Introducción

El manejo forestal es una herramienta útil para hacer un buen uso de los recursos que se encuentran en el bosque, de manera adecuada y con más facilidad de hacer el aprovechamiento de manera sustentable, porque hay nuevas técnicas en el manejo para conocer su crecimiento e incremento, aunque no es fácil hacer los planes de manejo forestal.

Una de las razones técnicas que pueden ayudar a mejorar la producción forestal maderable, se fundamenta en el hecho de utilizar mejores herramientas cuantitativas, las cuales permiten optimizar los procesos de planeación, lograr un seguimiento y control adecuado de las actividades de aprovechamiento forestal sustentable. Por tanto, las conclusiones biológicas de las expresiones matemáticas nos permiten inferir el desarrollo de las masas forestales, a través de la aplicación de tratamientos silvícolas, que permiten a largo plazo la obtención de productos forestales maderables de mayores dimensiones y de mejor calidad para la industria (Quiñonez, 2014).

La metodología de diferencias algebraicas (ADA) sólo admiten una hipótesis de crecimiento respecto a los parámetros, es decir, se tiene una sola asíntota común (modelos polimórficos) o se tienen asíntotas variables (modelos anamórficos), pero no es posible incluir ambas hipótesis en un modelo (Bailey and Clutter, 1974). La técnica para derivar ecuaciones dinámicas conocida como método de diferencia algebraica (ADA), involucra esencialmente la sustitución de un parámetro del modelo base para expresarlo como una función del índice de sitio o de una condición inicial de la variable de interés (diámetro normal).

Las ecuaciones dinámicas son un caso especial en el tipo de funciones, donde la altura dominante se estima en función de la edad actual de la masa y las condiciones iniciales de edad y altura. Una forma de uso frecuente para generar ecuaciones dinámicas se basa en el enfoque de diferencia algebraica generalizada (GADA) desarrollado por Cieszewski y Bailey (2000) las cuales se obtienen expandiendo un modelo de crecimiento base, permitiendo que dos parámetros del modelo varíen con las condiciones específicas de la calidad de sitio, y así generar familias de curvas polimórficas con múltiples asíntotas; ésta es una propiedad deseable para describir el crecimiento en altura dominante y para clasificar la productividad por calidad de sitio (Cieszewski y Strub, 2008).

El objetivo de este trabajo fue determinar el crecimiento e incremento y estimación del índice de sitio para Pinus montezumae Lamb. en Santiago Textitlán, Oaxaca. Con la finalidad de tener instrumentos que permitan calificar el crecimiento de la especie sujeta a estudio.

Material y métodos

El estudio se realizó en el municipio de Santiago Textitlán, Sola de Vega, Oaxaca (figura 1), ubicado en la Región Sierra Sur, entre los paralelos 16 °38’ y 16 °48’ y los meridianos 97 °11’ y 97 ° 27’; con una altitud de 900-2 900 msnm (INEGI, 2012).

El municipio de Santiago Textitlán presenta suelo tipo umbrisol, luvisol, leptosol, y tres tipos de climas: templado-frio, templado y cálido (INEGI, op. cit.).

Con la ayuda del programa de manejo forestal de Santiago Textitlán se observaron diferentes tipos de vegetación: pino-encino, pino-oyamel, pino, encino-pino, encino, latifoliadas (aile), bosque de galería bosque cultivado, matorral submontano y pastizal natural.

Selección de la muestra. Se realizaron análisis troncales de 20 árboles dominantes y codominantes. El conteo de los anillos se hizo de la siguiente manera: El primero a 0.15 m (tocón), el segundo a una altura de 1.30 m (DN), los siguientes cada 2.58 m en medida comercial, hasta alcanzar un diámetro del fuste aproximado de 20 cm y los subsecuentes a cada 1.25 m que se aprovechó para bolo, los árboles seleccionados fueron derribados y seccionados a medida para obtener rodajas de 5 cm de espesor a diferentes alturas según lo específica la metodología Carmean (Dyer y Bailey, 1987).

