ANTECEDENTES

La adquisición de ciertas habilidades matemáticas básicas y la comprensión de determinados conceptos son imprescindibles para un funcionamiento efectivo en la sociedad actual y, por tanto, los futuros maestros deben estar preparados para afrontar con seguridad su tarea profesional como docentes de matemáticas para que, de este modo, los niños aborden el aprendizaje de esta materia desde el conocimiento lógico y reflexivo.

El modelo de enseñanza-aprendizaje de las matemáticas al que están acostumbrados la mayoría de los estudiantes del grado en educación primaria a lo largo de su escolarización, comporta una concepción de las matemáticas que no ayuda a que, desde la universidad, se les plantee otro modelo que implique que experimenten, se formulen preguntas, apliquen estrategias diversas o generalicen resultados, por la falta de competencias con que acceden a los estudios universitarios e, incluso, por sus creencias sobre las propias aptitudes.

Este cambio en la manera de enseñar, supone apoyar el desarrollo del pensamiento matemático de los estudiantes de educación a la vez que aprenden a ser maestros.

Pero, para poder encarar esta tarea transformadora, los estudiantes deben superar los déficits de aprendizaje de conocimientos matemáticos básicos. Es por ello que nos planteamos detectar, diagnosticar y estudiar los errores que los futuros maestros cometen tanto a nivel conceptual como procedimental. Los resultados de la investigación pueden contribuir a ayudar a los estudiantes a solventar sus carencias y a los profesores de las facultades de educación a enfocar, con mayor bagaje de conocimiento, los cursos de formación. Se trata de prever el grado de dificultad potencial del contenido matemático, identificar las variables a tener en cuenta para facilitar su enseñanza y organizar estrategias para un mejor aprendizaje insistiendo en aquellos aspectos que generan más dificultades.

Todas las teorías sobre la enseñanza-aprendizaje de las matemáticas coinciden en la necesidad de identificar los errores de los alumnos en el proceso de aprendizaje, determinar las causas y organizar la enseñanza teniendo en cuenta esta información.

A menudo el origen de los errores no es sencillo de encontrar, porque son muy diversos y las causas pueden ser variadas, aunque a veces se encuentran ciertos errores recurrentes, para los que la investigación didáctica aporta explicaciones y posibles maneras de afrontarlos.

Parece razonable pensar que si un tipo de error se manifiesta en un cierto número de alumnos de manera persistente en una tarea, su origen hay que buscarlo en los conocimientos requeridos para la tarea, y no tanto en los propios alumnos.

Mucha es la literatura sobre clasificación y categorización de errores y la forma de estudiarlos.

Indicamos algunos autores que han trabajado en esta línea.

Rico (1995), por ejemplo, propone estudios atendiendo a cuatro líneas de investigación: estudios sobre análisis, causas, elementos, taxonomías de clasificación de los errores; trabajos sobre el tratamiento curricular de los errores; estudios relativos a la formación de los docentes en cuanto a la capacidad para detectar, analizar, interpretar y tratar los errores de los alumnos.

Por citar algunas clasificaciones de errores en matemáticas, empezamos con la dada por Davis (1984) quien elaboró una teoría de esquemas o constructos personales. Los errores clásicos explicados son: reversiones binarias, errores inducidos por el lenguaje o la notación, errores por recuperación de un esquema previo, errores producidos por una representación inadecuada y reglas que producen reglas.

Radatz (1979), citado por Rico (1995), ofrece una taxonomía para clasificar los errores a partir del procesamiento de la información, estableciendo categorías generales para este análisis. Booth (1984), a su vez, describe errores comunes cometidos por los alumnos atribuidos a: la naturaleza y el significado de los símbolos y las letras; el objetivo de la actividad; la comprensión de la aritmética por parte de los estudiantes y el uso inadecuado de “fórmulas” o “reglas de procedimiento”.

Mosckovitz-Hadar, Zaslavsky e Inbar (1987) hacen una clasificación empírica de los errores, que se basa en datos mal utilizados, interpretación incorrecta del lenguaje, falta de verificación de la solución, etc. Astolfi (1999) describe una tipología de errores relacionada con distintas causas, entre otras, los hábitos escolares, las concepciones alternativas de los alumnos, los procesos efectuados, la sobrecarga cognitiva en la actividad o la complejidad propia del contenido.

Si diferenciamos entre errores conceptuales y procedimentales, podemos referenciar diversos autores. Entendemos por conceptos, siguiendo a Segovia y Rico (2011), las ideas con las que pensamos, y por procedimientos los modos y técnicas con las que se utilizan estas ideas.

