1. Introducción

La optimización por enjambre de partículas o PSO, debido a sus siglas en inglés (particle swarm optimization), es una técnica metaheurística, es decir, un método de optimización matemática basado en el comportamiento de conjuntos de animales que ayuda a resolver diferentes problemas y que garantiza resultados óptimos. La principal característica de estos métodos es que parten de un punto inicial conocido y, mediante la exploración del vecindario, van actualizando la solución actual, formando una trayectoria [1].

Esta técnica está inspirada pero no basada en el comportamiento social de los individuos, y al principio estuvo dirigida a elaborar modelos de conductas sociales, por ejemplo, el movimiento que hace una parvada de aves, un banco de peces o un enjambre de abejas; más tarde se demostró que era adecuada para problemas de optimización [2], [3], [4].

Las abejas tratan de localizar el espacio con mayor densidad de flores. Cada abeja vuela indicando en todo momento cuál es la región donde ha visto más flores, y el enjambre sabe colectivamente dónde se ha encontrado mayor cantidad de objetivos. Cada abeja variará individualmente su movimiento con un arreglo en dos direcciones, y es posible que encuentre una región con más densidad de flores que la conocida por el enjambre (óptimo global); entonces, todo el enjambre orientará la búsqueda hacia esa nueva dirección, y si luego se descubre otra región con mayor densidad floral, el enjambre reorientará nuevamente la búsqueda hacia allí, y así sucesivamente hasta terminar con su búsqueda [5].

En el trabajo con un enjambre de partículas, y como se explicó anteriormente, cada partícula se ve influenciada por los siguientes factores: conocimiento sobre el entorno, experiencias anteriores y mejor posición global hallada en el espacio de búsqueda. Se debe tener en cuenta que esta posición guía de cierta manera a las demás partículas, y esta puede cambiar si alguna partícula alcanza una mejor posición.

Por otro lado, la matemática se ha encargado de mejorar este tipo de técnicas por medio de formulación de problemas de optimización convexa, esto es, reescribir los problemas y acotar los espacios de solución, lo que garantiza mínimos globales. El problema general de programación polinómica restringida (GPP) está muy extendido en el modelado matemático de sistemas del mundo real para una amplia gama de aplicaciones [6]. Dichas aplicaciones incluyen diseño de ingeniería, procesamiento de señales, reconocimiento de voz, ciencia de materiales, ciencia de inversiones, problemas de asignación y ubicación, asignación cuadrática y numérica, álgebra lineal. Dado que las funciones polinómicas no son convexas, el problema (GPP) es NP-duro, incluso cuando la función objetivo es cuadrático y el conjunto solución sea factible es simplex [7].

Un enfoque clásico para el problema (GPP) son los métodos de relajación convexa. Entre varios métodos de relajación convexa, las relajaciones de programación semidefinida (SDP) y suma de cuadrados (SOS) son muy útiles en estos casos. Específicamente, representando cada polinomio no negativo como una suma de cuadrados de otros polinomios, es posible relajar cada desigualdad polinómica como una desigualdad de matriz lineal convexa (LMI). Sin embargo, la solución práctica del método de relajación SDP o SOS depende del tamaño o el grado del polinomio; hasta ahora, el uso más efectivo de la relajación SDP ha sido para los problemas de optimización cuadrática [8].

Las condiciones de optimización global son muy importantes en el campo de la optimización, dadas las condiciones para los problemas con la función objetivo cuadrática sujeta a restricciones lineales o restricciones cuadráticas. Sin embargo, estas condiciones son complejas y difíciles de verificar en la práctica, ya que implican resolver una secuencia de problemas de programación semidefinidos. Solo bajo la suposición de que todos los programas semidefinidos pueden resolverse de la misma forma, es posible verificar estas condiciones.

