Introdução

As equações lineares e sistemas de equações lineares constituem objectos matemáticos omnipresentes em problemas científicos e tecnológicos enfrentados pela Humanidade, e surgem naturalmente em várias ciências para as quais o conhecimento matemático é significativo, tais como Física, Química, Engenharia, Economia, Astronomia, Cosmologia, Ciências de Computação, Biologia, dentre outras (Santos, 2010). Assim, achar um conjunto-solução de equações lineares ou sistemas de equações lineares constitui um imperativo crítico para a resolução de problemas científicos, técnicos, profissionais e metodológicos.

Existem métodos destinados à resolução de sistemas de equações lineares nos campos da Álgebra Linear e da Geometria Analítica. Estes métodos dividem-se em dois grandes grupos: métodos directos e os métodos iterativos. Os métodos directos são aqueles que fornecem soluções analíticas exactas relativas a sistemas lineares, caso tais soluções existam. Os métodos iterativos geram uma sequência de vectores a partir de uma aproximação inicial, convergindo para a solução exacta do sistema linear, caso exista (Gonçalves, 2018). Dentre os métodos directos contam-se o método de substituição progressiva e retroactiva, o método de eliminação de Gauss, o método de decomposição LU, o método de Gauss-Jordan, o método de Cholesky. Dentre os métodos iterativos constam o método de Jacobi-Richardson, o método de Gauss-Seidel, o método dos gradientes conjugados.

Na resolução de sistemas lineares homogéneos com 𝑚 equações e 𝑛 incógnitas, para casos em que 𝑛 > 𝑚, pelo método geral de escalonamento, surge, com frequência, uma anomalia de cálculo aparentemente imperceptível: a presença de variáveis livres, as quais podem assumir quaisquer valores dentro de dado conjunto numérico. A anomalia de cálculo em questão está relacionada com o facto de a consideração de variáveis livres mitigar a verdadeira estrutura algébrica das soluções do sistema linear homogéneo, perdendo-se assim informações importantes sobre o verdadeiro layout das soluções exactas destes sistemas lineares homogéneos, não obstante numericamente oferecer soluções viáveis para o sistema linear proposto.

Para contornar o uso de variáveis livres e permitir a obtenção de soluções gerais e exactas, algébrica e estruturalmente adequadas no cálculo de equações e sistemas lineares com 𝑚 equações e 𝑛 incógnitas, o autor deste artigo propõe a utilização do método de contracção dimensional sistemática de equações e sistemas lineares. Trata-se de um método que resulta de uma aplicação directa de um resultado da Álgebra Linear apresentado na proposição 3 que se segue mais adiante. Destarte, constitui objectivo geral deste artigo apresentar uma proposta metodológica denominada contracção dimensional sistemática, sua operacionalização e vantagens no cálculo de equações e sistemas homogéneos de equações lineares com 𝑚 equações e 𝑛 incógnitas. Deste objectivo genérico se determinaram os seguintes objectivos específicos:

• Relacionar equações lineares e sistemas homogéneos de equações lineares;

• Definir, em conformidade com a proposta metodológica aqui apresentada, a equação homogénea geral;

• Abordar sobre equações homogéneas lineares identitárias e vectoriais;

• Descrever as etapas e operacionalidade do método de contracção dimensional sistemática no cálculo de equações e sistemas de equações lineares.

Por estes objectivos específicos, este artigo integra as seguintes temáticas: introdução ao estudo da equação homogénea linear, equação linear e sistemas homogéneos, equação homogénea linear identitária, equação homogénea linear vectorial, resolução de equações homogéneas lineares pelo método de contracção dimensional sistemática, resolução de sistemas de equações homogéneas lineares pelo método de contracção dimensional sistemática, solução-padrão de equação homogénea e sistema homogéneo de equações lineares.

Caracterização das Equações Lineares e dos Sistemas Homogéneos das Equações Lineares

A caracterização das equações lineares e dos sistemas homogéneos das equações lineares apresenta uma temática algébrica vinculada ao conceito de equação homogénea linear, que difere, no campo conceptual, da ideia associada à equação linear homogénea, bastante difundida na Álgebra Linear, na qual uma equação linear da forma 𝐴𝒙 = 𝒃 é tal que 𝐴 é a matriz dos coeficientes, 𝒙 é o vector de incógnitas e 𝒃, o vector de termos independentes (Steinbruch e Winterle, 1995), conforme segue.

A Álgebra Linear, que estuda matrizes, sistemas lineares e tópicos relacionados (Anton e Rorres, 2012), demonstra que toda a informação necessária para a resolução de um sistema de equações lineares está contida na respectiva matriz 𝐴 que, no caso do sistema linear acima, segue abaixo.

