos la prueba para una conectiva genérica # de aridad m.

Sea B = #(C1, …, Cm). Dado p ∈ At(#(C1, …, Cm)), entonces sabemos que para algún i ∈ {1, …, m}, se da que p ∈ At(Ci). En cuyo caso, por la Tesis Inductiva sabemos que v(p) = v(Ci) = z. Finalmente, dado que 𝐋 es una lógica infecciosa, la función f # arroja que v(p) = v(Ci) = v(#(C1, …, Cm)) = v(B) = z.

En lo que sigue mostramos que ciertas lógicas infecciosas satisfacen el criterio de relevancia defendido por Anderson y Belnap (1975); criterio que detallamos acto seguido.17

Definición. Un argumento Γ ⊨L B válido en una determinada lógica L cumple la propiedad de “variables compartidas” entre las premisas Γ y la conclusión B solo si At(Γ) ∩ At(B) ≠ ∅

Definición. Una lógica L es llamada relevante si y solo si todo argumento válido en ella cumple la propiedad de “variables compartidas”.

Nótese que si un argumento cumple los criterios relevantistas que llamaremos más abajo ⊨-Principio Proscriptivo y ⊨-Principio Permisivo, entonces gracias a razonamientos conjuntistas estándares es fácil concluir que cumple el criterio de “variables compartidas”.

En lo que sigue, mostraremos que, bajo ciertas condiciones, las lógicas infecciosas cumplen con el ⊨-Principio Proscriptivo, o bien con el ⊨-Principio Permisivo.

Definición. Un argumento de un conjunto de premisas Γ a una conclusión B, que es válido en una lógica L respeta el ⊨-Principio Proscriptivo solo si At(B) ⊆ At(Γ).

Una lógica ⟨ 𝓛, ⊨𝐋 ⟩ respeta el ⊨-Principio Proscriptivo si y solo si todo argumento válido en ella lo respeta.

Llamamos aquí la atención sobre la relación íntima que hay entre el ⊨-Principio Proscriptivo y el criterio propuesto (A2) para determinar si una inferencia o argumento es analítico. Esta coincidencia se vuelve aún más fructífera a la luz del siguiente resultado.

Teorema. Considérese una lógica ⟨ 𝓛, ⊨𝐋 ⟩, donde el primer elemento es un lenguaje lógico y el segundo elemento es una relación de consecuencia entre conjuntos de fórmulas y fórmulas. Sea esta relación de consecuencia inducida por una matriz lógica ⟨ 𝐋, 𝓓𝐋 ⟩.

Si esta matriz lógica es tal que:

• la lógica en cuestión es una lógica infecciosa, donde x es su valor infeccioso distintivo

• x ∉ 𝓓𝐋, es decir, la lógica adopta una política de Bochvar respecto de x

• Para todo conjunto de fórmulas Γ hay una valuación v, tal que v(Γ) ⊆ 𝓓𝐋

• Γ ⊨𝐋 B se lee como “para toda valuación v, v(Γ) ⊆ 𝓓𝐋 implica v(B) ∈ 𝓓𝐋”

Entonces la lógica en cuestión satisface el ⊨-Principio Proscriptivo.

Prueba: véase Ferguson (2015), Observación 1.

Definición. Un argumento de un conjunto de premisas Γ a una conclusión B, que es válido en una lógica L respeta el ⊨-Principio Permisivo solo si existe un Γ* ⊆ Γ no vacío (i.e. Γ* ≠ ∅), tal que At(Γ*) ⊆ At(B).

Una lógica ⟨ 𝓛, ⊨𝐋 ⟩ respeta el ⊨-Principio Permisivo si y solo si todo argumento válido en ella lo respeta.

Análogamente, llamamos aquí la atención sobre la relación íntima que hay entre el ⊨-Principio Permisivo y el criterio propuesto (S3) para determinar si una inferencia o argumento es sintético. Nuevamente, esta coincidencia se vuelve aún más fructífera a la luz del siguiente resultado.

Teorema. Considérese una lógica ⟨ 𝓛, ⊨𝐋 ⟩, donde el primer elemento es un lenguaje lógico y el segundo elemento es una relación de consecuencia entre conjuntos de fórmulas y fórmulas. Sea esta relación de consecuencia inducida por una matriz lógica ⟨ 𝐋, 𝓓𝐋 ⟩.

