El bombeo mecánico es el más común de los métodos de levantamiento artificial, empleado para la extracción de crudo en pozos con volúmenes pequeños y medianos de producción y especialmente en crudos medianos y pesados, los cuales requieren la inyección de diluentes o vapor para facilitar su extracción. Este método tiene como principio fundamental levantar los fluidos desde el yacimiento hacia la superficie. Consiste en una bomba de subsuelo de acción reciprocante y desplazamiento positivo conectado a una sarta de cabillas que permiten transmitir el movimiento generado en la superficie por la unidad de bombeo o balancín a través de la energía suministrada por un motor eléctrico o de combustión interna.

El principio de funcionamiento del sistema se basa en transformar el movimiento angular del eje del motor a un movimiento reciprocante vertical, reduciendo la velocidad mediante la caja de engranajes del balancín, con la finalidad de accionar la sarta de cabillas y la bomba de subsuelo, permitiendo la transmisión de energía adicional del pozo y creando un diferencial de presión que facilite el transporte de fluidos desde el fondo hasta la superficie, el proceso descrito se muestra en la Fig 1. (Chen y col., 2018)

Fig 1
Levantamiento Artificial por Bombeo Mecánico

La curva de producción del pozo se obtiene a través de la caracterización del pozo (perfil de presión) y técnicas de balances de masa y energías (Chen y col., 2018, Galdir y col., 2015).En la caracterización se identifica la completación mecánica instalada en el pozo a nivel de fondo y superficie, y la caracterización de las propiedades física del fluido (Gravedad del crudo, Corte de agua, Presión y Tempera-tura de fondo, Relación Gas Líquido); todo esto se hace ya que el comportamiento de producción de crudo en los pozos por Bombeo Mecánico depende de variables, tanto de yacimiento como de diseño mecánico (válvulas, tuberías de producción, entre otros) (Chen y col., 2018, Galdir y col., 2015).Posteriormente se aplican técnicas basadas en balances de masa y energía, tales como la denominada Análisis Nodal. Para su cálculo, se debe elegir un nodo (punto de implementación del balance de energía) en cualquier lugar del sistema de producción. Posteriormente de elegido el nodo, se determinan las presiones con la cual el yacimiento entregara la tasa de producción a la entrada y salida del nodo. Esta relación presión y tasa de producción se denominan “Oferta” de energía del yacimiento y “Demanda” de energía de la instalación en superficie. Finalmente, de la intersección de dichas curvas se obtiene el modelo de producción de un pozo a partir del análisis nodal (Chen y col., 2018, Galdir y col., 2015). Así, la pérdida de energía en forma de presión a través de cada componente, depende de las características de los fluidos producidos y especialmente del caudal de flujo transportado, de tal manera que la capacidad de producción del sistema responde a un balance entre la capacidad de aporte de energía del yacimiento y la de-manda de energía de la instalación para transportar los fluidos hasta la superficie.

Una carta dinagráfica o dinamométrica de superficie representa el diagrama de las cargas medidas o predichas de la barra pulida en varias posiciones a través de un ciclo completo; la carga se exhibe generalmente en libras de fuerza y la posición se exhibe generalmente en pulgadas. Las cartas de superficie son valiosas para diagnosticar cargas en la barra, estructurales, y de torque en la caja de engranaje y motor. Para entender las características básicas de la carta dinagráfica, se partirá de condiciones simplificadas, asumiendo una barra rígida, una velocidad de bombeo lo suficientemente baja como para eliminar las fuerzas dinámicas, líquido incompresible bombeado y se ignoraran todas las pérdidas de energía a través de la sarta. Para este caso, la carta dinagráfica es la variación de las cargas en la barra pulida vs posición, que se ve representada para este caso ideal por el rectángulo 1-2-3-4 mostrado en la Fig. 2. En el punto 1 comienza la carrera ascendente y la válvula viajera cierra inmediatamente. Las cargas en la barra pulida, iguales al peso de la sarta de cabillas en flotación en el punto 1, rápidamente se incrementan las cargas indicadas por el punto 2, en la medida en que las cargas de fluido son transferidas de la válvula fija a la válvula viajera. El pistón y la barra pulida se mueven juntos hasta que el punto 3 es alcanzado, mientras se mantiene una carga constante. En el punto 3 el final de la carrera ascendente es alcanzado, y la carrera descendente comienza con la apertura inmediata de la válvula viajera. Rápidamente las cargas de cabillas caen hasta el punto 4, debido a que la carga de fluido no está más so-portada por la válvula viajera. La sarta de cabillas con la válvula viajera abierta en su extremo más bajo, cae en el fluido del pozo desde el punto 4 al 1, mientras las cargas en la barra pulida igualan el peso de la sarta de cabillas flotación. En el punto 1 comienza un nuevo ciclo.

