Introducción

Las zapatas o cimientos de concreto reforzado (subestructura) son elementos estructurales para soportar las cargas de las columnas y los muros para transmitir y distribuir sus cargas al suelo.

El miembro estructural más importante de una estructura es la base o subestructura, porque la falla de dicha subestructura es muy costosa y muy difícil de reparar. Por otro lado, la falla de la superestructura es posible repararla o modificarla para salvar esos elementos estructurales.

La Figura 1 muestra la distribución de esfuerzos de contacto bajo la base de la cimentación sometida a una carga concentrada ubicada en el centro de gravedad de la cimentación bajo suelos arcillosos y arenosos para cimentaciones rígidas. Las Figuras 1a y 1b se presentan para cimentaciones rígidas que muestran asentamientos uniformes y esfuerzos variables en contacto con el suelo. Además, dado que las zapatas extendidas reales se acercan a la rigidez perfecta, la distribución de los esfuerzos de contacto no es uniforme. No obstante, por simplicidad, se supone que la distribución de esfuerzos de contacto es uniforme para facilitar el cálculo de la capacidad portante y el asentamiento, como se muestra en la Figura 1c. La diferencia del momento máximo entre la Figura 1b y la Figura 1c es M_max Figura 1b = 1.27 M_max Figura 1c (Zeevaert, 1973). El error debido a esta suposición no es significativo (Coduto, 2001).

Figura 1
Distribución de la presión a lo largo de la base de zapatas poco profundas sometidas a cargas concentradas: a) Zapatas rígidas sobre suelos arenosos, b) Zapatas rígidas sobre suelos arcillosos, c) Distribución simplificada (Coduto, 2001)

El objetivo principal de un ingeniero estructural es obtener el dimensionamiento óptimo de la zapata para soportar las cargas que descienden de la superestructura.

Las investigaciones más importantes presentadas en el pasado respecto a las zapatas aisladas rectangulares para el manejo eficiente de los problemas de interacción suelo-zapata se han llevado a cabo mediante el uso de métodos analíticos (Peck et al., 1974; Jiang & Jiang, 1983; Vitone & Valsangkar, 1986; Irles-Más & Irles-Más, 1992; Algin, 2000, 2001, 2007; Özmen, 2011; Bezmalinovic, 2016; Aydogdu, 2016; Girgin, 2017; Rawat et al., 2020), por graficas o ayudas de diseño (Teng, 1979; Highter & Anders, 1985; Young & Budynas, 2002; Galvis & Smith, 2020), y por métodos analíticos y graficas o ayudas de diseño (Rodriguez & Aristizabal, 2004, 2013a y b). Estos documentos se desarrollan para obtener la capacidad de carga axial y momento biaxial de la zapata, o la distribución de presión en el área de contacto de una zapata aislada rectangular rígida descansando sobre el suelo, y si se desean obtener las dimensiones de la zapata debe ser a través de un procedimiento iterativo.

Las aportaciones más importantes sobre los estudios de zapatas combinadas rectangulares son de Konapure & Vivek (2013) y Vivek et al. (2014), quienes presentaron un estudio comparativo sobre el análisis elástico convencional simplificado por el Método de Elementos Finitos y el Modelo de Winkler para zapatas combinadas rectangulares, utilizando el software MATLAB para resolver el problema que incluye las reacciones en los apoyos, los esfuerzos de flexión y cortante y los desplazamientos. Luévanos (2014) presentó el diseño de zapatas combinadas rectangulares delimitadas por una línea de propiedad asumiendo que la presión del suelo es lineal, la presión se presenta en función de una carga axial P, momento en el eje transversal M_x y momento en el eje longitudinal M_y en cada columna. Luévanos (2016) propuso un modelo analítico para obtener las dimensiones de las zapatas rectangulares combinadas teniendo en cuenta que la fuerza resultante está ubicada sobre el eje transversal, es decir, la fuerza resultante está ubicada en el centro de gravedad de la zapata en la dirección longitudinal. Luevanos et al. (2017) presentaron un estudio comparativo para el diseño de zapatas combinadas trapezoidales y rectangulares de concreto reforzado y delimitadas por una línea de propiedad. Ravi et al. (2018) estudiaron la presión de contacto bajo la zapata combinada rectangular que descansa sobre el suelo considerando parámetros variables como las relaciones de largo a ancho, la relación de Poisson y la rigidez relativa de la zapata. Velázquez et al. (2018) desarrollaron un diseño óptimo basado en un criterio de costo mínimo para zapatas combinadas rectangulares de concreto reforzado para obtener las dimensiones (lados y profundidad efectiva) y las áreas de acero de refuerzo transversal (superior e inferior) y longitudinal (superior e inferior) del zapatas.

