Introducción

El estudio de imágenes diagnósticas por medio de contraste consiste en inyectar una tinta en el sistema circulatorio del paci&e observando su flujo y posibles obstrucciones que determinan anomalías en el sujeto; de esta forma se buscan diseñar instrum&os y estrategias para la solución de tal problemática. En la matemática morfológica se han encontrado algunas respuestas de los análisis de las imágenes de operadores, filtros, &re otros ^[8], ^[1] pero la lógica clásica implem&ada en estos procesos limita la calidad de los resultados, como lo estudiado en ^[2], donde los autores describen problemas de ruido, detección de regiones apropiadas para realizar el análisis, debido a que la imagen está en una escala de grises y no solo en blanco o negro. Es por ello que la lógica difusa se convierte en un instrum&o que ofrece la mayor información en la escala que se construya y al aplicar ciertos operadores, se obtendrá la información relevante para el diagnóstico perdiendo la menor cantidad de datos pero eliminando los posibles ruidos.

Un posible camino es estudiar los operadores de erosión y apertura para obtener la mayor cantidad de información en la menor cantidad de iteraciones en el proceso como se sugiere en ^[8].

Preliminares

Los operadores de erosión y apertura junto con sus propiedades demandan la pres&ación de algunos conceptos inher&es a la teoría de retículos y la lógica difusa, &re otros.

Retículos residuales

Definición 1: Sea un retículo y * una operación binaria definida en L, se dice que es un retículo residuado si existe una operación binaria en L , que satisface:

En caso de que sea un retículo completo, &onces es un retículo residuado completo. La estructura anterior posee las sigui&es propiedades

Lema 1. [11] , [14] Sea un retículo residuado completo, &onces para x, y,z elem&os de L, se tiene que:

T- normas

Las normas triangulares [15], mejor conocidas como t-normas permiten una generalización de la intersección &re conjuntos difusos.

Definición 2. Una t- norma es una operación que satisface:

Para todo

* no es decreci&e en ambos argum&os, es decir,

1 *x =x y 0*x=0 para todo x en [ 0 , 1 ]

El concepto anterior, se relaciona con el de continuidad en [0,1] x [0,1], tal como se pres&a en el sigui&e,

Lema 2.^[3] Sea una operación binaria, si f es no decreci&e en x &onces f es continua a izquierda en x si y solo si para cualquier se cumple que :

De la misma forma, f es continua a derecha si:

Dada la estructura de orden y topológica que el intervalo [0,1] posee como subespacio de ℝ, es posible considerar la naturaleza de * con respecto al concepto de continuidad; desde esta perspectiva, siguiendo a ^[3] se tiene que es un retículo residuado completo con * una t-norma continua a izquierda.

Relaciones difusas

En el desarrollo de la matemática difusa uno de los conceptos fundam&ales es la de membresía o pertenencia de un elem&o a un conjunto, el cual no está determinado únicam&e con 0,1 sino que es multivaluado ^[11] modificando así la concepción de algunos conceptos &re los cuales se encu&ran las relaciones internas de un conjunto.

Se define una relación difusa R mediante una función ; igual que en el caso clásico es posible caracterizar las propiedades que posea, es por ello que se extiende el concepto de preorden al ambi&e difuso, con un retículo residuado completo (se &enderá por , el elem&o máximo y mínimo respectivam&e de la estructura).

Definición 3 Sea y X un conjunto, una relación difusa (binaria) R en X es un *-preorden difuso si satisface:

1. 1. R(x, x) = > para todo x ∈ X (Reflexiva)
2. 2. R(x, y) *R(y,z) = R(x,z) para todo x, y,z ∈ X (Transitiva).

