Para lograr el propósito planteado, el estudio se desarrolló de la manera siguiente:

Se analizaron los métodos existentes de modelación de demanda estocástica de agua potable, considerando la información necesaria para su implementación, y la eventual disponibilidad de esta información o facilidad para obtenerla. Se escogió en resultado el Método de Pulsos Rectangulares de Poisson (PRP), que ocupa menos parámetros y requiere de menos datos.

El modelo PRP asume que la demanda se presenta en pulsos rectangulares (en el plano tiempo-demanda), con duración e intensidad aleatorias, cuyo surgimiento en el tiempo obedece a un proceso de Poisson no homogéneo. La aplicación de ese modelo requiere de varios parámetros básicos de la demanda local en los domicilios, como la frecuencia de uso del agua por hora del día (u otro intervalo de tiempo), intensidad y duración promedio de los pulsos, y sus coeficientes de variación. Buchberger et al. (2003), Alcocer, Tzatchkov, Buchberger y Feliciano (2004), y Tzatchkov et al. (2005) obtuvieron parámetros de este tipo para la demanda de agua potable en localidades de los Estados Unidos de América y México.

El proceso de Poisson describe las series de ocurrencias independientes en el eje del tiempo mediante el mecanismo estocástico, separadas entre sí por intervalos cuya distribución de probabilidades es exponencial, dada por la ecuación:

(1)

donde λ expresa la frecuencia media con que ocurren los pulsos de demanda; λ se mide en pulsos por unidad de tiempo, y el contexto del método PRR se conoce por lo común con el nombre tasa de llegada.

La función de distribución cumulativa correspondiente a la distribución (1) es:

(2)

donde por definición 0 ≤ F(t) ≤ 1. El valor medio es igual a 1/λ. Señalando F(t) con x, la solución de la ecuación (2) con respecto al tiempo t es:

(3)

El proceso es aditivo (Buchberger et al., 2003), por lo que para un grupo de N casas de parámetros de demanda de agua similares, la ecuación (3) se convierte en:

(4)

Si x es un número aleatorio obtenido de la distribución uniforme U(0,1), entonces 1 – x también pertenece a U(0,1), con lo que la ecuación (4) se puede simplificar como:

(5)

La ecuación (5) proporciona el tiempo entre las ocurrencias (pulsos de demanda de agua), correspondiente a cierta probabilidad x, y permite obtener este tiempo en el proceso de simulación para valores de x (x > 0) generados de una distribución de probabilidades uniforme. La figura 3 muestra una representación gráfica de la ecuación (5) para N.λ = 3 600 pulsos/hora (un pulso/segundo), que podría ser obtenido por 3 600 casas con un pulso por hora en cada casa, u otra combinación entre N.λ. La figura 4 muestra lo mismo para para N.λ = 4 pulsos/hora.

Figura 3 Figura 3 Tiempo entre pulsos de demanda para diferentes valores del número aleatorio, para tasa de llegada de un pulso por segundo.

Figura 4. Figura 4. Tiempo entre pulsos de demanda para diferentes valores del número aleatorio, para tasa de llegada de cuatro pulsos por hora.

Se desarrolló un procedimiento de simulación del consumo de agua potable en un domicilio, o en un grupo de domicilios, basado en el método de los pulsos rectangulares de Poisson (Método PRP). Se considera que los pulsos de demanda ocurren en instantes aleatorios, y cada pulso tiene una duración e intensidad aleatorias. La tasa de llegada varía durante el día, por lo que se tiene un proceso de Poisson no homogéneo. Los datos que se requieren para la simulación son los siguientes:

Intervalo de tiempo que se quiere modelar; por lo normal se maneja un intervalo de un día.

En el caso de un proceso de Poisson no homogéneo (es decir, con λ variable en el tiempo), la aplicación directa de la ecuación (5) produciría resultados incorrectos, dado que λ ya tendría otro valor para el momento t que se busca; es decir, se despreciaría la variación de λ en el intervalo de tiempo entre los dos pulsos consecutivos. Se han propuesto varios métodos para tratar este problema (Leemis & Park, 2006), entre los cuales se seleccionó el de inversión de la función de la tasa de llegada acumulada, planteado por Çinlar (1975). Sea la tasa de llegada de los pulsos de demanda λ, variable durante el periodo T a modelar, representada por medio de k + 1 puntos (t_j, λ_j ), con 0 = t₀ < t₁ <… < t_k = T, donde λ_j ≥ 0. Se asume que λ varía linealmente entre cada punto t_j y t_j+1. La tasa de llegada acumulada se define como:

(6)

y se calcula recursivamente como:

(7)

La pendiente de cada segmento s_j se calcula como:

(8)

Para el subintervalo t_j ≤ t ≥ _j+1

(9)

(10)

Ahora bien, para obtener los momentos en que se producen los pulsos de demanda, se genera un proceso auxiliar de Poisson homogéneo, en el intervalo de 0 a 1, con tasa de llegada unitaria, es decir, con λ = 1 en la ecuación (3). Este proceso obtendrá una serie de sucesos u₁, u₂,… u_n. Luego, para cada u se obtendrá el instante en que se produce un pulso de demanda despejando t de la ecuación (10):

(11)

La figura 5 ilustra este proceso.En términos algorítmicos, este proceso sedescribe de la manera siguiente:

Mediante integración numérica (con regla trapezoidal) se obtiene la función que representa la tasa de llegada acumulada de los pulsos para cada hora (u otro intervalo dado) del día.

Figura 5. Figura 5. Obtención de los tiempos en que se producen los pulsos de demanda por medio de un proceso de Poisson homogéneo auxiliar.

Los datos que se ocupan en el procedimiento propuesto, es decir, los parámetros estadísticos de la duración e intensidad de los pulsos de demanda, así como su tasa de llegada por cada hora del día, son en principio diferentes para cada lugar y pueden conseguirse por medición directa en cierto número de tomas que abastecen a domicilios. La metodología correspondiente de esta medición está descrita en Alcocer et al. (2004), Tzatchkov et al. (2005), y Alcocer (2007), con resultados para una ciudad mexicana. Estas mediciones se pueden complementar con mediciones del gasto suministrado en las fuentes de abastecimiento para determinar el porcentaje de fugas de la siguiente manera:

El producto de la duración media e intensidad media proporciona el volumen de agua promedio de un pulso de demanda.

De otro modo, si se conoce el porcentaje de fugas, la medición del gasto suministrado en las fuentes se puede usar para ajustar el número de pulsos por hora (la tasa de llegada λ) de la siguiente manera:

Del volumen de agua registrado en una hora se restan las fugas. El resultado es el volumen consumido en los pulsos de demanda durante la misma hora.

A manera de ejemplo, se presenta la aplicación del procedimiento propuesto a una zona aislada de Tijuana, Baja California, abastecida de una sola fuente, para la cual se tienen mediciones del gasto en la fuente, con resolución de 60 s. La figura 6 muestra la variación medida del gasto en un día típico. El servicio de agua en la zona es continuo y las casas no tienen tinacos o cisternas. El gasto medio medido durante este día es de 33.01 l/s, correspondiente a unas 3 300 casas.

Figura 6. Figura 6. Variación medida del gasto en la tubería que abastece una zona aislada.

Los parámetros estadísticos de los pulsos de demanda, tomados de un estudio anterior de caracterización de la demanda estocástica en domicilios mexicanos con servicio continuo (Alcocer et al., 2004; Alcocer, 2007; Tzatchkov et al., 2005) se muestran en el cuadro 1.

Cuadro 1. Cuadro 1. Parámetros de los pulsos de demanda.

La tasa de llegada de los pulsos, determinada con el procedimiento arriba descrito, asumiendo un 18% de fugas, se representa gráficamente en la figura 7.

La figura 8 muestra la serie de demanda generada por el procedimiento propuesto con anterioridad para la misma cantidad de 3 300 casas. Esta serie tiene una resolución temporal de un segundo. Tratándose de un proceso estocástico, con cada corrida del procedimiento se obtendrá una serie de demanda diferente, que en los términos de la modelación estocástica se llamaría una realización del proceso. Las realizaciones obtenidas deben exhibir los mismos parámetros estadísticos de las series generadas, tales como media y desviación estándar.

Una vez generada una serie sintética, la misma puede ser agregada a cualquier intervalo deseado. La figura 9 muestra la serie de demanda de la figura 8, agregada a 60 segundos, y comparada con el gasto medido, ambas en forma adimensional. Tratándose de un proceso estocástico, la coincidencia se puede calificar de muy buena a excelente. La figura 10 muestra la serie agregada a una hora, que replica aproximadamente la variación dada de la tasa de llegada de los pulsos.

Figura 7. Figura 7. Tasa de llegada de los pulsos de demanda.

Figura 8. Figura 8. Serie de demanda generada por el procedimiento propuesto para 3 300 casas.

