1 Introducción

El ejemplo típico de un espacio con rango ω₁ es S_ω, el espacio de Arkhangel’ski˜ı-Franklin (Arkhangel’ski˜ı AV y col., 1968, Vaughan JE, 2001). En este trabajo presentaremos algunos resultados que dan condiciones suficientes para que un espacio tenga rango secuencial ω₁. Nos enfocaremos en los espacios C_p(X) de las funciones continuas de X en R con la topología de la convergencia puntual. Parte de los resultados se basan en un análisis de la demostración del siguiente Teorema:

Teorema 1.1(Fremlin) Sea X un espacio topológico no vacío. El rango secuencial de C_p(X) es: 1 ó ω₁.

Para demostrar la segunda alternativa del Teorema 1.1 Fremlin construye una función H∶ S_ω → C_p(X) que satisface:

1. 1) lÍm_i→∞H(t^⌢i) = H(t) para cualquier t ∈ S_ω;

2. 2) Si (t_i)_i∈N es una sucesión en S_ω tal que existe t, y (m_i)_i∈N con t^⌢m_i < t_i, m_i < m_i+1 para todo i ∈ N, entonces (H(_ti)_i∈N) no tiene punto límite en C_p(X);

3. 3) H(s) ≠ H(t) para todo s ≠ t ∈ S_ω.

A la función H la llamaremos una F-inmersión, por Fremlin. Además la imagen de S_ω bajo H será llamada una F−copia de S_ω en C_p(X). Lo que permite construir un subespacio numerable de C_p(X) que, aún cuando en general no es homeomorfo a S_ω, tiene rango ω₁.

Por otra parte, contiene una copia de S_ω. En efecto, Stevo Todorcevic y Carlos Uzcátegui (Todorcevic S y col., 2001) mostraron que si (X, ) es un espacio topológico T₂, regular y con topología analítica, entonces X es homeomorfo a un subespacio numerable de . El espacio Arkhangel’ski˜ı-Franklin S_ω satisface dichas hipótesis, es decir S_ω es: T₂, regular y posee una topología (Uzcátegui C, 2003), por lo tanto contiene una copia de S_ω. Por otro lado, un resultado de Arkhangel’ski˜ı-Bella ( Arkhangel’ski˜ı AV y col., 1996) implica que no contiene copias de S_ω. Sin embargo, como veremos más adelante, el rango de es ω₁. Luego, por el Teorema 1.1 es un espacio que contiene una F− copia de S_ω pero no una copia topológica de S_ω. El problema que motivó este trabajo era originalmente determinar las condiciones topológicas de un espacio numerable X para que contenga copias de S_ω. Esto originó una segunda pregunta: ¿es cierto que todo espacio topológico numerable X con Σ(X) = ω₁ contiene copias topológicas de S ω?. Sabemos que es un espacio no numerable que tiene rango secuencial ω₁ y no posee copias topológicas de S_ω. Sin embargo, en este trabajo mostraremos que contiene una copia secuencial de S_ω. Además, en (Baber S y col., 1982) presentan un ejemplo, diferente al espacio , de un espacio no numerable con rango ω₁ que no contiene copias de S_ω.

2 Preliminares y notación

A cada espacio (no necesariamente secuencial) se le asocia un ordinal ɑ ≤ ω₁, llamado el rango secuencial del espacio. Este ordinal acota la iteración más larga posible del operador secuencial que definiremos a continuación.

Definición 2.1Sea X un espacio topológico y A ⊆ X definimos el operador secuencial como:

Cabe destacar que podemos aplicar, de nuevo, el operador secuencial a A⁽¹⁾. Así podemos definir:

y para β un ordinal límite

Cuando este operador secuencial se estabiliza, es decir el menor ordinal β tal que A^(β+1) = A^(β), diremos que la clausura secuencial deA en X es:

Notemos que A ⊆ A⁽¹⁾⊆ A⁽²⁾⊆ . . . ⊆ A^(ɑ). Además, recordemos que la clausura de A se puede obtener como la intersección de todos los conjuntos cerrados que contienen al conjunto A, es decir cerrado}. Por ende, también podemos obtener:

Cl_s(A) = {B ∶ A ⊆ B & Bsecuencialmente cerrado}.

Lema 2.2 A^(ω1) = A^(ω1+1), para todo espacio topológico X y A ⊆ X.

Demostración.

1. (i) Por la definición 2.1 se tiene claramente que A^(ω1) ⊆ A^(ω1+1)

2. (ii) Ahora veamos que A^(ω1+1)⊆ A^(ω1). Consideremos x ∈ A^(ω1+1), asi existe N ∈ N tal que la sucesión (x_n)_n∈N está en A^(ω1), para todo n ≥ N y además x = lím_nx_n. Por otro lado, como (x_n)_n∈N está A^(ω1) y A^(ω1) = ⋃_p<ω₁A^(p), entonces para cada n ∈ N existe ρ_n < ω₁ tal que x_n ∈ A^(ρn). Luego, como unión numerable de numerables es numerable, consideremos = ⋃_n ρ_n < ω₁, en consecuencia (x_n)_n∈N está en A^(ɑ). Entonces x ∈ A^{(ɑ +1)}⊆ A^(ω1).

Definición 2.3El rango secuencial A en X, denotado por ρ(A, X), se define como el menor ordinal ɑ tal queA^(ɑ) = A^(ɑ+1).

