INTRODUCCIÓN

Desde el inicio de la escolarización se introduce el pensamiento aditivo a los estudiantes mientras que el pensamiento multiplicativo se presenta en los últimos años de educación primaria (9-12 años). La transición del pensamiento aditivo al multiplicativo genera dificultades a los estudiantes (Harel y Confrey, 1994; Siemon et al., 2005; Verschaffel et al., 2007) y ha estimulado una extensa agenda de investigación en las últimas décadas, particularmente, sobre el papel del razonamiento proporcional en esta transición (Degrande et al., 2020; Fernández y Llinares, 2011, 2012; Jiang et al., 2017; Van Dooren et al., 2005; Van Dooren, et al., 2008; Van Dooren et al., 2010).

Una característica de la transición del pensamiento aditivo al multiplicativo es la dificultad de los estudiantes para diferenciar situaciones con estructura multiplicativa (en particular, situaciones proporcionales) de situaciones con estructura aditiva. Una manifestación de esta dificultad es el uso indiscriminado de estrategias aditivas en situaciones aditivas y proporcionales (Hart, 1988; Misailidou y Williams, 2003; Piskin Tunç, 2020; Tourniaire y Pulos, 1985) y, al mismo tiempo, el uso indiscriminado de estrategias proporcionales en situaciones proporcionales y aditivas. Las estrategias aditivas son entendidas como el cálculo de la diferencia entre las cantidades dadas y su empleo en el cálculo de la cantidad desconocida (Hart, 1988; Misalidou y Philippou, 2002; Tournaire y Pulos, 1985). Las estrategias proporcionales integran las diferentes estrategias usadas por los estudiantes en los problemas proporcionales, como el enfoque escalar, el enfoque funcional, la reducción a la unidad, las estrategias constructivas y regla de tres (Ben-Chaim et al., 1998; Freudenthal, 1999; Lamon, 1994; Lo y Watanabe, 1997; Tourniaire y Pulos, 1985). El uso indiscriminado de estrategias proporcionales en problemas proporcionales y no proporcionales es conocido en la literatura como “ilusión de la linealidad” (De Bock et al., 2007; Fernández y Llinares, 2011, 2012; Fernández et al., 2011, 2012; Van Dooren et al., 2005; Van Dooren et al., 2008).

Recientes estudios han identificado un fenómeno que se da a lo largo de la educación primaria (6-12 años) y secundaria (12-16 años): los estudiantes transitan desde un uso indiscriminado de estrategias aditivas a un uso indiscriminado de estrategias proporcionales independientemente de si la situación es aditiva o proporcional (Fernández y Llinares, 2012; Jiang et al., 2017; Van Dooren et al., 2010). En este fenómeno, los estudiantes dejan de usar las estrategias aditivas, que conducen a respuestas erróneas en los problemas proporcionales y, comienzan a usar estrategias proporcionales en estos problemas, pero también en problemas no proporcionales, como las situaciones aditivas (De Bock et al., 2007; Fernández y Llinares, 2012; Van Dooren et al., 2005).

Este fenómeno ha sido identificado en investigaciones con estudiantes de Bélgica, España y China usando instrumentos de recogida de datos similares (problemas proporcionales y aditivos en formato de valor ausente). Se han observado tendencias en común y diferentes. Van Dooren et al. (2010), en un estudio con estudiantes de 3º a 6º grado, en Bélgica, mostraron que la tendencia a usar estrategias aditivas tanto en problemas proporcionales y aditivos decrecía a lo largo de los grados casi desapareciendo en este último curso, mientras la tendencia a usar estrategias proporcionales tanto en problemas proporcionales como en no proporcionales aumentaba (el cruce de una tendencia a otra se daba entre 5º y 6º grado). Además, obtuvieron que el grupo de estudiantes que resolvían los problemas correctamente apenas aumentaba a lo largo de los cursos. Fernández y Llinares (2012), con estudiantes de educación primaria y secundaria en España, mostraron la misma tendencia que el estudio de Van Dooren et al. (2010). En este estudio se mostró que el uso de estrategias proporcionales en situaciones proporcionales y aditivas aumentaba de 4º a 10º grado y el uso de estrategias aditivas en problemas proporcionales y aditivos decrecía a lo largo de estos grados. En este estudio, el cruce de las tendencias se daba entre 8º y 9º grado. Estos autores argumentaron en su estudio que estas tendencias “podían ser una característica del desarrollo del razonamiento proporcional y que el hecho de que se dé antes o después podría venir explicado por el desarrollo del currículo” (p. 138). Entre 8º y 9º grado en España es cuando se introducía con más énfasis la aproximación algorítmica para resolver los problemas denominados de regla de tres. Por otro lado, Jiang et al. (2017) en una investigación con estudiantes de 4º a 8º grado en China, mostraron que también transitaron desde un uso abusivo de las estrategias aditivas a un uso abusivo de las estrategias proporcionales. El cruce de este uso abusivo se dio entre 5º y 6º grado al igual que con los estudiantes belgas. La explicación que dieron los autores fue que en el currículum de China el razonamiento proporcional aparece antes. Además, mostraron una tendencia diferente y es que a partir de 6º grado también comenzó a disminuir el uso de las estrategias proporcionales en los problemas aditivos, por lo que los estudiantes de los últimos grados que participaron en China resolvieron mejor los problemas que los estudiantes del estudio de España y Bélgica. Los autores explicaron este hecho por el “aprendizaje repetitivo del currículum de China” que podría mejorar las habilidades de resolución de problemas.