De acuerdo con la revisión de la literatura, los aportes relacionados con el tema presentado en este trabajo son de Luévanos (2016), quien propuso un modelo analítico para obtener las dimensiones de las zapatas combinadas rectangulares, tomando en cuenta que el área de contacto con el suelo trabaja parcialmente a compresión y asumiendo que la fuerza resultante se encuentra en el eje transversal, es decir, la fuerza resultante se ubica en el centro de gravedad de la zapata en dirección longitudinal. Este trabajo está limitado ya que no considera el momento sobre el eje transversal y no presenta el área mínima. Velázquez et al. (2018) presentaron el costo mínimo para zapatas combinadas rectangulares, pero se considera que el área de la zapata con el suelo está trabajando completamente en compresión. Por lo tanto, no existen trabajos con el nivel de conocimiento actual sobre el área mínima de zapatas combinadas rectangulares considerando que el área trabaja parcialmente a la compresión.

Formulacion de los modelos

La ecuación general para flexión biaxial para cualquier tipo de cimentación es:

Donde:

σ = esfuerzo o presión generada por el suelo en cualquier punto sobre la zapata

P = carga axial aplicada sobre la zapata

A = área o superficie de contacto de la zapata con el suelo

M_x = momento sobre el eje X

M_y = momento sobre el eje Y

I_x = momento de inercia sobre el eje X

I_y = momento de inercia sobre el eje Y

La Figura 2 muestra una zapata combinada rectangular sometida a carga axial y dos momentos flexionantes ortogonales en cada columna.

Figura 2
Zapata combinada rectangular sometida a flexión biaxial

La zapata combinada rectangular rígida se deforma en forma plana, es decir, el diagrama de distribución de la presión del suelo se considera lineal bajo la zapata.

Donde:

R (fuerza resultante total) = P₁ + P₂, M_xT (momento resultante total aplicado en el eje X) = M_x1 + M_x2 + P₁ (L_y/2 - L_y1) - P₂ (L_y/2 - L_y2), M_yT (momento resultante total aplicado en el eje Y) = M_y1 + M_y2.

La ecuación de flexión biaxial no es válida, cuando la fuerza resultante R está fuera del núcleo central, una zona delimitada y bien conocida, lo que indica un área sin comprimir.

La Figura 3 muestra el diagrama de excentricidad resultante completo de toda la base para una zapata combinada rectangular, este diagrama se generó a partir de las zapatas aisladas rectangulares (Irles & Irles, 1992; Özmen, 2011).

Figura 3
Diagrama de excentricidad resultante completo de una zapata combinada rectangular rígida de acuerdo con la ubicación de la fuerza resultante

Zapata combinada rectangular sometida a flexión biaxial

La Figura 4 muestra los cinco casos posibles para una zapata combinada rectangular sometida a carga axial y dos momentos flexionantes ortogonales en cada columna.

Figura 4
Zapata combinada rectangular sometida a flexión biaxial

Para el caso 1, se asume que toda la superficie inferior de la zapata trabaja bajo compresión. Las presiones generadas por el suelo sobre la zapata se obtienen mediante la ecuación de la flexión biaxial.

Para los casos II, III, IV y V, se asume que toda la superficie inferior de la zapata trabaja parcialmente bajo compresión, es decir, parte de la superficie de contacto no tiene presión, y por las propiedades geométricas de una pirámide de base triangular se obtienen la fuerza resultante R, el momento en el eje X M_xT y el momento en el eje Y M_yT.

Las presiones generadas por el suelo sobre la zapata se obtienen mediante la ecuación general del plano de presiones por la ecuación (1), a partir de tres puntos conocidos.

La ecuación general de un plano de presiones en 3-D es:

Donde: A, B, C y D son constantes.