Fig. 2
Carta Dinagráfica de Superficie a diferentes velocidades de bombeo

En la Fig. 3. se observa una sección de una varilla el área de una sección trasversal uniforme. A y de longitud L. Los ejes coordenados, x y u, que se encuentran direccionados hacia abajo, en donde se ven representada la distancia axial y desplazamientos de la barra (Gibbs 1963).

Fig. 3
Estudio de la Derivación de la Ecuación de Onda

Dónde:

W: Peso de la Sarta en libras, (lb).

Fx9: Fuerza de tensión que representa empuje desde arriba en el elemento de la sarta, en libras (lb).

Fx+ Δx: Fuerza a tensión que representa el empuje hacia abajo en el elemento de barra, en libras (lb).

Fd: Fuerza de damping opuesta al movimiento del elemento de la barra, la cual es el resultante del fluido y de la fricción mecánica en la superficie del elemento.

Según la segunda Ley de Newton, la cual establece que la sumatoria de fuerzas que actúan sobre un elemento debe ser igual a la masa por la aceleración del mismo, esto es:

(1)

Las fuerzas de tensión pueden ser expresadas por el esfuerzo mecánico presentado en la sección de la barra en las distancias axiales de la siguiente manera:

(2)

(3)

Sustituyendo las ecuaciones 2 y 3 en la ecuación 1 obtenemos:

(4)

Desde que la sarta de cabilla se encuentra en condiciones normales de operación bajo deformación elástica, la Ley de Hooke puede ser aplicada, el cual establece que el esfuerzo en cualquier sección transversal es proporcional a la deformación del elemento de la sarta actual, esto es:

(5)

Donde:

E: Modulo de Young de elasticidad de la sarta en Psi.

: Cambio de desplazamiento sobre la longitud de la barra.

Usando la ecuación 5 que define el esfuerzo de la varilla y sustituyendo los términos apropiados en la ecuación 4 obtenemos:

(6)

El termino multiplicador EA, del lado izquierdo de la ecuación anterior, puede ser expresado como la segunda derivada del desplazamiento (u) con respecto a la distancia (x). Introduciendo esto, y expresando la masa como función de la densidad, área, llegamos a la siguiente ecuación:

(7)

Para la velocidad se tiene la siguiente expresión:

(8)

Sustituyendo la ecuación 7 dentro de la ecuación 8 se obtiene:

(9)

El peso del elemento de la sarta, es una fuerza estática que permanece constante durante un ciclo de bombeo, y por consiguiente no se tomara en cuenta para la solución general de la ecuación de diferencial de onda, para la simplificación de los cálculos y siguiendo lo expuesto por Everitt en su artículo técnico (Gibbs, 1963),solo se abordara la solución homogénea de la misma.

Reordenando tenemos:

(10)

Donde:

(11)

(12)

Donde:

a = Velocidad del sonido en el acero.

c = Coeficiente de amortiguación damping (1/seg).

t = Tiempo (seg).

x = Distancia desde la barra pulida (ft).

u(x, t) = Desplazamiento a partir de la posición de equilibrio (ft).

E = Modulo de Young (psi).

ρ = Densidad del material de las cabillas (lb/ft²)

Las cartas dinagráficas se consideran curvas de borde, tales curvas de borde se pueden representar como un conjunto de pares ordenados que dan las coordenadas enteras de los puntos de la curva. Sin embargo, también puede almacenarse, con menos requerimientos de memoria, en la forma de código de cadena. Así, el código de cadena es un tipo de estructura de datos que permite representar el contorno de un objeto en una imagen binaria mediante una secuencia de segmentos, conectados consecutivamente, de longitud y orientación específica, que conectan píxeles adyacentes (Galdir y col., 2015).

El código de cadena de una curva consiste en las coordenadas del punto inicial, seguido de una lista de códigos de movimientos para pasar al siguiente punto, la conexión de los segmentos se lleva a cabo en entornos de 4 vecinos o de 8 vecinos. De tal manera que cuando se usa una vecindad de 8N es un entero k entre 0 y 7, indicando que el vecino siguiente se obtiene con un desplazamiento en la dirección kπ/4 generando 8 orientaciones posibles donde se utilizan los números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 para especificar la orientación de los segmentos, como se muestra en la Fig. 4(b).

