Valoración de la historia de las matemáticas por estudiantes de bachillerato: el método general de resolución de ecuaciones de Vieta

Opinions about the history of mathematics by high school students: Vieta’s general method of solving equations

Jacinto Ruiz-Catalán jacinruiz@hotmail.com

Universidad de Córdoba, Spain

María José Madrid mjmadridma@upsa.es

Universidad Pontificia de Salamanca, Spain

Alexander Maz-Machado ma1mamaa@uco.es

Universidad de Córdoba, Spain

Desde mediados del siglo XIX comienza a surgir cierto interés en la aplicación de la historia de las matemáticas a la educación matemática (Maz-Machado, 2019). Un siglo más tarde (en concreto en 1976) se creó el grupo International Study Group on the Relations between History and Pedagogy of Mathematics (HPM), afiliado a la International Commission on Mathematical Instruction (ICMI), con la idea de promover avances en el área de la historia de las matemáticas y su aplicación en contextos educativos (Clark et al., 2016). Desde entonces, distintos autores han planteado estudios en el área de la historia de las matemáticas y sus aplicaciones en educación, teniendo como referentes, entre otros, el trabajo de Fauvel y Barbin (1990) titulado History in the Mathematics Classroom: The IREM papers.

Nuestro problema de investigación se fundamenta en estas indagaciones previas, pues hemos aplicado la historia de las matemáticas en un aula actual. Más concretamente, hemos implementado en el aula de matemáticas de prime-ro de bachillerato una experiencia basada en un método general de resolución de ecuaciones polinómicas difundido en Europa por Vieta en el siglo XVII y que se ampara en la expansión binomial como base para ir estimando los sucesivos dígitos de la solución de la ecuación (Rashed, 1994).

A lo largo de la experiencia, se pretendió dar a conocer el origen y evolución histórica de un método que buscaba generalizar la resolución de ecuaciones polinómicas, en paralelo a los intentos de buscar fórmulas para la resolución de las ecuaciones cúbicas, de cuarto grado, etc. por parte de otros matemáticos como Tartaglia o Ferrari. Este método general de resolución de ecuaciones histórico permite ampliar el repertorio de ecuaciones que pueden resolver los estudiantes de primer curso de bachillerato y los prepara para abordar en el futuro métodos más modernos y que se utilizan en la actualidad, como el de New-ton-Raphson, que es una evolución del método general.

Tras la realización de esta actividad de enseñanza-aprendizaje, se pidió al alumnado de matemáticas de bachillerato que reflexionara sobre distintos aspectos relativos a la inclusión de historia de las matemáticas en su aprendizaje; el objetivo de este trabajo es precisamente analizar la valoración y las opiniones que estos estudiantes realizaron.

Son varios los estudios en los que se ha utilizado la historia de las matemáticas en el aula, por ejemplo, los de: Bruckheimer et al. (1995), Van Maanen (1997), Jahnke y Habdank-Eichelsbacher (1999), Jahnke et al. (2006), Panagiotou (2011), Barnett et al. (2012), Jankvist (2013) y De Vittori (2022), Guillemette (2023), Menezes y Costa (2023) o Sánchez (2023), entre otros.

De manera particular en el área de álgebra, hay también variedad de trabajos en los que se emplea la historia de las matemáticas como recurso didáctico (Michel-Pajus, 2012; Goktepe y Ozdemir, 2013; Delgado y Butto, 2015; Yanjun y Ping, 2016; Fülöp, 2020; Chorlay, 2022).

En nuestro estudio nos basamos en el método general de resolución de ecuaciones de Vieta que es la evolución del propuesto en la antigüedad para calcular raíces, conocido por los chinos al menos mil años antes de Cristo (Rashed, 1994). Nordgaard (1922) afirma que este método de cálculo de raíces fue rescatado por Bhaskara en el siglo XII y popularizado en Europa en el siglo XVII a través de obras como la Arithmétique de Barrene (Núñez y Servat, 1988).

Según se creía hasta mediados del siglo XIX, había sido Vieta quien adaptó el método de cálculo de raíces como método general de resolución de ecuaciones (polinómicas). Pero Rashed (1994) afirma que en 1874 Hankel encontró indicios del uso de un método similar en el matemático árabe al-Kāshī (1380-1429), y el propio Rashed (1994) encontró un método similar al empleado por Vieta en un texto del matemático persa al-Tūsī (1135-1213).