En este documento, se considera el siguiente problema de programación polinómica restringida general (GPP): min 𝑓(𝑥) 𝑠.𝑎.𝑔𝑡(𝑥)≤0,𝑡=1,⋯,𝑚,𝑥∈ 𝑋, donde 𝑓∶ 𝑋→ℝ, función objetivo para minimizar; 𝑔𝑡(𝑥): 𝑋→ℝ, funciones de restricciones con desigualdades de menor o igual t = 1,--- ,m, cantidad de restricciones; 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝑋| 𝑔𝑡 (𝑥) ≤ 0} es la región factible.

2. Modelo del problema

Todo problema de optimización que se describa como en la ecuación 1 puede numéricamente encontrar una solución no global aceptable a través de las llamadas técnicas heurísticas; para este caso, se utiliza la técnica denomina particle swarm optimization (PSO). A continuación, se detalla el proceso cíclico del algoritmo de optimización (ecuación 1). Inicialización: para cada partícula se calculan las posiciones y velocidades de cada una de estas, se construye la población inicial de manera aleatoria. Evaluación de la población inicial: se evalúa cada partícula de la población en la función objetivo, con el propósito de seleccionar la mejor partícula. Actualización: iterativamente, se actualiza la posición y la velocidad a través de las ecuaciones 5 y 6, y nuevamente se evalúan en la función objetivo para verificar si existe un avance (al óptimo) o no. Condición de parada: si después de algún número de iteraciones preestablecidas o algún error predeterminado se alcanzan, se detiene el algoritmo, o de lo contrario debe repetir el ciclo de inicialización.

Se considera el siguiente problema de optimización polinómica:

Donde 𝑓 ∈ ℝ[𝑥] es un polinomio de valor real y 𝐾 ⊂ ℝ^𝑛 es el conjunto básico semialgebraico definido por:

Desde que 𝐾 ≠ ℝ^𝑛,, el conjunto K se asume convexo, esto es preferible en un marco de modelado, donde se incluyen restricciones lineales y cuadráticas [9]. Una vez se compruebe que el conjunto de restricciones K es convexo, se puede probar que:

𝑦, la representación del polinomio convexo, viene dada por el conjunto no vacío 𝐶 ⊆ ℝ^𝑛, como una función 𝑓: 𝐶 → ℝ que es convexa en 𝐶 si:

Similarmente, 𝑓 es estrictamente convexa sobre 𝐶 si la desigualdad anterior se cumple estrictamente para cada , 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐶, 𝑥 ≠ 𝑦, y todo 𝜆 ∈ (0,1) [10].

2.1. Técnica heurística

Uno de los problemas en las técnicas heurísticas es precisamente la determinación de los parámetros o números pseudoaleatorios, ya que al modificar dichos parámetros la solución se ve afectada. De esta forma, la selección en muchos casos suele basarse en datos reportados en la literatura, en estimación basada en técnicas tales como máxima verosimilitud o mínimos cuadrados, etc., o en este caso en la sensibilidad que tiene el sujeto con el objeto en dicho problema.

El método de cúmulo de partículas explora subespacios cercanos entre sí, posiciona una cantidad específica de individuos o partículas de manera aleatoria; cada partícula i-ésima en cualquier versión del PSO está formada como mínimo por tres componentes PSO: [x,v,p_best]; x representa los valores reales de las variables del problema, v es el vector de velocidad de las partículas, P_best contiene las mejores soluciones de la función objetivo. Cada partícula es atraída hacia una mejor posición, y su mejor posición global, en mayor o menor medida, depende de los factores cognitivos y sociales (figura 1) [11], [12].

Figura 1
Ejemplo de función convexa.