Figura 9. Figura 9. Serie de demanda generada en forma adimensional, agregada a 60 segundos, comparada con el gasto medido.

Figura 10. Figura 10. Serie de demanda generada, agregada a una hora.

Una ventaja importante del procedimiento desarrollado es que permite generar series para diferente número de casas. Una vez obtenida la serie de demanda para la cantidad de casas para la cual se dispone de medición de la variación del gasto, y verificada por comparación con la serie medida, con el procedimiento propuesto se pueden obtener series de demanda para cualquier cantidad de casas, para su uso en modelos dinámicos de redes de distribución o para otros fines. La figura 11 muestra la serie generada para una sola casa, la figura 12 para 20 casas, y la figura 13 para 100 000 casas. La serie para 100 000 casas, sin ser una serie agregada, prácticamente replica la forma de la curva que representa la tasa de llegada de los pulsos, que es de esperarse, pues para gran número de casas (para N grande), la ecuación (4) da tiempos entre la llegada de pulsos incluso mucho menores de un segundo.

Figura 11. Figura 11. Serie de demanda generada para una casa.

Figura 12. Figura 12. Serie de demanda generada para 20 casas.

Figura 13. Figura 13. Serie de demanda generada para 100 000 casas.

A pesar del procedimiento estocástico de generación de los pulsos de demanda, no se producen valores excesivos de su intensidad para un número pequeño de domicilios, como puede suceder en otros métodos de simulación de la demanda estocástica, por ejemplo en el NSRPM (Alvisi et al., 2003; Alcocer et al., 2008; Alcocer, 2007), que pueden requerir de restricciones adicionales para limitar tales valores excesivos. Esto es otra ventaja del método propuesto en este artículo.

El método de modelación de las series de demanda propuesto hace posible obtener también estimados para el coeficiente de variación de la demanda, dado por la relación del gasto máximo producido entre el gasto medio (no confundir con el coeficiente de variación de la serie que se maneja en estadística, que se define como la relación entre desviación estándar y media aritmética). En la práctica de la ingeniería hidráulica se maneja el coeficiente de variación horaria de la demanda, pero el método de modelación de las series de demanda propuesto hace posible que se obtenga para cualquier intervalo deseado. Este coeficiente será tanto menor cuanto mayor sea el periodo de agregación temporal, debido al promediado en la agregación, y tanto menor cuanto mayor sea la cantidad de casas a que corresponde la serie de demanda. La figura 14 compara la serie medida de gasto cada 60 s del ejemplo anteriormente presentado (con gasto medio de 33.01 l/s, correspondiente a 3 300 casas) y su promediado horario. La figura 15 realiza la misma comparación para una serie de gasto medido cada 60 s en otro sector más pequeño de Tijuana, Baja California (gasto medio igual a 1.14 l/s, correspondiente a 123 casas). La diferencia entre el gasto a cada 60 s y el promedio horario es mucho mayor en el segundo caso (con el menor número de casas). Esta diferencia será aún mayor si el gasto se midiera cada segundo, algo que puede ser problemático de realizar con los medidores de gasto, pero se obtiene directamente con el método que se propone en este artículo, permitiendo introducir en los estudios y proyectos de agua potable el concepto de coeficiente de gasto máximo instantáneo, algo que por el momento sólo se maneja en los estudios y proyectos de alcantarillado. Se puede esgrimir también el concepto de gasto mínimo instantáneo.

Figura 14. Figura 14. Serie medida de gasto cada 60 s (derecha) y su promediado horario (izquierda). Gasto medio = 33.01 l/s; 3 300 casas.

Figura 15. Figura 15. Serie medida de gasto cada 60 s (derecha) y su promediado horario (izquierda). Gasto medio = 1.14 l/s; 123 casas.

Se llevaron a cabo corridas con el procedimiento propuesto en este artículo, para porcentaje de fugas igual a 18%, tasa de llegada de los pulsos de demanda deducida de la variación de la demanda de la figura 14, y diferente número de casas, desde una sola hasta 100 000 casas, y se obtuvieron los coeficientes de demanda máxima instantánea y demanda máxima horaria para cada número de casas. Dado que se trata de un proceso estocástico, las corridas se realizaron 10 veces (10 realizaciones) para cada cantidad de casas, y se obtuvieron los promedios de tales corridas. Las figuras 16 y 17 muestran el coeficiente de demanda máxima instantánea y demanda máxima horaria obtenidos, comparados con el valor único del coeficiente de variación horaria de la demanda que maneja Conagua, que es igual a 1.55 (MAPAS-Conagua, 2007a). Se obtuvieron también los coeficientes de demanda mínima instantánea y otros parámetros. Cabe señalar que los coeficientes obtenidos son válidos sólo para los datos (pulsos de demanda y medición del gasto en la fuente) del lugar, y pueden ser distintos para otros sitios (en particular serán diferentes para la medición de la figura 15). Una descripción detallada y discusión de los resultados de los coeficientes de demanda obtenidos está fuera del alcance de este artículo, cuyo objetivo es presentar el propio procedimiento de modelación de la demanda, por lo que serán presentados después en otra publicación.