Fig. 4
(a) Direcciones para entornos de 4 vecinos (4N), (b) Direcciones para entornos de 8 vecinos (8N)

Al usar una vecindad 4N, el código de cadena es un número k entre 0 y 3, indicando un desplazamiento en la dirección kπ/2 generando cuatro orientaciones donde se utilizan los números 0, 1, 2, 3 para especificar la orientación de los segmentos, como se muestra en la Fig. 4(a).

El código de cadena genera una secuencia de números que representan las orientaciones de los segmentos conectados consecutivamente, partiendo de un punto del contorno y siguiendo las agujas del reloj, es una representación invariante frente a traslaciones, esta propiedad facilita la comparación de objetos, permitiendo obtener características del contorno, como lo son el perímetro y el área del objeto. Sin embargo, solo se consideran para este trabajo segmentos usando vecindad de 4N con una pendiente kπ/2 (considerando que el borde es una curva 4N), con k=0, 1, 2, 3, que se caracterizan porque su código de cadena tiene un solo código k que se repite. Como se puede ver en el ejemplo de la Fig. 5 la aplicación del código de cadena a un contorno simple, usando un entorno de 4 vecinos como se muestra en la Fig. 4 (a). (Galdir ycol., 2015).

Fig. 5
Código de cadena aplicado a un contorno simple usando los 4 códigos mostrados. [1,1,0,1,0,0,3,3,2,3,2,2]

Así, este procedimiento recorre el código cadena de la curva, y si encuentra repeticiones consecutivas de código k, correspondientes a segmentos de recta de pendiente kπ/2 (en curvas de 4N), calcula los puntos extremos de tal segmento, y los almacena en la lista de vértices del primer polígono. Mediante esta transformación se pretende obtener disminución del costo computacional en la etapa principal del algoritmo, sin perder información relevante acerca de las características del borde.

Así como en cualquier ecuación diferencial, la ecuación de onda también puede sertratada en el lenguaje de diferencias. La conversión consiste en sustitución de las derivadas parciales por diferencias finitas, la cual es una aproximación frecuentemente usada en la solución numérica de coeficientes diferenciales. Entonces, un conjunto posible de diferencias finitas es dado a continuación para la solución de la ecuación de onda:

(13)

(14)

(15)

Estas fórmulas son parte de las aproximaciones de las series de Taylor, si son insertadas dentro de cualquiera de las versiones de la ecuación de onda, puede ser resuelta numéricamente. Existen dos posibilidades de solución:

Ya sea para la determinación de los desplazamientos en el mismo tiempo pero para la siguiente distancia o para determinar los desplazamientos en el mismo lugar para los siguientes pasos de tiempo. Para la investigación, se ha seleccionado desarrollar una solución numérica con un modelo de análisis de diagnóstico, la cual facilita la implementación numérica en la programación e instalación de las mismas en el conjunto de equipos seleccionados para el diseño del sistema de control. La ecuación 16 para calcular los desplazamientos en diferentes nodos de la sarta de cabillas.

(16)

Aunque esta ecuación es sólo un caso simplificado para una configuración de una única varilla con un único diámetro y un único tipo de material. Ahora bien, multiplicando la ecuación 15 por (A/144gc), se obtiene la ecuación 16, la cual, luego de manipulaciones matemáticas, permite realizar cálculos de desplazamientos para una configuración de sarta con opciones múltiples, como lo son: configuración de varias varillas con diferentes diámetros, así como también permite la diversidad del material de las varillas (fibra de vidrio o acero).

(17)

Ahora bien, se puede se dar una solución numérica a la ecuación anterior, por medio del uso de ecuaciones diferenciales, esto implica que el modelo matemático debe estar basado en lenguajes de diferencias.

Usando diferencia finita tenemos:

(18)

Ahora, como el punto de interés esen la bomba, es decir, para i = m se tiene:

(19)

Sustituyendo la ecuación 19 dentro de la Ley de Hooke, queda:

(20)

Donde F_pump, es la carga en la bomba en libras, (lb).

Partiendo de la lectura de los datos basado en las propiedades de la sarta de cabillas a partir de datos de entrada, se logra calcular el peso del fluido y los esfuerzos de la sarta de cabillas. En tal sentido se requieren de ciertas condiciones iniciales, como colocar un eje de coordenadas en la superficie para la dirección y convertir la carga en esfuerzos mecánicos, una vez esto se procede a calcular la velocidad de superficie del cual se toma el primer dato para arrancar el sistema de inferencia esto se realiza en la función de método de la característica y las funciones que interactúan con ella.

Los puntos en las cartas de dinamómetro de fondo de pozo están formados por un conjunto de valores de desplazamiento y carga como en la ecuación 21.

(21)

Para cada enésimo punto en la carta (d_N, l_N) n = 1, donde d_N es el desplazamiento de cada punto de la carta dinagráfica de fondo, l_N es la carga y N es la cantidad de puntos.