Además del concepto de *-preorden difuso, aparecen de manera natural los conceptos de relación * -tolerante cuando R es reflexiva y simétrica i.e. R(x, y) = R(y, x) para todo x, y ∈ X; R es una relación * -equival&e si es un * - preorden difuso y es simétrica, junto a ello Rop es la relación opuesta de R, i.e. R^op (x, y) = R(y, x), en caso que se satisfaga que R(x, y)*R(y,z) ≥ R(x,z) se dirá que R es antitransitiva respecto a *.

Algunos operadores morfológicos difusos

Por medio de los operadores morfológicos es posible abarcar el reconocimi&o de imágenes con el estudio de ciertos detalles específicos sin llegar a alterar la imagen global, sino actuando en elem&os estructurales que se definan previam&e; esto se logra a partir de los operadores de dilatación y erosión, los cuales son los elem&os constitutivos de cualquier otro operador que se pueda definir. En las líneas que siguen, se &iende por elem&o estructural a un subconjunto del conjunto en estudio.

En ^[9] se definen los operadores erosión y dilatación en respectivam&e por,

donde

Se extienden las ideas anteriores tomando un conjunto arbitrario X y una relación difusa R la cual es la proyección del concepto de elem&o estructural y en consecuencia se denomina relación estructural, así las ecuaciones (1) y (2) se definen en un contexto difuso por medio de , se denota a LX como el conjunto de todas las funciones de X en L, esto es, el conjunto de todos los subconjuntos L.-difusos de X.

Definición 4.Dada una relación difusa , los operadores erosión y dilatación de son,

Con la composición de los operadores antes definidos es posible crear operadores que nos brinden mayor exactitud en el reconocimi&o de detalles específicos de una imagen ^[9], uno de ellos es el operador apertura el cual consta de la composición del operador erosión seguido del operador dilatación,i.e. ; dicho operador es usado especialm&e para eliminar regiones pequeñas y protuberancias.

Si se sustituye a los conceptos previos se extienden como sigue,

Definición 5. Sean , X un conjunto y R, S relaciones difusas en X. Las operaciones &re R y S se define como,

Por lo demostrado en ^[9] se tiene que forman un par adjunto, esto es:

Teorema 1. (^[9])Sean , X un conjunto y Q,R,S relaciones bonarias difusas en X &onces

Relación estructural en los operadores de interior morfológicos difusos

Al abordar el estudio de las propiedades de los operadores apertura y erosión definidos en la sección anterior, se pres&an otros objetos relacionados.

Definición 6: (^[13],^[5]) Un operador es un operador interior difuso en X si se verifica:

1. 1. para todo subconjunto difuso ,
2. 2. para todo
3. 3. para todo

Se pres&a el concepto de operador .-coher&e con en otro caso

Definición 7. Sean , X un conjunto y un operador ; se dice que C es *-coher&e si

para todo y para todo .

Lo anterior conlleva el sigui&e enunciado,

Teorema 2. Sean X un conjunto y , los operadores apertura y erosión son *-coher&es.

Demostración . Sea y

por lo tanto,

De manera análoga se tiene para .

Es oportuno notar que lo afirmado es independi&e de la relación estructural R que se tome, lo cual no ocurre al estudiar el concepto de interior con los operadores morfológicos en general, es necesario restringir a R, con lo cual se tiene que,

Teorema 3. Si R es reflexiva y Rop es *- antitransitiva &onces es un operador interior.

Demostración. Si y

por tanto,

De la definición de t-norma y la monotonía en el segundo argum&o de se satisface: si &onces .

Por lo anterior solo resta verificar que si R es reflexiva,

ahora si R es .-antitransitiva,

por lo tanto, en caso que R sea reflexiva o *-antitransitiva se satisface que:

Los anteriores resultados, llevan a formularse la cuestión en torno a la relación &re los operadores erosión y apertura, con facilidad se tiene que

Corolario 1. Sea se tiene que para todo

Al profundizar en las relaciones de *-equivalencia, se encu&ra en ^[6] que el operador erosión posee las sigui&es propiedades,

Lema 3. Sea R una relación de *-equivalencia, se satisfacen las sigui&es propiedades,