Definición 2.4El rango del espacio X se define como:

Notemos que _ρ(A, X), ∑(X) ≤ ω₁, para todo A ⊆ X.

Además:

Lema 2.5 Sea X un espacio topológico, A ⊆ X, y _ < ω₁, entonces A^(ɑ)⊆

En consecuencia, también se tiene:

Corolario 2.6A^(ρ(A,X)) ⊆ , para todoA ⊆ X.

Demostración.

1. 1) Supongamos que ρ(A, X) < ω₁, por el lema 2.5 tenemos que A^(ρ(A,X)).

2. 2) Si ρ(A, X) = ω₁ entonces veamos que A^(ρ(A,X))⊆ A.

3. En efecto, sea x ∈A^(ω1). Recordemos que A^(ω1) = ⋃_ɑ<ω₁A^(ɑ), así sabemos que existe ɑ₀ < ω₁ tal que x ∈ A^(ɑ0) . Lo cual prueba que, x ∈ .

Observemos que A^(ρ(A,X)) es el menor conjunto secuencialmente cerrado que contiene a A, ya que él posee todos los puntos límites de cualquier sucesión convergente en A y sus iteradas hasta ρ(A, X).

Lema 2.7Si X es un espacio Fréchet, entonces Σ(X) = 1.

El abanico secuencial, denotado por S (ω), es el espacio formado por todos los pares ordenados de números naturales junto con un punto más que llamaremos {∞}, es decir: × ∪ {∞} con la siguiente topología: los puntos en × son aislados y los conjuntos de la forma

donde ƒ ∈ , son abiertos. El abanico secuencial es Fréchet, por tanto se tiene que Σ(S (ω)) = 1

Corolario 2.8Si X es un espacio métrico, entonces A^ρ(A,X) = , para todo A ⊆ X. Además el rango secuencialde éste es igual a 1.

Por otro lado, Fremlin (Fremlin DH, 1994) muestra dos resultados de lo complejo que es construir espacios topológicos X tales que ∑ (C_p(X)) = 1. Acá los siguientes resultados:

Ejemplo 2.9 Si X ⊆ Res un conjunto que intersectado con cualquier conjunto de medida cero es numerable (es decir, si X es un conjunto Sierpinski ), entonces ∑(C_p(X)) = 1.

Ejemplo 2.10Sea X un espacio compacto. ∑(C_p(X)) = 1sí, y sólo si, [0, 1] no es imagen continua deX.

En particular, ∑(C_p(2)) ≠ 1. Pues [0, 1] es la imagen continua de 2 y 2 es compacto, entonces por el ejemplo 2.10 se tiene ∑(C_p(2)) ≠ 1. Más adelante demostraremos que si ∑(C_p(2)) ≠ 1, entonces ∑(C_p(2)) = ω₁.

Observemos también, por el ejemplo 2.10, que ∑(C_p([0, 1])) ≠ 1, más adelante veremos que ∑(C_p([0, 1])) = ω₁.

3 Espacio de Arkhangel’ski˜ı-FranklinS_ω

Consideremos el conjunto formado por las sucesiones finitas de números naturales:

Gráficamente

Definamos la siguiente Topología para el conjunto :

Sea U un subconjunto de , diremos que U es abierto sí, y sólo si, para todo t ∈ U se tiene que {n ∈ ∶ t^⌢n ∉ U } es finito.

Al espacio lo llamaremos espacio topológico de Arkhangel’ski - Franklin y lo denotaremos conSω .

Para cada t ∈se define:

Note que N_t es un conjunto clopen (abierto-cerrado) en Sω.

Gráficamente un conjunto N_t es de la forma:

Lema 3.1Sean s y t elementos de, luego s ⪯ t si, y sólosi,N_t ⊆ Ns.

Gráficamente:

La forma de una sucesión convergente o divergente en el espacio de Arkhangel’ski - Franklin, esta dada de la siguiente manera:

Lema 3.2Sea una sucesión en S_ω.

1. (i) Si (∃t ∈ S_ω)(∃(m_n))(∃n₀ ∈ ) tal que t_n = t^⌢m_n conlím_mn = ∞, entonces t_n → t.

2. (ii) Si (t_n) tiene rango finito y no es eventualmente constante, entonces (t_n) no converge.

3. (iii) Si (∃ A ⊆ infinito), (∃t ∈ S_ω) y (∃(m_k)_k∈A ↑) una sucesión tal que (∀k ∈ A) se tiene que t^⌢m_k ≺ t_k, entonces (t_n) no converge.

4. (iv)Si (∃ɑ∈ ), tal que (∀n ∈ ) (∃k ∈ ) se tiene que ɑ ⌈n ⪯ tk, entonces (tn) no converge.

Antes de probar el lema, daremos la idea geométrica de las sucesiones consideradas en los items (iii) y (iv), respectivamente.

Demostración.

1. 1) Probemos [(i)]. Sea U un conjunto abierto en S_ω que contiene a t. Así, se tiene que el conjunto {n ∈ ∶ t^⌢n ∉ U} es finito. Esto implica que, existe n₀ ∈ tal que (t_n) _n≥n0 está en U. Por tanto, t_n → t.

2. 2) Probemos [(ii)].

   Sin perdida de generalidad supongamos que t_n = {t₀, t₁,..., t_k} y t_n → t. Consideremos U = S ω O {tn} un abierto en S_ω que contiene a t. Claramente, tenemos un abierto U que contiene a t y tal que una cola de la sucesión no está en U. Por lo tanto, tn no converge a t.