Determinación de la edad de las secciones. Para la determinación de dicha edad se empleo la siguiente fórmula:

Donde:

E_i= Edad de la Sección i

E_i-1= Edad de la sección siguiente

NA_i= Número de anillos de la sección i

NA_i-1=Número de anillos de la sección siguiente

Determinación de la altura de las secciones. Se utilizó la siguiente fórmula:

Donde:

H_vi = Altura real de la sección i

H_i= Altura a la que se cortó la sección i

H_i+1=Altura de corte de la siguiente sección

NA_i= Número de anillos de la sección i

NA_i+1=Número de anillos de la siguiente sección i

Funciones de crecimiento. La calidad de sitio permite distinguir distintos niveles de incremento corriente anual (ICA) e incremento medio anual (IMA), con lo que es posible definir la edad a la que ocurre el turno técnico, es decir, la edad óptima de cosecha del rodal si se desea maximizar el volumen total (la edad cuando (ICA=IMA) (Santiago, 2009). Con la finalidad se utilizaron los siguientes tres modelos (cuadro 1).

Desarrollo de modelo de diferencias algebraicas (ADA). Este método genera curvas de índice de sitio de tipo anamórficas o polimórficas. El paso inicial de este método, consiste en desarrollar en una forma de diferencia algebraica las ecuaciones de Schumacher, Chapman-Richards y Weibull, para la altura dominante-edad. Para ejemplificar el procedimiento para derivar una ADA se utilizó el modelo de Chapman-Richards, que tiene una asíntota horizontal, esto sigue un patrón de crecimiento sigmoide y tiene un punto de inflexión. Una vez que se derivaron los modelos originales se obtuvieron las ecuaciones de diferencias algebraicas (cuadro 2).

Método de diferencias algebraicas generalizado (GADA). Este método tiene la ventaja de permitir que más de un parámetro de cada modelo dependa de la calidad de estación y se obtengan familias de curvas polimórficas y con múltiples asíntotas.

Con el modelo de Chapman-Richards se muestra la ecuación obtenida en diferencias algebraicas generalizada:

El método de ecuaciones en diferencias algebraicas o su generalización son invariantes con respecto a la edad de referencia e invariantes con relación al camino de simulación, las curvas de índice de sitio deben cumplir una serie de propiedades; polimorfismo, pauta de crecimiento sigmoide con un punto de inflexión, alcanzar una asíntota horizontal a edades avanzadas, tener un comportamiento lógico, la altura dominante debe ser cero a la edad cero y la curva debe ser siempre creciente.

Para la construcción de las curvas de índice de sitio se consideró lo siguiente:

-Se tomó como edad base 50 años.

-Se fijaron cuatro índices de sitio: 27, 32, 37 y 42 m a la edad base antes mencionada con una equidistancia de 5 metros.

Análisis estadístico. Los parámetros de los modelos se estimaron utilizando el procedimiento PROC MODEL del paquete estadístico SAS (SAS 9.0 Institute Inc., 2004), que permite la actualización dinámica de los residuales, en estadísticos que se consideraron para seleccionar las mejores ecuaciones fueron el coeficiente de determinación ajustado (R²adj) y el error estándar estimado (EES). Estos estadísticos se calcularon por medio de las ecuaciones que se presentan a continuación.

Donde:

y_i= valor observado o la variable dependiente

ȳ= promedio de los datos observados

ŷ_i = valor estimado con el modelo

p = número de parámetros de cada modelo

n = tamaño de muestra.

Resultados

Función de crecimiento. De los tres modelos ajustados en el análisis estadístico se observó que el modelo de Chapman-Richards fue el que mejor predice el crecimiento e incremento de la especie, ya que presentó mayor bondad de ajuste con un SSE de 1517.5, CME de 12.3389, un R²adj de 0.9409, Intervalos de confianza de los estimadores (cuadro 3).

