1. INTRODUCCIÓN

El presente artículo se desprende de un estudio exploratorio cuyo objetivo es identificar las fortalezas y necesidades sobre el proceso de enseñanza de la multiplicación en Escuelas Básicas de la comuna de Puerto Montt (Chile), en el marco de un proyecto DID financiado por la Dirección de Investigación y Desarrollo de la Universidad Austral de Chile (2019). El estudio indaga en la visión de los procesos matemáticos de los docentes, lo que permite no solo conocer la realidad de las aulas, sino que también posibilita una formación continua que se ajuste a la realidad existente. Concretamente, este texto propone un instrumento para el estudio de este fenómeno.

Como formadoras de profesores, docentes de formación permanente y, especialmente, como investigadoras en educación matemática y, conociendo que el dominio de la multiplicación es clave para el aprendizaje de otros contenidos matemáticos (por ejemplo: división, múltiplos y divisores, proporcionalidad, conceptos de área y volumen, o cálculo de la media aritmética, etc.), nos preguntamos sobre la existencia de una visión compartida de la multiplicación por parte de los maestros en servicio que también tenga en cuenta los modos en los cuales se aborda la enseñanza de la multiplicación en la enseñanza básica. De ahí nos cuestionamos: ¿cómo se presenta el proceso de la multiplicación? y ¿cómo se minimizan las barreras para su aprendizaje?, entre otras. Las cuales consideramos son de utilidad para conocer no solamente la realidad de las aulas respecto al aprendizaje de la multiplicación, sino también la propia práctica pedagógica y la mirada de los profesores sobre las dificultades en el proceso de aprendizaje de la multiplicación que presentan los estudiantes y, así visualizar fortalezas y debilidades en la enseñanza y aprendizaje de dicho concepto.

Con el fin de contribuir a la formación continua tanto de docentes en ejercicio, como en formación, nos proponemos el diseño y construcción de un instrumento ad hoc que permita identificar las prácticas pedagógicas utilizadas por profesores en activo para la enseñanza de la multiplicación, y se espera que, más allá de este estudio, con este instrumento se estimule a otros investigadores a potenciar en los docentes reflexiones pedagógicas sobre su práctica educativa.

2. MARCO CONCEPTUAL

Según los Estándares Estatales Básicos Comunes para Matemáticas (CCSSM, por sus siglas en inglés), la competencia matemática requiere de comprensión conceptual, la cual incluye la comprensión, de las operaciones y de las relaciones matemáticas; de la fluidez en los procedimientos, entendida como el uso flexible de la estrategia adecuada para encontrar la respuesta de manera eficiente, y de una disposición productiva hacia las matemáticas, considerándolas como un conocimiento útil (CCSSM, 2010).

Desde esta perspectiva, los docentes deben abordar la enseñanza de la multiplicación en sus aulas siendo conscientes de las conexiones que tiene este concepto con otras áreas de las matemáticas. De este modo, se debe asegurar que los estudiantes inicien su aprendizaje con los conocimientos necesarios para la comprensión de este concepto, con la vista puesta en las posibilidades que un buen aprendizaje conceptual ofrece a sus experiencias matemáticas futuras. Sin embargo, hay estudios que demuestran que la comprensión conceptual de la multiplicación sigue siendo débil y que muchos alumnos aún afrontan la multiplicación desde un punto de vista puramente memorístico (Dubé y Robinson, 2018).

Dado que la conexión más fuerte en la multiplicación es con el valor posicional y las estructuras aditivas, cuando iniciamos la multiplicación con dos cifras es necesaria una adecuada comprensión del valor de posición (Van de Walle et al., 2014). Un buen planteamiento en el aula por parte de los docentes, aunando la comprensión de la multiplicación con una base sólida del valor de posición, haría posible que, una vez introducida la multiplicación con números naturales, la multiplicación con decimales (por ejemplo, 4 x 7.56, o 0.34 x 9.5) no requiera de nuevas habilidades o conocimientos para su comprensión, más allá de la conexión entre el valor posicional y la multiplicación (Van de Walle et al., 2014). Por otra parte, la multiplicación tiene también una fuerte conexión con el álgebra, pues son justamente los patrones, tanto numéricos como geométricos, los que ayudan a entender y elaborar con sentido las tablas de multiplicar.

