En el formalismo de la teoría de optimización de portafolios de Markowitz (1959) tenemos como ingredientes principales un conjunto de activos. De cada uno de ellos se desprende una serie en el tiempo de T datos (medido en unidades de inversión); en el caso de portafolios de inversión corresponden a los precios de cierre de los activos, de donde obtenemos T-1 retornos, siguiendo la ecuación

Estos T-1 retornos forman una serie en el tiempo que tiene ese mismo número de elementos.

Retorno Esperado (Media del Activo j/Retorno Esperado de cada Activo j):

Para cada uno de los activos podemos calcular su media (o promedio) haciendo uso de la siguiente fórmula

Es posible calcular una medida de dispersión alrededor de media de cada activo haciendo uso de la ecuación de la desviación estándar:

Para m activos tenemos que el valor del riesgo para cada uno de los activos está dado. Sin embargo, Markowitz (1959) resuelve esta limitante con un procedimiento para la diversificación: calcula una combinación lineal de ellos bajo el supuesto de que se tiene un presupuesto inicial x₀ (unidades de inversión) para distribuir de forma inteligente a manera de inversión entre ellos y se pregunta ¿cuál podría ser una forma más eficiente de invertir x₀ unidades de forma diferenciada entre los activos? Lo primero que debe hacer es respetar la restricción dada por el presupuesto. De aquí obtenemos que si , donde tenemos que al dividir entre x₀ a la izquierda y a la derecha obtenemos:

Nótese que es adimensional, así que solamente representa el porcentaje asignado a cada activo en una inversión ( para todo ).

Si tenemos m activos (con riesgo) podemos definir un portafolio de inversión mediante un conjunto ordenado de porcentajes . Cada variación de los valores de cada componente x_j da como resultado un portafolio diferente.

En el contexto original de la teoría de portafolios existe una explicación posible y razonable para , por lo que se podía relajar esta restricción suponiendo que existe la venta en corto; sin embargo, no es usual encontrar explicaciones convincentes en este tipo de transacción en el ámbito del sector agropecuario.

Dado un portafolio de inversión, el valor esperado del retorno, en función de x_p, se puede definir como:

Obsérvese que i es un índice que recorre todos los posibles activos, x_i son los porcentajes asignados a cada uno de los m activos, son las medias de cada uno de los activos que han sido calculados con antelación.

El riesgo del portafolio queda definido por la varianza, que se puede escribir como:

Donde son las componentes de la matriz de varianza-covarianza, la cual es una matriz cuadrada de dimensiones, que en su diagonal está constituida por un vector de m dimensiones cuyos elementos son la varianza (desviación estándar al cuadrado de cada activo). El elemento fuera de la diagonal es la covarianza entre los activos i y j, que viene dado por:

Donde es un índice de suma que recorre todos los T-1 datos históricos, y los índices i y j se refieren a los activos en cuestión.

Para un conjunto de m activos y una combinación lineal de éstos dada por los componentes del vector de pesos es posible definir una función que devuelve un escalar:

Donde F es la función objetivo definida como la mitad de la desviación estándar elevada al cuadrado. Cada valor de una n-tupla de pesos de un portafolio, da, por lo general, un valor diferente.

El acierto de Markowitz fue relacionar la desviación estándar con el riesgo, la cual tiene la tarea de asignar una medida cuantitativa. El problema de reducir el riesgo de un portafolio, dado un valor de retorno esperado, se puede escribir de forma matemática como un problema de optimización con restricciones que viene dado por:

La solución a este problema es tal que cumple con ser el mínimo de todos los valores de la función objetivo F y además con las restricciones que y .

Podemos cambiar el problema de optimización con restricciones por un problema sin restricciones haciendo uso de los multiplicadores de Lagrange:

Donde g₁ y g₂ se definen usando las restricciones del problema

Las condiciones necesarias para encontrar un punto estacionario para el problema sin restricciones vienen dadas por:

El operador significa que realizaremos m+2 derivadas parciales de L; las acomodaremos como los componentes de un vector columna y las igualamos a un vector columna con ceros como componentes:

Para encontrar el punto estacionario es necesario resolver el sistema de ecuaciones algebraicas resultante de la solución de las derivadas parciales anteriores, que se puede escribir de forma explícita de la siguiente forma:

Nótese que hemos obviado las barras y los asteriscos de nuestra notación anterior, de tal manera que y .

Aquí podemos observar que hay m+2 ecuaciones con m+2 incógnitas en lugar de un sistema de ecuaciones diferenciales parciales. Por comodidad pasaremos a la forma matricial del problema:

(3a')

El vector de pesos (columna) es el que contiene los porcentajes (que serán parte principal de la solución del problema de optimización junto con los multiplicadores de Lagrange y . Especificamos también que es un vector fila o renglón de m entradas con los mismas componentes que Aquí es el vector columna que contiene los promedios o medias de los datos históricos. Por otra parte, es el vector que columna de m componentes, que tiene solamente entradas con valor 1.