Además, estas investigaciones previas sobre el fenómeno han mostrado que el tipo de razón/relación multiplicativa (enteras o no enteras) influye en el uso de estrategias aditivas o proporcionales (Fernández y Llinares, 2011; Karplus et al., 1983; Piskin Tunç, 2020; Steinthorsdottir, 2006; Van Dooren et al., 2009). Así, se ha mostrado que, si las relaciones multiplicativas entre las cantidades son enteras (independientemente de si la situación es proporcional o aditiva), los estudiantes tienden a usar más las estrategias proporcionales. Si las relaciones multiplicativas entre las cantidades son no enteras, los estudiantes tienden a usar más las estrategias aditivas independientemente también de la situación (Fernández y Llinares, 2012; Jiang et al., 2017; Van Dooren et al., 2010).

Otra variable que parece influir en la resolución de problemas proporcionales es la naturaleza discreta o continua de las cantidades (Harel y Behr, 1989; Lo y Watanabe, 1997; Moss y Case, 1999), aunque no todos los resultados obtenidos en estudios previos apuntan en la misma dirección. Vanluydt et al. (2020) mostraron que los problemas proporcionales en los que las cantidades eran discretas eran más fáciles de resolver para estudiantes de 5 a 9 años que aquellos en los que las cantidades eran continuas. Tourniaire y Pulos (1985) también indicaron que los estudiantes pueden visualizar más fácilmente las situaciones proporcionales con cantidades discretas que con continuas ya que las primeras favorecen la resolución del problema mediante técnicas de agrupamiento. Sin embargo, otros estudios han mostrado que los estudiantes tienen mayor nivel de éxito en situaciones proporcionales con cantidades continuas (Begolli et al., 2020; Boyer et al., 2008; Hurst y Cordes, 2018; Jeong et al., 2007; Spinillo y Bryant, 1999). Por otra parte, Fernández et al. (2012) mostraron que los estudiantes usaron más las relaciones multiplicativas con cantidades discretas que con cantidades continuas independientemente del tipo de situación (proporcional o aditiva). Sin embargo, Jiang et al. (2017), con estudiantes de China y con el mismo instrumento que Fernández et al. (2012), no encontraron diferencias significativas en cuanto a la naturaleza de las cantidades.

Estos estudios han puesto de manifiesto que el fenómeno o tendencias identificadas pueden ser una característica del desarrollo del razonamiento proporcional, ya que se han mostrado presentes en diferentes investigaciones. Seguir explorando estas tendencias en contextos o países diferentes puede ser relevante para seguir obteniendo información sobre el desarrollo del razonamiento proporcional a lo largo de los grados. Por otro lado, destacamos que la influencia de la variable naturaleza de las cantidades en el uso de las estrategias aditivas y proporcionales en los problemas aditivos y proporcionales no está clara. Este hecho también subraya la necesidad de conducir más estudios para explorar esta variable. Finalmente, en el contexto de Ecuador, no se han encontrado investigaciones centradas en la resolución de problemas aditivos y proporcionales. Sin embargo, Ecuador participó en 2017 en el Programa para la Evaluación Internacional de Estudiantes para el Desarrollo (PISA-D) de la OCDE (Organización para la Cooperación y el Desarrollo Económicos) obteniendo resultados preocupantes para la competencia matemática.