2.1. La estructura multiplicativa

Comprende conceptos relacionados tanto con la multiplicación como con la división. Estos conceptos se encuentran presentes en diversos ámbitos, siendo necesarios y fundamentales en actividades de tipo social, cultural y científico (Castro y Ruiz, 2011). Autores como Orozco (2018) abordan los puntos diferenciadores para la estructura multiplicativa, tales como la operación mental, las tablas de multiplicar, los algoritmos y la resolución de problemas. La multiplicación es un contenido matemático de numeración central, en tercer curso de básica en varios países (Castro y Ruiz, 2011; CCSSM, 2010). En Chile, el eje de Números y Operaciones abarca la destreza en el cálculo mental y escrito, construyendo conceptos básicos, con ayuda de metáforas y representaciones donde se involucra la multiplicación (MINEDUC, 2012).

La multiplicación se introduce tradicionalmente en las aulas de primaria como una suma reiterada o repetida de elementos iguales (Castro y Castro, 2010; Fernández, 2007; Flores et al., 2015, entre otros), es decir, se introduce siguiendo la teoría implícita formalizada por Fischbein et al. (1985), según la cual cada operación aritmética tiene asociado un modelo implícito, y el de la multiplicación es la adición repetida. En este sentido, para iniciar el proceso de enseñanza de la multiplicación de los números naturales, es necesario asegurar que los alumnos dominen la estructura aditiva (Flores et al., 2015)

Multiplicar, no obstante, va más allá de una adición reiterada. La suma no es una multiplicación, ya que en las situaciones sumativas solo interviene un conjunto de elementos (manzanas y manzanas; libros y libros), mientras que en las situaciones multiplicativas aparecen dos conjuntos claramente definidos, y en relación constante (cajas y manzanas, estanterías y libros) (Fernández, 2007). Así pues, la suma reiterada es diferente a la multiplicación, al requerir la multiplicación de pensamiento jerárquico (Clark y Kamii, 1996).

La idea por desarrollar acerca de la multiplicación puede basarse también en la relación entre las dos estructuras multiplicativas: multiplicación y división. Este es el caso del National Council of Teachers of Mathematics -NCTM (2000), para el cual el aprendizaje de la multiplicación y la división debe iniciarse desde la comprensión de situaciones que impliquen multiplicar, tales como el agrupamiento entre iguales; o bien, que impliquen dividir, distribuyendo objetos reales en partes iguales (NCTM, 2000).

Por lo que respeta a los problemas multiplicativos se expresan habitualmente en la escuela de primaria como una relación ternaria (a x b = c), cuando en realidad se trata de una relación cuaternaria (Vergnaud, 1991). Esta relación cuaternaria, según Vergnaud (1991), puede representarse mediante una tabla de correspondencia que traduce el isomorfismo entre dos tipos de medida o cantidades. Trabajar con este tipo de representación permite dejar a un lado la parte operativa de la multiplicación para trabajar la parte más conceptual.

2.2. El proceso para la enseñanza de la multiplicación

Para algunos profesores de básica, la enseñanza de la multiplicación se centra en el dominio del algoritmo convencional y su posterior aplicación para resolver problemas. Estos profesores esperan que los alumnos dominen las tablas de multiplicar (hasta el 10), al comienzo de la enseñanza básica, siendo este dominio un prerrequisito para la utilización de la multiplicación y de la división (Stare, 2010). No obstante, investigaciones sobre el aprendizaje de la multiplicación señalan que una buena parte de los alumnos de este nivel, e incluso de enseñanza media, presentan dificultades y cometen errores al realizar esta operación de manera algorítmica (Dickson et al, 1991; Kamii, 1995). Esto puede deberse a que se enseña explicando y pidiendo a los alumnos que repitan una serie de procedimientos, aparentemente, con el único fin de que sean capaces de reproducirlos, sin traducirse en una comprensión real de ideas y procedimientos matemáticos (Boqué et al, 2016; Thompson y Saldanha, 2003; entre otros).

