Métrica de Hausdorff en el ambiente difuso

Hauddsorf Metric in the Fuzzy Environment

En 1965 Zadeh introdujo la noción de conjunto difuso (ver ¹²) debido a que la mayoria de la veces, las clases de cosas encontradas en el mundo fisico real no tienen precisamente un criterio de pertenencia. Esta observación pone en conexión la existencia de las representaciones mentales de la realidad y representaciones matematicas habituales de los mismos y fue el punto de partida hacia el desarrollo de los conjuntos difusos.

En 1980 Dubois y Prade definieron las distancia entre dos conjuntos difusos (ver ⁴); luego Puri y Ralescu en 1983 expusieron una introducción de utilizar la distancia de Hausdorff entre conjuntos difusos; aunque la mayor referencia fue expuesta por Diamond y Kloeden ³ en 1994. Lo anterior condujo a que más adelante y mientras se investigaba problemas de sistemas dinamicos sin solución, Laksmikanthan y R.N Mohapatra ⁸ en 2003 publicaron lo hecho por Diamond y Kloeden paracomo medio de resolver dichos problemas.

Este artículo tiene como finalidad el estudio de la métrica de Hausdorff, construída inicialmente en el ambientey luego extendida a una clase particular de subconjuntos difusos de, obteniendo un nuevo espacio métrico. Se parte de una definición de distancia entre un punto y un conjunto, con ello se edifica paso a paso la métrica de Hausdorff, igualmente se exhibe para el ambiente difuso.

En la primera sección, Métrica de Hausdorff, se muestra la construcción del espacio métrico (_{^{Kn, dH}} ), de los subconjuntos compactos decon la métrica de Hausdorff y se exponen algunas de sus propiedades; en la sección. El espacio_^En , se describe un espacio particular de conjuntos difusos dey algunas características; en la tercera sección. El espacio métrico (_{^{En, d}} ) , se muestra el espacio resultante al relacionar la teoría de las dos secciones anteriores; en la última sección, Comparación con otros espacios métricos, se exponen otras distancias definidas en subconjuntos difusos y se realiza una comparación con el trabajo realizado anteriormente.

A partir del espacio métrico, es decir parayelementos de,^7),1; se inicia la construcción de la métrica de Hausdorff.

Definición 2.1Sea x un punto deyAun subconjunto no vacío de, la distanciad(x, A)del puntoxaAes

En los espacios métricos, se tienen diferentes tipos de colecciones de sus elementos de acuerdo a unas condiciones, estos son, entre otros, los conceptos de vecindad, bola abierta, bola cerrada y adherencia, que son como en ¹.

Proposición 2.1Seaxun punto enyAun subconjunto no vacío deentonces:

1. 1. d ( x , A )≤ 0,
2. 2. d ( x , A ) = 0si y solo six∈ Ā

Prueba.

1. 1. Por ser, un espacio métricopara todo, luego por propiedades del ínfinito, ínf,así.
2. 2. Seay se supone que, esto es, existetal quelo que indica que, lo cuál es una contradicción. Recíprocamente, esto es , para todose tiene, en particular, para todose tiene. Lo que indica que,y entonces.

Definición 2.2 Sean A y B dos subconjuntos acotados y no vacíos de, la separación de Hassdorff de B a A es:

.

Este concepto tiene una definición equivalente,, aparece (2) su demostración dondees la bola cerrada de centro 0 y radio 1 de.

Proposición 2.2 Seanno vacíos y acotados, entonces

1. 1.
2. 2. si y solo si
3. 3.

Prueba.

1. Comopara todo, por propiedades del supremo ((1)),

.

.

2. Se supone que, esto es ,para todo; por la proposición 2.1y como es para todo elemento de B, se obtiene quue.

Recíprocamente , si, por la proposición 2.1,

.

en general,, luego.

3. Sean, entonces, esto es,

.

así

con lo cual,

.

En consecuencia,.