Lo que sí está claro es que el difusor por occidente del método fue Vieta que en su libro De numerosa potestatum ad exegesim resolutione (Viète, 1600), desarrolla brevemente, en unas 70 páginas, el método general de resolución de ecuaciones. En este desarrollo, el lenguaje utilizado es retórico y se ayuda de tablas para situar las operaciones intermedias, aunque la ausencia de símbolos hace que no sea sencillo de entender.

Entre los españoles que durante el siglo XVII lo publicaron en sus libros se encuentra el valenciano José Zaragoza, que expone en Arithmetica Universal (Zaragoza, 1669) una versión del método general de resolución de ecuaciones, similar al de Vieta, pero con una configuración de las operaciones un tanto diferente y con un uso mayor de símbolos. Además, se ayuda de tablas para contener las operaciones necesarias para calcular tanto los divisores como los sustractores (restadores) (Ruiz-Catalán et al., 2024).

Algo a tener en cuenta es que este método de resolución solo se emplea para obtener soluciones positivas de las ecuaciones, ya que para Zaragoza (y para la mayoría de los matemáticos de la época) las únicas soluciones posibles son las positivas (no contemplando ni cero ni negativas).

Las tablas que utiliza para ir conteniendo las operaciones intermedias del método de resolución son una manera más didáctica para la enseñanza que otras configuraciones, y por eso nos hemos decantado por utilizarlas en nuestra experiencia en el aula. Un ejemplo del uso de las tablas es el de la figura 1.

Figura 1
Tablas para divisores y restadores (Zaragoza, 1669, p. 209)

Diversos autores se han planteado en las últimas décadas preguntas como: ¿Por qué es importante introducir la historia de las matemáticas en la enseñanza de las mismas? ¿Qué funciones tiene la historia de las matemáticas en la educación matemática? ¿Qué beneficios puede proporcionar a la enseñanza de las matemáticas? ¿Cómo encajar la historia de las matemáticas en el currículo?

Para Barbin (1997), la historia de las matemáticas puede tener tres funciones en la educación matemática: Vicariante, Dépaysante y Culturelle. La primera se refiere a que debe ser correctora, haciéndonos ver que las matemáticas no deben ser una colección de recetas sino algo que evoluciona y se perfecciona con el tiempo. Es decir, se trata de una actividad y no un conocimiento cerrado y está-tico. La segunda considera la historia de las matemáticas como una actividad que debe ser sorpresiva, que incite a la curiosidad de saber cómo se hacían antes las cosas y por qué se hacen ahora como se hacen. La tercera debe aportar un conocimiento histórico y contextual de la época de que se trate, complementando la cultura que se tenga acerca de otras áreas de la historia.

El encaje curricular es otro aspecto que hay que tener en cuenta. En ese sentido, Rico (1997) hace un análisis sobre las decisiones que se deben tomar con carácter general a la hora de establecer el currículo. Esas decisiones se concretan mediante diferentes criterios, entre los que podemos citar: criterios para seleccionar, secuenciar y organizar los contenidos, criterios para el trabajo en el aula y criterios para evaluar el aprendizaje y el tratamiento de errores.

Jankvist (2010) considera que hay dos tipos de argumentos a favor de usar la historia en la educación matemática: los que se refieren a la historia como una herramienta para ayudar al aprendizaje y los que consideran el conocimiento de la historia de las matemáticas como una meta en sí misma. Este autor ha llevado a cabo diversos estudios y experiencias en el aula llevando la historia de las matemáticas a la misma. Por ejemplo, a estudiantes de entre 17 y 18 años les enseñó el origen y evolución de los códigos binarios de Hamming o criptografía de clave pública (Jankvist, 2009, 2010).

Otros autores destacan los beneficios de la inclusión de la historia de las matemáticas en el aula, por ejemplo, Maz-Machado (1999) indica que:

• Ayuda e incrementa la motivación para el aprendizaje.

• Muestra el aspecto humano de las matemáticas.

• Cambia en los estudiantes su percepción de las matemáticas.

• Ayuda al desarrollo de un acercamiento multicultural.

• Provee la posibilidad de un trabajo interdisciplinario con otros maestros.

• El desarrollo histórico ayuda a ordenar la presentación de los tópicos en el currículo.

• Indica cómo los conceptos fueron desarrollándose, ayudando esto a su comprensión.