Determinación del crecimiento e incremento. El crecimiento e incremento se estimó de acuerdo a los resultados obtenidos del modelo de Chapman-Richards, se procedió a determinar la tendencia de crecimiento para la especie y determinar sus incrementos tomando como base 5 años, el Diámetro normal la culminación de ICA ocurre a la edad de 20 años y el máximo IMA a los 25 años y punto de intersección donde ICA=IMA ocurre a la edad de 32 años (figura 2). Para Schumacher el máximo ICA para altura total ocurre a la edad de 20 años y el máximo IMA a los 26 años y punto de intersección donde ICA=IMA ocurre a la edad de 31 años, en el modelo de Weibull la culminación máxima en ICA para la altura total es de 20 años, el máximo IMA acurre a los 26 años y para el punto de intersección de ICA=IMA ocurre a la edad de 31 años

Ajuste del modelo de diferencias algebraicas. La comparación de los modelos en diferencias algebraicas se realizó mediante el error estándar estimado y el coeficiente de determinación ajustado (cuadro 4). Los ajustes de las ecuaciones 9 y 11 mostraron un valor de R²adj de 0.9715, la ecuación 10 mostró un valor de R²adj 0.9721, mientras que la ecuación 12 presentó un resultado medio a las demás ecuaciones con un R²adj de 0.9717, finalmente las ecuaciones que mostraron menor coeficiente de determinación ajustado fueron 7 y 8.

Los ajustes también mostraron que las ecuaciones 9 y 10 presentaron los menores EES (3.4595 y 3.3798), las ecuaciones 11 y 12 presentaron resultados similares de EES (3.4595 y 3.4316 ) a las ecuaciones anteriores, mientras que las ecuaciones 7 y 8 mostraron los mayores EES (6.9704 y 6.0823). Estadísticamente se observó que la ecuación 10 del modelo de Chapman-Richards fue la que mejor ajuste presentó a la relación edad-altura.

Las propiedades de los estimadores obtenidos como el estimador, error estándar y la probabilidad de rechazo (Pr>t), mostraron un buen ajuste de todos los modelos empleados ya que fueron altamente significativos (cuadro 5).

En el cuadro 5 se puede observar que el modelo anamórfico (7) de Schumacher no tiene buen ajuste a los datos dado que presentaron asíntotas tempranas y el polimórfico (8) presentó un desajuste en las calidades de sitio altas; mientras que para el modelo Chapman-Richards anamórfico (9), tiene buen ajuste en los datos, dado que presentó asíntotas tempranas en los sitios ricos, el modelo de Weibull anamórfico (11) presentó buen ajuste a los datos y para el polimórfico (12) presentó asíntotas dando a un buen ajuste. El comportamiento de estas curvas fue un poco constante al considerar la variación de forma y escala a la vez (figura 3).

La ecuación 17 mostró un valor de R²adj de 0.9788 y EES de 1.7189, presentó un mejor ajuste en el análisis grafico comparado con la ecuación 10 de diferencias algebraicas.

Los estimadores, error estándar, el estimador y la probabilidad de rechazo (Pr>t), mejoraron significativamente con el método GADA, los cuales se muestran en el cuadro 6.

Curvas de índice de sitio con el modelo de diferencias algebraicas generalizado. Se construyeron la familia de curvas fijando cuatro índices de sitio: 27, 32, 37 y 42 m a la edad base de 50 años. Estas curvas presentan un mejor ajuste, ya que gracias a la generalización del modelo se pueden observar curvas polimórficas con múltiples asíntotas.

En la figura 4 se observan las curvas polimórficas de los cuatro índices de sitio para el modelo de Chapman-Richards, estas curvas tienen un comportamiento continuo por lo que presentan muy poca variación entre una edad y la otra, lo que permite que cubran con mayor amplitud la dispersión de la muestra.

Comparación de familia de curvas por (ADA) y (GADA). Derivado a los datos de crecimiento en altura dominante se observa que en ADA y GADA con una edad base de 50 años, se puede empezar con aprovechamiento forestal a la edad de referencia 40 años ya que alcanza una edad y un incremento significativo, también podemos observar que a la edad de 20 años es necesario realizar un aclareo para disminuir la densidad de la especie (figura 5).

Los resultados de la ecuación GADA del modelo de Chapman-Richards predice que edades tempranas la especie de Pinus montezumae Lamb., presenta sitos de muy buena calidad para hacer aprovechamientos forestales en la región de acuerdo a la comparación de ADA y GADA.