En cuanto a los errores conceptuales o originados en los procesos de adquisición del conocimiento, Mosvshovitz et al. (1987), Esteley y Villarreal (1990) y Astolfi (1999) hablan de errores ocasionados por inferencias erróneas. Mientras que Davis, (1984), Caputo y Macías, (2006) se refieren a errores ocasionados por la interferencia de los conocimientos previos y Davis (1984), Radatz (1980), Mosvshovitz et al. (1987) y Esteley y Villarreal (1990) consideran los errores originados por la estructura semántica del lenguaje matemático. Astolfi (1999), Ruano, Socas y Palarea (2003) estudian los errores que tienen su origen en las propiedades y reglas aritméticas. Por su parte, Zigmond et al. (1981), Mosvshovitz et al. (1987), Esteley y Villarreal (1990), Astolfi, (1999) y Caputo y Macias (2006) se centran en los fallos engendrados por conceptos estructurales mal comprendidos, y Davis (1984) en los provocados por las representaciones inadecuadas de la información.

Entre los estudios sobre errores de tipo procedimental, que se producen durante el proceso de resolución de una tarea matemática, destacamos: Ruano, Socas y Palarea (2003), que hablan de errores de manipulación de diferentes expresiones matemáticas; Esteley y Villarreal (1996) y Astolfi (1999), que consideran los errores ocasionados en la transcripción de la información; Caputo y Macías (2006), que encuentran secuencias incoherentes en los procedimientos de los alumnos; Roberts (1968), que analiza la aplicación de algoritmos defectuosos; Engelhart (1977) y Caputo y Macías (2006), que se fijan en errores en algunas operaciones; y Cox (1975) y Zigmond et al. (1981) que incluyen los errores fortuitos.

Los futuros maestros tienen dificultades para argumentar las decisiones que toman cuando resuelven los problemas. Esta dificultad puede ser considerada una evidencia de la escasa conciencia de las relaciones conceptuales que dan soporte a los procedimientos, posiblemente debido a la manera en que estos futuros maestros han estado aprendiendo las matemáticas. Esto justifica la necesidad de un reaprendizaje de las matemáticas que son el foco de la enseñanza en la educación primaria (Zazkis, 2011).

Este autor también indica que hay que “aprender de nuevo lo que ya fue aprendido” lo cual, en ocasiones, puede requerir metodologías diferentes que cuando se intenta construir un nuevo conocimiento. En este sentido, las investigaciones de Muñoz-Catalán y Carrillo (2007), Saenz (2007) y Valdemoros (2010) explican que hay que potenciar el reaprendizaje matemático en determinados ámbitos y que este reaprendizaje debe implicar familiarizar a los futuros maestros con los contenidos matemáticos elementales de la educación primaria. De este modo los estudiantes para maestro han de construir un conocimiento suficiente de matemáticas para la enseñanza que fundamente la competencia docente del maestro. Así, podrá gestionar con garantías nuevos desarrollos curriculares dirigidos a fomentar las capacidades de razonamiento en los alumnos de educación primaria.

Lo que hemos llamado reaprendizaje, además de la comprensión matemática, es necesario que tenga en cuenta las concepciones que los maestros tienen sobre su papel como maestros y lo que significa aprender matemáticas (Lebrija, Flores y Trejos, 2010;Prieto y Valls, 2010;Sanhueza, Penalva y Friz, 2013).

OBJETIVOS

Una vez definida la problemática de la necesidad de revisar los errores que los estudiantes del grado en Educación Primaria muestran en los conocimientos matemáticos básicos, para poder enfrentarlos con estos errores y superarlos, nos preguntamos por la tipología de dichos errores y las posibles dificultades implícitas que se perciben detrás de los errores que los alumnos presentan.

Finalmente, nos preguntamos: ¿Qué se debería tener en cuenta en la universidad para dar una mejor solución a las necesidades de aprendizaje en matemáticas básicas de los estudiantes?

Para responder a estas cuestiones nos formulamos los siguientes objetivos:

• Describir los errores en los contenidos básicos de matemáticas que los estudiantes del grado en Educación Primaria han mostrado en los últimos cursos, desde que se implementaron los grados.

• Categorizar dichos errores atendiendo a diferentes variables: bloque de matemáticas (numeración y cálculo, relaciones y cambio, medida, espacio y forma, y análisis de datos y probabilidad), conceptos erróneos subyacentes a los errores detectados y carencias que evidencian.

PARTICIPANTES

Los participantes en el estudio son estudiantes de tercer y cuarto cursos del grado en Educación Primaria de la Facultad de Psicología, Ciencias de la Educación y del Deporte Blanquerna, de la Universidad Ramon Llull. El trabajo de campo, se efectúa a lo largo de los cursos, 2012-13, 2013- 14, 2014-15 y 2015-16.