El rango de valores en la carta de dinamómetro puede variar según las características del pozo de origen, por lo que se utiliza una normalización de pre proceso como en las ecuaciones 22 y 23, donde d_min, d_max, l_min, l_max son respectivamente los valores mínimo y máximo del desplazamiento y carga.

(22)

(23)

Con el proceso de normalización, los valores de las tarjetas del dinamómetro variarán entre 0 y 1, simplificando los cálculos futuros. A partir de los valores normalizados, se extrae el vector de ángulos A, formado por cada par de puntos secuenciales como en la ecuación 24.

(24)

Para analizar los ángulos y los segmentos aproximados de las líneas, la representación de la forma del código de la cadena se utiliza en función del código de cadena de Freeman. En la Fig. 5, se genera un código de cadena a partir de un contorno simple. Usando un código conectado en 4 como ejemplo (ver Fig. 4.a). Los ángulos extraídos de las cartas dinagráfica ahora se pueden usar para extraer el código de cadena, donde cada ángulo se codificará en uno de los 4 códigos. La ecuación 25 se usa para generar el vector de código de cadena. La Fig. 7 muestra un ejemplo de carta dinagráfica de fondo de pozo de contorno simple después del proceso de normalización con cada uno de sus puntos marcados con el código respectivo.

(25)

Fig. 7
Código extraído por el método del Código de Cadena mostrado en los puntos de una carta dinagráfica de Fondo de pozo

Con el código de cadena es fácil identificar los segmentos como se pretende, que un segmento de estabilidad de carga hacia arriba se codifica como 0, la carga se codifica como 1, la estabilidad hacia abajo se codifica como 2 y la descarga se codifica como 3. Para reconocer la forma general y lidiar con las distorsiones, el código de cadena se comprime, eliminando los códigos repetidos secuencialmente, creando una identidad singular para la forma. Por ejemplo, a partir del código de cadena de la Fig. 7 tenemos:

[11111111111111111111111000000000000030003333333333333322222222222222222222222222222222222222222222], se genera el código de cadena comprimido [1,0,3,0,3,2]. Algunas distorsiones en la forma causadas por diferentes factores pueden modificar la identidad de forma general mostrada por el Código de cadena, donde se pueden encontrar segmentos aislados menores entre macro secuencias de códigos repetidos. Después de la extracción del Código de Cadena comprimido, se compara con el Código de Cadena comprimido de los dos polígonos esperados, el tetrágono, [1, 0, 3, 2] y el hexágono cóncavo, [1, 0, 3, 2, 3, 2], y si no es igual a ninguno de ellos, se aplica un ciclo de filtrado para suavizar el contorno.

La carta dinagráfica de fondo de pozo de la Fig. 7 es aproximadamente un tetrágono, pero su código de cadena comprimido es [1, 0, 3, 0, 3, 2], no refleja este polígono esperado para la condición de bombeo representada, por lo que se necesitan ciclos de filtrado. Para suavizar la forma, se aplica un filtro medio como en las ecuaciones 26 y 27.

(26)

(27)

Después de la filtración, el algoritmo descrito aquí se repite hasta que el código de cadena comprimido coincida con uno de los polígonos esperados. Es importante comprender que, con suficientes ciclos de filtración, cualquier contorno cerrado puede aproximarse a un tetrágono por este método, pero las distorsiones en los puntos de la carta dinagráfica pueden ser enormes, y la identificación de la apertura y el cierre de la válvula puede perder precisión. Las hipótesis del hexágono cóncavo aumentan la precisión del método, ofreciendo una opción cóncava para colocar tarjetas con una concavidad en la descarga, lo que aumenta la precisión y minimiza la necesidad de ciclos de filtrado. Con la aproximación poligonal realizada, los puntos de apertura y cierre de la válvula se pueden identificar en sus esquinas. Una descomposición poligonal se ejecuta simplemente identificando los lados del polígono como los grupos de códigos idénticos, y las esquinas del polígono son los primeros puntos en estos grupos.

Al final de este algoritmo, los cuatro vértices se determinan y se pueden usar sobre la carta dinagráfica de fondo original, lo que permite un análisis más profundo sobre la ubicación de los puntos y segmentos de la carta. El algoritmo tiene más o menos ciclos de filtrado en su proceso, dependiendo de la forma de la carta dinagráfica, y estos ciclos de filtrado pueden causar algunas distorsiones en el comportamiento de los puntos de la carta dinagráfica, pero da como resultado una aproximación precisa de los puntos de apertura y cierre de la válvula.