Más tarde, esta nueva posición se evalúa en la función objetivo y se vuelve a elegir una mejor posición global para continuar con el proceso iterativo. La actualización de las variables y de las velocidades viene dada por las siguientes ecuaciones:

Donde 𝑣_𝑖^𝑘 es es la velocidad de la partícula i-ésima en la iteración 𝑘; 𝜔 es el factor de inercia; 𝜑₁, 𝜑₂ son son las ratios de aprendizaje que controlan las componentes cognitivo y social, respectivamente; rand₁,rand₂ son números aleatorios [0,1]; x_𝑖^𝑘 es la posición actual de la partícula i-ésima en la iteración k; p_Besti es la mejor posición (solución) encontrada por la partícula i-ésima en todas las iteraciones; g_i representa la posición de la partícula con el mejor desempeño (mejor solución de todas las partículas, ver figura 2).

Figura 2
Velocidad final de la partícula.

Existen diversos modelos que intervienen en el planteamiento de los algoritmos de PSO, entre estos se encuentran: modelo completo, donde los componentes cognitivo y social intervienen en el cálculo de las velocidades y posiciones de las partículas 𝜑₁, 𝜑₂ > 0. En el segundo modelo solo interviene el componente cognitivo, esto es 𝜑₁, > 0, 𝜑₂ = 0. Para el tercer modelo solo interviene el componente social y viene dado por las constantes 𝜑₁ = 0, 𝜑₂ > 0. El cuarto modelo viene dado por la exclusividad del componente social, esto es 𝜑₁ = 0, 𝜑₂ > 0 y 𝑔_𝑖 ≠ 𝑥_𝑖^𝑘, donde la posición de la partícula en sí no puede ser la mejor de su entorno. En este documento se plantea un modelo completo donde los componentes cognitivo y social cumplen con la igualdad 𝜑₁ + 𝜑₂ = 4 [10].

2.2. Técnica convexa

Definición: una función real de variable real f(x): Rⁿ → R es convexa si y solo si ∀x, y Є R ⁿ , ∀α, β Є [0, 1] : f(αx + βy) ≤ αf(x) + βf(y).

Un problema de optimización convexa se denomina así si la función objetivo es convexa y la región de búsqueda es un conjunto convexo. Todo óptimo local en un problema convexo es un óptimo global min f(x), f(x), es convexo x Є Ω, Ω es:

Sea x̅ un óptimo local: N(x̅)es la vecindad de x, x = α x̅ + βy Є Ω.

Lo anterior demuestra que cualquier punto que se encuentre fuera de la vecindad de x̅ desmejora la evaluación de la función objetivo, esto quiere decir que si x̅ pertenece al conjunto convexo de restricciones, entonces esta solución es un óptimo del problema, ya que la función objetivo es una función convexa. Por otro lado, como se propuso al inicio de esta sección, cualquier óptimo local es un óptimo global solo si se encuentra en la vecindad de estas soluciones, entonces se crea un conjunto de soluciones que viene dado por el siguiente algoritmo (ver figura 3):

Entradas: matriz de momento M_s(y*) de rango r. Salidas: r puntos solución x*(i) Є K,i = 1,-- ,r soporte de una solución óptima del problema de optimización convexa.

• Obtener la factorización de Cholesky VV’ de M_s(y*)

• Reducir V a una forma de Echelon U

• Extraer de U las matrices de multiplicación N_i,i = 1,…,n

• Calcular N = Σⁿ_i=1λ_iN_i y generar aleatoriamente los coeficientes λ_i

• Realizar la descomposición de Schur N = QTQ'

• • Obtener Q = [q₁q₂- q_r ]

• Calcular las soluciones óptimas con x^*_¡(j) = q'jN_iq_j . Para todo i = 1,2,… ,n y para cada i = 1,2, - ,r.

Donde [13], [14]:

Figura 3
Vecindad del óptimo local.

La matriz V* se forma por las columnas de V_s(x*(j)).

3. Análisis y resultados

Se considera el siguiente problema de optimización con restricciones:

Gráficamente, se puede comprobar que la función objetivo es convexa y que la intersección de las restricciones convexas forma un conjunto convexo, por lo tanto, se tratará el problema de optimización como un problema convexo (ver figura 4, figura 5, figura 6 y figura 7).