3. 3) Probemos [(iii)].

   La prueba la haremos por reducción al absurdo. Supongamos que (t_n) converge a s ∈ S_ω. El suponer que (t_n) converge a s implica que s ≺ t_k, para todo k ∈ A. Pues de lo contrario si t_k ⪯ s para algún k ∈ A ó t_k ⊥ s para todo k ∈ A, entonces el abierto N_s no contiene la subsucesión (t_k) ni una cola de ella, lo cual es una contradicción con lo supuesto.

4. Por hipótesis, se sabe que t^⌢m_k ≺ t_k. Así tenemos que:s ≺ t^⌢m_k o t^⌢m_k ≺ s.

   1. a) Si t^⌢m_k ≺ s, entonces t_k ∈ N_s con k fijo pues mk es una sucesión estrictamente creciente y estamos suponiendo que t^⌢m_k ≺ t_k. En consecuencia casi toda la sucesión (t_k) _k∈A no está en N_s. Por lo tanto, (t_k)_k no converge a s. Generando una contradicción con la suposición. Por lo tanto (t_n) _n∈N no converge.

   2. b) Si s ≺ t^⌢m_k, entonces s ⪯ t.

   Si s = t. Consideremos los siguientes conjuntos abiertos que contienen a t^⌢m_k y no contienen a t_k.

Luego, es un abierto que contiene a t^⌢m_k y no contiene a (t_k). Como la sucesión (m_k) es estrictamente creciente, pueden existir algunos n ∈ N tal que t^⌢n ∉ (t^⌢(m_k)), así para estos n′s consideremos los abiertos N_n. Ahora consideremos

El conjunto U es abierto y además contiene a s y no contiene a la subsucesión (t_k). Por lo tanto, la subsucesión (t_k) no converge a s. Obteniendo una contradicción con lo supuesto.

Si s ≺ t, entonces basta considerar el conjunto abierto formado por U y todos los niveles necesarios que separan a s de t para encontrar la misma contradicción, es decir la subsucesión (t_k) no converge a s.

1. 4) Probemos [(iv)].

2. Supongamos que (t_n)_n∈N converge as ∈ S_ω. Como estamos suponiendo que t_n → s, entonces cualquier conjunto abierto que contenga a s también debe contener una cola de la sucesión, probaremos que esto es falso. Podemos considerar que s ⪯ t_kn pues en caso contrario tendríamos que o bien tk_n ≺ s o bien s ⊥ tk_n lo cual implicaria que, al considerar el clopen N_stoda la subsucesión (t_kn) no está en dicho clopen. Si s ⪯ tk_n para infinitos elementos de la subsucesión, entonces construiremos un abierto que contiene a s y no contiene ningún elemento de la subsucesión. Como s ⪯ tk_n, entonces es finito. Así consideremos el siguiente conjunto abierto que contiene a s y no contiene a la subsucesión (tk_n).

Lo cual genera una contradicción con lo supuesto, por lo tanto si tomamos una sucesión como la del item (iv), entonces (t_n) no converge.

El lema anterior nos permite concluir que las únicas sucesiones convergentes en S_ω son eventualmente de la forma s^⌢n_i para alguna sucesión creciente de enteros ⟨n_i⟩, es decir:

Lema 3.3Seauna sucesión. t_n → t ∈ S_ωsí, y sólo si, existen₀ ∈ N, existe (m_n) una sucesión tal que∀n ≥ n₀se tiene que t_n = t^⌢m_n y el conjunto {n ∶ m_n = k} es finito, para cada n.

Una razón muy importante de caracterizar las sucesiones convergentes en S_ω es que podemos construir una inyección continua entre S_ω y los números racionales entre 0 y 1.

Lema 3.4Existeque satisface

1) H(t) es inyectiva

2) lím_i→∞H(t^⌢i) = H(t)

Demostración. Definamos:

H(t) así definida satisface las dos condiciones del lema.

Algunas propiedades notables del espacio S_ω son: es un espacio T₂, regular, cero dimensional, secuencial, no tiene puntos aislados, numerable con topología analítica y no es primero numerable (en (Uzcátegui C, 2003) muestran esto).

Otra razón por la cual es importante tener caracterizadas las sucesiones convergentes en S_ω es que podemos mostrar que ∑(S_ω) = ω₁.

Una pregunta muy natural es: ¿Cómo construir Tɑ⊆ S_ω cuyo ρ(T_ɑ, S_ω) = ɑ ≤ ω₁?. Los siguientes lemas nos responden la interrogante:

Lema 3.5Sean ∈ y ƒ∶ S_ω →N_⟨n⟩definida por ƒ (t) =⟨n⟩^⌢t, entonces ƒ es un homeomorfismo.

Demostración.

1. 1) Probaremos que ƒ es inyectiva. Supongamos que ⟨n⟩^⌢s = ⟨n⟩^⌢t, donde s = ⟨s₀, s₁, ..., s_k⟩ y t = ⟨t₀, t₁, ..., t_r⟩. Puesto que ⟨n⟩^⌢s = ⟨n⟩^⌢t entonces ⟨n, s₀, s₁, ..., s_k⟩ = ⟨n, t₀, t₁, ..., t_r⟩. En consecuencia ⟨s₀, s1, ..., s_k⟩ = ⟨t₀, t₁, ..., t_r⟩. Por lo tanto s = t.