Podemos destacar algunas operaciones matriciales que aparecen en el sistema (3’):

1. 1. El componente de un vector se destaca con un subíndice, j por ejemplo, donde en la ecuación (3a’) aparece en tres ocasiones señalando que es el componente j-ésima de una entidad vectorial.
2. 2. El producto de un vector fila por un vector columna, como en el caso de (3b’) y (3c’), representa el producto escalar entre dos vectores se define como .

Haremos uso de la notación matricial para encontrar la solución al sistema (3’). Comenzamos con la ecuación (3a’)

Donde es un vector columna con ceros en todas sus entradas (componentes). Definimos la matriz inversa de como aquella que tiene los componentes

Analíticamente hablando (es decir, fuera del ámbito de los ordenadores) para que exista la matriz inversa de la condición suficiente que se tienen que cumplir es que Por tanto, al multiplicar la primera ecuación por la matriz inversa tenemos:

Nótese que , donde es la matriz identidad que tiene unos en la diagonal y ceros en todas las demás entradas. Al multiplicar la matriz inversa por un vector obtenemos otro vector de la misma dimensión que el inicial. Por último, observamos la sencilla multiplicación del lado derecho de la ecuación.

Finalmente, el resultado de la ecuación anterior es:

Obsérvese que si y fueran conocidos, inmediatamente tendríamos los valores solución, ya que el vector y la matriz son conocidos o calculables de los datos del problema. Por tanto, nuestra tarea de aquí en adelante es encontrar y .

Podemos escribir para la componente de la ecuación (4) como:

Al multiplicar la ecuación anterior por E_k y sumar sobre k tenemos:

En notación matricial se obtiene:

En el lado derecho de esta ecuación usaremos la definición del valor esperado del retorno de un portafolio en su forma matricial, donde E_p es un dato del problema, así:

(6)

Donde se han definido dos de los tres escalares de Merton (1972: 1853):

(7)

Que se pueden calcular a partir de la matriz inversa de varianza-covarianza y del vector de medias; por lo tanto, son valores que se pueden considerar datos del problema. Por otra parte, si hacemos la operación de contracción, que es la suma de todas las componentes del vector , obtenemos:

Esto también tiene su forma matricial, representada por:

Donde podemos ver que el tercer escalar obtenido de Merton (1972) es:

(8)

El lado izquierdo de esta ecuación es igual a 1 por ser la restricción presupuestaria a la que está sujeto el problema y, por lo tanto:

Así, (6) y (9) forman un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que tiene como solución:

Esta solución se puede ver de forma inmediata si usamos la fórmula de Kramer y si, además, para que exista dicha solución pedimos que el discriminante

Una vez obtenido , sustituimos en (5) o en su forma desarrollada para obtener la solución para los porcentajes de un portafolio eficiente:

(10)

De forma gráfica, la frontera eficiente está descrita por todos aquellos puntos en el plano en los que para un cierto valor dado de E_p encontramos el , mínimo que una combinación lineal con pesos x_p puede dar.

Para obtener el lugar geométrico en R² con el eje de las abscisas igual al riesgo y el eje de las ordenadas igual al retorno del portafolio E_p, construimos una expresión que relacione estas dos cantidades al multiplicar (3a) por x_i y sumar de i=1,...,m:

(11)

El lado izquierdo de esta expresión es la definición de la varianza del portafolio, es decir, mientras que del lado derecho multiplicamos a al valor esperado del retorno del portafolio E_p y a la ecuación de presupuestos que es 1, obtenemos:

(12)

Si C y D son mayores que cero, entonces el lado derecho de (12) siempre será positiva, ya que está escrito en términos de . Cuando , este término será cero y por lo tanto .

Definimos como el valor esperado mínimo de un portafolio que tiene la varianza mínima (Merton, 1972: 1854).

Definimos para que sea la proporción del portafolio de varianza mínima invertida en el activo , entonces de (9),

(13)

Sin embargo, es habitual presentar la frontera en el plano de desviación estándar de la media en lugar del plano de la media-varianza, por lo que su representación geométrica quedaría como:

(14)

Esta ecuación representa, según la geometría analítica, una hipérbola que cumple y confirma las condiciones de un portafolio eficiente con mínima varianza en y una mínima varianza de .