El proceso para el aprendizaje de la multiplicación ha sido abordado por diferentes autores desde diversas perspectivas. Así, autores como Flores et al. (2015) establecen etapas para culminar el proceso de aprendizaje de las operaciones multiplicativas: de acción, de uso de modelos, de simbolización, de hechos numéricos y tablas, de uso de algoritmo y de aplicación a la resolución de problemas. Por otro lado, autores como Fernández (2007) establecen, también, etapas en el proceso didáctico de la iniciación a la multiplicación, aunque dan-do un valor clave en dicho proceso a comprender el significado del concepto “veces” en un contexto multiplicativo.

Desde otra perspectiva, el NCTM (2000) pone el acento en la modelización de problemas o situaciones multiplicativas con diagramas, dibujos o material concreto de modo que los alumnos entiendan qué representan los factores y su producto en contextos y registros distintos. En este sentido, Duval (2006) expone que la actividad matemática se realiza en un contexto de representación semiótica (registros de representación), aunque los estudiantes deben ser capaces de reconocer un mismo objeto matemático, en este caso la multiplicación, en diferentes contextos de representación y saber usarlos. Así pues, es importante conseguir que los alumnos desarrollen la coordinación interna de los distintos contextos de representación de un mismo objeto para que puedan ser elegidos y usados según el propósito de la actividad (Duval, 2006). De manera similar, el CCSSM (2010) establece que en tercero básico, los alumnos deben desarrollar la comprensión del significado de la multiplicación y la división de números enteros mediante actividades y problemas con grupos, disposiciones y modelos de área de la misma medida. De este modo, se acompaña a los alumnos en la aplicación de propiedades de las operaciones en el cálculo de productos de números enteros, potenciando la aplicación de estrategias que puedan ser desarrolladas por ellos mismos. Al comparar las diferentes estrategias usadas para conseguir la solución, los alumnos aprenden la relación entre ambas estructuras multiplicativas.

Otra de las aproximaciones de la multiplicación consiste en las propuestas que siguen la secuencia Concreto-Representación-Abtracto (CRA) basada en los estadios de Bruner (1966): en activo, icónico y simbólico. La secuencia CRA ha demostrado ser un procedimiento de enseñanza útil, en particular por su uso de múltiples representaciones. Siendo un método efectivo para la enseñanza de la multiplicación y la división en alumnos con dificultades de aprendizaje (Milton et al., 2018).

A partir de las distintas perspectivas existentes y propuestas didácticas para el aprendizaje de la multiplicación, puede establecerse que es importante el apoyo de modelos (diagramas, suma repetida de grupos iguales, área, etc.) para iniciar el aprendizaje de la multiplicación desde la comprensión. En ese sentido, se tiene presente que este proceso de aprendizaje no puede iniciarse sin una comprensión del sistema de valor posicional y de las estructuras aditivas. El aprendizaje de la multiplicación requiere también descubrir sus propiedades, mediante estrategias basadas en estas propiedades y resolver problemas con multiplicaciones y divisiones. A todo esto, es preciso añadir el papel del álgebra en el descubrimiento de regularidades, es decir, de patrones, que serán importantes para un adecuado aprendizaje de la multiplicación, por ejemplo, estudiando la regularidad en los dobles, triples, etcétera; los cuales aportan en la comprensión y construcción de las tablas de multiplicar. Todo el proceso requiere de la comunicación matemática como camino para compartir y clarificar ideas, puesto que las conversaciones sobre ideas matemáticas desde distintas perspectivas permiten a los participantes compartir, discutir, perfeccionar o rectificar sus conceptos matemáticos, además, de hacer conexiones y desarrollar un lenguaje que permita expresar sus ideas matemáticas, potenciando así la necesidad de precisión en sus intervenciones (NCTM, 2000).