2. 2) Probaremos que ƒ es sobreyectiva. Consideremos t ∈ N_⟨n⟩, entonces existe s ∈ S_ω tal que t = ⟨n⟩^⌢s. Así se tiene que ƒ (s) = t.

3. 3) Veamos que ƒ es continua. Probaremos que ƒ envía sucesiones convergentes en sucesiones convergentes. En efecto, sea (t_n)_n∈N una sucesión en S_ω tal que (t_n)_n∈N converge a t ∈ S_ω. Puesto que (t_n)_n∈N es una sucesión convergente a t en S_ω entonces existe n₀∈ N tal que t_n = t^⌢m_n, para todo n ≥ n₀. Así aplicando ƒ a (t_n) obtenemos que ƒ (t_n) = ƒ (t^⌢m_n) = ⟨n⟩^⌢t^⌢m_n. Ahora bien, podemos notar que ⟨n⟩^⌢t^⌢m_n converge a ⟨n⟩^⌢t y ƒ (t) = ⟨n⟩^⌢t. En consecuencia ƒ (t_n) converge a ƒ (t). Por lo tanto f es continua.

4. 4) Nos hace falta demostrar que ƒ⁻¹ es continua. Demostraremos que sucesiones convergentes en N_⟨n⟩ proviene de sucesiones convergentes en S_ω. Consideremos (ym)m∈N ⊂ N_⟨n⟩ tal que ym → y ∈N_⟨n⟩. Cabe destacar que y = ⟨n⟩^⌢ƒ⁻¹(y) pues ƒ ( ƒ ⁻¹(y)) = y y ƒ ( ƒ ⁻¹(y)) = ⟨n⟩⌢ ƒ⁻¹(y). Puesto que (ym) es una sucesión convergente a y en N_⟨n⟩⊆ S_ω entonces existe rm ∈ N tal que ym = y^⌢rm, para todo m ∈ N. Así para todo m ∈ N se tiene que ⟨n⟩^⌢ ƒ ⁻¹(ym) = ym = ⟨n⟩^⌢ƒ⁻¹(y)^⌢rm. Por ende f⁻¹(ym) = ƒ⁻¹(y)^⌢rm. Lo cual muestra que ƒ ⁻¹(ym) → ƒ ⁻¹(y). Por lo tanto ƒ⁻¹ es continua y finalmente ƒ es un homeomorfismo.

Lema 3.6Para todo ɑ < ω1 y todo n ∈, existe un subconjuntoT en N_⟨n⟩tal queɑ(T, N_⟨n⟩) = ɑ y

Demostración. La prueba la haremos por inducción.

1. 1) Primero mostraremos el caso ɑ finito que ilustra el comportamiento del operador secuencial en S_ω Caso base (ɑ = k).

2. Consideremos T_k = {⟨n₀, n₁, n₂, ..., n_k−1⟩ ∶ n_i ∈,∀i =0, 1, ..., k − 1}. Aplicando el operador secuencial obtenemos:

por lo tanto se tiene que ρ(T_k, S_ω) = k.

Ahora supongamos que el lema es valido para todo β < ɑ.

1. 2) caso ɑ−sucesor (ɑ = β + 1).

2. Aplicando la hipótesis inductiva para β, podemos considerar que existe T_β ⊆ S_ω tal que ρ(T_β, S_ω) = β. Luego, por el lema 3.5, se tiene que para todo n ∈, existe An ⊆ N_⟨n⟩ tal que

3. Consideremos

que geométricamente es de la forma:

Así, aplicando el operador secuencial al conjunto T setiene:

Luego, tenemos

Además, , es decir

Por lo tanto, se tiene que ρ(T, S_ω) = β + 1 = ɑ .

4) caso ɑ−límite.

Consideremos (ɑ_n)_n∈N una sucesión creciente de ordinales convergiendo a ɑ. Por hipótesis inductiva se tiene que para cada n ∈ , existe Tn ⊆ S_ω con ρ(T_n, S_ω) = ɑ_n. Por el lema 3.5 se tiene que, para todo n ∈, existe An ⊆ N_⟨n⟩ tal que . Ahora, consideremos

que geométricamente es de la forma:

Por lo tanto, se tiene que .

Esto finaliza la inducción y demuestra que para todo ɑ< ω₁, existe T ⊆ S ω tal que ρ(T, S _ω) = ɑ. Por lo tanto ɑ(S_ω) ≥ ω₁. Por otro lado, por el lema 2.2 se tiene que el operador clausura se estabiliza en ω₁− iteraciones, por lo tanto podemos concluir que ∑(S_ω) = ω₁.

4 Rango secuencial deCp(X)

El objetivo en esta sección es determinar el rango secuencial de C_p(X) y si es posible determinar hasta qué punto S_ω es un espacio ’test’ para C_p(X), es decir, el espacio de las funciones continuas contiene una copia de S_ω?. Diremos que X contiene una copia de Y, si existe Z ⊆ X tal que Z es homeomorfo a Y.

Un homeomorfismo entre dos espacios topologícos X e Y, es una función biyectiva y bicontinua entre los espacios dados. Una inmersión topológica entre los espacios X e Y es una función inyectiva, abierta sobre su imagen y continua. Claramente si existe un homeomorfismo entre dos espacio, este también es una inmersión topológica, el recíproco es falso.