La separación de Hausdorff se constituye en un instrumento eficaz en la consecución de una métrica, claro está con algunas propiedades adicionales en el contexto.

Definición 2.3 Sean A y B dos subconjuntos no vacíos y acotados de, la distancia de Hausdorff entre A y B es

.

Con esta definición, la distancia Hausdorff satisface la simetría, pero aun falta agregar condiciones adicionales al ambiente para obtener la estructura de espacio métrico; así, se restringe, aun más, la naturaleza de los subconjuntos deen consideración. El resultado que sigue, se aplica a un universo específico con alguna incidencia en los demás.

Proposición 2.3:, la colección de subconjuntos compactos decon la distancia de Hausdorff, es un espacio métrico.

Prueba. Seanno vacíos.

1. Se afirma que, entonces máx, luego

2. Sea, por propiedades de máximo, se tiene,, dado que A y B son cerrados deentonces, es decir, A = B.

Recíprocamente, sea A = B, dado que A , B son subconjuntos cerrados de,, de modo que, esto es,, se tieney, luego.

3. Se tiene que

4. Como, entonces

De modo que la distancia de Hausdorff mide cuan lejos están uno de otro dos subconjuntos compactos de. Además, (Kn , dH) cuenta con las propiedades de la completitud y, la colección de subconjuntos compactos y convexos de, es un subconjunto cerrado en él; para ver esto, es necesario el resultado que sigue,

Proposición 2.4. Sean A , B subconjuntos no vacios de Kn , si, existetal que

Prueba. Sean, supongamos que para todose tiene, en consecuencia ínf, es decir,. Por otro lado,, con lo cual, por tanto,. Así, para todo, se tiene que, lo que contradice el supuesto.

La prueba del siguiente teorema aparece en (2)

Teorema 2.1es un espacio métrico completo¹, además sies una sucesión de Cauchy en Kn , su límite es

Teorema 2.2, la colección de todos los conjuntos convexos compactos de, es un subconjunto cerrado del espacio métrico ( Kn , dH ).

Prueba. Sea, así A es compacto no convexo, luego existentales que. Como es A compacto, es cerrado, con lo cual existetal que

Sea, entonces,y como, existencon. Luego:

Ahora seay se supone que, como, existetal que. Entonces. Lo que contradice que. Luego A' es no convexo y por tanto A es un conjunto abierto de.

Con estoes también un espacio métrico completo (1). El siguiente resultado aparece en (8), está dado para elementos de, sin embargo en (6), se observa que para elementos de K nfunciona igualmente.

Proposición 2.5. Seauna sucesión enque converge a K, además, sea

,

entonces,

Prueba. Sea, entonces existetal que, por la proposición 2.4, existe un puntotal que.Por consiguientepara cada.

Seaentonces para cadaexistetal que. Así si, se tiene que:

,

entoncespara n, esto prueba que

Sea, de que la sucesiónconverge a K , se tiene que

,

además sea p tal que paraimplique. Del hecho quese sigue que existetal que, luego si

,

con lo cualy luego.

Definición 3.1. Un subconjunto difuso u de X, está determinado por una función, que indica el grado de pertenencia o membresía de un elemento x en el conjunto u.

Es de aclarar, que en la teoría difusa se utilizan diferentes tipos de notaciones, en este caso, se siguen las ideas de (12), pero dado a las modificaciones que con el tiempo se han venido utilizando, se sigue la notación de (5).

Observése que u generaliza la noción de función característica de un conjunto. Además, de acuerdo con (5), sino pertenece al conjunto; sipertenece al conjunto y si, se tiene que x pertenece de manera parcial, su grado de membresíaes justamente.

Un subconjunto de A de B, se caracteriza, por tanto, por la función de pertenencia A : B → [0 , 1] , es preciso fijar el conjunto B para definir la función A,que a su vez define A. Por eso se habla de subconjunto difuso y no de conjunto difuso, (otros detalles en (12)); Ahora se presta atención a una colección particular de subconjuntos difusos de

Sea En la colección de todos los subconjuntos difusos deque satisfacen:

1. 1. El soporte²y los α- cortes³ de u son conjuntos compactos de, para todo.
2. 2. u es convexo difuso,esto es, para x, y , ∈

,

para todo.