Discusión

El principal interés de este estudio fue demostrar que el método de ecuaciones en diferencias algebraicas generalizado, permite mejorar las predicciones del crecimiento en altura dominante en comparación al método de ecuaciones en diferencias algebraicas, ya que éste desarrolla familias de curvas de índice de sitio de tipo anamórficas y polimórficas dando lugar a que las ventajas de un tipo de curvas se convierta en desventaja para el otro tipo, y por ende las curvas no puedan integrar múltiples asíntotas.

Recomendaciones

Es recomendable utilizar análisis del crecimiento e incremento y estimación del índice de sitio en las diferentes áreas de estudio para la correcta aplicación de las prescripciones silvícolas a las diferentes edades de la especie estudiada.

Se sugiere que el modelo de Chapman-Richards y las demás ecuaciones generadas, se apliquen dentro de la región de estudio, en masa coetáneas y puras de Pinus montezumae Lamb., utilizando dicha información como un indicador en otros lugares con condiciones similares al bosque de Santiago Textitlán.

Derivado a los datos de crecimiento es bueno hacer comparaciones de las familias de curvas en diferencias algebraicas (ADA) y diferencias algebraicas generalizadas (GADA) porque al compararlas muestran mejor tendencia las GADA.

Conclusiones

En ICA e IMA el mejor modelo resultó ser el de Chapman-Richards, ya que para el Diámetro normal la culminación de ICA ocurre a la edad de 20 años y el máximo IMA a los 25 años y punto de intersección donde ICA = IMA ocurre a la edad de 32 años, este método de diferencias algebraicas, la ecuación polimórfica de Chapman-Richards fue la que mejor ajustó a los datos de edad-altura dominante, y es la que mejor describió el crecimiento en altura dominante para la especie de P. montezumae Lamb.

En diferencias algebraicas generalizadas son las que nos brindan una mayor estimación de crecimiento en altura dominante en comparación en otras metodologías, muestran un comportamiento excelente a edades tempranas y presentan mejor trayectoria con la dispersión de la muestra.

La comparación de ADA y GADA permitió mejorar las predicciones del crecimiento en altura dominante, la que mejor se ajustó a la edad-altura en este caso fue la GADA ya que estas curvas presentan asíntotas a edades tempranas y cubre con mayor amplitud las alturas dominantes.

Literatura citada

Bailey, R.L. and Clutter, J.L. 1974. Base-age invariant polymorphic site curves, For. Sci.

Cieszewski, C.J. and Bailey, R.L. 2000. Generalized algebraic difference approach: theory based derivation of dynamic equations with polymorphism and variable asymptotes. For. Sci. 126 pp.

Cieszewski, C.J. and Strub, M. 2008. Generalized algebraic difference approach derivation of dynamic site equations with polymorphism and variable asymptotes from exponential and logarithmic functions. For. Sci. 54: 303-315.

Dyer, M. and Bailey, R.L. 1987. A test of six methods for estimating true heights from stem analisys data. For. Sci. 33:3-13. INEGI. 2012. Conociendo México. Instituto Nacional de Estadística y Geografía. México. 46 p.

INEGI. 2012. Conociendo México. Instituto Nacional de Estadística y Geografía. México. 46 p.

Quiñones, B.G. 2014. Sistemas de crecimiento y rendimiento para las principales especies comerciales de Pinus en Durango México. Tesis Doctoral. Colegio de Posgraduados, Campus Motecillo, Posgrado en Ciencias Forestales, Montecillo, Texcoco, Edo de México. 194 pp.

Santiago, G.W. 2009. Sistema de crecimiento y rendimiento para Pinus patula de Zacualtipán, Hidalgo, México. Tesis de Maestría. Colegio de Posgraduados, Campus Motecillo, Texcoco, Edo de México. 88 pp.

SAS Institute Inc., SAS/ETS_ 9.1 User’s Guide. Cary, NC: SAS Institute Inc., 2004.Smartwood. 2004. Resumen Público de Certificación del Ejido la Victoria. Certificado SW-FM/COC154. 37 p. www.smarwood.org.