Introducción

El tránsito o laminación de avenidas por embalses es uno de los problemas fundamentales de la hidrología de superficie que se aplica en el diseño y revisión de la obra de excedencias de una presa, en este tipo de obras colaboran ingenieros de distintas áreas (ingenieros civiles, mecánicos, electricistas, geofísicos, geólogos, entre otros). Con el desarrollo de equipos de cómputo los métodos numéricos para su cálculo, basados todos ellos en la ecuación de continuidad han cobrado auge como herramienta para obtener resultados a este problema. En este trabajo se seleccionaron los resultados de los hidrogramas de entrada y de salida, además del volumen de almacenamiento máximo que dio el programa trate.bas de la Comisión Federal de Electricidad (CFE) considerando los datos de la avenida de diseño con periodo de retorno de 10,000 años que podría presentarse en el embalse de un proyecto hidroeléctrico (P.H) que se construirá próximamente en México; se hizo una comparación de los resultados que se obtienen al usar los métodos de integración numérica de Newton: Trapecial, Simpson 1/3 y Simpson 3/8 para calcular el volumen de almacenamiento a partir del concepto del área encerrada entre dos curvas (en este problema las curvas son los hidrogramas de entrada y de salida). Los métodos de integración numérica tienen numerosas aplicaciones en la ingeniería (Smith, 1988; Campos-Aranda, 2002; Frontini y Sormani, 2002; Nieves y Domínguez, 2014; Yusuf-Osama, 2012).

Metodología

Ecuación de continuidad

La ecuación diferencial de continuidad utilizada en el tránsito de avenidas de embalses se puede expresar como

donde

I= datos del hidrograma de entradaO= hidrograma de salidadS/dt= variación del almacenamiento en el embalse en el tiempo

Se entiende por hidrograma a la curva que representa la variación del gasto o caudal a lo largo del tiempo.

Si se integra la ecuación 1

En la ecuación 2 se puede observar la relación del incremento del volumen almacenado con el caudal o gasto de entrada I, el caudal de salida O y el incremento del tiempo. Pero si el objetivo es obtener el volumen almacenado S al final de un intervalo, se trata de una ecuación con dos incógnitas porque el caudal de salida O es otra variable que no se conoce al final del intervalo, por ese motivo este problema se resuelve con auxilio de la curva elevaciones capacidades del embalse.

El tránsito de avenidas permite resolver este problema y con este procedimiento se revisa el funcionamiento hidrológico adecuado del embalse ante el posible paso de una avenida en el mismo, ya que se debe garantizar que con la operación de la obra de excedencias no se rebasa el nivel de aguas máximas extraordinarias (NAME) de diseño de la presa.

CFE programa Trate.bas

Este programa está codificado en Quick Basic, utiliza el método numérico de tránsito de avenidas del Manual de Obras Civiles de la Comisión Federal de Electricidad (CFE, 1980); este método resuelve la ecuación de continuidad (1) reordenándola de manera conveniente y usando la curva elevaciones capacidades descargas, realizando un proceso por aproximaciones sucesivas al valor del gasto de salida en cada intervalo de tiempo analizado.

Esquema de integración trapecial

La fórmula de integración trapecial o del trapecio, estima a la integral definida de una función y(x) entre los límites x₀ y x_n, a partir de la suma de las integrales de polinomios de primer grado pasados entre cada dos puntos; el esquema de integración trapecial, en término de las ordenadas de la función, tabulada con un incremento h en la variable independiente, se representa de la manera siguiente

La notación anterior obedece a la interpretación geométrica de la integral como el área bajo una curva, el ½ corresponde al factor que afecta al incremento constante h en la variable independiente. El error que se cometa al calcular la integral con esta expresión será pequeño si el incremento constante h utilizado es pequeño (Iriarte, 1990; Luthe et al., 1984; Gerald, 1990).

Esquema de Simpson 1/3

El esquema de integración de Simpson 1/3, se obtiene a partir de pasar polinomios de segundo grado entre cada tres puntos de la función y(x), se denota

Esta fórmula de integración tiene la restricción de para poder aplicar la n (subíndice del último valor del intervalo de integración) debe ser número par (Iriarte, 1990; Luthe et al., 1984; Curtis, 1990).

Esquema de Simpson 3/8

El esquema de integración de Simpson 3/8 considera pasar polinomios de tercer grado entre cada cuatro puntos de la función y(x) y está dado por la ecuación siguiente

Para que la fórmula de Simpson 3/8 sea aplicable n debe ser múltiplo de 3.