Desde este contexto, realizar un estudio centrado en cómo estudiantes de Ecuador de 6º a 10º grados resuelven problemas proporcionales y aditivos es relevante por dos motivos: (I) seguir explorando cómo se desarrolla el razona-miento proporcional y obtener más información acerca de las tendencias y el efecto de variables y (II) para el contexto de Ecuador puede dar información relevante para el desarrollo de los currículums de Educación Básica Media y Educación Básica Superior y para el diseño de cursos de formación de profesores.

Objetivo y preguntas de investigación

El objetivo de investigación es explorar cómo los estudiantes de Ecuador de entre 11 y 16 años resuelven problemas proporcionales y aditivos de valor ausente, y cómo influyen las variables tipo de razón y naturaleza de las cantidades. Las preguntas de investigación son:

• ¿Qué estrategias (proporcionales o aditivas) usan los estudiantes al resol-ver problemas proporcionales de valor ausente y aditivos a lo largo de la Educación Básica Media (6º y 7º grado) y Superior (8º, 9º y 10º grado)?

• ¿Cómo influyen las variables tipo de razón y naturaleza de las cantidades en el uso de estas estrategias?

MÉTODO

Participantes

Fueron 360 estudiantes: 144 de Educación Básica Media (EBM, 11-13 años; 72 de 6º grado y 72 de 7º grado) y 216 de Educación Básica Superior (EBS, 13-16 años; 73 de 8º grado, 73 de 9º grado y 70 de 10º grado). Los de EBM provenían de centros municipales (centros administrados por los municipios) y los de EBS de centros de educación pública (centros en los que el Estado tiene total responsabilidad). Estos centros educativos están situados en la ciudad de Quito y las familias, cuyos hijos van a los centros participantes, son de clase media y baja.

Los contenidos de proporcionalidad forman parte del programa de Matemáticas que se imparte en los grados de 6º y 7º de la Educación General Básica Media y los grados de 8º a 10º de la Educación General Básica Superior y se recogen en el currículo de la Educación General Superior, Ley Orgánica de Educación Intercultural (LOEI), Acuerdo Ministerial Nro. MINEDUC-ME-2016-00020-A, establecido para todo el Sistema Nacional de Ecuador y, específica-mente, para la provincia de Pichincha, donde se recogió la información. Durante la EBM, en 6º grado, se desarrollan los contenidos de proporcionalidad directa, de fracciones y decimales, y porcentajes, y en 7º grado los contenidos de razones y proporciones, proporcionalidad directa e inversa, regla de tres compuesta, problemas sobre proporcionalidad directa e inversa, y repartos proporcionales directos. Durante la EBS, en 8º grado, se desarrollan los contenidos de proporcionalidad directa e inversa. En 9º grado se trabaja la proporcionalidad directa junto al estudio de las funciones lineales y afines, y ejemplos de aplicaciones. En 10º grado no se trabajan contenidos específicos sobre proporcionalidad, pero aparecen funciones lineales y afines.

Instrumento

Se usó el cuestionario diseñado por Fernández y Llinares (2011; 2012), que tenía el mismo objetivo que este estudio y consta de 12 problemas: ocho problemas experimentales (Tabla 1) y cuatro problemas distractores. De los ocho problemas experimentales, cuatro problemas son proporcionales (P) y cuatro problemas son aditivos (A). Estos problemas fueron adaptados al contexto de Ecuador, únicamente en cuanto al contexto utilizado (e.g., “montaña de los Andes”).

Los problemas experimentales tienen formato de valor ausente y se diferencian en una frase. En las situaciones proporcionales aparece la frase “Empezaron al mismo tiempo, pero XXX es más rápido/ más lento” y en las situaciones aditivas aparecía la frase “[una acción] a la misma velocidad, pero XXX empezó más tarde/ empezó antes”. Dos de los problemas proporcionales tienen cantidades discretas (D) (con razones internas y externas enteras, D-I, y con razones internas y externas no enteras, D-N) y los otros dos tienen cantidades continuas (C) (con razones internas y externas enteras, C-I, y con razones internas y externas no enteras, C-N). Dos de los problemas aditivos tienen cantidades discretas (D) (con relaciones internas y externas enteras, D-I, y con relaciones internas y externas no enteras, D-N) y los otros dos tienen cantidades continuas (C) (con relaciones internas y externas enteras, C-I, y con relaciones internas y externas no enteras, C-N).

