Desarrollo analítico de las ecuaciones Ginzburg-Landau para películas delgadas superconductoras en presencia de corrientes

Analytical development of Ginzburg-Landau equations for superconducting thin film in presence of currents

Una de las ramas de la física de la materia condensada que más ha sido estudiada recientemente, es el área de la superconductividad, por dos aspectos básicos: el primero, son las aplicaciones directas que tiene implicaciones en casi todas las áreas del conocimiento, como la medicina ^{[1], [2]}, mediciones de pequeños campos magnéticos ^[3]-[5], estudios biológicos ^[6], almacenamiento de información ^[7]-[9], y como segundo aspecto, por su gran complejidad matemática ^[10]-[14], ya que la forma funcional de dicho sistema de ecuaciones, al no presentar comportamiento lineal, implica soluciones numéricas complejas y de altos procesos computacionales ^[15]-[23]. Dado esto, en los años más recientes se ha iniciado el estudio del fenómeno superconductor con inclusión de corrientes, ya que este fenómeno implica, movimiento coordinado de cascadas de vórtices, que pueden ser aprovechados como corrientes muy similares a las que hoy en día se estudian con electrones ^[24]-[33], con las ventajas usuales, que en el estado superconductor, no existen perdidas Óhmicas y con los descubrimientos de superconductores cada vez con mayor temperatura critica T_c, se espera que la aplicación directa de la fluxtrónica, que es el aprovechamiento de dichas corrientes de vórtices en diferentes tipos de dispositivos. En el presente trabajo presentamos el esquema de discretización de las ecuaciones Ginzburg-Landau dependientes del tiempo en presencia de campos y corrientes, para una película superconductora (vea Figura 1). La corriente se aplica por contactos metálicos modelados mediante el parámetro de deGennes b en las condiciones de contorno. Adicionalmente, estudiamos la dependencia de la magnetización M(H) y susceptiblidad magnética X_m con b. Esta contribución está organizada de la siguiente forma, en la sección Formalismo Teórico presentamos el análisis del método numérico usando para resolver las ecuaciones Ginzburg-Landau y sus generalidades. En la sección Resultado Numérico mostramos un ejemplo de aplicación a la solución a un problema particular y finalmente, mostramos las conclusiones en su respectiva sección.

Figura 1:
Esquema de la muestra estudiada: Película fina superconductora de lados L₁= 12ξ y L₂ = 8ξ, en presencia de un campo magnético H, contacto donde se aplica la corriente J de tamaño a = 1/4L₁.

La primera ecuación de Ginzburg-Landau dependiente del tiempo para películas finas en presencia de campos y corrientes están dada por ^{[18], [19], [20]}:

En el límite de película delgada se toma el potencial vector A igual al potencial vectorial asociado al campo magnético externo, por lo cual la ecuación Ginzburg-Landau que da cuenta de la variación temporal de A, no se resuelve. En la ecuación 1, ψ representa el parámetro de orden, A el potencial vectorial, Ф el potencial eléctrico. Esta ecuación está adimensionalizada de la siguiente manera: el parámetro de orden ψ en unidades de el potencial vectorial A en unidades de ξH_c2, siendo H_c2 el segundo campo crítico termodinámico, longitudes en unidades de la longitud de coherencia ξ, temperatura en unidades de la temperatura crítica T_c, tiempo en unidades del tiempo Ginzburg-Landau el potencial eléctrico en unidades de Condiciones de contorno de Neumann son tomadas en todas las fronteras de la muestra, excepto en los contactos donde variamos b. Con J siendo la corriente aplicada en unidades de es la conductividad en el estado normal. Tomamos Γ = 10 y μ = 5,79 que son obtenidos del formalismo microscópico ^[20]. Condición necesaria para películas finas d « ξ. El diagrama de fase de los superconductores mesoscópicos está fuertemente influenciado por las condiciones de contorno para el parámetro de orden. En general dado por las condiciones de contorno de deGennes (introducimos la nueva variable Y = 1 - δ/b, para un mejor análisis de resultados):

En la ecuación 2, n es el vector unitario perpendicuar a la superficie del superconductor, b es el parámetro de Gennes y δ = 0,1 es el tamaño de la malla. γ > 1 simula una interface superconductor-superconductor, γ = 1 idealiza la interface superconductor-vacio, y δ < γ < 1 es propio de una interface superconductor-metal. La densidad de corriente J debe cumplir la ecuación de continuidad:

En la ecuación 3, se cumple en general que que resulta de la invariancia de calibre usada. Asumiendo que obtenemos de donde se obtiene que será la ecuación de Poisson usada para incluir el potencial eléctrico. Ahora, inicialmente necesitamos una expresión implícita para el parámetro de orden ψ, para ello analizaremos analíticamente de la ecuación 1 (mostrado desde la ecuación 4 hasta la ecuación 26):

Donde y tomando su complejo conjugado:

Suponiendo que ψ y son independientes tenemos el siguiente sistema de ecuaciones simultaneas:

Calculando el determinante del sistema:

Con lo cual, la solución para estaría dada por:

Obteniéndose explícitamente:

Dada que los esquemas usuales de diferencias finitas o elementos finitos, presentan una complejidad en términos de la cantidad de puntos en la malla matemática, entonces aplicaremos el método de variables de enlace ^[12], donde se define una nueva variable como:

con Dadas estas propiedades, se permite escribir los operadores de la siguiente forma:

Con lo cual, en la base de es escrito de la siguiente forma:

En la Figura 2, presentamos la malla matemática usada para la solución de la ecuación 1, usaremos las siguientes definiciones con el tamaño total de la malla de y usando lo siguiente para la discretización de las ecuaciones:

Figura 2:
Esquema usado para la discretización de la muestra estudiada. En cuadrado azul, se muestran los puntos usados para la evaluación de f ψ en x (color naranja) los usados para la evaluación de A.

Dado esto, con ayuda de la derivada central, la discretización del factor Δ, se expresa de la siguiente forma:

Con lo cual, se procede a la discretización de

obteniéndose como aproximación:

El paso a seguir son las condiciones de contorno, para los contactos metálicos. Estos serán modelados mediante la imposición sobre la densidad de corriente, donde las posiciones de los contactos son para Ahora aplicando los métodos usuales de separación de variables, para la ecuación de Poisson para dar cuenta del potencial donde se soluciona Ф_H más la homogénea Ф_NH, con la cual, aplicando dichas condiciones de contorno, para encontrar los valores de las constantes representadas en la Figura 2:

Resolviendo estas ecuaciones numéricamente:

De acuerdo con las condiciones de frontera establecidas, tenemos que:

Usando el algoritmo de Thomas:

Con las siguientes condiciones:

Dados los resultados de la sección anterior, aplicaremos dicha solución al problema considerado y presentaremos la dependencia que, sobre la magnetización y la susceptibilidad magnética, tiene la inclusión de corriente en la muestra. En la Figura 3(b), mostramos la magnetización -4πM en función del campo magnético H para diferentes condiciones de contorno o valores de γ. Se observa que, en los casos que corresponde a γ = 0,8 y γ = 0,9, para valores mayores de H = 0,75, la muestra permanece en estado Meissner. En la Figura 3(b), se presenta la magnetización para γ > 1, cada salto representa el ingreso de vórtices en la muestra. En ambas figuras se resaltan H = H₁, valor del campo para el cual ocurre el primer ingreso de vórtices. La Figura 5 muestra la susceptibilidad magnética para J = 0,5 y diferentes γ. Se observa que para todos los casos presentados y H > 1 ,48 la susceptibilidad magnética es nula, además de presentar las oscilaciones típicas, conforme ingresan los vórtices en la muestra.

Figura 3:
Magnetización -4πM en función del campo aplicado, para a) γ = 0,8; 0,9; 1,0; 1,01 y b) γ = 1,02; 1,03; 1,04; 1,05, 1,10.

Figura 4:
Susceptibilidad magnética X_m en función del campo aplicado, para a) γ = 1,10; b) γ = 1,03; c) γ = 1,01; d) γ = 1,02.

Figura 5:
Susceptibilidad magnética m en función del campo aplicado, para a) γ = 0;9; b) γ = 0;8; c) γ = 1;0;

Presentamos un análisis numérico de discretización de las ecuaciones Ginzburg-Landau y el algoritmo necesario para garantizar su convergencia y estabilidad en la solución computacional. Mostramos la forma analítica de dichas ecuaciones, estableciendo condiciones de contorno para todas las cantidades físicas relevantes. Con lo cual, solucionamos el algoritmo computacional y aplicamos dicha solución a un problema específico. Calculamos curvas de magnetización y susceptibilidad magnética, y su dependencia con las condiciones de contorno, estos resultados están en completa concordancia con resultados teóricos y experimentales existentes en la literatura.