1 Introducción

Las Redes de Petri (RP) son conocidas como un modelo potencial para el análisis y control en Sistemas de Eventos Discretos (SED) concurrentes y asincrónicos. En contraste con ello, siempre es deseable preservar en la representación aspectos importantes tales como disponibilidad y preservación de recursos simples, ausencia de conflictos entre procesos, reiniciación del sistema, no bloqueo del sistema, entre otros; en los cuales se centra el análisis de SED. Ahora, construir una RP conteniendo algún aspecto como los mencionados anteriormente, pasa por una primera reconfiguración, cuando es posible. Así, nuestro interés está centrado en establecer argumentos teóricos para responder sobre la tenencia o no de los aspectos nombrados arriba.

Convencionalmente, las herramientas para el análisis de SED usado RP están fundamentadas en el Árbol de Alcanzabilidad y las Ecuaciones Matriciales. Ambas técnicas, son expresadas directamente en términos del comportamiento dinámico de la red. Sin embargo, la direccionalidad de los argumentos establecidos en este artículo para el análisis es vinculante con la estructura propia de la red y no de su dinámica. Los resultados más resaltantes establecen, bajo ciertas condiciones, la relación entre la ausencia de conflicto y la independencia de la ocurrencia de eventos, permitiendo desde un punto de vista teórico algunas caracterizaciones bajo estructuras de libre decisión, de libre escogencia, seguras y no bloqueadas.

La organización de este material es como sigue: Comenzamos dando las definiciones básicas de la teoría de las RP e incluiremos su comportamiento dinámico. Luego, expresamos conceptualmente algunas de sus propiedades junto con su formalidad matemática; para finalmente, establecer los resultados teóricos de análisis y su aplicabilidad.

2 Definiciones Básicas

Una Red de Petri (RP) es un cuádruple R = (L,T,E, S) donde es un conjunto finito de lugares, es un conjunto finito de transiciones, es una función de entrada: para cada es llamado multiconjunto de lugares de entrada para t ( denota el multiconjunto con números de ocurrencias ilimitado); y es una función de salida: para cada es llamado multiconjunto de lugares de salida para t.

Ahora, para determinar el comportamiento dinámico de la red damos paso a la representación de estatus de lugares asociando a cada lugar de la red un número natural que especifica un significado preciso de la condición del lugar. Formalmente, una RP marcada es un par M = (R,m), donde R es una RP y m : es una función de marcación (o marcación): para cada es llamado número de fichas en el lugar ; la cual especifica un vector m = (m1,m2, . . . ,mn), n = cardL,m_i 1, 2, . . . , n con m(l_i) = m_i(Castellano , 2006; Mata y col., 2015; Peterson , 1981).

Las RP marcadas pueden ser representadas por grafos dirigidos donde los lugares son representados por círculos y las transiciones por barras. Si un lugar es un lugar de entrada para una transición t ; es decir entonces hay (número de veces que li está en el multiconjunto de lugares de entrada E(t)) arcos dirigidos del correspondiente círculo a la correspondiente barra. Si un lugar es un lugar de salida para la transición t; es decir, entonces hay (número de veces que está en el multiconjunto de lugares de salida S(t)) arcos dirigidos de la correspondiente barra al correspondiente círculo. Finalmente, las fichas son representadas por puntos en el interior del círculo y, en consecuencia, la función de marcación es representada por el número de puntos en el interior de cada círculo (ver fig 1.).

En relación al comportamiento dinámico de una RP debemos considerar que una marcación representa el estatus de cada uno de los lugares en la red. Así, ésta especifica exactamente el estado actual del sistema que establece las condiciones lógicas para la ocurrencia de eventos, luego, una vez que ocurra un evento las condiciones del sistema varían dando lugar a una nueva marcación o estado. Más precisamente, una transición en una RP marcada M = (R,m) es llamada habilitada si para todo lugar En este caso también diremos que la transición t es habilitada por la marcación m. El conjunto de transiciones habilitadas por la marcación m es dado por

Ahora, si entonces la marcación dada por = card L, es llamada marcación alcanzable desde m por el disparo de t. Además, si y esta es disparada obtenemos como antes una marcación y así sucesivamente. Por lo tanto, se obtiene una función de cambio de marcaciones, la cual puede ser extendida de manera natural; es decir, si la función de cambio de marcaciones card L, es dada por donde entonces su extensión es la función parcial , dada por Aquí, denota el monoide libre con unidad es el conjunto de todas las combinaciones finitas de elementos de T (Eilemberg , 1974). Finalmente, como es una extensión de no haremos distinción notacional entre ambas.