Los problemas distractores son formulados de manera que se mantienen lo más parecido posible a los problemas experimentales, pero con una estructura diferente. Tal y como justifican Fernández y Llinares (2012), estos problemas se incorporan para evitar los efectos de aprendizaje y respuestas estereotipadas. Un ejemplo es: Julia y Álvaro están construyendo una torre cada uno con las piezas de Lego. Construyeron una torre de la misma longitud, pero Julia usó más bloques que Álvaro. Julia usó 4 veces el número de bloques de Álvaro. Si Álvaro usó 17 bloques, ¿cuántos bloques usó Julia? Este problema es de estructura multiplicativa de comparación creciente donde la incógnita es la cantidad comparada.

Las respuestas de los participantes a los ocho problemas experimentales son los datos que conforman esta investigación.

Tabla 1

Problemas experimentales del cuestionario

Los estudiantes resolvieron los problemas durante el transcurso de su clase diaria de matemáticas (45 minutos aproximadamente). Se tuvo el apoyo de las autoridades a quienes se les solicitó el respectivo permiso para aplicar este cuestionario. Fueron los propios profesores de matemáticas, de cada institución educativa, los que pasaron los cuestionarios tras haber recibido las indicaciones oportunas por parte de los investigadores y los consentimientos informados pertinentes.

Análisis

En primer lugar, identificamos si los estudiantes empleaban estrategias proporcionales (enfoque escalar, enfoque funcional, reducción a la unidad, estrategias constructivas o regla de tres), estrategias aditivas u otras estrategias incorrectas (sin sentido o en blanco). El uso de estrategias proporcionales es correcto en los problemas proporcionales, pero incorrecto en los problemas aditivos. El uso de las estrategias aditivas es correcto en los problemas aditivos pero incorrecto en los problemas proporcionales. La tabla 2 ejemplifica la identificación del uso de las diferentes estrategias en un problema proporcional y la tabla 3 en un problema aditivo.

Posteriormente, se realizaron tres modelos de regresión logística de medidas repetidas usando el software SPSS25, utilizando el método de estimación de ecuaciones generalizado (GEE). Las variables necesarias para el análisis de regresión logística de medidas repetidas fueron codificadas en los siguientes términos. La variable ‘uso de estrategias proporcionales’ fue codificada por ‘Prop’; la variable ‘uso de estrategias aditivas’ por ‘Add’ y la variable ‘otras estrategias incorrectas’ por ‘Otras’. De esta manera, el uso de una determinada estrategia en un problema fue codificado con un 1 y el no uso con el valor 0. Por ejemplo, si un estudiante usaba una estrategia aditiva en un problema, se codificada la variable ‘Add’ con un 1, y las variables ‘Prop’ y ‘Otras’ con un 0. El primer modelo predecía la variable dependiente uso de una estrategia proporcional (Prop) por medio de las variables independientes ‘grado’ (6º, 7º, 8º, 9º y 10º), ‘tipo de problema’ (proporcional o aditivo), ‘tipo de razón’ (entera o no entera) y ‘naturaleza de las cantidades’ (discreta o continua). Los otros dos modelos estadísticos de regresión logística predecían, análogamente, las variables dependientes uso de una estrategia aditiva (Add) y uso de otras estrategias incorrectas (Otras).

Tabla 2

Identificación del uso de las diferentes estrategias en los problemas proporcionales

Fuente: elaboración propia.

Tabla 3

Identificación del uso de las diferentes estrategias en los problemas aditivos

Fuente: elaboración propia.

RESULTADOS

Los resultados están organizados en tres subsecciones. En la primera, mostramos el uso de las estrategias aditivas y proporcionales en cada tipo de problema a lo largo de los grados. En la segunda, mostramos los resultados con relación a la influencia del tipo de razón/relación multiplicativa (entera o no entera) en el uso de las estrategias aditivas y proporcionales, y finalmente presentamos los resultados respecto a la influencia de la naturaleza de las cantidades (discreta o continua) en el uso de estas estrategias.