Definición 4.1 Una función es secuencialmente continua, si dada una sucesión (x_n)_n∈N en X que converge a un punto a ∈ X, entonces . ƒ (x_n)_n∈N converge a ƒ (ɑ) ∈ Y

Una función continua es secuencialmente continua, el recíproco en general no es cierto.

Definición 4.2Sean X e Y espacios topológicos Hausdorff. Diremos que F ∶ X → Y es una inmersión secuencial si:

1. 1) F es inyectiva,

2. 2) F es secuencialmente continua,

3. 3) Sucesiones convergentes en el rango de F provienen de sucesiones convergentes en el dominio de F.

Si existe una inmersión topológica entre dos espacios topológicos X e Y, entonces ésta inmersión también es secuencial. Además, la imagen de X bajo la inmersión secuencial será llamada una copia secuencial de X en Y. Finalmente consideraremos, en este trabajo, otro tipo de inmersión.

Definición 4.3 Una función H ∶ S_ω → Z definida por t → z_t es una F− inmersión si satisface :

1. 1) lím_i→∞ z_t^⌢i = z_t para cualquier t ∈ S_ω;

2. 2) Si (t_i)_i∈N es una sucesión en Sω tal que existe t ∈ S_ω, y (m_i)_i∈N con t⌢mi < ti, mi < mi+1 para todo i ∈ N, entonces (zti)_i∈N no tiene punto límite en Z;

3. 3) zs ≠ zt para todo s ≠ t ∈ S_ω.

Esta función la denominamos una F− inmersión, por Fremlin. A la imagen de S_ω bajo la F− inmersión sera llamada una F− copia de S_ω en Z. Claramente de las definiciones 4.2 y 4.3, tenemos que si existe una inmersión secuencial entre el espacio de Arkhangel’ski˜ı-Franklin (S_ω) y un espacio topológico Z, entonces ésta también es una F-inmersión. Una pregunta natural es que si los siguientes recíprocos se cumplen: si H ∶ S_ω→ Y es una F-inmersión, entonces H es una inmersión secuencial y H es una inmersión topológica.

Ahora, veremos que si existe una inmersión secuencial F∶ X → Y, entonces se cumplen algunas condiciones entre el operador secuencial, el rango secuencial de subconjuntos y el rango entre espacios.

Teorema 4.4Sean X e Y espacios topológicos Hausdorff. Si F ∶ X → Y es una inmersión secuencial, entonces para todo

A ⊆ X se cumple:

1. 1) F(A^(ɑ)) = (F(A))^(ɑ), para todo ɑ ≤ ω₁.

2. 2) ρ(A, X) = ρ(F(A), F(X)).

3. 3) ∑(X) ≤ ∑(Y).

Demostración.

1. 1) La prueba del item 1 la haremos por inducción.

   1. a) Caso base (ɑ = 1).

2. i)Sea x ∈ (F(A))⁽¹⁾. Por definición de operador secuencial se tiene que, existe una sucesión (x_n)_n∈N en F(A) tal que x_n → x. Puesto que, F es una inmersión secuencial, entonces existe una sucesión (y_n) en A tal que F (y_n) = (x_n) para todo n ∈ N y y_n → y. Luego, se tiene que y ∈ A⁽¹⁾. Por ende, también se tiene que F(y) ∈ F (A⁽¹⁾). Pero F(y) = x ∈ F (A⁽¹⁾). Por tanto, F (A⁽¹⁾) ⊆ (F (A))⁽¹⁾.

3. ii) Sea x ∈ F(A⁽¹⁾). Como F es una inyección entre X e Y, entonces F es una biyección entre X y F (X). Así, existe y ∈ A⁽¹⁾ tal que F(y) = x. Por otro lado, tenemos que si y ∈ A⁽¹⁾ entonces existe una sucesión (y_n)_n∈N en A tal que y_n → y. En consecuencia, se tiene que F (y_n) está en F (A). Luego F(y_n) → F (y) ∈ (F(A))⁽¹⁾. Por lo tanto, F (A⁽¹⁾) ⊆ (F (A))⁽¹⁾.

4. Ahora supongamos que el item 1 del teorema esvalido para β < ɑ

   1. b) Caso ɑ− sucesor (ɑ= β + 1). Aplicando la hipótesis inductiva para β, podemos considerar que F (A^(β)) = (F (A))^(β). Luego tenemos que F (A^(ɑ)) = F(A^(β+1)). Pero F (A^(β+1)) = F ((A^(β))⁽¹⁾). Ahora bien aplicando el caso base y la hipótesis inductiva se tiene: F ((A^(β))⁽¹⁾) = (F (A^(β)))⁽¹⁾ = ((F(A)^(β)))⁽¹⁾ = (F(A))^β+1. Además,(F(A))^β+1 = (F (A))^(ɑ). Por tanto, se tiene que F (A^(ɑ)) = (F(A))^(ɑ).

   2. c) Caso ɑ− límite.

   3. Consideremos A^(ɑ) = ⋃_β<ɑ A(β). Así, se tiene F (A(ɑ)) = F (⋃_β<ɑA^(ɑ)). Como F es una inmersión secuencial, tenemos que F (⋃β<_ɑA(ɑ)) = ⋃_β<_ɑF (A(ɑ)). Por hipótesis inductiva sabemos que para cualquier β<ɑ se cumple F (A^(β)) = (F(A))^(β), por ende se tiene ⋃_β<ɑF (A^(β)) = ⋃_β<ɑF (A)^(β). Pero ⋃_β<ɑF (A)^(ɑ) = (F (A))^(β). Por lo tanto, queda probado que F (A(^ɑ)) = (F (A))^(ɑ) para ɑ− límite.