En las ecuaciones 3 a 5 la variable A representa al incremento en el volumen almacenado S de la ecuación 1, h representa el incremento constante en el tiempo t del hidrograma de entrada y de salida, la variable y corresponde a las ordenadas del hidrograma de entrada y/o de salida (I, O).

Los esquemas de Simpson 1/3 y Simpson 3/8 proporcionan resultados similares, aunque la función corresponda a un polinomio de grado superior a tres; estas dos expresiones son las que producen menores errores en la estimación de la integral, pero hay que tomar en cuenta que tienen restricciones en su aplicación. También se puede calcular el valor de la integral combinando las dos expresiones anteriores, utilizándolas por tramos, en que sean aplicables (Iriarte, 1990; Luthe et al., 1984, Gerald, 1990).

Datos de entrada al problema

Se tomó la información de los hidrogramas de entrada y salida que resultaron de aplicar el programa de tránsito de avenidas Trate.bas de la CFE, a partir de condiciones iniciales en el embalse previamente especificadas (se tiene que conocer la elevación inicial en el embalse, el hidrograma de entrada I al embalse, la curva elevaciones-capacidades de almacenamiento del embalse y la curva elevaciones-descargas por la obra de excedencias y, de existir, descargas por la obra de toma de la presa).

Los hidrogramas de entrada y salida constaron de 241 datos (desde t=0 hasta t=240) (Tabla 1) en la tabla aparece i que es s el contador de datos, el tiempo en horas, el volumen almacenado en el embalse en hm³, la elevación en m, el gasto de entrada I en m³/s y el gasto de salida O en m³/s.

El hidrograma de entrada que se utilizó correspondió al obtenido para un periodo de retorno de 10,000 años, periodo de tiempo en años que comúnmente se utiliza para el diseño de la obra de excedencias de grandes presas, es decir, no se aplica una avenida histórica, sino una avenida de diseño. El periodo de retorno se define como el tiempo en años que en promedio puede transcurrir para que un evento (en el ejemplo un caudal o gasto) pueda ocurrir al menos una vez en este tiempo.

En la Figura 1 se dibujan los hidrogramas de entrada, salida, así como información relevante resultado del tránsito de la avenida por el embalse.

Aplicación de los métodos de integración numérica para estimar el volumen almacenado en el embalse

Problema

Caso 1

Se obtendrá el volumen de almacenamiento neto ante el paso de la avenida por el embalse de un Proyecto Hidroeléctrico. El volumen que se desea obtener corresponde al área encerrada entre las dos curvas (la del hidrograma de entrada menos la del hidrograma de salida).

Se considera un factor de conversión de unidades para obtener el volumen S en millones de m³, porque el gasto está en m³/s y el tiempo en horas, para ello se transforma el tiempo a segundos, multiplicando por los segundos de una hora y con ello se obtendría el volumen en m³ y al dividir entre un millón se logra obtener el volumen en millones de m³.

Como n=240, es par y es múltiplo de 3, se aplicarán los esquemas de integración de Simpson 1/3 y Simpson 3/8, adicionalmente se utilizará el esquema de integración trapecial para comparar los resultados con el dato del incremento del volumen reportado por el programa con que se realizó el tránsito de la avenida.

Discusión y análisis de resultados

A continuación se hace un resumen de los resultados del volumen neto adicional que almacenó el embalse al pasar la avenida por él.

En las tablas anteriores A₁ es el área bajo el hidrograma de entrada y A₂ es el área bajo el hidrograma de salida.

Detalle de la estimación de la diferencia del volumen del caso de la Tabla 2

Cálculo de A₁. En el esquema de integración trapecial no se toma en cuenta el valor final del contador de datos i, por lo que se usa el esquema considerando como factor el incremento del tiempo entre dos y multiplicando a una vez el dato del hidrograma de entrada I (primer renglón, quinta columna) más una vez el último valor del hidrograma de entrada I (último renglón, quinta columna) más dos veces la suma de las ordenadas intermedias del hidrograma de entrada I (del segundo al penúltimo renglón) y multiplicando por los factores de conversión de unidades para obtener al volumen en hm³.