Uso de las estrategias aditivas y proporcionales por los estudiantes a lo largo de los grados

La figura 1 muestra el uso de las estrategias (proporcionales, aditivas y otras) en los problemas proporcionales. El análisis estadístico mostró un efecto significativo de la interacción ‘grado’ × ‘tipo de problema’ en el uso de las estrategias proporcionales, $X^2\left(4, N=360\right)=13.794$, p<0.001. Se observa un incremento significativo en el uso de las estrategias proporcionales desde 1.0% en 6º grado hasta 13.5% en 7º grado de EBM. Sin embargo, el uso de esta estrategia disminuyó significativamente hasta 8.2% en 10º grado de EBS, coincidiendo con la transición de la EBM a la EBS. Posteriormente, el porcentaje de uso de esta estrategia se mantiene constante durante la EBS no siendo significativas las diferencias entre 8º y 9º (8.9% vs. 6.8%) ni entre 9º y 10º (6.8% vs. 8.2%).

Figura 1
Problemas proporcionales: Uso de las estrategias proporcionales (Prop), aditivas (Add) y otras (Otras) a lo largo de los grados. Fuente: elaboración propia.

Respecto al uso de las estrategias aditivas incorrectas en los problemas proporcionales, el análisis estadístico mostró también un efecto significativo de la interacción ‘grado’ × ‘tipo de problema’ en el uso de las estrategias aditivas, $X^2\left(4, N=360\right)=13.735$, p=0.008. En este caso, hubo un aumento significativo entre 7º y 8º grado (53.1% vs. 62.3%), posteriormente disminuyó significativamente entre 8º y 9º grado (62.3% vs.33.6%), y aumentó entre 9º y 10º grado (33.6% vs. 46.8%) siendo esta diferencia también significativa.

Finalmente, el análisis estadístico también mostró un efecto significativo de la interacción ‘grado’ × ‘tipo de problema’ en el uso de otras estrategias incorrectas (sin sentido o en blanco), $X^2\left(4, N=360\right)=92.301$, p<0.001. Por tanto, la disminución entre 6º y 7º grado y entre 7º y 8º grado del uso de otras estrategias incorrectas fue significativa. Después hubo un aumento significativo de uso entre 8º y 9º grado y una disminución significativa de 9º a 10º grado. Es decir, la disminución del uso de las estrategias aditivas incorrecta en los problemas proporcionales en 9º grado se convirtió en un aumento de otras estrategias incorrectas, en lugar de en un uso de las estrategias proporcionales.

La figura 2 muestra el uso de las distintas estrategias (aditivas, proporciona-les y otras) en los problemas aditivos. Al igual que en los problemas proporcionales, el análisis estadístico también mostró un efecto significativo de la interacción ‘grado’ × ‘tipo de problema’ en el uso de las estrategias aditivas correctas, $X^2\left(4, N=360\right)=13.735$, p=0.001, en el uso de las estrategias proporcionales incorrectas, $X^2\left(4, N=360\right)=13.794$, p<0.001 y en el uso de otras estrategias incorrectas, $X^2\left(4, N=360\right)=92.301$, p<0.001. El uso de la estrategia aditiva aumentó de 6º a 8º grado (51.4% en 6º grado vs. 72.9% en 8º grado) siendo esta diferencia significativa. También fueron significativas la disminución de su uso de 8º a 9º grado (72.9% vs. 43.5%) y el aumento de 9º a 10º grado (56.4% en 10º grado). Además, el uso de las estrategias proporcionales (incorrectas en los problemas aditivos) aumentó de 2.1% en 6º grado a 11.5% en 7º grado (siendo esta diferencia significativa), mientras que disminuyó significativamente entre 7º y 8º grado (11.5% vs. 4.5%) y aumentó de 8º a 9º grado (8.9%), siendo esta diferencia también significativa.

Figura 2
Problemas aditivos: Uso de las estrategias aditivas (Add), proporcionales (Prop) y otras (Otras) a lo largo de los grados. Fuente: elaboración propia.

El uso de otras estrategias incorrectas (sin sentido y en blanco), en los problemas aditivos, disminuyó de 6º a 8º grado siendo esta diferencia significativa. Posteriormente, aumentó significativamente de 8º a 9º grado y, disminuyó de 9º a 10º. Es decir, en los problemas aditivos, el descenso en el uso de las estrategias aditivas de 8º a 9º grado se convirtió en un aumento de otras estrategias incorrectas.