5. 2) Probemos el item 2.

6. Sea ρ(A, X) = ɑ. luego sabemos por definición de rango secuencial de un subconjunto de un espacio que, A^(ɑ) = A^(ɑ+1). Aplicando F a esta ultima igualdad tenemos que, F (A^(ɑ)) = F (A^(ɑ+1)). Por el item 1 de este teorema tenemos: (F (A))^(ɑ) = (F (A))^(ɑ+1). Por ende, ρ(F(A), F(X)) ≤ ρ(A, X). Por otro lado, puesto que F es una inmersión secuencial y acabamos de probar ρ(F (A), F (X)) ≤ ρ(A, X), entonces ρ(F−1(B), X) ≤ ρ(B, F(X)) ya que F⁻¹ también es una inmersión secuencial. En consecuencia, si consideramos F⁻¹(B) = A, tendriamos que ρ(A, X) ≤ ρ(F (A), F (X)). Por lo tanto, ρ(F (A), F(X)) = ɑ.

7. 3) Probemos el item 3. Lineas

8. Lineas arribas demostramos que ρ(A, X) =ρ(F(A), F( X)), por ende se tiene:

Como consecuencia del teorema 4.4 se tiene:

Corolario 4.5Sean X e Y espacios topológicos Hausdorff. Si F ∶ X → Y es un homeomorfismo, entonces para todo A ⊆ X se cumple:

1. 1) F (A^(ɑ)) = (F (A))^(ɑ), para todoɑ ≤ ω₁.

2. 2) ρ(A, X) = ρ(F(A), Y).

3. 3) ∑(X) = ∑(Y).

Analogamente tenemos.

Lema 4.6 Sean X e Y espacios topológicos Hausdorff. Si F ∶S_ω → Z es una F-inmersión, entonces para todo A ⊆ S_ω se cumple:

1. 1) F (A^(ɑ)) = (F (A))^(ɑ), para todoɑ ≤ ω₁.

2. 2) ρ(A, S_ω) = ρ(F (A), F (S_ω)).

3. 3) ∑(S_ω) ≤ ∑(Z).

Terminaremos esta sección mostrando que si una función entre S_ω y C_p(X) satisface ciertas condiciones, entonces la función es una inmersión secuencial. Teorema 4.7 Sea X un espacio topológico Hausdorff. Si F ∶ S_ω→ C_p(X) satisface:

1. (i) F es inyectiva,

2. (ii) F es secuencialmente continua,

3. (iii) Cualquier sucesión (t_k) ∈ S_ω, tal que existe t ∈ S_ω y existe una sucesión estrictamente creciente (m_k) con t^⌢m_k ≺ t_k, entonces F(t_k) no converge

4. (iv) Si (∃ɑ ∈ ) tal que (∀n ∈ ), (∃k ∈ ) con ɑ⌈n ⪯ t_k, entonces F (t_k) no converge, entonces F es una inmersión secuencial.

Demostración. Solo hace falta mostrar que sucesiones convergentes en F (S_ω) provienen de sucesiones convergente en S_ω, es decir, si F(t_k) es una sucesión que converge a F (t) ∈ F (S_ω), entonces (tk)k∈N converge a t ∈ S_ω. La prueba la haremos por contrareciproco. Sea (t_k)_k∈N una sucesión que no converge a t ∈ S_ω, entonces probemos que la sucesión F (t_k) no converge. Por la caracterización de las sucesiones no convergentes en S_ω se tiene que la sucesión (t_k) es de la forma:

1. 1) (∃ A ⊆ infinito ), (∃t ∈ S_ω) y (∃(m_k)_k∈A ↑) una sucesión tal que (∀k ∈ A) se tiene que t⌢m_k ≺ t_k. o bien

2. 2) (∃ɑ∈ ), (∃k ∈ ) tal que (∀n ∈ ) se tiene que ɑ⌈n ⪯ t_k, entonces (t_n) no converge

En cualquiera de los dos caso se tiene, por hipótesis item (iii) y (iv)) respectivamente, F (t_k) no converge. Esto culmina la prueba que F es una inmersión secuencial.

Definiremos una nueva topología usando como conjuntos abiertos los conjuntos secuencialmente abiertos de un espacio topológico (X, ) dado.

Correflexión secuencial

Definición 4.8Sea (X, ) un espacio topológico, consideremos la colección de todos los conjuntos secuencialmente abiertos.

Lema 4.9 es una topología.

A la llamaremos la topología de la correflexión secuencial y (X, ) lo llamaremos espacio topológico de la correflexión secuencial. Muchas veces al espacio (X, ) lo denotaremos con σX, siempre y cuando esto no se preste a confusión. Podemos observar que la topología es más fina que la topología , es decir ⊆ . El siguiente lema muestra que las dos topologías y tienen las mismas sucesiones convergentes.

Lema 4.10(X, ) (X, ) poseen las mismas sucesiones convergentes.

Demostración.

1. 1) Puesto que ⊆ , entonces toda sucesión − convergente es − convergente.