Para los casos II, III, IV y V, los tres puntos conocidos del plano de presiones son:

La ecuación general del plano de presiones se obtiene de la siguiente manera:

El valor de la presión en cualquier punto σ_z se obtiene resolviendo el determinante:

Caso I

La Figura 4a muestra cuando R se ubica dentro del núcleo central. Las de relaciones de excentricidades son:

Las ecuaciones generales de la presión del suelo en cada esquina de las zapatas sometidas a carga axial y dos momentos en los ejes X e Y de cada columna se obtienen de la siguiente manera:

Donde:

σ_max = presión máxima del suelo sobre la zapata

σ_min = presión mínima del suelo sobre la zapata

A = área o superficie de contacto de la zapata con el suelo

I_x = momento de inercia en el eje X

I_y es el momento de inercia en el eje Y

Caso II

La Figura 4b muestra cuando R se ubica fuera del núcleo central y la condición de relaciones de excentricidades es la siguiente:

Las ecuaciones generales para R, M_xT y M_yT son:

Caso III

La Figura 4c muestra cuando R se ubica fuera del núcleo central y la condición de relaciones de excentricidades es la siguiente:

Las ecuaciones generales para R, M_xT y M_yT son:

Caso IV

La Figura 4d muestra cuando R se ubica fuera del núcleo central y la condición de relaciones de excentricidades es la siguiente:

Las ecuaciones generales para R, M_xT y M_yT son:

Caso V

La Figura 4e muestra cuando R se ubica fuera del núcleo central y la condición de relaciones de excentricidades es la siguiente:

Las ecuaciones generales para R, M_xT y M_yT son:

Zapata combinada rectangular sometida a flexión uniaxial

La Figura 5 muestra los cuatro casos posibles para una zapata combinada rectangular sometida a carga axial y un momento flexionante en cada columna.

Figura 5
Zapata combinada rectangular sometida a flexión uniaxial

Para los casos Y-I y X-1, se asume que toda la superficie de contacto de la zapata trabaja bajo compresión. Las presiones generadas por el suelo sobre la zapata se obtienen mediante la ecuación de la flexión uniaxial por la ecuación (1), según sea el caso (M_xT = 0 o M_yT = 0).

Para los casos Y-II y X-II, se asume que toda la superficie de contacto de la zapata trabaja parcialmente bajo compresión, y por las propiedades geométricas de una prisma triangular se obtienen la fuerza resultante R, el momento en el eje X M_xT y el momento en el eje Y M_yT.

Caso Y-I

La Figura 5a muestra cuando R se ubica dentro del núcleo central y sobre el eje Y.

Las relaciones de excentricidades son:

La ecuación (7) y (8) de flexión biaxial es aplicable a este caso, ya que M_y = 0.

Caso Y-II

La Figura 5b muestra cuando R se ubica fuera del núcleo central, sobre el eje Y, y la condición de relaciones de excentricidades es la siguiente:

Ahora, para este caso los tres puntos conocidos del plano de presiones son:

La ecuación general del plano de presiones se obtiene de la siguiente manera:

El valor de σ_z se obtiene resolviendo el determinante:

Las ecuaciones generales para R y M_xT son:

Caso X-I

La Figura 5c muestra cuando R se ubica dentro del núcleo central y sobre el eje X.

Las relaciones de excentricidades son:

Las ecuaciones generales de la presión del suelo en cada esquina de las zapatas sometidas a carga axial y momentos en el eje Y de cada columna se obtienen de la siguiente manera:

Caso X-II

La Figura 5d muestra cuando R se ubica fuera del núcleo central, sobre el eje X y la condición de relaciones de excentricidades es la siguiente:

Ahora, para este caso los tres puntos conocidos del plano de presiones son:

La ecuación general del plano de presiones se obtiene de la siguiente manera:

El valor de σ_z se obtiene resolviendo el determinante:

Las ecuaciones generales para R y M_yT son:

Superficie óptima para zapatas combinadas rectangulares

La función objetivo (área mínima A_min) para cada caso es:

Las funciones de restricción para flexión biaxial en cada caso se presentan en la Tabla 1.

Tabla 1

Ecuaciones de las funciones de restricción para flexión biaxial

También, las funciones de restricción por las limitaciones en la dirección del eje Y son:

No limitado: L_y1 ≥ c_1y/2 y L_y2 ≥ c_2y/2.