En resumen, los resultados muestran un uso constante de las estrategias proporcionales, tanto en problemas proporcionales como aditivos (figuras 1 y 2), siendo su uso muy bajo en los problemas proporcionales al final de la EBS (figura 1). Por otro lado, se observa un aumento en el uso de las estrategias aditivas en los problemas aditivos desde 6º a 8º grado que coincide con un aumento del uso, incorrecto, de esta estrategia en los problemas proporcionales. Además, el uso de las estrategias aditivas disminuye de 8º a 9º grado, tanto en los problemas proporcionales como aditivos, sin embargo, esta disminución no viene acompañada de un aumento de la de las estrategias proporcionales, sino por el uso de otras estrategias incorrectas.

Influencia de la variable tipo de razón/relación multiplicativa (entera o no entera) en el uso de las estrategias

La tabla 4 muestra los porcentajes de uso de las estrategias proporcionales y aditivas en los problemas proporcionales con razones enteras y no enteras y en los problemas aditivos con relaciones multiplicativas enteras y no enteras. El análisis estadístico mostró que la variable ‘tipo de razón’ influye significativamente en el uso de las estrategias proporcionales $X^2\left(1, N=360\right)=105.649$, p<0.001) y en el uso de las estrategias aditivas $X^2\left(1, N=360\right)=930224$, p<0.001). Globalmente, los estudiantes usaron más las estrategias proporcionales con las razones/relaciones multiplicativas enteras (12.9%, I vs. 1.8%, N) siendo esta diferencia significativa y usaron más estrategias aditivas con las razones/relaciones multiplicativas no ente-ras (47.6%, I vs. 59.1%, N) siendo esta diferencia significativa.

Aunque el análisis estadístico no mostró un efecto significativo de la interacción ‘tipo de razón’ × ‘tipo de problema’ en el uso de las estrategias aditivas o proporcionales, se observa que los estudiantes, a lo largo de la EBM y EBS, usaron más las estrategias proporcionales en los problemas proporcionales con razones enteras que en los problemas proporcionales con razones no enteras (13.9%, P-I vs. 1.5%, P-N). En los problemas aditivos también usaron más las estrategias proporcionales (incorrecta) con relaciones multiplicativas enteras que con relaciones no enteras (11.9%, A-I vs. 2.0%, A-N).

Tabla 4

Porcentaje de uso de las estrategias proporcionales y aditivas en los problemas proporcionales (P) y problemas aditivos (A) con razones/relaciones multiplicativas enteras (I) y no enteras (N) 0

Fuente: elaboración propia.

Por otra parte, los estudiantes usaron más las estrategias aditivas en los problemas aditivos con relaciones multiplicativas entre las cantidades no enteras que en los aditivos con relaciones multiplicativas enteras (62.5%, A-N vs. 51.4%, A-I). También en los problemas proporcionales usaron más las estrategias aditivas cuando incluían razones no enteras que cuando incluían razones enteras (55.7%, P-N vs. 43.9%, P-I).

Estos datos indican que, con razones o relaciones multiplicativas enteras entre las cantidades, los estudiantes, independientemente de si el problema es aditivo o proporcional, tienden a usar estrategias proporcionales. Este comportamiento lleva al estudiante a proporcionar respuestas correctas en los problemas proporcionales, pero respuestas incorrectas en los problemas aditivos. Sin embargo, con razones o relaciones multiplicativas no enteras los estudiantes usan las estrategias aditivas en los problemas aditivos, de manera correcta, pero también en los problemas proporcionales, donde esta estrategia es incorrecta. Este comportamiento se dio en todos los grados de EBM y EBS.

Influencia de la variable naturaleza de las cantidades (discretas o continuas) en el uso de las estrategias

La tabla 5 muestra el porcentaje de uso de las relaciones multiplicativas y aditivas en los problemas proporcionales con cantidades continuas y discretas y en los problemas aditivos con cantidades continuas y discretas.

Tabla 5

Porcentaje de uso de las estrategias proporcionales y aditivas en los problemas proporcionales y aditivos con cantidades discretas (D) o continuas (C) a lo largo de los grados

Fuente: elaboración propia.

El análisis de regresión logística mostró que la interacción ‘tipo de problema’ × ‘naturaleza de las cantidades’ influía en el uso de las estrategias proporcionales ($X^2\left(1, N=360\right)=70.318$, p=0.001) y en el uso de las estrategias aditivas ($X^2\left(1, N=360\right)=45.487$, p=0.001). Los estudiantes usaron más las estrategias proporcionales en los problemas proporcionales con cantidades discretas que con cantidades continuas (10.6%, P-D vs. 4.9%, P-C), siendo esta diferencia significativa. Sin embargo, esta tendencia se invirtió en los problemas aditivos donde usaron más las estrategias proporcionales incorrectas en los problemas con cantidades continuas que con cantidades discretas (5.7%, A-D vs. 8.2%, A-C), siendo esta diferencia también significativa.