Para González Urbaneja (2004), la inclusión de la historia de las matemáticas en el aula aporta también beneficios al profesor. Por ejemplo, considera que las dificultades que los matemáticos han encontrado a lo largo de la historia a la hora de obtener los resultados que conocemos y admitimos en la actualidad no están muy alejadas de las dificultades que tendrán que afrontar los estudiantes para obtener esos mismos resultados, y el profesor puede utilizar este conocimiento para mejorar el proceso de enseñanza-aprendizaje de sus estudiantes.

Dentro del modelo conocido como “Conocimiento matemático de la enseñanza” (MKT) (Ball et al., 2008), estudios como el de Mosvold et al. (2014) analizaron cómo el conocimiento matemático de la enseñanza puede beneficiarse del estudio de la historia de las matemáticas.

Alpaslan et al. (2014) llevaron a cabo un estudio con 1 593 futuros profeso-res de matemáticas acerca de su conocimiento sobre historia de las matemáticas y sus actitudes y creencias hacia su uso en educación. Los resultados indican que el conocimiento es moderado y mejora conforme avanza la formación del docente. En cuanto a las actitudes y creencias, los datos indican que son aspectos en los que la valoración es alta.

León-Mantero et al. (2021) analizan las concepciones de un total de 56 profesores y futuros profesores de matemáticas acerca de la utilidad de la historia de las matemáticas para el alumnado. Concluyen que los participantes valoran la utilidad de la inclusión de la historia de las matemáticas en el aula, pero también manifiestan la necesaria preparación previa del profesorado y la dedicación extra que añade a la ya necesaria habitualmente. Asimismo, los participantes indican que el alumnado suele mostrar más interés si se usan TICS o juegos que si se utiliza la historia de las matemáticas.

En otro estudio, Madrid et al. (2021) analizan comparativamente las opiniones de los futuros profesores de educación primaria, secundaria y bachillerato tras la realización de una actividad relacionada con dos métodos de multiplicación históricos o inusuales. El resultado obtenido es que en general los futuros maestros y profesores desconocían esos métodos diferentes de multiplicación y valoran las diferencias observadas entre ellos y los que ya conocían. El estudio matiza que hay algunas diferencias en el grado de desconocimiento, principal-mente dependiendo del nivel de formación del participante.

Como vemos, la inclusión de la historia de las matemáticas en el aula también presenta sus dificultades, como por ejemplo las señaladas por Maza (1994), detectadas también por León-Mantero et al. (2021) o Madrid et al. (2021), que son la falta de preparación del profesorado en el área de la historia de las matemáticas, o el considerar las matemáticas como un saber independiente de los factores históricos.

Santillán (2011) también detecta la poca preparación previa tanto del profe-sor como del alumnado a la hora de abordar nuevos (o antiguos en realidad) paradigmas epistemológicos, o la falta de material de trabajo ya que los libros de matemáticas actuales no suelen tener problemas históricos y los libros históricos plantean problemas muy alejados de la realidad actual.

Madrid et al. (2018) hacen un estudio sobre la presencia de la historia de las matemáticas en libros de texto españoles de primero y segundo curso de Educación Secundaria, constatando la escasa relevancia que se le da, y apareciendo de forma breve y muy a menudo como algo complementario o en la mayoría de los casos como ejercicios cuyo objeto es la búsqueda de información.

En definitiva, consideramos que la realización de esta actividad ha sido beneficiosa para el alumnado teniendo en cuenta entre otros los aspectos indicados por Barbin (1997), ya que es una actividad que les va a permitir percibir

la evolución de un concepto matemático y les va a aportar conocimiento del contexto histórico y matemático de una época o según lo señalado por Jankvist (2010), en la actividad se usará la historia de las matemáticas como herramienta para conocer un nuevo método de resolución de ecuaciones y como meta para conocer la evolución histórica de un concepto matemático.

Se ha llevado a cabo una investigación cualitativa, utilizando la exploración y la descripción para analizar aspectos relacionados con los conocimientos sobre resolución de ecuaciones adquiridos por el alumnado y con la valoración que los estudiantes le dan a la historia de las matemáticas tras la experiencia en el aula. Para ello, se ha utilizado como instrumento un cuestionario que fue completado por el alumnado.