Si esta matriz lógica es tal que:

• la lógica en cuestión es una lógica infecciosa, donde x es su valor infeccioso distintivo

• x ∈ 𝓓𝐋, es decir, la lógica adopta una política de Halldén respecto de x

• Para toda fórmula hay una valuación v, tal que v(B) ∉ 𝓓𝐋 (obsérvese que esto significa que la lógica no tiene teoremas)

• Γ ⊨𝐋 B se lee como “para toda valuación v, v(Γ) ⊆ 𝓓𝐋 implica v(B) ∈ 𝓓𝐋”

Entonces la lógica en cuestión satisface el ⊨-Principio Permisivo.

Prueba: Sea Γ \ Δ el resultado de sustraer de Γ aquellos elementos que están en Δ. Supongamos, por absurdo, que el antecedente del teorema se da, i.e. en particular que Γ ⊨𝐋 B y que ∅ ⊭𝐋 B, al mismo tiempo que, sin embargo, la lógica 𝐋 no satisface el ⊨-Principio Permisivo.

Esto implica que no hay un subconjunto no vacío Γ* ⊆ Γ, tal que At(Γ*) ⊆ At(B). Dada nuestra hipótesis y un poco de razonamiento conjuntista estándar, sabemos que para todo C ∈ Γ, {C} ⊆ Γ. Dadas nuestras premisas, sabemos que para todo conjunto no vacío Γ* ⊆ Γ, At(Γ*) ⊈ At(B), podemos arribar de manera legítima a: para todo C ∈ Γ, At(C) ⊈ At(B). Luego, resulta justificado asumir que para todo C ∈ Γ, At(C) \ At(B) ≠ ∅. Obsérvese que, para todo C ∈ Γ, los conjuntos At(C) \ At(B) y At(B) son disjuntos. Ahora, sea v una valuación tal que v(B) ∉ 𝓓𝐋. Dado que At(C) \ At(B) y At(B) son disjuntos, podemos asumir que, para todo C ∈ Γ y para todo p ∈ At(C) \ At(B), v(p) = x. Luego, para todo C ∈ Γ, v(C) = x, de lo cual se infiere que v(Γ) ⊆ 𝓓𝐋. Finalmente, v es una valuación testigo de que Γ ⊭𝐋 B, lo cual contradice nuestro supuesto inicial.18

De los resultados recién expuestos se sigue que una lógica que satisfaga el ⊨-Principio Proscriptivo tiene una de las propiedades que, hemos propuesto, debería tener una lógica analítica; es decir, una lógica tal que todos sus argumentos válidos tienen la propiedad de ser analíticos.

Correlativamente, se sigue que una lógica que satisfaga el ⊨-Principio Permisivo tiene una de las propiedades que, hemos propuesto, debería tener una lógica sintética; es decir, una lógica tal que todos sus argumentos válidos tienen la propiedad de ser sintéticos.

En virtud de ello, resaltamos que las lógicas infecciosas —destacadas generalizaciones técnicas del comportamiento semántico distintivo de las lógicas del sinsentido de Bochvar y Halldén— juegan un rol fundamental en la investigación de las inferencias analíticas o sintéticas y, por consiguiente, de las lógicas de este tipo.

El sentido del sinsentido, así considerado, es colaborar en la comprensión y facilitar la obtención de sistemas analíticos y sintéticos. Es decir, tanto de sistemas donde todos los argumentos válidos sean analíticos, como de sistemas donde todos los argumentos válidos sean sintéticos. Esto es pasible de ser realizado de manera simple y sistemática, mediante la manipulación de elementos semánticos, como el carácter designado o no designado del valor infeccioso, cuyo comportamiento semántico está inspirado en el valor sin sentido de las lógicas homónimas de Bochvar y Halldén.

Agradecimientos

Agradecimientos

Una versión de este artículo fue presentada en el 4to Coloquio de Jóvenes Investigadores en Filosofía Analítica (JIFA), que tuvo lugar en la Sociedad Argentina de Análisis Filosófico (SADAF) entre el 8 y el 10 de Junio de 2016. Agradezco a la audiencia allí presente, especialmente a Alberto Moretti, por sus comentarios. Por último, agradezco también a los miembros del Buenos Aires Logic Group, a los miembros del seminario Work In Progress (WIP) coordinado por Eduardo Barrio, y a los evaluadores de Análisis Filosófico por sus observaciones y sugerencias, que llevaron a mejorar el presente trabajo. Este trabajo fue escrito durante una Beca Interna Doctoral otorgada por el CONICET.

Bibliografía

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Notas