Cálculo de A₂. Se emplea el esquema de integración trapecial considerando como factor el incremento del tiempo entre dos y multiplicando a una vez el dato del hidrograma de salida O (primer renglón, sexta columna) más una vez el último valor del hidrograma de salida O (último renglón, sexta columna) más dos veces la suma de las ordenadas intermedias del hidrograma de entrada O (del segundo al penúltimo renglón) y multiplicando por los factores de conversión de unidades para obtener al volumen en hm³.

La diferencia de volumen. Corresponde a la diferencia de A₁ menos A₂.

Detalle de la estimación de la diferencia del volumen del caso de la Tabla 3

Cálculo de A₁. Debido a que el esquema de integración de Simpson 1/3 debe ser par, se revisó que el último valor de i lo sea (i=240, es par) , por lo anterior, sí es válida su aplicación; se considera como factor un tercio del incremento del tiempo, multiplicando a una vez el dato del hidrograma de entrada I (primer renglón, quinta columna) más una vez el último valor del hidrograma de entrada I (último renglón, quinta columna), y luego se identifican los valores de i que sean pares (i=2,4,6,…238) porque los datos del hidrograma de entrada I correspondientes a esos valores van multiplicados por dos, y los valores restantes (sin considerar las ordenadas ya tomadas (i=3,5,7,…,237)) van multiplicadas por cuatro. Al final se hace la multiplicación por los factores de conversión de unidades para obtener al volumen en hm³.

Cálculo de A₂. Se considera como factor un tercio del incremento del tiempo y multiplicando a una vez el dato del hidrograma de salida O (primer renglón, sexta columna) más una vez el último valor del hidrograma de salida O (último renglón, sexta columna), y luego se identifican los valores de i que sean pares (i=2,4,6,…238) porque los datos del hidrograma de salida O correspondientes a esos valores van multiplicados por dos, y los valores restantes (sin considerar las ordenadas tomadas en cuenta, (i=3,5,7,…,237)) van multiplicadas por cuatro. Finalmente, se hace la multiplicación por los factores de conversión de unidades para obtener al volumen en hm³.

La diferencia de volumen. Corresponde a la diferencia de A₁ menos A₂.

Detalle de la estimación de la diferencia del volumen del caso de la Tabla 3

Cálculo de A₁. Debido a que el esquema de integración de Simpson 3/8 debe ser múltiplo de 3 se revisó que el último valor de i lo sea (i=240, es múltiplo de 3) , por lo anterior sí es válida su aplicación; se considera como factor tres octavos del incremento del tiempo y multiplicando a una vez el dato del hidrograma de entrada I (primer renglón, quinta columna) más una vez el último valor del hidrograma de entrada I (último renglón, quinta columna), y luego se identifican los valores de i que sean múltiplos de 3 (i=3,6,9,12,…,237) porque los datos del hidrograma de entrada I correspondientes a esos valores van multiplicados por dos, y los valores restantes (sin considerar las ordenadas ya tomadas en cuenta, (i=2,4,5,7,8,…,239)) van multiplicadas por tres.

Finalmente, se hace la multiplicación por los factores de conversión de unidades para obtener al volumen en hm³.

Cálculo de A₂. Se considera como factor tres octavos del incremento del tiempo y multiplicando a una vez el dato del hidrograma de salida O (primer renglón, sexta columna) más una vez el último valor del hidrograma de salida O (último renglón, sexta columna), y luego se identifican los valores de i que sean múltiplos de 3 (i=3,6,9,12,…,237) porque los datos del hidrograma de salida O correspondientes a esos valores van multiplicados por dos, y los valores restantes (sin considerar las ordenadas ya tomadas en cuenta, (i=2,4,5,7,8,…,239) van multiplicadas por tres. Finalmente se hace la multiplicación por los factores de conversión de unidades para obtener al volumen en hm³.

La diferencia de volumen. Corresponde a la diferencia de A₁ menos A₂.

Caso 2

El volumen de sobrealmacenamiento máximo en el embalse es el que ocurre hasta que se presenta el gasto máximo del hidrograma de salida. Obteniendo el volumen hasta que ocurre el gasto máximo del hidrograma de salida.

En el caso de integración trapecial no hay restricciones en su aplicación y a continuación se indican los resultados (Tabla 5). (El cálculo para obtener A₁ (área bajo el hidrograma de entrada ) y A₂ (área bajo el hidrograma de salida es similar al realizado para la Tabla 2).