Uma matriz de coeficientes é uma matriz 𝑚 × 𝑛 cujas linhas são coeficientes 𝑎_𝑖𝑗 de equações lineares de um sistema linear ou transformação linear. A sua operacionalização requer domínio de técnicas da Álgebra Matricial e constituem objectos matemáticos muito importantes no contexto profissional, porquanto muitos problemas reais na engenharia, economia, ciências naturais e até na Matemática podem ser transformados em sistemas de equações lineares (Cabral e Goldfeld, 2012)

Assim, a solução de um sistema linear, como o apresentado acima, pode ser obtida efectuando operações apropriadas nessa matriz, denominadas operações elementares, dentre outras, compiladas em métodos directos, como os já referenciados. Em particular, considerando o teorema de Kronecker-Capelli, um sistema linear 𝒙 = 𝒃, com característica 𝑐(𝐴) e matriz aumentada 𝐴|𝒃, é compatível se e somente se 𝑐(𝐴) = 𝑐(𝐴|𝒃) e, em caso de ser compatível, será determinado para 𝑐(𝐴) = 𝑛 e indeterminado para 𝑐(𝐴) < 𝑛.

A Álgebra Homométrica estuda estruturas algébricas onde estão definidas duas aplicações multilineares como produtos da álgebra, uma transformando espaços vectoriais em outro espaço vectorial denominado espaço homogéneo, e outra aplicando estes espaços vectoriais no corpo de escalares sobre o qual tais espaços estão definidos. Esta álgebra aproveita as propriedades especiais e exclusivas de equações e sistemas lineares homogéneos para obter soluções exactas mais simples destes sistemas. E, sistemas lineares não homogéneos são contemplados nestes procedimentos, devendo ser previamente convertidos em sistemas homogéneos. O conjunto de técnicas que servem esta finalidade constitui o método de contracção dimensional sistemática abordado neste artigo, assim denominado por colocar o foco na redução sistemática do número de incógnitas da equação ou sistema de equações lineares homogéneo dado, até atingir um número adequado a uma resolução mais viável, que não recorra ao uso de variáveis livres.

Considere-se o seguinte sistema de duas equações lineares com três incógnitas.

(1)

Neste sistema, as incógnitas são 𝑥₁, 𝑥₂, 𝑥₃; os coeficientes são 𝑎₁, 𝑎₂, 𝑎₃ e 𝑏₁, 𝑏_2, 𝑏₃; os termosindependentes são 𝑐₁, 𝑐₂. Impondo ao sistema (1) uma interpretação vectorial, segue que 𝑐₁ = 𝑎₁𝑥₀₁+ 𝑎₂𝑥₀₂ + 𝑎₃𝑥₀₃ e 𝑐₂ = 𝑏₁𝑥₀₁+ 𝑏₂𝑥₀₂ + 𝑏₃𝑥₀₃. Substituindo estas expressões no sistema (1), tem-se o seguinte sistema homogéneo:

(2)

Este sistema (2) pode obter-se a partir de situações concretas, como por exemplo, na Gestão Empresarial (Silva et al, 2020). Considere-se, para o efeito, a seguinte relação financeira: Vendas = Custos Fixos + Custo Variável + Lucro Líquido.

Represente-se as parcelas desta igualdade por variáveis do ponto de equilíbrio para as quais 𝑐₁ e 𝑐₂ são os valores de vendas do primeiro exercício económico e do segundo exercício económico, respectivamente. Obviamente, denotando por 𝑥₁ o valor dos Custos Fixos no ponto de equilíbrio, pode-se denotar por 𝑎₁𝑥₁ e 𝑏₁𝑥₁ os Custos Fixos no primeiro exercício económico e no segundo exercício económico da empresa considerada, respectivamente.

Repetindo este processo para as demais parcelas da equacáo acima, tem-se o seguinte sistema linear, no quel as constantes reais 𝑎₁, 𝑎₂, 𝑎₃ e 𝑏₁, 𝑏₂, 𝑏₃ exprimem uma comparação de variáveis económicas desta equação no instante do ponto de equilíbrio em relação àqueles exercícios económicos.

Considerando uma interpretação vectorial para este sistema, chega-se ao sistema (2) acima, o qual pode ser resolvido para se encontrar os valores reais referenciadas anteriormente.