Los instrumentos son dos pruebas de conocimientos básicos en matemáticas para determinar las concepciones correctas y erróneas de los estudiantes. En tercer curso, se estudian los bloques de numeración y cálculo y relaciones y cambio y, en cuarto, los de medida, espacio y forma y análisis de datos y probabilidad.

En conjunto, se han evaluado 226 estudiantes.

MÉTODO

Metodológicamente, se parte de un diseño de investigación cualitativo, de tipo descriptivo y humanístico–interpretativo según el paradigma de Kuhn (1971), teniendo en cuenta las tres dimensiones que definen Lincoln y Guba (1985): dimensión ontológica, dimensión epistemológica y dimensión metodológica.

En relación a la dimensión ontológica, es decir, la manera de ver y entender la realidad educativa, consideramos que la naturaleza de lo que pretendemos investigar –las carencias en los conceptos básicos de matemáticas de los estudiantes del grado en Educación Primaria– es una realidad objetiva, observable y medible. En cuanto a la dimensión propiamente epistemológica, –la relación del investigador con esta realidad– estará orientada a la comprensión de las causas soterradas en las concepciones erróneas y en cuanto a la dimensión metodológica, nos posicionamos en un enfoque cualitativo de la investigación en el sentido que apunta Martínez Miguélez (2011) cuando lo describe como aquel que trata de identificar la naturaleza profunda de las realidades.

Este proceso se efectúa en cuatro etapas: detección de los errores, elaboración de las categorías de análisis, agrupación de las respuestas erróneas en estas categorías e interpretación de los datos obtenidos.

En la figura 1, apreciamos el proceso que se debería seguir para detectar los errores de los estudiantes en los distintos ámbitos de matemáticas, estudiar las causas que los producen, y así, reaprender los conceptos de manera comprensiva y poder erradicar dichos errores.

RESULTADOS Y DISCUSIÓN

Empezamos la discusión de los resultados, eligiendo los errores que se producen más comúnmente y clasificándolos según los bloques de matemáticas.

De cada bloque, indicamos conceptos equivocados subyacentes a los errores detectados y carencias que evidencian.

En la tabla 1, los principales errores conceptuales que se han detectado en el bloque de numeración y cálculo y en la 2, los de medida. No exponemos los de los tres ámbitos restantes ni los procedimentales, por limitación de espacio, pero cabe decir que muchos de estos errores implican conceptos mal adquiridos como, por ejemplo, 2/5 + 3/7 = 5/12, donde el procedimiento incorrecto (sumar numeradores y denominadores) supone incomprensión del concepto de fracciones equivalentes.

CONCLUSIONES

El análisis de los errores cometidos por los alumnos en su proceso de aprendizaje provee una rica información sobre cómo se construye el conocimiento matemático. La identificación de estos obstáculos nos revela la dificultad que el conocimiento matemático complejo tiene para los estudiantes y puede, incluso, pasar inadvertida por los profesores si no se indaga suficientemente en el significado personal que un contenido matemático determinado tiene para el alumno. Nos permite una evaluación y un diagnóstico más efectivo para poder apoyar a los estudiantes en sus dificultades.

Es necesario, pues, diseñar procesos de enseñanza-aprendizaje y de evaluación que pongan el énfasis en la adquisición de destrezas y conocimientos y tratar de mejorar los factores afectivos y actitudinales, teniendo en cuenta que la finalidad primordial del profesor en el aula es ayudar a sus alumnos a desarrollar el razonamiento matemático, su capacidad de formular y resolver problemas, comunicar sus ideas matemáticas y relacionar las diferentes partes de las matemáticas entre sí y con las restantes disciplinas.

Rectificar los errores no significa penalizarlos. Entendemos que descubrir las carencias en conceptos matemáticos ayuda al estudiante a construir conocimiento, porque si el conocimiento matemático se edifica a través de un proceso de abstracción reflexiva, aparecen sistemáticamente errores y, entonces, resulta necesaria la inclusión de un diagnóstico, detección, corrección y superación de los mismos. Además, la consideración del error como parte coherente de un proceso ayuda al alumno a tomar conciencia de que puede aprender de sus errores y, a los docentes, a aprender de los errores de los estudiantes.

Para lograr esto el profesor tiene que intentar que la superación de los errores constituya un elemento motivador, consiguiendo que el alumno se enfrente a la contradicción proveniente del error y consiga eliminar sus falsos conceptos para que estos no vuelvan a aparecer. Esto generará en la clase debates que son de gran valor.

REFERENCIAS

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