Note que la función parcial de cambio de marcaciones está definida en (m, t) sí, y solamente sí,

Por su parte, en una RP marcada una marcación card L, será llamada alcanzable desde sí existe una sucesión de disparos de transiciones tal que Luego, el conjunto de alcanzabilidad de la RP desde la marcación es dado por

Por ejemplo, en la RP marcada dada en la Fig 1, El disparo de conduce a la marcación dada en la Figura 2.

3 Propiedades

En muchos sistemas encontramos que las ocurrencias de diferentes eventos están atadas a una precondición común (condiciones necesarias para la ocurrencia de eventos); dualmente, atadas a una postcondición común (condiciones resultantes de la ocurrencia de eventos). Cuando este no es el caso: no hay precondiciones ni postcondiciones comunes entre eventos diferentes; entonces la ocurrencia de un evento es “independiente"de la ocurrencia de los otros. Esto es apropiado para decir que la estructura de red para esta clase de sistemas es de libre decisión. Esto es,

Definición 1 Una RP R = (L,T, E, S) es llamada de libre decisión si para cualesquiera

Otra propiedad importante, relativa a la estructura de una RP, es la libre escogencia. Tal propiedad es incluida para representar la ocurrencia de diferentes eventos “dependientes" de la misma precondición (ver figura 3.(a)), la cual definimos como sigue.

Definición 2 Una RP R = (L,T ,E, S) es llamada de libre escogencia si para todo par se tiene que para algún

Sea un lugar en una RP marcada representando, por ejemplo, un depósito de almacenamiento o una cola de capacidad infinita, y sea m(l) representando el número de espacios vacíos en el depósito o el número de clientes en espera en una cola respectivamente, en la marcación m. Entonces, el acotamiento de para algún garantiza la ausencia de capacidad de desbordamiento de . Finalmente, si representa un recurso simple entonces debe ser acotado por 1 indicando con ello la disponibilidad o no del recurso.

Definición 3 Un lugar en una RP marcada M = es llamada k-acotado si existe tal que para todo Si todos los lugares en la red son k-acotados, entonces la red es llamada k-acotada o simplemente acotada. En particular, si la red es 1-acotada diremos que la red es segura.

Por otro lado, el conflicto en un SED es un rasgo indeseable; por ejemplo, en Sistemas de manufactura éste podría implicar algún grado de injusticia en la asignación de recursos compartidos por diferentes procesos. Para evitar, de manera general, un conflicto en un SED incluiremos una estructura de red marcada que garantiza que cualquier evento posible, en cualquier estado del sistema, puede ser inhabilitado solamente por su propia ocurrencia. Más precisamente,

Definición 4Una RP marcada es llamada persistente si para todo y todo par se tiene que

Un estancamiento en un SED significa que en algún estado del sistema no puede ocurrir ningún evento. Para evitar esto, incluiremos una clase de redes llamadas no bloqueadas que, adicionalmente, aseguran que todos los procesos modelados pueden ocurrir.

Definición 5Una RP marcada es llamada no bloqueada (viva) si para toda marcación y toda transición existe una marcación alcanzable desde m tal que

La reiniciación implica el comportamiento cíclico de un sistema. Por lo tanto, el sistema puede ser inicializado desde cualquier estado alcanzable. Esto es,

Definición 6 Una RP marcada es llamada reiniciable si para toda marcación A(R,m).

Finalmente, la consistencia de una RP significa que hay una sucesión de disparos de transiciones que permite retornar una marcación así misma, disparando todas las transiciones en la red. Esto es,

Definición 7 Una RP es llamada consistente si existen una marcación y una sucesión de disparos de transiciones σ, con tal que toda transición de T aparece por lo menos una vez en σ.

(Murata , 1989; Peterson , 1981)

4 Análisis de RP

En esta sección serán dados los argumentos teóricos para el análisis de RP, los cuales caracterizaran la clase de redes persistentes mediante la estructura propia de la red.

Proposición1Si R = (L,T, E, S) es una RP de libre decisión, entonces es persistente.

Demostración

Sea y sean Como R es de libre decisión, entonces Sea la componente i-ésima de Si entonces

Finalmente, si entonces de donde, En consecuencia, Luego, para todo L. Por lo tanto, Luego, M es persistente.

Teorema 1Si M = es una RP marcada persistente, entonces para toda marcación m y todo par de transiciones con se tiene la propiedad siguiente:

Demostración

Sea y sean con entonces para todo Sea entonces en particular Supongamos que entonces por la persistencia de así Luego, Ahora, si entonces de donde lo cual es contradictorio.