4.3 Experiencia realizada

Hemos confeccionado una situación de tipo epistémico en la que las actividades desarrolladas con el alumnado tuvieron una duración de 6 horas en el primer trimestre del curso 2022-2023. Las fases que hemos seguido a lo largo de nuestra experiencia han sido:

1. 1. Primera: explicación y contextualización del método general de resolución de ecuaciones con la configuración de José Zaragoza.
2. 2. Segunda: realización de diversas actividades conducentes a comprender el algoritmo y el lenguaje utilizado.
3. 3. Tercera: revisión de lo aprendido por el alumnado.
4. 4. Cuarta: análisis de los resultados.

La primera fase ha discurrido durante una sesión de una hora en la que hemos presentado al alumnado algunas ecuaciones de tercer grado en las que la aplicación de la regla de Ruffini era inviable (ya sea porque habría que probar con muchos números para encontrar los correctos o porque las soluciones no son enteras). De esta forma, les hemos hecho percatarse de que no todas las ecuaciones de tercer grado pueden resolverlas con los conocimientos de los que disponen y por eso la utilidad de aprender un método que sí les permita resolver dichas ecuaciones.

Tras esta situación preparatoria motivacional, les hemos explicado, usando como recursos didácticos una presentación de Powerpoint y un video obtenido en la web (Muller, 2021), considerando que esto puede ser positivo para el proceso de aprendizaje del alumnado, cómo los matemáticos de la historia fueron aprendiendo a resolver las ecuaciones, centrándonos finalmente en el método general de resolución de ecuaciones de Vieta con la configuración de José Zaragoza. Además, les hemos suministrado material adicional de consulta más completo para que lo puedan consultar posteriormente de forma individual.

En concreto, para explicar el método se comenzó resolviendo una ecuación sencilla como ejemplo. Sea la ecuación $x^3-2x^2+3x=93242$.

El método general comienza separando en grupos de dígitos el término independiente de la ecuación. Los grupos constan de tantos dígitos como grado de la ecuación, comenzando por la derecha.

$93.242$

Al haber dos grupos, la solución tendrá dos dígitos, y será de la forma $10A+B$, donde A es el dígito más significativo (el de las decenas) y B el menos significativo (el de las unidades).

Para estimar el dígito más significativo se calcula la raíz cúbica (porque se trata de una ecuación de tercer grado) del grupo más a la izquierda, es decir $\sqrt[3]{93}$, tomando su valor entero por defecto. Por lo tanto, estimamos que el primer dígito es 4.

Como la solución de la ecuación debe ser de la forma $10A+B$, entonces:

$(10A+B{)}^3-2\bullet (10A+B{)}^2+3\bullet \left(10A+B\right)=93242$

Si desarrollamos los binomios:

$(10A+B{)}^3={10}^3{A}^3+3\bullet {10}^2{A}^{2}B+3\bullet 10A{B}^2+B^3$

$2\bullet (10A+B{)}^2=2\bullet {10}^2{A}^2+2\bullet 2\bullet 10AB+2B^2$

$3\bullet \left(10A+B\right)=3\bullet 10A+3B$

El primer sustractor (también llamado restador) son los términos que solo contienen al primer dígito (ya estimado), y se lo restamos al término independiente, obteniendo el primer residuo.

$R_1=93242-{10}^3{A}^3+2\bullet {10}^2{A}^2-3\bullet 10A=93242-64000+3200-120=32322$

Ahora, para estimar los sucesivos dígitos (en este caso solo queda uno), José Zaragoza utiliza como divisor para la estimación alguno o todos los términos que quedan en el desarrollo de los binomios. El tomar pocos términos para la estimación facilita los cálculos, pero puede provocar una sobrestimación de los dígitos, con el consiguiente recálculo a la baja. Si se utilizan muchos términos, hay una carga alta de cálculos, pero una mayor precisión, evitando en muchos casos los recálculos.

$D_1=3\bullet {10}^2{A}^{2}B+3\bullet 10A{B}^2-2\bullet 2\bullet 10AB-2B^2+3B\left\{desestimando B\right\}\to D_1$

$=3\bullet {10}^2\bullet 4^2+3\bullet 10\bullet 4-2\bullet 2\bullet 10\bullet 4-2+3$

$=4800+120-160-2+3=4761$

Estimamos 𝐵 como la parte entera del cociente $\frac{R_1}{D_1}=\frac{32322}{4761}=\mathrm{6,7889}\dots \dots$. Es decir 𝐵 = 6

Ahora confeccionamos el restador o sustractor $S_1=3\bullet {10}^2{A}^{2}B+3\bullet 10A{B}^2+B^3-2\bullet 2\bullet 10AB-2B^2+3B=28800+4320+216-960-72+18=32322$

Y, por último, el siguiente residuo.