Lema 3.1. Si u ∈ E n , entonces se satisface

y sies una sucesión creciente que converge, entonces

Recíprocamente, sies la colección de subconjuntos deque satisface (1) (2) y (3), entonces existe untal que

Prueba. Sea, por la definició dees compacto para, resta entonces veres convexo. Para, sean, esto es,, entonces al seruconvexo difuso se tiene

,

luego. Con lo cual satisface (1).

Sean, se sabe que

con lo que satisface (2).

Ahora sea,una sucesión creciente que converge a,luego por (2) se tiene que

,

por otro lado,ahora aplicando la proposición 2,9 , se tiene que esta sucesión converge a, con lo cual, y (3) se sigue.

Recíprocamente, seala colección de subconjuntos deque satisface (1),(2) y (3); dado, se define, y sea, de donde se obtiene que. En efecto, si, de inmediato, entonces se supone quey sea; luego existe, tal queasí, dado queimplica por (2)por definicióny se obtiene que; ahora seauna sucesión monotona en_{^{I x}} que converge a, entoncespara caday por (3).Igualmente,dado, implica que,luego.

Se definecomopara todo, por consiguiente, sea, sientonces; por consiguiente,y por 2,, esto es ,.Si,entoncesy. Por tanto.

Construido lo anterior, se verifica que, en efecto,ues un conjunto difuso de, por su definición, ahora, entonceses compacto para todo. Finalmente, seancon, entonces, que es convexo y asípara cualquier. Por consiguiente

,

lo que prueba queues convexo difuso.

Al espacio_{^{E n}} se le puede dotar una estructura para sus α-cortes, es expuesto con el siguiente concepto, cabe resaltar que los dos anteriores resultados son tomados de (8).:

Lema 3.2Seanentonces la adición⁴y multiplicación por un escalar⁵difusa pertenece a_{^{E n}} donde los α-cortes son definidos como:

para.

Prueba. Dado que, se satisface (1) ,(2) y (3), entonces; sean, entonces

;

seauna sucesión creciente que converge aentonces

de donde, luego, por la proposición 2.5,. De modo quesatisface (1) , (2) y (3) por el teorema 3.1,

Similarmente; sean, entonces

;

seanuna sucesión creciente que converge aentonces

;

de donde, luego por la proposición 2.5,. De modo quesatisface (1), (2) y (3), por el teorema 3.1,.

Se procede al intersectar las dos teorías expuestas, se tiene el siguiente resultado, que ha sido difundido por variados autores, entre ellos V. Lakshmikantham em (8).

Lema 4.1.El par (_{^{En , d}} ) con la métrica del supremoden_{^{E n}} definida como

;

donde_{^{u , v ∈ E n}} , es un espacio métrico.

Prueba. Sean_{^{u , v , w ∈ E n}} , entonces

1. Para cada α ∈ [ 0 , 1 ], dado que, luego por propiedades del supremo se obtiene que:

2. Sea, entonces, por propiedades del supremo,

para todo α ∈ [ 0 , 1 ], luego, entonces

Recíprocamente sientonces, luego

así por propiedades del supremo,, luego.

3. La simetría se satisface, en efecto,

4. Ahora se verifica la desigualdad triangular,

Finalmente, se prueba:

Teorema 4.1.(_{^{En , d}} ) es un espacio métrico completo

Sea.una sucesión de Cauchy en (_{^{E n , d}} ) entoncespara cada α ∈ [ 0 , 1 ], es una sucesión de Cuachy in, que es un espacio métrico completo, así existe unpara cada α ∈ [ 0 , 1 ] tal que

Se considera la colección, y cadalo que satisface (1); sea, entonces

con lo cual

y esto indica, segun la proposición 2.2, que, liego se satisface (2); seauna sucesión decreciente en [ 0 , 1 ] que converge acon lo cualparaluego,

ahora sea, asípara todo, entonces

de modo quepor la proposición 2.2y por consiguiente

.