Finalmente, si entonces Luego, usando el razonamiento previo tenemos que con lo cual llegamos a la contradicción Por lo tanto,

Corolario 1 Dada una RP segura. Si M es persistente, entonces para cualesquiera se tiene la propiedad siguiente:

Demostración

Sea entonces m(l) > 1, lo cual contradice la seguridad de M.

Observación 1Una consecuencia inmediata del corolario 1 es que si entonces con lo cual, para redes seguras, M es persistente si, y solo si, Más aún, M es persistente si, y solo si, R es de libre decisión.

Teorema 2Dada una RP marcada donde E y S tienen rango en el conjunto potencia de L. Supongamos que para toda marcación todo par y todo lugar se tiene que entonces M es persistente.

Demostración

Sea y sean , con Si entonces por hipótesis de donde

Por otro lado, si entonces consideramos los casos siguientes: Así, Finalmente, El caso es trivial. Luego, para todo Por lo tanto, Luego, M es persistente.

Teorema 3Dada M = una RP marcada no bloqueada, donde R es de libre escogencia. Supongamos que las funciones de entrada y salida tienen rango en el conjunto potencia de L. Entonces, la persistencia de M implica que para cualesquiera se tiene la propiedad siguiente:

Demostración

Supongamos que existen transiciones y tales que Como R es de libre escogencia, entonces El no bloqueo de M asegura que existe tal que ; luego, m(l) > 0 y en consecuencia Sin pérdida de generalidad, supongamos que y sea donde veces, entonces claramente pero Por lo tanto M no es persistente.

Observación 2Note, desde el teorema 3, que si entonces de donde, para redes de Petri marcadas no bloqueadas con estructuras de libre escogencia, M es persistente sí, y solo si, Más aún, M es persistente si, y solo si, R es de libre decisión.

5 Caso de Estudio

En esta sección incluiremos algunos ejemplos para mostrar los argumentos teóricos dados anteriormente.

Ejemplo 1 Sea la RP dada en la figura 4.

Claramente, las intersecciones entre los multiconjuntos de entradas correspondientes son vacios. Así mismo, las intersecciones entre los multiconjuntos de salidas correspondientes son vacios. Por lo tanto, dicha red es libre desición y en consecuencia desde la proposición 1, es persistente.

Ejemplo 2Consideremos la siguiente red.

Ella es claramente segura. Más aún, las intersecciones son vacías. Así, desde la observación 1, el sistema está ausente de conflicto.

Ejemplo 3 Sea la RP no bloqueada dada en la siguiente figura.

Claramente las intersecciones son vacías, entonces la RP es de libre escogencia. Se sigue, de la observación 2, que la red es persistente.

Ejemplo 4 Consideremos la RP ilustrada a continuación

Esta red es no bloqueada, pero luego, desde la observación 2, la RP en cuestión no es persistente. Por otro lado, el análisis puede ser hecho desde la observación 1. En efecto, la red es segura pero no es libre decisión. Por lo tanto, no es persistente.

6 Conclusión

El modelo RP verificando los argumentos teóricos establecidos en la sección 4 proporcionan una estructura para estudiar un amplio rango de SED, donde la estructura de la red es conocida indistintamente de la naturaleza del fenómeno estudiado. De hecho, la ausencia de conflicto (persistencia) no es en general una característica propia del sistema, sino un intento de añadirla bajo ciertas condiciones; más aún, esta podría ser irrealizable materialmente. El resultado final es la construcción de un modelo RP caracterizando las condiciones establecidas.

Agradecimientos

Se hace especial agradecimiento al CDCHTA, ULA-Mérida por el financiamiento parcial de los proyectos de códigos: C-1941-15-05-D y I-1441-15-02-ED.

Referencias

Castellano C, 2006, Consideraciones para el modelado de sistemas mediante Redes de Petri, Revista Ciencia e Ingeniería, UPM, Madrid, ISSN 1316-7081, Vol. 27, No. 2, pp. 49-58.

Eilemberg S, 1974, Automata, languages and machines, Academic Press, New York, Vol. A.

Mata G, Méndez A, Cardillo J, Chacón E, 2015, Modelación de exclusión mutual de sistemas de eventos discretos con Redes de Petri, Revista Ciencia e Ingeniería, ULA., Vol. 36, No. 2, pp. 111-120.

Murata T, 1989, Petri Nets: properties, analysis and applications, Proceedings of the IEEE, Vol. 77, No. 4.

Peterson J, 1981, Petri net theory and the modeling of systems, Prentice Hall, PTR Upper Saddle River, NJ, USA.