$R_2=R_1-S_1=32322-32322=0$

Y como la solución tiene dos dígitos, que ya hemos calculado, y el residuo es 0, esto quiere decir que la solución es $10A+B=10\bullet 4+6=46$ y es exacta.

Como podemos apreciar, la cantidad de cálculos a realizar es grande y por tanto tener una buena organización de las operaciones y los resultados es algo que puede evitar errores y facilitar la comprensión del procedimiento.

La configuración que aporta José Zaragoza nos parece adecuada para facilitar este proceso de enseñanza-aprendizaje ya que se ayuda de tablas en las que aparecen identificados los términos a calcular y operar. Además, las tablas contienen compartimentados las operaciones y resultados necesarios. En la figura 2 aparecen las tablas que hemos utilizado, basadas en las empleadas por José Zaragoza, y que han resultado muy útiles para el proceso de enseñanza-aprendizaje.

Figura 2
Tablas para contener operaciones y resultados intermedios.

La segunda fase la hemos desarrollado a lo largo de cuatro sesiones de una hora cada una. En las dos primeras sesiones se les ha enseñado a calcular raíces con el método y en las otras dos a resolver ecuaciones. El alumnado ha trabajado de forma individual pero las cuestiones que han ido surgiendo se han resuelto de manera colectiva.

4.5 Análisis de los datos

La última fase ha sido de trabajo posterior de los investigadores, analizando cualitativamente los cuestionarios contestados por el alumnado a través de la revisión de los distintos acercamientos metodológicos que aplicaron, obteniendo como resultado una información que nos servirá para mejorar el proceso de enseñanza-aprendizaje. Se tabularon las respuestas en Microsoft Excel para agruparlas, cuando fue posible, en conjuntos de respuestas similares y se utilizó para su análisis programa informático ATLAS.ti (2022). En la figura 3 se puede ver una pantalla del programa informático en la que aparece la CNE5 categorizada.

Figura 3
Categorización de la CNE5 con el programa informático ATLAS.ti (2022).

Las primeras cuatro cuestiones no evaluables (CNE) planteadas al alumnado (CNE1 a CNE4) han sido sobre qué métodos utilizarían para resolver distintos tipos de ecuaciones, el objetivo buscado era que el alumnado pudiera valorar la utilidad del método histórico aplicado previamente. Los resultados señalan que los estudiantes mayoritariamente han indicado los métodos adecuados para la resolución, teniendo en cuenta que una de las ecuaciones era aconsejable resolverla con el método aprendido de Vieta.

Todos los estudiantes han indicado correctamente que para resolver la ecuación planteada en la CNE1 era necesario emplear la muy conocida fórmula para la resolución de ecuaciones de segundo grado. Ocho de dichos estudiantes han escrito además la fórmula, aunque uno de ellos se ha equivocado en un signo.

La CNE2 también ha sido contestada correctamente por todo el alumnado. Se trataba de una ecuación cúbica en la que era aplicable el método de Ruffini, y todos han indicado el nombre correctamente.

La CNE3 preguntaba por una ecuación en la que no era viable aplicar Ruffini ya que habría que probar con infinidad de números, por lo que era necesario aplicar el método de Vieta (tabla 1).

Tabla 1
Respuestas dadas a la CNE3

Los dos que han puesto Ruffini es posible que no hayan recordado lo que se les explicó en la primera sesión y los otros dos que han puesto Tartaglia quizá habrán confundido los nombres porque se usa el triángulo de Tartaglia para obtener los coeficientes del desarrollo binomial. Los 18 estudiantes que han indicado el método general han valorado las posibilidades de un método histórico para resolver ecuaciones polinómicas en la actualidad.

Para resolver la ecuación planteada en la CNE4 era preciso saber resolver ecuaciones exponenciales. Las ecuaciones exponenciales, aunque se estudian en 4.º curso de la ESO y luego en 1.º de Bachillerato de Ciencias y Tecnología, no se abordan con mucha profundidad ya que suponen algunas dificultades y por tanto se hace más hincapié en que los estudiantes sepan resolver las ecuaciones polinómicas. Quizás por eso la respuesta a esta cuestión haya sido tan errónea. Las respuestas dadas por el alumnado son las de la tabla 2.