Por otra parte, los estudiantes usaron más las estrategias aditivas en los problemas aditivos con cantidades continuas que en los aditivos con cantidades discretas (60.0%, A-C vs. 53.9%, A-D), siendo esta diferencia significativa. Sin embargo, esta tendencia se invierte en los problemas proporcionales. Los estudiantes usaron más las estrategias aditivas incorrecta en los problemas proporcionales con cantidades discretas que en los proporcionales con cantidades continuas (55.5%, P-D vs. 44.6%, P-C), siendo esta diferencia significativa.

DISCUSIÓN Y CONCLUSIONES

El objetivo de este estudio es explorar cómo estudiantes de Ecuador de EBM y EBS resuelven problemas proporcionales y aditivos de valor ausente y cómo influyen las variables tipo de razón (razones/relaciones multiplicativas enteras) y naturaleza de las cantidades (discretas/continuas).

Nuestros resultados señalan que, en los problemas proporcionales, hubo un incremento en el uso de las estrategias proporcionales (correcta en estos problemas) de 6º a 7º grado (11-12 años). Sin embargo, su uso disminuyó ligeramente y permaneció constante (aproximadamente 10%) a lo largo de la EBS (8º a 10º grado; 13-15 años). Estos resultados difieren de los obtenidos en estudios anteriores donde el uso de las estrategias proporcionales en problemas proporcionales era superior, y aumentaba progresivamente desde 6º a 10º grado. En el estudio de Fernández et al. (2012), con estudiantes de España, el uso de estrategias proporcionales en 10º grado (15-16 años) fue de más del 70% y en Jiang et al. (2017), con estudiantes de China en 8º grado (13-14 años) fue del 60%.

El uso de estrategia aditiva incorrecta en los problemas proporcionales también aumentó de 6º a 8º grado y disminuyó de 8º a 9º Sin embargo, esta disminución no comportó un aumento del uso de las estrategias proporcionales sino un aumento de otras estrategias incorrectas. Este resultado parece indicar que cuando los estudiantes dejan de usar las estrategias aditivas en situaciones proporcionales, no tienen estrategias o procedimientos que les permitan resolver los problemas proporcionales. Este resultado podría estar vinculado con la distribución curricular de los contenidos de proporcionalidad durante la EBM y EBS en Ecuador pues, a partir de 8º grado, los contenidos como razón, proporción, problemas de proporcionalidad directa e inversa no aparecen en el currículum. Sin embargo, los estudiantes parecen seguir teniendo muchas dificultades con estos contenidos, ya que únicamente alrededor de un 10% de los estudiantes de 10º grado usaron estrategias proporcionales en los problemas proporcionales.

En los problemas aditivos, el uso de la estrategia aditiva (correcta en estos problemas) aumentó de 6º a 8º. Sin embargo, de 8º a 9º disminuyó su uso y aumentó el uso de otras estrategias incorrectas. Es decir, la disminución del uso de las estrategias aditivas no se corresponde con el aumento del uso de estrategias proporcionales incorrectas (permanecen constantes a lo largo de los grados) sino con un aumento de otras estrategias incorrectas. Este resultado es relevante pues difiere de los obtenidos en estudios previos donde, en los problemas aditivos, se transitaba desde el uso correcto de las estrategias aditivas al uso incorrecto de estrategias proporcionales (Fernández et al., 2012; Jiang et al., 2017; Van Dooren et al., 2009, 2010).

Estos resultados muestran que el fenómeno, desde un uso indiscriminado de las estrategias aditivas a un uso indiscriminado de estrategias proporcionales, observado en Bélgica, España y China, no se identifica en el contexto de Ecuador. Los estudiantes de esta investigación hicieron un uso indiscriminado de las estrategias aditivas en los primeros grados, pero no transitan a un uso indiscriminado de las estrategias proporcionales. Aunque somos conscientes de que los datos de esta investigación no permiten conocer el porqué, una posible explicación de esta diferencia puede ser que el currículum de Ecuador no tiene tanta presencia del algoritmo de la regla de tres. En los estudios de Fernández y Llinares (2012), y Jiang et al. (2017), aunque este cambio se producía en diferentes grados, coincidía con el momento en el que se introducen de manera más sistemática la aproximación algorítmica para resolver los problemas denominados “de regla de tres”.