Figura 4
Restricción 1.

Figura 5
Restricción 1.

Figura 6
Restricción 2.

Figura 7
Restricción 3.

El algoritmo de PSO viene dado por los siguientes pasos:

• Asignar posiciones aleatorias dentro de la región factible convexa formada por la intersección de las restricciones. Se generarán n posiciones para las k partículas.

• Evaluar las n posiciones en la función objetivo para determinar la mejor posición de la partícula k-ésima.

• Actualizar las variables de acuerdo con las funciones de velocidad y posición. Los componentes cognitiva y social de cada partícula se ven afectados por un numero aleatorio para cada uno, esto con el fin de darle mayor diversidad a cada nueva solución y no sesgar las respuestas.

• Actualizar la mejor respuesta de la población actual.

• Actualizar la mejor respuesta global.

• Si |x^k_i - x^k_i^-1| < to/ o n > iter_max , volver al paso 3.

• De lo contrario, avanzar al paso 6.

• Devolver la mejor respuesta.

Con el algoritmo planteado anteriormente, se obtuvo la siguiente tabla de resultados:

Tabla 1

Soluciones PSO

Para obtener los resultados con el algoritmo de extracción convexa, es necesario calcular, simplificar y factorizar las siguientes matrices.

Y la base de monomios:

La factorización de Cholesky viene dada por:

Cuya forma en columna de Echelon es:

Las entradas de pivote corresponden a la siguiente base generadora:

De las filas posteriores en la matriz u se deduce que todas las soluciones x deben satisfacer las tres ecuaciones polinómicas:

Las matrices de multiplicación N (por x₁ y x₂) en la base w (x) son fácilmente extraídas de filas en u:

Una combinación convexa elegida al azar de rendimientos de N1 y N2:

Con matriz ortogonal en descomposición de Schur dada por:

A partir de las ecuaciones del paso 7 de la sección Il.b, se obtienen las tres soluciones óptimas:

4. Conclusiones

El algoritmo de cúmulo de partículas PSO con modelo completo implementado en este estudio permitió hallar un conjunto de valores óptimos para dos variables de una función objetivo con restricciones no lineales. La cantidad de individuos usados para cada generación fue de 50 partículas para explorar ampliamente la región factible formada por las restricciones convexas. Cada solución representa un punto ubicado en dicha región, y satisface simultáneamente la función objetivo y las restricciones.

La iteración del algoritmo de extracción convexa relaja el problema de optimización polinomial llevándolo a una forma de problema semidefinido de momento, esto es, calcular la matriz de probabilidad de momento donde esta es la medida de Dirac en cada solución. Dado que las matrices obtenidas en este método son semidefinidas positivas, estas matrices permiten ser factorizadas por medio del algoritmo de Cholesky, Echelon y matriz ortogonal de Shur, dado el caso que la matriz de momento no sea semidifinida positiva o alguno de los valores propios sea menor a cero, entonces no es posible realizar dichas factorizaciones y el problema planteado no es de optimización convexa.

Los pasos propuestos en cada uno de los algoritmos planteados en este documento son similares, pero se diferencian en la cantidad de veces que se deben repetir, es decir, para el algoritmo de cúmulo de partículas inicialmente se explora la región factible con un número finito de partículas, y estas tienden a la mejor solución en alrededor de 150 iteraciones; por otro lado, el cálculo empleado para la extracción convexa solo realiza 3 iteraciones para los cálculos matriciales del paso 7 de este último método.

Finalmente, el método más eficaz para el cálculo de los valores que minimizan una función objetivo en un espacio convexo es el de extracción convexa, dado que el modelo del problema permite obtener matrices semidefinidas positivas con valores propios mayores o iguales a cero.

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Notas

Notas de autor

^a Correo electrónico: femesa@utp.edu.co^bgcorreav@utp.edu.co