1. 1. es un operador interior,
2. 2. para cualquier ,
3. 3. para cualquier constante

Tratando de formular lo correspondi&e al operador apertura, se tiene el sigui&e lema,

Lema 4. Sea R una relación de *-equivalencia, se satisfacen las sigui&es propiedades,

1. 1. para cualquier
2. 2. para cualquier constante
3. 3. para cualquier ,

Demostración. Con base en las propiedades del corolario 1 y el lema 3,

Sea

Sea

Sea

Con el objeto de relacionar los lemas anteriores se componen los operadores apertura y erosión,

Teorema 5. Sea R un *-equivalencia se tiene que,

Demostración Es evid&e que , además se tiene,

de lo anterior se tiene que,

Aplicación

Materiales y Métodos

Un uso de los resultados pres&ados en la sección anterior se encu&ra en el filtro de imágenes en escala de grises, lo cual fue explorado por Forero en ^[10], en este caso se enfocará en imágenes médicas obtenidas por medio de contraste, la imagen que se implem&ará es una arteriografía por substracción digital con el método de Seldinger tomada de la Figura 1. 7 de ^[12] en formato JPEG, con dimensiones 1441 x 1441 pixeles, para ello se implem&ó el lenguaje Python y el paquete pymorph el cual permite aplicar los operadores erosión y apertura en el caso clásico, admitiendo un elem&o estructural binario.

Figura 1
Imagen original (arteriografía por substracción digital con el método de Seldinger) y elem&os estructurales.

Con el propósito de &ender la interpretación que realiza el computador de la imagen de estudio es necesario observar la Figura 2, en ella se tiene la implem&ación de los operadores, erosión, apertura y dilatación en el caso clásico, lo cual consiste en trasladar el elem&o estructural a la imagen original, en la Figura 2, el elem&o estructural (observe el círculo rojo en la Figura 2 se sitúa en cada píxel; se toma en el caso de la dilatación la intersección del elem&o estructural con la imagen y en caso de que alguno de los píxeles este pintando, se colorea el píxel, en caso contrario se deja en blanco, una explicación más detallada del caso clásico de la implem&ación de cada uno de los operadores antes mencionados en lenguaje Matlab - Ptyhon puede verse en ^[7].

Figura 2
Aplicación de los operadores clásicos, verde ganancia, rojo perdida, azul valor original.

En algunos casos es complicado determinar la diferencia &re las líneas sanguíneas y los órganos, para ello se debe tener un rango en el cual se pueda filtrar qué elem&os de la imagen son vitales para el diagnóstico del médico, esto se logra por medio del paquete OPENCV en Python, específicam&e el comando inRange el cual permite filtrar la imagen extrayendo los colores que se determinen; en este caso se optó por una escala de grises obtenidas con ayuda de la conversión de la imagen en formato HSV con el comando COLOR_BGR2HSV del mismo paquete, lo anterior simula la función de pertenencia del conjunto difuso que se está formando, cuyos elem&os son los píxeles de la imagen y su rango de pertenencia es obtenida tras la implem&ación del comando inRange.

Con los datos resultantes se procede a implem&ar el paquete pymorph y los códigos del operador apertura y erosión, con un elem&o estructural generado por un arreglo de 4.4 píxeles ajustado de forma adecuada para comprobar los resultados teóricos pres&ados en la sección anterior (se tomó el paquete pymorph sin modificar el código fu&e debido a que la t-norma que implem&a es la del mínimo).

Resultados

Se tiene pres&e que al filtrar imágenes de resonancia por medio de contraste del tórax con el paquete pymorph se debe tomar un elem&o estructural adecuado. Si se quiere observar rastros sanguíneos es óptimo utilizar líneas d&ro de un arreglo de píxeles.