Limitado en la columna 1: L_y1 = c_1y/2 y L_y2 ≥ c_2y/2.

Limitado en la columna 2: L_y1 ≥ c_1y/2 y L_y2 = c_2y/2.

Limitado en las dos columnas: L_y1 = c_1y/2 y L_y2 = c_2y/2.

Las funciones de restricción para flexión uniaxial en cada caso se presentan en la Tabla 2.

Tabla 2

Ecuaciones de las funciones de restricción para flexión uniaxial

Donde: L_x y L_y deben ser mayor que 1 para que no haya zapatas excesivamente desproporcionadas, c_1y y c_2y son los lados de las columnas en la dirección Y.

Aplicación numérica de los modelos

Dos ejemplos numéricos se presentan para obtener el área mínima para zapatas combinadas rectangulares sometidas a flexión biaxial para los cinco casos y cada ejemplo se presenta para los cuatro tipos de restricciones en la dirección del eje Y (no limitado, limitado en la columna 1, limitado en la columna 2, limitado en las columnas 1 y 2). Para los dos los ejemplos, las columnas son de 40x40 cm, y la zapata está sujeta a P₁ = 500 kN (ejemplo 1), P₁ = 1000 kN (ejemplo 2), M_x1 = 1000 kN-m, M_y1 = 250 kN-m, P₂ = 1000 kN, M_x2 = 2000 kN-m, M_y2 = 500 kN-m, L = 3.00, 4.00, 5.00, 6.00, 7.00 m, σ_max = 200 kN/m².

Cuatro ejemplos numéricos se presentan para obtener el área mínima para zapatas combinadas rectangulares sometidas a flexión uniaxial. Dos ejemplos cuando R se encuentra en el eje Y. Para los dos ejemplos las columnas son de 40x40 cm, y la zapata está sujeta a P₁ = 250 kN (ejemplo 1), P₁ = 500 kN (ejemplo 2), M_x1 = 1000 kN-m, P₂ = 500 kN, M_x2 = 2000 kN-m, L = 3.00, 4.00, 5.00, 6.00, 7.00 m, σ_max = 200 kN/m². Dos ejemplos cuando R se encuentra en el eje X. Para los dos los ejemplos las columnas son de 40x40 cm y la zapata está sujeta a P₁ = 250 kN (ejemplo 1), P₁ = 500 kN (ejemplo 2), M_y1 = 1000 kN-m, P₂ = 500 kN, M_y2 = 2000 kN-m, L = 3.00, 4.00, 5.00, 6.00, 7.00 m, σ_max = 200 kN/m².

La Figura 6 muestra el área más pequeña de los cinco casos para los cuatro tipos de restricciones en los ejemplos 1 y 2 (zapatas combinadas rectangulares bajo flexión biaxial). Las Tablas 3 y 4 (Anexo) muestran en detalle los ejemplos 1 y 2 de las zapatas combinadas rectangulares bajo flexión biaxial para los cuatro tipos de restricciones. La Tabla 3 para el ejemplo 1 y la Tabla 4 para el ejemplo 2 (ver anexo).

Figura 6
Zapatas combinadas rectangulares sometidas a flexión biaxial

La Figura 7 muestra el área más pequeña de los dos casos para el ejemplo 1 y 2 cuando R se ubica en el eje Y, y los dos casos para el ejemplo 1 y 2 cuando R se ubica en el eje X (zapatas combinadas rectangulares bajo flexión uniaxial). La Tabla 5 muestra en detalle para los ejemplos 1 y 2 de las zapatas combinadas rectangulares bajo flexión uniaxial para los dos casos (R está ubicada en el eje X y R está ubicada en el eje Y) (ver anexo).

Figura 7
Zapatas combinadas rectangulares sometidas a flexión uniaxial

Resultados

Una forma de verificar las ecuaciones de las zapatas combinadas rectangulares sometidas a flexión biaxial para los casos II, III, IV y V y para flexión uniaxial para los casos Y-II y X-II es como como se muestra en la Tabla 6.

Tabla 6

Verificación de las ecuaciones para las zapatas combinadas rectangulares

La Figura 6 muestra el área mínima de las zapatas combinadas rectangulares sometidas a flexión biaxial para los dos ejemplos.