Por tanto, se satisface la condición (3) de que

.

Entonces al satisfacer (1), (2) y (3), se aplica el teorema 3.1, con lo cual, existe untal quepara todo. Además,

para todo, debido a quees una suceción de Cauchy en (_{^{E n , d}} ). Tomando el límnite cuando, se obtiene

para todo, por tantopara todoes un espacio métrico completo .

Los conceptos arriba expuestos, se extienden y profundizan en ⁸, ⁹ y ⁽¹⁰ en donde el horizonte se amplía y abre lejanas perspectivas.

De las secciones anterior resulto un nuevo espacio métrico, la idea ahora es realizar una comparación con otros espacios métricos ¹¹ relacionados con subconjuntos difusos.

Sean A, B subconjuntos difusos del universo X cualquiera, la distancia de Hamming se define como

,la distancia euclídea como

y la distancia de Tchebyschev como

.

Se resaltar que dichas distancias se encuentran entre dos subconjuntos difusos con el mismo universoXy se puede afirmar que cuanto mayor sea la similitud de los subconjuntos difusos, la distancia es menor.

En el espacio (_{^{E n , d}} ) solo intervienen subconjuntos difusos decon restricciones particulares ya expuestas, para estas tres distancias, no hay restricción alguna, así que se obtiene una bifurcación de los subconjuntos difusos, y por consiguiente no estan muy relacionadas. Además la información obtenida de las tres distancias es muy débil, mostrando una cualidad muy general, que es grado de similaridad de dos subconjuntos dados. Mientras que en el espacio (_{^{E n , d}} ) , se comparan los α-cortes con la métrica de Hausdorff, es decir, se le está dando analisis a cada.

Se presenta una situación en donde se calculan las cuatro distancias. Sean_{^{u , v ∈ E1,}} como lasFiguras 1 y 2, y matemáticamente definidos de la siguiente forma:

De esta forma podemos decir que los α - cortes son

Figura 1.
Representación gráfica del subconjunto difusos u(x)

Figura 2.
Representación gráfica del subconjuntos difusos v(x)

Luego se tiene queparapara. Por tanto

Para las otras disposiciones se tienen los siguientes cálculos, para la distancia de Hamming

para la distancia euclídea

y para la distancia de Tchebyschev

Por los gráficos se observa que los subconjuntos difusos son similares y esto se ve representado en las tres distancias, ya que se acercan a 0. Mientras que con la métrica del espacio_^E1 , no tienen relación, al realizar los cálculos, es necesario el análisis de los α-cortes, osea que, en casos de aplicaciones, se tendrá que analizar parte por parte del subconjunto difuso, proporcionando más información de su significado.

La construcción de la métrica de Hausdorff enes una edificación desde la definición de distancia entre un punto y un conjunto acotado no vacío, con ella se produce un nuevo espacio métrico completocon los subconjuntos compactos de, que además se obtiene, el conjunto de compactos y convexos, es un conjunto cerrado par este espacio métrico.

El espacio_^En tiene dos operaciones cerradas de adición y multiplicación por un escalar entre sus elementos, dado por el principio de extensión de Zadeh y las propiedades del espacio.

Al relacionar el espacio_^En y la métrica de Hausdorff, se enriquece la noción de la métrica de Hausdorff, obteniendo un espacio completo. Esta propiedad permite la utilidad en ambientes diferentes, lo que conlleva a otros rumbos de investigación.

Comparando con otras distancias entre subconjuntos difusos, se puede afirmar que en (_{^{En , d}} ) se necesita analizar cada elemento del espacio para poder obtener su distancia con otro, luego es necesario un mayor detalle y con eso conocer mejor su naturaleza.