Tabla 2
Respuestas dadas a la CNE4

En la cuestión CNE5 se les ha preguntado qué les ha parecido más complicado del método de resolución. Algunas respuestas destacadas son:

Estudiante A5: Un poco de todo, calcular la A, los puntos, y en Google no hay información para buscar este método, ni en Youtube.

Estudiante A21: La recolocación del nº y el orden imprescindible que hay que seguir.

Las respuestas dadas por el alumnado son muy variadas, pero se han organizado en categorías y subcategorías. Las respuestas dadas son las que figuran en la tabla 3. Podemos apreciar que solo 22% (cinco estudiantes) del alumnado considera el método sencillo, un estudiante no contesta y, el resto, 73% (16 estudiantes) considera el método con complicaciones (55%) o complicado en general (18%).

Tabla 3
Respuestas categorizadas de la CNE5

La CNE6 es una cuestión más abierta y relacionada con aspectos más emocionales. Se les ha planteado la valoración de la capacidad de los matemáticos de la época de Vieta y Zaragoza para resolver ecuaciones con los conocimientos de que disponían. Algunas de las respuestas han sido las siguientes:

Estudiante A3: Su capacidad está infravalorada, cualquier persona hoy en día cursando 2º de ESO sabe más que ellos, por tanto debemos darle la importancia que se merece el intentar averiguar sobre métodos con los medios y conocimientos disponibles en aquel entonces.

Estudiante A7: Tenían capacidad elevada ya que con los conocimientos de la época disponibles debían ser muy inteligentes y aplicados.

Todos los estudiantes valoran positivamente la alta capacidad o ingenio de los matemáticos de la época. Destacan las palabras relacionadas con la “ingeniosidad”, “mérito”, “capacidad elevada”, “habilidosos”. Las respuestas dadas por la mayoría de los estudiantes tienen que ver con la capacidad tan alta que tenían los matemáticos de esa época teniendo en cuenta la falta de tecnologías y me-dios de que disponemos actualmente (figura 4). En todas las sesiones, el profesor responsable de enseñarles el método histórico ha intentado poner en valor a los matemáticos de la antigüedad y quizás eso ha calado en el alumnado.

Figura 4
Nube de palabras de la CNE6.

La CNE7 ha versado sobre si encuentran útil conocer aspectos de historia de las matemáticas para entender las matemáticas actuales. Algunas respuestas han sido las siguientes:

Estudiante A7: Sí, porque si se estudia el pasado luego te es más fácil reconocer cómo han ido evolucionando los métodos hasta los actuales, si se estudiase los pasos desde inicio hasta el final sería más fácil comprender los métodos.

Estudiante A6: “Somos lo que somos por lo que hemos sido”. Es una frase que se podría emplear en todas las materias, pero concretamente en la historia, entrando así la historia de las matemáticas. Si realmente algo nos gusta, debemos interesarnos en saber su origen.

Estudiante A22: Más que útil diría interesante, ya que realmente la forma de resolver las matemáticas es más práctico y sencillo que los antiguos métodos.

En la siguiente tabla aparecen las respuestas dadas agrupadas por categorías (tabla 4). Se han creado 4 categorías: 2 en las que hay interés en la historia de las matemáticas (útil o interesante) y otras 2 en las que no hay interés (por desfasadas o por falta de interés simplemente).

Tabla 4
Respuestas categorizadas de la CNE7

En la CNE8 se les pregunta si indagarán en el futuro sobre aspectos de historia de las matemáticas. En la siguiente tabla aparecen las respuestas categorizadas (tabla 5). Las respuestas se han dividido en 4 categorías: 2 en las que hay interés en saber más sobre historia de las matemáticas (sí en general o sí pero solo en aspectos históricos, pero no conceptuales) y otras 2 en las que no hay interés (con rotundidad o solo seguramente).

Tabla 5
Respuestas categorizadas de la CNE8

Las respuestas dadas por el alumnado acerca de los conocimientos previos (CNE 1 a 4) permiten concluir que en general, el alumnado ha valorado adecuadamente qué método de resolución emplear en ecuaciones polinómicas (incluidas las que necesitan el método de Vieta) pero que tiene dificultades para las ecuaciones exponenciales, posiblemente debido a que se estudian solo en 4.º de la ESO y 1.º de Bachillerato (y no desde 1.º de la ESO como las ecuaciones polinómicas) y además habitualmente no se hace demasiado hincapié en su enseñanza debido a su dificultad y menor utilidad en general en estos niveles educativos.

