INTRODUCCIÓN

Tradicionalmente la computadora se ha visto como uno de otras herramientas de los cuales disponen el docente para lograr enseñar los conceptos matemáticos, es decir un recurso didáctico. Pero, ¿realmente su utilización mediante software didáctico será un recurso no indispensable en la enseñanza de la matemática?

Las exigencias actuales de la ciencia y la tecnología requieren una matemática más numérica. Más precisamente, el auge científico y tecnológico ha provocado una evolución de los conceptos matemáticos. Por ejemplo, el concepto de probabilidad no es el mismo que hace 30 años, las computadoras han permitido desarrollar un significado de probabilidad: la probabilidad frecuencial Batanero (2005), útil actualmente para resolver numerosos problemas.

Así, muchos conceptos matemáticos han evolucionado, ¿Y qué ha pasado con su enseñanza? ¿Quizás la enseñanza se ha concentrado, por tradición, en solo una versión desactualizada de los conceptos? En los últimos años, en el caso de Costa Rica, se han hecho esfuerzos importantes por actualizar la enseñanza, pero no han sido suficientes, estos no se han articulado de la mejor manera ni se ha involucrado a los diferentes actores implicados en los procesos de enseñanza-aprendizaje.

Por otro lado, Douady (1984) indica que los conceptos matemáticos tienen carácter de instrumento y carácter de objeto. El ver un concepto como instrumento para resolver un problema es lo que le da sentido al concepto. En dicha resolución, el concepto puede intervenir en uno o varios marcos: geométrico, numérico y algebraico, entre otros. En cada marco el concepto se visualiza en términos de objetos y relaciones, formando significados del concepto en el marco.

El juego de marcos, consiste en establecer correspondencias entre los significados que un mismo concepto adquiere en diferentes marcos. Este juego contribuye a construir la diversidad semántica del concepto, poniendo en evidencia el carácter heterogéneo del conocimiento que varía según el estudiante.

Por lo tanto, Douady (1984) recomienda que, para lograr un buen funcionamiento de los conocimientos en los alumnos, el docente debe elegir problemas donde estos intervienen en dos cuadros como mínimo.

¿Qué sucede en el salón de clases? Tradicionalmente se ha privilegiado el cuadro algebraico. En un inicio esto fue por necesidad, no se contaba con calculadoras potentes (cuadro numérico) ni con software geométrico o programas para graficar (cuadro gráfico). El avance de la ciencia y la tecnológica lo dictó el pensamiento algorítmico.

Sin embargo, en los últimos años el avance de la ciencia y tecnología por medio del desarrollo de software ha permitido que muchos conceptos matemáticos evolucionen, ampliando o robusteciendo su diversidad semántica.

¿Y la enseñanza ha evolucionado? El lugar privilegiado que ha tenido el marco algebraico se ha mantenido, pero quizás ya no por necesidad sino por tradición. Sin embargo, hay otros factores que interviene, como la universalización de la educación vs la accesibilidad a la tecnología en los centros educativos.

Ahora bien, el principal problema es si realmente se cree que es necesario actualizar nuestra enseñanza. ¿Se es consciente de la necesidad del software para lograr comprender la diversidad semántica de ciertos conceptos matemáticos? ¿Qué tan importante es el uso de software en el juego de marcos?

El presente trabajo expone evidencias donde el software se vuelve indispensable para resolución de problemas en un marco determinado.

DESARROLLO

Ejemplos de resolución de algunos problemas.

Ejemplo 1. Una población de ratones, era inicialmente formada por 20 ratones y cada 2 años se triplica la cantidad de ratones. Si hoy se han contabilizado 10 000 ratones. ¿Hace cuánto tiempo aproximadamente se tenía la población inicial de 20 ratones?

Solución.

Sea x el tiempo en años desde que se tenía la población inicial. Así, la cantidad de ratones después de x años es:

Así el problema se traduce en resolver la ecuación:

El concepto de Ecuación invoca una serie de significados según el cuadro en el cual se trabaje. Esta ecuación desde el cuadro algebraico adquiere el significado de ecuación exponencial, esto evoca una serie de procesos algebraicos (herramientas) para resolverla. Desde el cuadro gráfico, la ecuación puede ser vista como hallar las intersecciones de la gráfica de una determinada función con el eje X. El cuadro numérico consiste en ver la resolución de la ecuación se traduce en utilizar una de tantas herramientas, una de ellas es el Método de Bisección. Y desde el cuadro aritmético, la resolución de la ecuación se traduce en realizar cálculos, probando por ensayo y error valores de x hasta lograr la igual.

Seguidamente se exponen algunas soluciones.

Solución algebraica.

Note que

Hace aproximadamente 11 años, 3 meses y 23 días se tenía la población inicial.

Solución numérica-gráfica

Considere la función Esta función es continúa. El concepto de que f sea continua se puede transponer a secundaria como una función cuya gráfica no tiene cortes, lo cual involucraría al cuadro gráfico.

Aquí es indispensable el uso de software para graficar f y notar su “continuidad” e investigar donde la gráfica de f corta al eje X. Aquí se presentar dos opciones:

a) Inclinarse más al cuadro gráfico. En Geogebra, por ejemplo, podemos graficar f(x) y luego ir ampliando el eje X para obtener la solución aproximada de 11.31.

b) Inclinarse más al cuadro numérico. Una vez que se verifican gráficamente las hipótesis del Método de Bisección, se procese a aplicarlo utilizando algún software para obtener una solución aproximada tanto como se quiera a la solución real. Por ejemplo, en Sanabria (2007), hay un applet que además de obtener una solución aproximada muestra gráficamente el proceso de cómo se van hallado los puntos de la sucesión.

Solución aritmética

Desde el cuadro aritmético, se procese a probar con valores de x buscando que se aproxime a 10 000. Realizar este proceso aún con calculadora puede ser tedioso, el software nos ofrece una solución más dinámica:

a) Se puede utilizar Excel y escribir en la celda A2 lo siguiente: “=20*Potencia(3;A1/2)”. Luego se procede a escribir en la celda A1, por ensayo y error, valores de x hasta que la celda A2 brinde un valor cercano a 10 000.

b) En Geogebra, podemos realizar un deslizador llamado x con rango de 0 a 30. El rango luego se puede cambiar según la calidad de la aproximación que se quiera. Así luego se calcula entrada el valor f= . Se procede a mover el deslizador x buscando que f se acerque a 10 000.

Ejemplo 2. Determine el lugar geométrico determinado por un punto que se mueve de forma que su distancia al eje Y es igual a su distancia al punto (1,1).

El concepto de lugar geométrico adquiere el significado de figura o gráfica en el cuadro geométrico, y de ecuación en el cuadro aritmético.

Solución algebraica.

El lugar geométrico es visto como la ecuación que satisface únicamente aquellos puntos (x,y) que se encuentran en el lugar geométrico.

Sean A(1,1) y P(x,y) un punto cualquiera del lugar geométrico, entonces

Por lo tanto,

Así se obtiene la ecuación del lugar geométrico. Dicho de otra forma, se ha obtenido el lugar geométrico desde el punto vista algebraico. (marco algebraico).

CONCLUSIONES

Los artículos científicos originales constituyen la vía más efectiva para la comunicación de resultados de la actividad científica investigativa.

La Estadística es una disciplina metodológica insustituible en la investigación cuantitativa, así como también en el proceso de redacción de artículos científicos.

Es necesario que los autores tengan el nivel de conocimientos necesarios para diseñar estudios cuantitativos y aplicar consecuentemente la metodología estadística para el análisis e interpretación de datos empíricos.

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Notas