3. ESTADO DE LA CUESTIÓN

En Chile, desde hace algunos años existen instituciones y normativas que bus-can garantizar calidad y equidad en los aprendizajes de todos los niños y jóvenes (Agencia de Calidad y Superintendencia de Educación, 2011). En este nuevo contexto, los programas de estudio ofrecen una organización temporal de los objetivos de aprendizaje (secuencia recomendada de objetivos, indicadores de logro y evaluación, etc.), los cuales deben cumplirse durante el año escolar, con el fin de conducir la tarea didáctica a los profesores.

El currículum de matemáticas en Chile se estructura en cinco ejes temáticos para la enseñanza básica: Número y operaciones, Geometría, Medida, Patrones y álgebra y, Datos y probabilidad (MINEDUC, 2012, p. 218). Dentro de este plan, la enseñanza de la multiplicación se aborda en el eje de Números y operaciones. La trayectoria curricular se inicia en primero básico, concretamente en el objetivo de aprendizaje que propone “determinar las unidades y decenas en números de 0 al 20, agrupando de a 10, de manera concreta, pictórica y simbólica” (MINEDUC, 2012, p. 45). En segundo básico, el concepto de multiplicación aparece en el currículum de forma concreta en el objetivo de aprendizaje que busca “demostrar que comprenden la multiplicación usando representaciones concretas y pictóricas, expresando una multiplicación como una adición de su-mandos iguales…” (MINEDUC, 2012, p. 42). Finalmente, todo parece indicar que la trayectoria curricular de la enseñanza de la multiplicación concluye en tercero básico, cuando se plantea que los estudiantes deben:

Demostrar que comprenden las tablas de multiplicar hasta el 10 de manera progresiva: usando representaciones concretas y pictóricas; expresando una multiplicación como una adición de sumandos iguales usando la distributibilidad como estrategia para construir las tablas hasta el 10 aplicando los resultados de las tablas de multiplicar hasta 10x10 sin realizar cálculos, resolviendo problemas que involucren las tablas aprendidas hasta 10. (MINEDUC, 2012, p. 235)

De esta forma, se podía afirmar que las bases curriculares del sistema educacional chileno no están en la mera repetición y mecanización de algoritmos, definiciones y fórmulas, sino que contemplan una práctica docente que tienda a favorecer la comprensión de conceptos matemáticos. La metodología de trabajo de las matemáticas en este currículum busca la adquisición de los conceptos, presentando situaciones desafiantes que requieren variadas habilidades, destrezas y conocimientos. Al mismo tiempo, esta metodología busca desarrollar las capacidades cognitivas declaradas en los planes y programas, las cuales son visualizar, representar, modelar y resolver problemas, simular y conjeturar, reconocer estructuras y procesos.

4. METODOLOGÍA

El instrumento de recogida de datos es una entrevista semiestructurada, pues permite al investigador-entrevistador clarificar de antemano los temas a tratar, sin abandonar la posibilidad de modificar la secuencia de preguntas en el transcurso de la entrevista, en función de las respuestas que vayan obteniendo de los participantes (Cohen et al., 2018). Para mayor riqueza en el proceso de recogida de datos se cuenta con un protocolo de la entrevista, el cual se preparó por el equipo de investigación que, a la vez, actúa como guía para las investigadoras que entrevistan a los participantes.

Para la investigación de donde emana este artículo, las entrevistas se realizaron individualmente, a cada maestro participante, en un área abierta y tranquila, adyacente a las aulas donde los maestros se desempeñan. Los participantes fueron 17 profesores. Cada una de ellas duró alrededor de 30 a 35 minutos y fueron registradas en audio para su posterior transcripción.