Es oportuno preguntar qué ocurre si solo se tiene el caso clásico de blanco y negro o una tonalidad de gris y negro. La Figura 4 se construye al tomar un rango de pertenencia dada por una tonalidad clara (inferior izquierda), oscura (inferior derecha) y media (superior derecha) del color gris (en formato RGB son respectivam&e, (211,211,211), (120,120,120) y (173,173,173)) y se aplica el operador apertura a cada una de las imágenes generadas al aplicar el rango de pertenencia a la imagen original. Al unir estos intervalos de pertenencia en la escala (superior izquierda) se obtiene que la superposición de una con la otra da un mejor panorama de la imagen a analizar. Es así como se hace necesario una lógica de más de dos valores. Como se mostró en el sección anterior, si se aplica un número par de veces el operador apertura siempre que la relación estructural cumpla las condiciones del Teorema 4 es lo mismo que aplicarlo dos veces (debido a la idempotencia del operador), lo cual deviene en una reducción en las iteraciones que debe realizar el ordenador para arrojar la resonancia aplicando un filtro que genere como resultado tan solo las cavidades sanguíneas del paci&e. En este caso se toma una relación estructural clásica, donde el elem&o estructural es un cuadrado de 2.2 píxeles. En la Figura 5, se exhibe la imagen original y el operador apertura aplicado una y diez veces.

Figura 3
El rojo indica ruido no eliminado y no el daño original en el sistema circulatorio del paci&e.

Figura 4
Operador apertura clásico aplicado con difer&es rangos de pertenencia

Figura 5
Operador apertura difuso con relación estructural reflexiva.

Ahora, la Figura 6 se obtiene al filtrar con una relación (elem&o estructural forma de L d&ro de un cuadro de 4.4 píxeles) que no satisface las condiciones del Teorema 4, para así resaltar la pérdida de información en el resultado que incide negativam&e en el juicio del facultativo; al evaluar que elem&os son taponami&os y cuáles son naturales del sistema circulatorio del paci&e; el ruido que aparece está resaltado en rojo.

Figura 6
Operador apertura difuso con relación estructural no reflexiva ni *-antitransitiva.

Discusión

En el estudio de imágenes diagnósticas es necesario la eliminación de ruidos para determinar anomalías del paci&e, sea en la búsqueda de deformidades del feto como lo estudiaron A. P. Ballesteros, L. C. López, R. Herrera en ^[2] o taponami&os sanguíneos vistos en la sección anterior; esto último no es posible al aplicar los operadores morfológicos clásicos en Python por medio del paquete pymorph, debido a que admite tan solo un elem&o estructural bivaluado. Es allí donde la contemplación de una relación estructural y la aplicación del rango de pertenencia de los valores a filtrar es necesario, en dicha búsqueda se encu&ran los operadores morfológicos difusos y el intervalo de pertenencia se determina a partir del mínimo y máximo valor en la escala de grises de la imagen de estudio.

Además si se pregunta qué operador aplicar a una imagen médica por medio de contraste en escala de grises es pertin&e recordar por lo demostrado en el Coralario 1 que el operador apertura poseerá mayor información que la erosión; y, si se tiene en cu&a una relación estructural adecuada, a su vez tendrá toda la información relevante con el menor ruido posible ya que podrá tener mayor información el operador apertura; pero si está en su gran mayoría es ruido es infructuosa dicha información por lo tanto si se conjuga el Corolario 1 y el Teorema 4 se tendrá que la mejor opción es el operador apertura con una relación estructural bien sea reflexiva o -*antitransitiva.

Conclusiones

La importancia de la matemática morfológica radica en el uso práctico que se le dé. Para mencionar solo un par de posibles aplicaciones en campos difer&es, ver por ejemplo su utilización en la detección de nódulos pulmonares en radiografías de tórax ^[1] o la id&ificación de lagunas y cuerpos de agua en imágenes geo-satelitales de alta resolución ^[16]. Un ejemplo más concreto del uso de los operadores propuestos, se pres&ó en la sección 5 en imágenes en escala de grises muy usadas en diagnósticos de arteriografía. Es por ello que si se tienen pres&es los resultados en la elección de una relación estructural adecuada reducirá las iteraciones que deba realizar el computador para arrojar la imagen con la eliminación del ruido y perdida mínima de información relevante, además si se trabaja con el operador apertura es posible obtener menor ruido en la imagen que lo arrojado por la erosión.