2. 2) Ahora probemos que toda sucesión − convergente es − convergente. En efecto, sea (x_n)_n∈N una suceción − convergente a x ∈ X y consideremos U ∈ tal que x ∈ U. Puesto que U es − secuencialmente abierto x ∈ U, entonces cualquier sucesión en X que converja a x ∈ U se tiene que existe n₀ ∈ N tal que la sucesión está en U a partir de n₀, es decir (x_n) está en U para todo n ≥ n₀. Por lo tanto (x_n)_n∈N es una sucesión − convergente.

Si una topología es más fina que otra, es decir ⊆ρ, entonces sus respectivas correflexiones y mantienen la inclusión . Lo cual implica que es más fina que .

Lema 4.11Consideremosy ρ dos topologías sobre el conjuntoX. Si⊆ ρ, entonces⊆ .

Teorema 4.12 (X, ) es un espacio secuencial.

Otra manera de probar que un espacio topológico es secuencial es la siguiente:

Corolario 4.13Seauna topología sobre X. es secuencial si, y sólo si, = .

Demostración.

1. 1) Supongamos que es secuencial probemos que = . Claramente ⊆ . Ahora nos hace falta probar que ⊆ . En efecto, sea U ∈ , en consecuencia U es secuencialmente abierto. Ahora bien, como es secuencial y U es secuencialmente abierto entonces U ∈. Por lo tanto ⊆ . 2) La prueba del recíproco se desprende del teorema 2.0.5. pues es secuencial y por hipótesis = .

2. 2) Si consideramos el espacio topológico (X, ),el siguiente corolario muestra que la topología de la correflexión secuencial es la menor topología secuencial que contiene a .

3. 3) Corolario 4.14 Sea y ρ dos topologías sobre el conjunto X. Si ⊆ ρ y ρ es secuencial entonces ⊆ ρ.

Espacio peine

Definición 4.15Sea (X, ) un espacio topológico. Consideremos el subespacio de X formado por:

donde (x_nm)_n,_m∈N son sucesiones en (X, ) tales que lím_m→∞ x_nm = x_n, para todo n ∈ N con x_nm ≠ x_n. Además (x_n)_n∈N es también una sucesión en (X, ) que converge a x ∈ X con x_n ≠ x, para todo n ∈ N. Al subespacio P lo llamaremos espacio peine.

Un peine luce gráficamente como:

Llamaremos una diagonal en un peineP ⊆ X a una sucesión (xnim) que converge a x, con ni estrictamente creciente.

Rango secuencial de Cp(X)

Presentaremos una demostración, un poco, más generaldel Teorema 7,1 que enunciaremos a continuación. Es importante destacar que Fremlin para demostrar el Teorema 7,1 construye una F-inmersión entre S_ωy C_p(X). Mostrare, agregandole a la idea de Fremlin, que se puede construir una inmersión secuencial entre S_ω y C_p(X)

Teorema 4.16 (Fremlin DH, 1994) Sea X un espacio topológico Hausdorff no vacío. El rango secuencial de C_p(X) es: 1 ó ω₁.

Demostración. Supongamos que (C_p(X)) ≠ 1. Por la definición de rango secuencial se tiene que existe P ⊆ C_p(X) tal que ρ(P,C_p(X)) > 1. El conjunto P es un peine sin diagonales, es decir P = { ƒ (x)}⋃{ ƒ_i(x) ∶ i ∈ }⋃{ ƒ_ij(x) ∶ i, j ∈ } tal que:

1. (i) ƒ _i(x) = l´ımj→∞ ƒ_ij(x), para cada i ∈ y x ∈ X,

2. (ii) ƒ (x) = lím_i→∞ ƒ_i(x).

En efecto, ƒ (x) no es límite de ninguna sucesión en { ƒ_ij ∶i, j ∈ }, pues si eso ocurriera, σP ≈ S (ω) y por ende ρ(σP,C_p(X)) = 1. Produciendo una contradicción con losupuesto. Lo que demuestra que P es un peine sin diagonales.Por otro lado, consideremos

para todo i, j ∈ y x ∈ X. Observemos que:

1. (i) h_ij(x) es continua, pues es composición de funciones continuas.

2. ii) (ii) lím_j→∞h_ij(x) = 0

3. Demostración. , para cada i ∈ .

4. iii)Si consideramos ⟨h_m(i),n(i)(x)⟩_i∈N, donde ⟨m_(i)⟩_i∈Nes estrictamente creciente, entonces ⟨h_m(i),n(i)(x)⟩_i∈N no esta acotada en R^X.

Demostración. Supongamos que ⟨h_m(i),n(i)⟩_i∈N está acotada en R^X. Luego

De la definición de h_ij(x) tenemos que:

Así, se tiene:

Luego, haciendo tender m (i) a ∞, obtenemos: S . En consecuencia el cual genera una contradicción pues P es un peine sin diagonales.

En consecuencia el conjunto S = {0} ⋃{h_ij(x) ∶ i, j ∈ & x ∈ X}, es un abanico sin diagonales.

Para demostrar que el rango secuencial de C_p(X) es ω₁, debemos construir una inmersión secuencial entre S_ω y C_p(X) (Fremlin construye una F-inmersión entre S_ω y C_p(X), utilizaremos las funciones construidas por él para construir la inmersión secuencial). Consideremos para t ∈ S_ω lo siguiente:

Por ejemplo, si t = ⟨0, 1, 2⟩, entonces J_t = {(0, 1), (1, 2)}. Además, los conjuntos J_t y la función g_t (x) poseen algunas propiedades como:

1. 1) Si t ⪯ s, entonces J_t ⊆ J_s.