De acuerdo con Best y Grauer (1992), tanto el modelo de la teoría óptima como el modelo de precios de activos de capital (Sharpe, 1970; Lintner, 1965), los portafolios generados con porcentajes de inversión positivos tendrán la característica de ser eficientes dentro de la relación de media-varianza. Sin embargo, este tipo de portafolios (aquel en donde todos los pesos positivos) no son tan comunes, sobre todo si se usan datos de series históricas de los activos. Sus resultados indican que, en el mejor de los escenarios, sólo es posible identificar un segmento de la frontera eficiente donde todos los pesos son no negativos.

Escrito de forma paramétrica, Markowitz se puede escribir de la siguiente forma:

Donde t es un parámetro escalar, x es el n-vector de pesos de portafolio, y es la restricción de presupuesto. La solución para este problema en términos del parámetro t para x y t es:

Donde A, B y C son los escalares de Merton de la sección previa. Definamos ahora

Con lo que se pueden expresar los pesos del portafolio como:

(16)

En esta ecuación se ve claramente, si observamos componente a componente,

Que si , entonces se incrementa conforme t aumenta y será positivo dado que

Es posible determinar una cota máxima y una cota mínima para los valores de t, de tal forma que podamos garantizar la existencia de pesos positivos:

De donde no es difícil deducir que

Notemos que para que sea positivo en todas sus componentes para algún t se necesita que

Esto implica que sólo y si y se satisface la restrcción de arriba (Best y Grauer, 1992: 519). De aquí es fácil obtener una fuerte conclusión que dice que si , no existen componentes positivas de

Es importante recordar que el criterio para encontrar todos los pesos positivos se cumple cuando . En el caso del rango de la muestra analizada, el resultado fue que (1.3984 no es menor que 0.61), por lo que no es posible encontrar un portafolio eficiente que sólo tenga valores no negativos. Los resultados se presentan en el siguiente cuadro.

Cuadro 1
Criterio para encontrar pesos positivos en el modelo con cultivos catorce riesgosos para obtener el valor MAX (máximo) y MIN (mínimo) de forma correcta

Fuente: elaboración propia

Una vez convencidos de que con el simple hecho de usar la Teoría de Markowitz no es posible obtener todos los valores positivos, procedemos con el cálculo de la frontera eficiente, de donde obtenemos que el portafolio presenta el mínimo riesgo cuando E=0.8% y el riesgo es de . Asimismo, obtenemos que el vector x para este retorno y riesgo tiene los pesos:

Una interpretación bajo este contexto sería dejar de sembrar 29.2% maíz de grano y 9.7% de cebolla, lo que no suena del todo lógico. Otra alternativa es considerar sólo aquellos cultivos que presenten una correlación débil entre ellos, entendida como el hecho de que los elementos fuera de la diagonal de la matriz son pequeños en relación con los elementos diagonales de unos de la matriz (Best y Grauer, 1992). Cuando se impone esta restricción, los cultivos que sobreviven son: tomate rojo, papa, frijol, zanahoria y maíz grano. Sin embargo, esta solución debilita todo el embalaje teórico de la propuesta de frontera eficiente.

Cuadro 2
Matriz de correlaciones entre cinco cultivos hortícolas: tomate rojo, papa, frijol, zanahoria y maíz grano

Fuente: elaboración propia.

El criterio para encontrar todos los pesos positivos se cumple cuando . En el caso del rango de la muestra analizada, el resultado fue que (0.0 es menor que 0.101), por lo que es posible encontrar un portafolio eficiente que sólo tenga valores positivos. Los resultados se presentan en el siguiente cuadro.

Cuadro 3
Criterio para encontrar pesos positivos en el modelo con cinco cultivos riesgosos para obtener el valor MAX (máximo) y MIN (mínimo) de forma correcta

Fuente: elaboración propia

Los resultados del Cuadro 3 indican que existe una región donde la tecnología libre de riesgo toma valores de la desviación estándar entre 0.02 y 0.09, y los pesos de inversión son todos positivos. Para el resto del espectro existe cuando menos un valor negativo en la serie del vector X. En la región de valores todos positivos para el vector X destacamos cuando se toma el valor de 0.03. En este escenario, al cultivo de jitomate rojo le corresponde una participación de 16%; papa, 16%; frijol, 9.9%; zanahoria, 3.3%, y maíz, 56.7% aproximadamente.

Este enfoque puede ser utilizado para arrojar nueva luz sobre el enfoque tradicional y métodos previamente propuestos. En particular, los resultados no concuerdan con los encontrados por Áviles et al. (2006), quienes determinan un portafolio óptimo conformado por ajo, brócoli, calabacita, chile verde, coliflor, frijol, garbanzo, lechuga, maíz, tomate y zanahoria. Cabe señalar que la afirmación de Estrada (2008) de que este método genera una cartera más eficiente no fue posible corroborarla en este análisis.