El diseño y construcción del instrumento contempló seis etapas: (1) revisión de estudios acerca de la enseñanza y el aprendizaje de la multiplicación; (2) identificación de los aspectos relacionados con el aprendizaje de la multiplicación que debían abordarse en la entrevista; (3) análisis del tratamiento otor-gado a la multiplicación y su enseñanza en el currículo; (4) construcción de la versión piloto del instrumento; (5) validación del instrumento y, (6) construcción de la versión final del instrumento. El proceso de diseño del instrumento corresponde a las fases 1, 2 y 3; mientras que las fases 4, 5 y 6 corresponden a su construcción y validación.

4.1. Versión piloto del instrumento

La entrevista se estructuró a partir de cuatro dimensiones, las cuales fueron inicialmente planteadas a partir de los objetivos del proyecto en el que se enmarca este estudio. Estas son: (i) Concepción de la didáctica de la matemática; (ii) Metodología usada para la enseñanza de la multiplicación; (iii) Resultados del proceso y; (iv) Concepción de la enseñanza de las matemáticas. Una vez establecidas estas dimensiones a partir de los antecedentes de la literatura, se elabora el primer protocolo de preguntas (versión piloto). La tabla 1 muestra la descripción de las dimensiones iniciales y una muestra de las preguntas para cada dimensión planteadas inicialmente.

Tabla 1

Dimensiones y muestra de las preguntas iniciales (versión piloto)

Nota: Esta tabla muestra las dimensiones iniciales que se consideraron a partir de los referentes teóricos y de los objetivos del proyecto.

4.2. Validación del instrumento

Para la validación del instrumento se consideró la participación de expertos en Didáctica de las Matemáticas de Chile y España, quienes fueron seleccionados por su conocimiento especializado en la enseñanza de las matemáticas. Para llevar a cabo este proceso, los participantes disponían de la versión piloto del instrumento. La puesta en común con los expertos permitió identificar algunos aspectos a mejorar en los distintos elementos evaluados:

• La pertinencia de las dimensiones presentadas.

• La coherencia de las preguntas para cada dimensión.

• El protocolo de la entrevista.

El aporte de los expertos respecto a las preguntas del instrumento se organiza en dos bloques. Por un lado, están los aportes referentes a la pertinencia de las dimensiones y de las preguntas que se formulan en cada dimensión, y, por otro lado, las mejoras en el protocolo de la entrevista.

4.2.1. Aportes acerca de la pertinencia de las dimensiones y de las preguntas en cada dimensión.

La discusión sobre el nombre y el contenido de cada dimensión, la pertinencia del contenido de las distintas dimensiones, y la secuencia de preguntas hizo necesario replantear las dimensiones Resultados del proceso y Concepción de la enseñanza de las matemáticas, al observarse que el contenido de ambas es muy similar. Por lo tanto:

• La dimensión Resultados del proceso, pasa a tratar las Dificultades en el proceso de aprendizaje de la multiplicación, sobre todo en la comprensión que presentan los estudiantes.

• La dimensión Concepción de la enseñanza de las matemáticas, pasa a denominarse Percepción docente sobre la enseñanza de las matemáticas para los docentes participantes.

Respecto a las preguntas para cada dimensión:

• En la dimensión Concepción de la didáctica de la matemática, se agregó una pregunta para complementar la recogida de la información: ¿Dónde conoció dichos materiales?

• En la dimensión Dificultades en el proceso de aprendizaje de la multiplicación, se sugirió agregar preguntas de materiales/estrategias concretas que utilizan los estudiantes relatando acciones pedagógicas que presentan éxito y fracaso en la enseñanza y comprensión de la multiplicación.

En la tabla 2, se observan los cambios respecto al nombre de las dimensiones y al número de preguntas para cada una, proceso que se llevó a cabo después de la validación.

Tabla 2

Evolución de las dimensiones y el número de preguntas

Nota: Esta tabla muestra la evolución de las dimensiones tanto a nivel de contenido como a su peso en la entrevista.