2. 2) Si t ⪯ s, entonces g_t(x) ≤ g_s(x).

3. 3) Si t ⪯ t^⌢n, entonces o bien g_t^⌢n(x) = g_t (x) o bien g_t^⌢n (x) = h_ikn(x), donde i_k es el ultimo elemento de la sucesión t

4. 4) Si (t_i) _i∈N es una sucesión en S_ω tal que si t ∈ S_ω y ⟨m(i)⟩_i∈N es una sucesión estrictamente creciente con t⌢m(i) ≺ t_i para todo i ∈ N, entonces g_{t⌢m(i)⌢in}(x) no está acotada.

Agregaremos a los conjuntos J_t el siguiente par ordenado y llamemos K_t a este conjunto, es decir:

Ahora consideremos la función construida por Fremlin en (Fremlin DH, 1994)

definida por F (t)(x) = ᵍ_t (x), con x ∈ X. F cumple con las condiciones (i ) y (ii) de la definición de F-inmersión, pero F no es inyectiva.

Probemos que: F no es inyectiva.

Sean t = ⟨i⟩ y s = ⟨ j⟩ dos elementos en el primer nivel de S ω tales que t ≠ s, entonces J_t = J_s = ∅. Por ende se tiene que, ᵍ_t ( x) = ᵍ_s(x) = 0, para x ∈ X fijo. Por lo tanto F no es inyectiva.

Por otra parte definamos la siguiente función:

definida por:

Observemos que, F(t) ≤ I (t) ≤ I(t^⌢n). Además I es una función secuencialmente continua y satisface las condiciones (iii) y (iv) del Teorema 4.7. En efecto

1. 1) I es secuencialmente continua.

   1. Sea (t⌢n) una sucesión convergente a t ∈ S_ω. Consideremos I(t^⌢n), probemos que la sucesión formada por las imagenes de t^⌢n converge a I (t).

Como 0 ≤ F (t) ≤ I (t), entonces lím_n→∞ I (t^⌢n) = I (t).

Por lo tanto, I es secuencialmente continua.

1. 2) Si (t_i)_i∈N es una sucesión en S_ω tal que si t ∈ S_ω, y (m_i)_i∈N con t^⌢m_i ≺ t_i, m_i < m_i+1 para todo i ∈ N, entonces I((t_i)_i∈N) no tiene punto límite en C_p(X).

2. En efecto, si aplicamos I a la sucesión (t_i) podemos notar que I (t_i) ≥ F (t^⌢m^⌢in_i), pues t^⌢m^⌢i n_i ⪯ t_i, entonces (m_i, n_i) ∈ J_t^⌢m^⌢i n_i ⊆ J_ti . Esto permite concluir que I (t_i) no está acotada, ya que F (t^⌢m^⌢i n_i) con (m_i) estrictamente creciente no está acotada. Por lo tanto I (t_i) no converge.

3. 3) Si (t_k)_k∈N es una sucesión en S_ω tal que si (∃ɑ ∈ ) tal que (∀n ∈ ), (∃k ∈ ) con ɑ⌈n ⪯ t_kn , entonces I (t_k) no tiene punto límite en C_p(X).

4. En efecto, considerando una sucesión como en la hipótesis del item 3 y aplicando I a dicha sucesión podemos notar que I (t_kn) ≥ I (ɑ⌈n) ≥ h_(n,ɑ(n−1)). Luego para n ∈ N estrictamente crecientes se tiene que h_(n,ɑ(n−1)) no esta acotada, por lo tanto I (t_kn) no esta acotada. En consecuencia, I (t_kn) no converge.

La función I no es inyectiva pues F no es inyectiva. Modificaremos, un poco, la función I, sin que I pierda las condiciones 1 y 2 de la definición de inmersión secuencial. Consideremos la familia de combinaciones racionales lineales de las funciones ᵍ_t(x), es decir

Esta familia sólo puede contener una cantidad numerable de funciones constantes, entonces existe tal que la función constantemente no es una combinación racional lineal de los ᵍ_t(x). Así, definamos la siguiente función:

definida por:

Donde H(t) es la inyección continua construida en 3.4. I es una inmersión secuencial entre S_ω y C_p(X) y ∑(S_ω) = ω₁, entonces por el teorema 4.4 tenemos que ω₁ = ∑(S ω) ≤ ∑(C_p(X)). Además, por el lema 2.2 tenemos que ∑(C_p(X)) ≤ ω₁. Por lo tanto, se tiene que ∑(C_p(X)) = ω₁.

Más aún, S_ω se puede sumergir secuencialmente en un subespacio de C_p(X), obteniendo así una copia secuencial de S ω en C_p(X).

Proposición 4.17 Si ƒ ∶ (X, ) → (Y, ρ) es una inmersión secuencial, entonces ƒ (X) ≊^sec X. Más aún, (X, ) ≊ (ƒ (X), σ_{ρ⌈ ƒ(X)}).

Corolario 4.18Sea (X,) espacio topológico. Si ∑(C_p(X)) ≥ 2, entonces existeY ⊆ C_p(X) tal queS_ω ≊^sec Y. Más aúnS_ω ≊ σY.

Referencias

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Notas de autor