Con respecto a la influencia de la variable tipo de razón (presencia de razones/relaciones multiplicativas enteras), el análisis mostró que, globalmente, las razones/relaciones multiplicativas enteras inducían a los estudiantes, tanto de EBM como EBS, al uso de estrategias proporcionales y las razones/relaciones multiplicativas no enteras inducían a los estudiantes al uso de estrategias aditivas. En los problemas proporcionales de valor ausente, los estudiantes tienen que construir una unidad de referencia (primera razón) y calcular el dato que falta en la situación en términos de esta unidad (segunda razón). Con razones no enteras, los estudiantes tienen dificultades para descubrir un múltiplo entero en la primera razón (e.g, doble, triple, …) que les ayude a encontrar la segunda razón, provocando el uso de estrategias aditivas y, por tanto, mayor éxito en los problemas proporcionales con razones enteras que con razones no enteras. Estos resultados concuerdan con los obtenidos en investigaciones previas para problemas proporcionales: los estudiantes tuvieron mayor éxito con razones enteras que con razones no enteras (Cramer et al., 1993; Jiang et al., 2017; Steinthorsdottir, 2006; Van Dooren et al., 2009). También apoyan los obtenidos con respecto al éxito en los problemas aditivos: los estudiantes tuvieron más éxito en los problemas aditivos con relaciones multiplicativas no enteras que con relaciones enteras (Fernández et al., 2012; Jiang et al., 2017; Van Dooren et al., 2009).

Implicaciones para la enseñanza

Nuestros resultados tienen implicaciones en el currículum y en la enseñanza de la proporcionalidad en el contexto de Ecuador. Que los estudiantes, a lo largo de la EBM y EBS, transiten al uso de otras estrategias incorrectas al dejar de usar indiscriminadamente las estrategias aditivas parece indicar que: (I) inicialmente, entre los grados 6º a 8º los estudiantes no diferencian las situaciones proporcionales de las aditivas, ya que usan las estrategias aditivas en ambas situaciones y, (II) cuando parece que consiguen diferenciarlas (al no usar estrategias aditivas en las situaciones proporcionales) no disponen de estrategias para resolver los problemas proporcionales.

Para apoyar la diferenciación de las situaciones, la instrucción debería focalizarse en la identificación de las relaciones entre las cantidades (aditivas o multiplicativas). El currículum debería presentar situaciones proporcionales y no proporcionales y generar oportunidades a los estudiantes para diferenciarlas centrándose en la estructura matemática del problema, es decir, en las relaciones entre las cantidades (Kaput y West, 1994). Usar situaciones reales puede ayudar a identificar y reconocer las relaciones multiplicativas y así diferenciar las situaciones proporcionales de las aditivas. En este sentido, el uso desde la EBM (cuando se introducen los conceptos de razón y proporción) de tablas de números proporcionales y no proporcionales en contextos reales puede apoyar la comprensión de los estudiantes del comportamiento de las relaciones entre las cantidades (Lamon, 1999; Singer et al., 1997). Además, el uso de tablas de números proporcionales podría ayudar a la generación de aproximaciones constructivas para resolver los problemas proporcionales.

Por otra parte, la influencia mostrada de las variables tipo de razón y naturaleza de las cantidades parece mostrar que los estudiantes aplican procedimientos que, al menos parcialmente, se basan en asociaciones superficiales (como, por ejemplo, tener cantidades discretas o tener razones enteras) sin tener en cuenta la estructura matemática del problema. Esto pone de manifiesto la necesidad de usar diferentes tipos de razones (enteras y no enteras) al introducir la idea de razón. Además, es necesario utilizar problemas con cantidades continuas y discretas. Utilizar problemas proporcionales con cantidades discretas en los que la solución sea no entera (problemas no utilizados en nuestra investigación) puede ser interesante para la discusión en clase de por qué su solución o algunos de los pasos intermedios no tienen significado en la vida real. Para discutir estos ejemplos, los estudiantes necesitarían desarrollar un entendimiento más abstracto de las relaciones multiplicativas con las que están tratando.

AGRADECIMIENTOS

Esta investigación se ha realizado dentro del proyecto PROMETEO/2017/135 subvencionado por la Conselleria d’Ecucació, Investigació, Cultura i Esport (Gene-ralitat Valenciana, España).

REFERENCIAS

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