4.2.2. Aportes acerca del protocolo de la entrevista

Las mejoras que se consensuaron después del juicio y discusión con los expertos se concretan en lo siguiente:

• Incluir en el protocolo de la entrevista preguntas acerca del perfil del profesor entrevistado, de manera que dichas preguntas complementen y aporten información para el análisis. Así, se propone incluir preguntas que tengan relación con los estudios realizados, capacitaciones, años de experiencia en la enseñanza de las matemáticas, tipo de institución en la que imparte/ha impartido docencia el profesor (pública o particular subvencionado), además de su participación en algún cargo en el área de matemáticas. Revisar las notas del entrevistador del protocolo de la entrevista, aseguran-do que no se realicen preguntas que puedan inducir una respuesta que no corresponda con la realidad u opinión del entrevistado. Esto, con el fin de evitar que el profesor responda lo que cree que se espera de él.

4.3. Instrumento de recogida de datos

La entrevista a los profesores del estudio es el instrumento utilizado para la recogida de datos de la investigación. Incluye instrucciones dirigidas al investigador-entrevistador para asegurar un buen proceso de recogida de datos, además las preguntas se organizan a partir de las dimensiones revisadas y refinadas siguiendo los comentarios de los expertos (tablas 3 y 4, respectivamente). Dicha organización responde al imperativo del objetivo principal de la investigación, el cual se plantea “Determinar si las prácticas pedagógicas que emplean los docentes de Tercero Básico para la enseñanza de la multiplicación en establecimientos educacionales de la comuna de Puerto Montt, responden a la diversidad en el Aula” (Proyecto Interno, UACh, p. 9).

Tabla 3

Dimensiones definitivas del instrumento ad hoc

Nota: Esta tabla muestra las dimensiones definitivas a partir de las cuales se realiza el estudio.

A continuación se menciona cada dimensión con sus distintos niveles de comprensión:

• Desde una perspectiva general, la dimensión Concepción de la didáctica de la matemática trata sobre la noción que tienen los docentes participantes acerca de la didáctica de la matemática, lo cual vendría a ser la concepción ontológica que se maneja de la multiplicación, es decir ¿en qué consiste?

• La dimensión Metodología para la enseñanza de la multiplicación indaga sobre el conjunto de métodos que utilizan los profesores. Por lo tanto, se pregunta por el modo en el cual la multiplicación se concibe epistemológicamente, es decir ¿cómo debe ser abordada?

• En la dimensión Dificultades en el proceso de aprendizaje de la multiplicación, se busca visualizar cómo se realiza el proceso de comprensión de la multiplicación, correspondiendo entonces a un nivel concreto, en donde aparecen técnicas y formas de operacionalizar la multiplicación.

• La siguiente dimensión, Percepción docente para la enseñanza de las matemáticas indaga sobre nociones subjetivas o intersubjetivas que los entrevistados puedan tener de la enseñanza de la matemática en sí.

4.4 Protocolo de la entrevista, proyecto de investigación

El protocolo para el investigador-entrevistador incluye la información necesaria que debe conocerse para la identificación del entrevistado y el guión de preguntas. Así, antes de iniciar la entrevista, el investigador-entrevistador debe anotar los datos siguientes: fecha y hora de entrevista, lugar de la entrevista, nombre del entrevistador, nombre del profesor(a), establecimiento educacional. Además, se consigna la siguiente información: duración de la entrevista y observaciones que considerara remarcables de la entrevista (incidentes, comentarios generales, interrupciones, etcétera.).

El investigador-entrevistador toma notas de campo y busca asegurar que todas las entrevistas se desarrollen de manera similar. Por ende, se solicita el uso de grabadora de voz, se propone el texto con el que debe iniciarse la entrevista para su posterior transcripción, además de explicitar el modo de presentación y de despedida que debe seguir el investigador-entrevistador. También se explicitan los detalles de la entrevista que debe conocer el entrevistado para poder dar la autorización para que la entrevista sea grabada. Finalmente, en las preguntas de la entrevista, las notas para el entrevistador sirven para que el proceso de entrevista se desarrolle con fluidez.