La Figura 6a del ejemplo 1 presenta lo siguiente: Los tipos 1 (no limitado) y 3 (limitado en la columna 2) muestran los mismos resultados, y los tipos 2 (limitado en la columna 1) y 4 (limitado en las columnas 1 y 2) presentan los mismos resultados. Para los tipos 1 y 3, a medida que aumenta el espaciado entre las columnas, aumentan las áreas de las zapatas. Para los tipos 2 y 4, a medida que aumenta el espaciado entre las columnas, las áreas de las zapatas disminuyen.

La Figura 6b del ejemplo 2 presenta lo siguiente: Este ejemplo muestra el mismo comportamiento que el ejemplo 1, pero con valores diferentes.

La Figura 7 muestra el área mínima de las zapatas combinadas rectangulares sometidas a flexión uniaxial para los dos ejemplos cuando R está ubicada en el eje Y, y los dos ejemplos cuando R está ubicada en el eje X.

La Figura 7a de los ejemplos 1 y 2 cuando R se ubica en el eje Y presenta lo siguiente: Los dos ejemplos tienen el mismo comportamiento, a medida que aumenta la separación de las columnas, aumentan las áreas de zapatas. El ejemplo 2 es mayor que el ejemplo 1 para todas las separaciones entre las dos columnas.

La Figura 7b de los ejemplos 1 y 2 cuando R se ubica en el eje X presenta lo siguiente: Los dos ejemplos tienen el mismo comportamiento, a medida que aumenta la separación de las columnas, aumentan las áreas de zapatas. El ejemplo 1 es mayor que el ejemplo 2 para todas las separaciones entre las dos columnas.

La Tabla 3 del ejemplo 1 para zapatas combinadas rectangulares sometidas a flexión biaxial muestra lo siguiente: Para los tipos 1 y 3 se presenta el caso IV para todas las separaciones entre las dos columnas, cuando la separación de las columnas aumenta, L_x, L_x3 y L_y1 disminuyen, A_min, L_y y M_xT aumentan, L_y2 es igual. Para los tipos 2 y 4 se presenta el caso III para las separaciones L = 3.00 y 4.00 m, y el caso II para las separaciones L = 5.00, 6.00 y 7.00 m, cuando la separación de columnas aumenta, A_min, L_x, L_x3 y M_xT disminuyen, L_y y L_y3 aumentan, L_y1 y L_y2 son iguales.

La Tabla 4 del ejemplo 2 para zapatas rectangulares combinadas sometidas a flexión biaxial muestra lo siguiente: Para los tipos 1 y 3 se presenta el caso I para las separaciones L = 3,00, 4,00 y 5,00 m, y el caso IV para las separaciones L = 6.00 y 7.00 m, cuando aumenta la separación de las columnas, L_x, L_x3 (no aparece para el caso I), L_y1 y M_xT (para el caso I es cero) disminuyen, A_min, L_y, L_y3 (no aparece para el caso I) aumentan, L_y2 es igual. Para los tipos 2 y 4 se presenta el caso III para las separaciones L = 3.00, 4.00, 5.00 y 6.00 m, y el caso II para las separaciones L = 7.00 m, cuando el espaciamiento de columnas aumenta, A_min, L_x y L_x3 disminuyen, L_y y L_y3 aumenta, L_y1, L_y2 y M_xT son iguales.

La Tabla 5 de los ejemplos 1 y 2 para zapatas combinadas rectangulares sometidas a flexión uniaxial muestra lo siguiente: Para R ubicado en el eje Y del ejemplo 1 se presenta en el caso II para todas las separaciones entre las dos columnas, cuando la separación de las columnas aumenta, L_y1 disminuye, A_min, L_y y M_xT aumentan, L_x, L_y2 y L_y3 son iguales. Para R ubicado en el eje Y del ejemplo 2 se presenta el caso I para las separaciones L = 3.00, 4.00, 5.00 y 6.00 m, y el caso II para las separaciones L = 7.00 m, cuando el espaciamiento de las columnas aumenta, L_y1 disminuye, A_min, L_y y M_xT aumentan, L_x y L_y2 son iguales, L_y3 solo aparece para L = 7,00 m. Para R ubicado en el eje X del ejemplo 1 se presenta en el caso II para todas las separaciones entre las dos columnas, cuando la separación de las columnas aumenta, L_x y L_x3 disminuyen, A_min y L_y aumentan, L_y1, L_y2 y M_yT son iguales. Para R ubicada en el eje X del ejemplo 2 presenta el mismo comportamiento que el ejemplo 1, pero con valores diferentes.