Figura 16. Figura 16. Coeficiente de demanda máxima instantánea obtenido, comparado con el coeficiente de variación horaria (CVH) de la demanda que maneja Conagua.

Figura 17. Figura 17. Coeficiente de demanda máxima horaria obtenido, comparado con el coeficiente de variación horaria (CVH) que maneja Conagua.

El procedimiento arriba explicado es aplicable para un servicio continuo de agua potable a domicilios sin tinacos o cisternas. Una parte de los domicilios en México cuenta con tinacos o cisternas y tinacos, debido al servicio discontinuo (intermitente) de agua potable. El Instituto Mexicano de Tecnología del Agua (IMTA) mantiene un sitio web de Internet de libre acceso (http://www.pigoo.gob.mx/), creado para transparentar la información de una serie de indicadores de un gran número de organismos operadores de agua potable, alcantarillado y saneamiento del país. Uno de los indicadores que se maneja en este sitio es el porcentaje de tomas domiciliarias con servicio continuo de agua potable de 24 horas al día, expresado por la relación del número de tomas domiciliarias con servicio continuo y el número total de tomas en la ciudad. Para el año 2013 participaron con información 76 organismos operadores del país, que reportaron en promedio un 78% de tomas con servicio continuo. Varios organismos operadores han realizado esfuerzos importantes para reducir, o incluso eliminar, el servicio de agua por tandeo, mediante programas de reducción de pérdidas de agua o aumento de la extracción en las fuentes de agua. Se ha notado, no obstante, que la mayoría de los usuarios del servicio prefiere mantener las cisternas y tinacos en sus casas aun cuando en las tuberías de la red se tiene suministro continuo. Algunos aspectos hidráulicos del servicio intermitente de agua potable, y su modelación, se presentan en Cabrera- Bejar y Tzatchkov (2009), y Cabrera-Bejar y Tzatchkov (2012). La variación de los gastos en las tuberías con suministro intermitente, o con servicio continuo, pero con cisternas y tinacos en los domicilios, es muy diferente de aquella en tuberías con suministro continuo sin cisternas y tinacos. El concepto coeficiente de variación horaria de la demanda pierde su significado en el caso del suministro intermitente, donde la población recibe el agua en horarios preestablecidos. Dependiendo de la topografía, la red de tuberías puede vaciarse cuando concluye el horario de servicio y se volverá a llenar al reanudar el servicio. En el llenado presentará un flujo a tubo parcialmente lleno, cuya magnitud dependerá de la topografía y desniveles existentes, hasta que el agua que entra llene las tuberías y expulse el aire. Una vez llenas de agua las tuberías, el gasto en las tuberías será aproximadamente uniforme. El coeficiente de variación, para fines de revisar si la capacidad de la tubería es suficiente, en este caso se define por la duración del servicio, sin considerar el periodo con flujo a tubo parcialmente lleno. Si el gasto medio, en litros por hora, se define como el volumen de agua suministrado en un día en litros entre 24 horas, y el mismo volumen se suministra en N horas, el coeficiente de variación CV es simplemente:

(12)

Para un servicio de seis horas diarias, por ejemplo, se tendría un coeficiente de variación de 4, mucho más alto que aquel de un servicio continuo, que normalmente se maneja del orden de 1.40 a 1.60 (MAPAS-Conagua, 2007a). Es decir, los gastos y velocidades correspondientes en las tuberías que operan con servicio intermitente son mucho más altos que aquellos del servicio continuo.

La variación de los gastos en las tuberías con suministro continuo, pero con cisternas y tinacos en los domicilios, es también diferente de aquel en tuberías sin cisternas y tinacos. Es de esperar que la variación sea menor en estos casos, dado que la demanda de agua en el interior de los domicilios no llega directamente a las tuberías de la red, sino a través de los tinacos o cisternas. El problema está bajo investigación por los autores.