Al observar que n=113 hasta que se presenta el gasto máximo de salida, no se puede aplicar de un solo paso el esquema de integración de Simpson 1/3 o de Simpson 3/8 por lo que se optó por combinar métodos de integración considerando Simpson 1/3 (S1/3) del instante i= 0 al instante i= 110 y Simpson 3/8 (S3/8) del instante i=110 al instante i= 113 (para ello se usó un procedimiento similar al descrito para las Tablas 3 y 4). Los resultados se resumen a continuación. También se hicieron comparaciones de estos resultados con los obtenidos con el programa del que se tomó la información. Estas comparaciones también se presentan a continuación (Tabla 6).

La diferencia en el cálculo de sobrealmacenamiento contra lo reportado en el programa de tránsito es de 1.542 millones de m³. En la Tabla 7 se reporta el volumen de sobrealmacenamieto obtenido con los métodos combinados y los obtenidos con el programa.

Cabe mencionar que el programa aproxima el volumen con la suma de todas las ordenadas de los hidrogramas de entrada menos las suma de las ordenadas del hidrograma de salida y multiplicando por la diferencia de tiempo (∆t).

En la Tabla 8, se muestra el almacenamiento máximo que se obtiene al considerar el almacenamiento inicial en el embalse.

La diferencia de volumen respecto al valor obtenido con el programa de tránsito de avenidas se muestra en la Tabla 9, de lo cual se deduce que el resultado numérico es el más conservador.

Conclusiones

Se aplicaron algoritmos de integración numérica en la estimación del volumen de almacenamiento en un embalse de un proyecto hidroeléctrico ante la posible ocurrencia de una gran avenida (representada por el hidrograma de entrada al embalse) los esquemas de integración de Simpson 1/3 y Simpson 3/8 dieron resultados más conservadores en el volumen de sobrealmacenamiento en el embalse, respecto a lo que reportó el programa Trate.bas de la CFE, pero este último calcula de una manera gruesa, a partir de rectángulos este volumen. Es importante destacar que en este estudio se hicieron comparaciones de cálculos numéricos a partir de considerar una avenida de diseño; pero es importante en futuras investigaciones, realizar validaciones de los volúmenes estimados numéricamente con mediciones que se realicen usando modelos de laboratorio,

Agradecimientos

Este artículo fue auspiciado por el proyecto PAPIME PE105117 Plataforma Educativa para Análisis Numérico.

Referencias

Campos-Aranda D.F. Introducción a los métodos numéricos, software en Basic y aplicaciones a la hidrología superficial [en línea], Revisión sistemática, San Luis Potosí, México, Editorial Universitaria Potosina, 2002 [fecha de consulta: 13 de abril de 2016]. Disponible en: https://books.google.com.mx/books?hl=es&lr=&id=zsQM4QfNVwoC&oi=fnd&pg=PP13&dq=m%C3%A9todos+de+integraci%C3%B3n+num%C3%A9rica+de+Newton+para+embalses&ots=tpzAgLxqTZ&sig=eNAAA4pSfGcFNE36ho4WxVoud3E#v=onepage&q&f=false

Comisión Federal de Electricidad. Manual de diseño de obras civiles, Cap. A.1.8. Tránsito de Avenidas, CFE, México, 1980.

Frontini M. y Sormani E. Some variant of Newton´s method with third-order convergence, ElSevier, Applied Mathematics and Computation (número 140), diciembre, 2002: 419-426.

Gerald F.C. Análisis numérico, 2ª ed., México, Alfa Omega, 1990, pp. 631.

Iriarte V.B.R. Métodos numéricos, 1ª ed., México, Facultad de Ingeniería, UNAM, Trillas, 1990, pp. 269.

Luthe R., Olivera A., Schutz F. Métodos numéricos, 1ª ed., México, Limusa, 1984, pp. 443.

Nieves-Hurtado A., Domínguez-Sánchez F.C. Métodos numéricos aplicados a la ingeniería, 1ª ed., México, Grupo Editorial Patria, 2014, pp. 454-494.

Smith W.A. Análisis numérico, 4ª ed., México, Prentice Hall, 1988, pp. 240-246.

Yusuf-Osama A. New Newton’s method with third-order convergence for solving nonlinear equations, World Academy of Science. Engineering and Technology International Journal of Mathematical, Computational, Physical, Electrical and Computer Engineering, (número 6), enero, 2012: 118-12.

Notas

Notas de autor