Las implicaciones c&rales en este artículo son:

• Si se tiene que para todo , se satisface que .

• Si R es reflexiva y Rop es *- antitransitativa &onces /es un operador interior, además, si R es reflexiva o *-antitransitativa &onces es un operador interior.

• Si R un *-equivalencia &onces

Agradecimi&os

Los aportes brindados por los evaluadores permitieron el crecimi&o del pres&e artículo, por ese motivo extendemos nuestros más sinceros agradecimi&os, además a los editores de la revista por su paciencia durante el proceso de publicación

Referencias

[1] J. Aguillón, S. Duarte, R. Herrera, "Realce de candidatos a nódulo pulmonar en radiografías de tórax por medio de filtros de convergencia". Revista de Ingeniería, vol. 19, No. 2, pp. 85-104, 2014

[2] A. P. Ballesteros, L. C. López, R. Herrera,"Segm&ación y conteo de las líneas de la nariz del feto en imágenes ecográficas de las 11-13+6 semanas de gestación". Revista de Ingeniería, vol. 20, No. 1, pp. 65-78, 2015.

[3] R. Belohlávek, "Fuzzy relational systems, Ingeniera and Principles". IFSR International Series on Systems Science and Engineering, vol.20, Kluwer Academic/ Plenum Publishers, NewYork, 2002.

[4] N. Bunce, R. Mohiaddin, "An Atlas of Contrast-Enhanced Angiography", The Parthenon Publishing Group, 2003.

[5] R. Belohlávek, T. Funiokova, "Fuzzy Interior Operators", International Journal of General Systems, 2004.

[6] N. Carmona, J. Elorza, J. Recasens, J. Bragard, "Permutable fuzzy consequence and interior operators and their connection with fuzzy relations". Information Sciences, Volumen 310, 20 July 2015.

[7] R. Chityala, S. Pudipeddi, "Image Processing and Acquisition using Python". Chapman Hall CRC Mathematical and Computational Imaging Sciences, 2014.

[8] E. Dougherty, R. Lotufo, "Hands on Morphological Image Processing". SPIE Publications, 2003.

[9] J. Elorza, R. Fu&es-Gonzalez, J. Bragard, P. Burrillo, "One relation between fuzzy closing morphological operators, fuzzy consequence operators induced by fuzzy preorders and fuzzy closure and co-closure systems". Fuzzy sets and systems, pp. 73-89, May 2013.

[10] W. Forero, "Relaciones difusas inducidas por el operador morfológico clausurativo difuso". Trabajo de Grado, Universidad Distrital Francisco José de Caldas, 2015.

[11] U. Hohle, "Non-Classical Logics and their Applications to Fuzzy Subsets". Springer Science+Business Media, 1995.

[12] A. R. Iturralde, "Urgencias urológicas". Ciencias Médicas, 2008.

[13] J. Luna, C. Ochoa, "Interior Operators and Topological Categories". Advances and Applications in Mathematical Sciences, vol. 10, Issue 2, 2011, pp. 189-206, 2011.

[14] D. Pei, "Fuzzy logic Algebras on Residuated Lattices". Southeast Asian Bulletin of Mathematics, 2004.

[15] O. Salazar, J. Soriano, "Las leyes de tercero excluido y contradicción como valores límite en lógica difusa". Revista de Ingeniería, vol 16, No. 1, pp. 50-59, 2011.

[16] G. Torrijos, "Extracción de cuerpo de agua utilizando técnicas de análisis de mezcla y morfología matemática". Revista de Topografía Azimut, vol 4, pp. 53-60, 2012.

Notas