Tabla 4

Preguntas del protocolo de la entrevista organizadas por dimensiones

Nota: Esta tabla muestra el instrumento final organizado por dimensiones.

5. RESULTADOS

5.1 Respecto del instrumento (entrevista semiestructurada)

El instrumento elaborado abordó temáticas propias del desarrollo profesional docente, identificando conceptos como material didáctico, prácticas pedagógicas, didáctica de la matemática, enseñanza de la multiplicación, dificultades en los resultados de aprendizaje de la multiplicación, percepción docente, entre otras. Todos estos elementos resultaron relevantes para propiciar una reflexión docente. La elaboración del instrumento se piensa como una oportunidad de ofrecer a la comunidad educativa y académica un instrumento confiable, el cual produjo resultados estables y consistentes y que, al mismo tiempo, permitió identificar y analizar prácticas pedagógicas de los profesores de matemáticas en enseñanza básica.

En un primer estudio, el instrumento fue aplicado a 17 profesores de enseñanza básica, pudiéndose observar su potencial como instrumento para su uso en el contexto nacional (Chile), como base para el desarrollo de futuras investigaciones en el campo de desarrollo docente y su práctica pedagógica en el área de Matemática. A pesar del potencial mostrado por el instrumento, no se pudo legitimizar, de momento, debido a la muestra de profesores de este primer estudio, por lo que se trata de un instrumento válido para el contexto de esta investigación.

A partir de los resultados preliminares obtenidos en la aplicación del instrumento, se tuvo una primera aproximación por medio de la recogida de la información. Tales resultados, si bien aún parciales, aportaron una visión inicial.

5.2 En relación con las dimensiones consideradas en el instrumento de recogida de datos

En el análisis a las respuestas dadas por los profesores de la dimensión CoDiMA acerca del uso de materiales didácticos en las aulas, observamos entre otros aspectos que:

• El material didáctico al que se refirieron los profesores fue muy diverso, desde palitos de helado o plastilina, hasta ábacos o regletas. Así pues, para futuras investigaciones es necesario definir qué se entiende como material didáctico en el estudio.

• Los profesores utilizaron el material principalmente con alumnos con dificultades. Así indicaron, por ejemplo, “lo uso cuando los alumnos no entienden”.

• Los profesores no detallaron cómo se utiliza el material en sus aulas, así indicaron que “presento el material y doy instrucciones” o “los alumnos manipulan el material”.

• Los profesores indicaron que conocieron el material en textos escolares, capacitaciones del método Singapur, en conversaciones con los compañeros, etcétera.

En el análisis de la dimensión MeEnMul, observamos, entre otros aspectos, que:

• La mayoría de los profesores introdujeron la multiplicación como una suma reiterada y, en ningún caso se refirieron a estructura de matriz o de área;

• el aprendizaje de las tablas de multiplicar fue considerado esencial, por parte de los profesores, en el aprendizaje de la multiplicación, y

• los profesores conocen materiales manipulativos para introducir y reforzar la multiplicación, pero parecieron no sentirse cómodos con su uso en las salas de clase.

Respecto a las respuestas de los profesores a la dimensión DifAprMul acerca de las dificultades que presentaron los alumnos en el aprendizaje de dicha operación, vemos entre otros aspectos que:

• Concibieron como una de las principales dificultades la falta de memorización de las tablas de multiplicar. No se plantearon las dificultades desde una perspectiva conceptual, sino procedimental.

Finalmente, respecto a las respuestas dadas por los profesores del estudio a la dimensión PerDoMa, la cual aborda cómo se sienten los profesores como docentes de matemáticas, se observa, entre otros, que:

• Buena parte de los profesores, concretamente 12 de los 17, se puntuaron con 7 (8 profesores) o 6 (4 profesores). Justificaron sus respuestas con argumentos como: “me encantan las matemáticas”, “considero que soy buena profesora”, o similares.