Las respuestas dadas por el alumnado a las cuestiones relacionadas con aspectos emocionales y personales permiten afirmar ciertas cuestiones: La primera es que el alumnado valora positivamente el trabajo que los matemáticos han realizado a lo largo de la historia. En las respuestas se evidencia cierta admiración por la capacidad de los matemáticos de la época.

La segunda, es que, aunque el alumnado admira en general a los matemáticos y su historia, se produce una disminución del interés respecto a la utilidad de estos conocimientos. El 77% del alumnado está interesado en conocer aspectos de la historia de las matemáticas, pero en el reconocimiento de lo útil de este conocimiento, el porcentaje disminuye al 45%. Esto contrasta con que en la CNE3 la mayoría haya observado la utilidad del método para resolver esa ecuación polinómica.

A la pregunta acerca de si en el futuro indagarán sobre ello, solo 45% manifiesta intenciones de hacerlo (de ellos, 18% muestran interés por la historia, pero no por la necesidad de aprender los métodos). Es decir, aunque se valora la historia de las matemáticas, gran parte del alumnado no ve la utilidad práctica de ese aprendizaje. De nuevo contrastando con la CNE3 que más de 80% con-testó correctamente.

La importancia de la conexión entre lo que al alumnado se le ha enseñado y su aplicación práctica es un aspecto que ya constatan Goktepe y Ozdemir (2013). Estos autores además han destacado la importancia de que el profesorado diseñe tareas aplicables y no meramente mecánicas.

A la luz de los resultados parece conveniente por parte del profesorado buscar situaciones o aspectos de la historia de las matemáticas que pudieran tener una aplicación práctica o cercana a lo que los estudiantes conocen. Sin embargo, no se puede obviar que el profesor no es un especialista, sino solo alguien interesado en la historia de las matemáticas y su potencial en la enseñanza de las matemáticas (De Vittori, 2018). Esto implica un mayor trabajo y esfuerzo por parte de los docentes para mejorar su labor.

La adecuación del contenido de la experiencia docente al currículo ha sido uno de los puntos clave de la experiencia ya que en muchas ocasiones el encontrar textos históricos que se adapten al contenido curricular no es tarea sencilla. Esto es algo que Chorlay (2022) señala: las limitaciones y también oportunidades que ofrece la adaptación al plan de estudios.

Chorlay (2022) ha indicado que en las experiencias que los profesores registraron, es claro que ellos lo veían más como un disfrute que como un intento de resaltar la “dimensión histórica”. Por tal razón, consideramos que es conveniente no dejar este tipo de experiencias meramente como una manera de “entretener” o “asombrar” al alumnado sino como una manera de introducirlo verdaderamente en el conocimiento de la evolución de las matemáticas.

Con esta investigación de carácter didáctico hemos pretendido conocer las opiniones de un grupo de estudiantes sobre la historia de las matemáticas tras llevar al aula de matemáticas una experiencia basada en un método histórico de resolución de ecuaciones.

La experiencia ha permitido apreciar el interés del alumnado participante en saber más sobre la historia de las matemáticas, pero también la importancia de confeccionar prácticas y estrategias en las que el alumnado pueda apreciar la utilidad de lo que le enseñamos, que comprenda cuál es la conexión entre lo que se le enseña y lo que va a utilizar en la práctica o en contextos cercanos a ellos.

Además, en esta experiencia el alumnado ha aprendido a resolver ecuaciones que antes no podía resolver con los métodos que conocía, favoreciendo que pueda valorar el papel de métodos históricos, y preparándole para aprender métodos evolucionados de este, que seguramente tenga que afrontar en niveles educativos superiores.

Teniendo en cuenta los resultados en general positivos de la experiencia, creemos que sería interesante desarrollar una continuación de la misma conectando este método de resolución con la informática por medio de la programación del mismo como forma de automatizar la resolución de ecuaciones, o incluso con la adaptación que hicieron Newton y luego Raphson, llegando finalmente a la configuración actual, que incluye funciones y sus derivadas y que se ha utilizado incluso hasta la actualidad con el nombre de Newton-Raphson, como uno de los métodos numéricos de resolución de ecuaciones (Plaza y Gutiérrez, 2013).