Conclusiones

En este trabajo se presenta un modelo analítico para determinar el área mínima de contacto con el suelo de las zapatas combinadas rectangulares rígidas sometidas a flexión biaxial y uniaxial apoyadas sobre suelos elásticos (la distribución de la presión del suelo es lineal).

El modelo propuesto se formula a partir de un enfoque analítico basado en el área mínima de contacto con el suelo. Para la flexión biaxial, los parámetros constantes o conocidos (variables independientes) son: σ_max, P₁, M_x1, M_y1, P₂, M_x2, M_y2, c_1y y c_2y, y las variables de decisión o desconocidas (variables dependientes) son: A_min, R, M_xT, M_yT, L_x, L_y, L_x1, L_y1, L_y2, L_x3 y L_y3. Para la flexión uniaxial con R ubicada en el eje Y, los parámetros constantes o conocidos (variables independientes) son: σ_max, P₁, M_x1, P₂, M_x2, c_1y y c_2y, y las variables de decisión o desconocidas (variables dependientes) son: A_min, R, M_xT, L_x, L_y, L_x1, L_y1 y L_y3. Para la flexión uniaxial con R ubicada en el eje X, los parámetros constantes o conocidos (variables independientes) son: σ_max, P₁, M_y1, P₂, M_y2, c_1y y c_2y, y las variables de decisión o desconocidas (variables dependientes) son: A_min, R, M_yT, L_x, L_y, L_x1, L_y1 y L_x3.

Las principales conclusiones que se muestran en este trabajo son:

1. 1. Algunos autores proponen ecuaciones para obtener los lados de la zapata y el área mínima, pero solo consideran el caso I (toda el área de la zapata trabaja bajo compresión).
2. 2. El área mínima de los dos ejemplos considerados para flexión biaxial, los casos I, II, III y IV están siempre presentes, pero se puede presentar el caso V, si los momentos aumentan.
3. 3. El modelo propuesto muestra las ecuaciones precisas y simplificadas y también presenta el área mínima para cada caso.
4. 4. El modelo propuesto presenta una reducción significativa en el área mínima de contacto en el suelo respecto al modelo propuesto por otros autores, si la fuerza resultante se ubica fuera del núcleo central (e_xT/L_x + e_yT/L_y > 1/6), ya que consideran el area mínima trabajando completamente a compresión.
5. 5. La principal ventaja del modelo propuesto sobre cualquier otro modelo es que este considera que el área de contacto con el suelo trabaja parcialmente bajo compresión, es decir, una parte de la superficie inferior de la zapata está sujeta a compresión y en la otra parte, la presión es cero (sin compresión y sin tensión).
6. 6. El modelo propuesto se puede utilizar como una revisión de la presión máxima del suelo sobre la zapata, tomando en cuenta la función objetivo para maximizar σ_max, y las mismas funciones de restricción para flexión biaxial o flexión uniaxial.

Este estudio presenta una solución robusta y eficaz que se aplica solo para obtener los lados y el área mínima de las zapatas combinadas rectangulares que descansan sobre suelo elástico, y la presión del suelo sobre la zapata es lineal.

Sugerencias para las siguientes investigaciones:

1. 1. Área mínima de contacto con el suelo para zapatas combinadas trapezoidales, en T y en L o esquineras que trabajen parcialmente a compresión.
2. 2. Área mínima de contacto sobre el suelo para zapatas combinadas rectangulares, cuando se presentan suelos totalmente granulares (suelos arenosos) y suelos totalmente cohesivos (suelos arcillosos), el diagrama de presiones es diferente al que aquí se presenta, ya que el diagrama de presiones es parabólico.

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Anexo

Tabla 3

Ejemplo 1 para zapatas combinadas rectangulares sometidas a flexión biaxial

Tabla 4

Ejemplo 2 para zapatas combinadas rectangulares sometidas a flexión biaxial

Tabla 5

Ejemplos 1 y 2 para zapatas combinadas rectangulares sometidas a flexión uniaxial

Notas