• La mayoría de los entrevistados eligieron la numeración como el contenido matemático que preferían enseñar (10 de 17); mientras que la geometría fue el contenido elegido en segundo lugar (5 de 17).

• Indicaron que para la enseñanza de la multiplicación les gustaba trabajar “con material concreto” aunque no especificaron a qué se referían exactamente.

• Respecto a sus puntos débiles sobre la enseñanza de la multiplicación son variados, pero principalmente tienen que ver con la falta de estrategias en un sentido didáctico.

5. REFLEXIONES FINALES

El instrumento elaborado ha permitido observar el potencial que implica tener una herramienta que permita explorar el conocimiento matemático-didáctico de los profesores de matemáticas de primaria sobre la enseñanza de la multiplicación. En el proceso ha sido imprescindible la revisión de la literatura existente sobre la enseñanza de la multiplicación. El juicio de expertos ha permitido ajustar y mejorar el instrumento de manera que recogiera convenientemente el objetivo planteado en este estudio en específico.

Las diversas etapas seguidas en el proceso determinaron el diseño y construcción del instrumento, consolidando teóricamente las dimensiones definitivas: (1) Concepción de la didáctica de la matemática; (2) Metodología para la enseñanza de la multiplicación; (3) Dificultades en el proceso de aprendizaje de la multiplicación y; (4) Percepción docente para la enseñanza de las matemáticas.

Asimismo, la primera aplicación del instrumento ha posibilitado observar su potencial para abordar el estudio que nos propusimos llevar a cabo, los datos obtenidos, aunque preliminares, mostraron las posibilidades del instrumento, permitiendo identificar las metodologías que siguen los profesores para enseñar la multiplicación o, la visión sobre las dificultades en el proceso de aprendizaje de la multiplicación de los profesores participantes.

Así, consideramos interesante destacar algunos de los resultados obtenidos en el contexto de nuestro estudio. Vemos que los profesores participantes muestran ideas preconcebidas acerca de lo que son las matemáticas y de cómo deben enseñarse, por ejemplo: tienen la idea que las matemáticas son una actividad individual, que parece depender casi en exclusiva del propio alumno y de su esfuerzo para aprenderse las tablas de multiplicar. Es interesante observar el papel principal que otorgan a las tablas de multiplicar y a su memorización, mientras que en ningún caso explican cómo representar la multiplicación de manera que sea conceptual y más fácil el proceso de memorización.

Por otro lado, consideramos interesante reflexionar sobre la visión de los profesores de este estudio acerca del uso de materiales didácticos en las clases de matemáticas. Vemos que a pesar de indicar que usan materiales didácticos en sus aulas, y en particular para la multiplicación, los profesores del estudio no explicitan el uso que hacen de dichos materiales. Asimismo, los profesores centran su uso en los alumnos que presentan barreras para la participación y el aprendizaje, se desconoce si debido a su propia experiencia como alumnos de matemáticas, a una visión de las matemáticas como una materia que debe abordarse desde el lápiz y el papel, o a una falta de estrategias para la enseñanza de la multiplicación más allá de la escritura matemática.

Para finalizar, señalar que el instrumento permite explorar la concepción de los docentes acerca de la didáctica de la matemática, de las metodologías para su enseñanza y de las dificultades para su aprendizaje; y, por ende, la visión de los docentes acerca de la enseñanza de las matemáticas. A partir de la exploración que nos ofrece el instrumento, consideramos interesante seguir con el estudio invitando a los profesores participantes a un grupo de discusión donde profundizar en los aspectos más relevantes obtenidos.

Se espera que el instrumento y la investigación que se presenta genere interés a partir de las respuestas de los profesores participantes, además de una oportunidad para la reflexión desde la formación inicial de los futuros profesores (estudiantes de pregrado) y de los profesores en ejercicio docente. En síntesis y dado que el instrumento fue diseñado pensando en su capacidad para el estudio de prácticas pedagógicas, se espera que se haya aportado para reflexionar en el desarrollo profesional docente de los profesores de matemáticas de educación básica.

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Notas de autor