O sistema homogéneo (2) acima pode originar dois subsistemas homogéneos, chamados sistemas parciais, agrupando equações semelhantes, de tal modo que cada um destes subsistemas seja derivado de uma equação do sistema homogéneo original (2), ou seja:

(3)

Destes sistemas homogéneos lineares (3) vê-se, com toda a clareza, que houve inversão de papéisem relação aos elementos do sistema (1), ou seja, as incógnitas passaram a ser, na equação I, 𝑎₁,𝑎₂, 𝑎₃, e na equação II, 𝑏₁, 𝑏₂, 𝑏₃, elementos que originalmente eram considerados coeficientesno sistema (1); as incógnitas do sistema (1) passaram a ser, nestes sistemas (3), coeficientes

A interpretação vectorial de um sistema de equações lineares permite identificar três vectores: um vector inicial, um vector pós-inicial, ambos dados, e um vector de coeficientes que deverá ser determinado (Santos, 2010). Geometricamente, o vector de coeficientes é ortogonal aos outros dois vectores, pelo que, a rigor, não permite a recuperação de um dos outros dois vectores, ou seja, este vector de coeficientes não pode ser dado a priori para recuperar um dos outros dois.

Pelo observado acima, Álgebra Homométrica considera que um sistema homogéneo, matricialmente dado na forma 𝐴𝒙 = 𝟎, é tal que 𝐴 representa a matriz das coordenadas de vectores 𝒗𝑖∈ 𝕍𝑛, para 𝑖, 𝑛 ∈ ℕ, e 𝒙, o vector dos coeficientes de uma equação linear definida pelos vectores 𝒗𝑖 deste espaço vectorial 𝕍𝑛, de dimensão finita, sobre um corpo de escalares 𝕂. Pelo exposto acima, 𝑥₁, 𝑥₂, 𝑥_3, 𝑥𝑛 ∈ 𝕂 e 𝒙 ∈ 𝕍𝑛, ou seja, tal como acontece no contexto da Álgebra Linear, 𝒙 é um vector de 𝕍𝑛composto por escalares do corpo 𝕂. Esta interpretação algébrica da Álgebra Homométrica será desenvolvida em trabalhos futuros, aquando da abordagem sobre o espaço vectorial homogéneo.

Ademais, o aspecto sistémico da equação matricial 𝐴𝒙 = 𝟎 não difere da sua forma algébrica conhecida, sendo que a primeira diferença formal é de perspectiva, ou seja, a forma como este sistema homogéneo é interpretado na visão da Álgebra Linear e na perspectiva da Álgebra Homométrica: nesta última, as incógnitas de 𝐴𝒙 = 𝟎 são componentes de um vector 𝒙, cujos coeficientes formam a matriz 𝐴; na visão de todo investigador interessado ao estudo do referido fenómeno, as incógnitas são coeficientes de uma equação linear vectorial que relaciona os vectores 𝒗_𝑖 ∈ 𝕍^𝑛e que compõem o vector 𝒙, sendo os componentes destes vectores 𝒗_𝑖 ∈ 𝕍^𝑛elementos da matriz 𝐴 deste sistema homogéneo.

Por conseguinte, para resolver o sistema homogéneo 𝐴𝒙 = 𝟎 é preciso garantir que os vectores 𝒗_𝑖 do espaço vectorial 𝕍^𝑛existem e são conhecidos, cujas características combinadas produzem o vector dos coeficientes que pode ser compreendido como único vector linearmente independente que resulta da operação linear vectorial dos dois vectores multiplicativos 𝒗_𝑖 ∈ 𝕍^𝑛.

Estudo da Aplicação das Equações Homogéneas Gerais

O conceito de equação homogénea não é novo em Matemática e suas disciplinas associadas, sendo bastante familiar em campos como Álgebra Linear e Equações Diferenciais. No contexto de Álgebra Linear, as equações homogéneas constituem uma variante das equações lineares e, considerando um espaço vectorial 𝕍^𝑛 sobre um corpo 𝕂, uma equação linear homogénea na Álgebra Linear pode ser expressa pela igualdade:

(1)

Os elementos 𝑏_𝑖 são denominados constantes ou coeficientes da equação linear homogénea, enquanto os elementos 𝒙_𝑖 são chamados de incógnitas da mesma equação, que podem ser vectores, tal como expresso nesta igualdade acima, ou podem ser quaisquer variáveis que representem parâmetros ou números não conhecidos. No caso de 𝒙_𝑖 serem vectores, a equação (1) é dita vectorial e, se 𝑥_𝑖 são variáveis escalares, esta equação (1) é denominada escalar.

De modo menos compacto, a equação linear homogénea (1) pode ser escrita na forma extensiva, sem o uso do sinal de somatório, tal como segue abaixo.

O conjunto Y={y₁,x₂=y₂,x₂=y_a; … x_n=𝑦_𝑛}é chamado solução da equação linear homogénia (1) se satisfaz a igualdade respectiva, ou seja, 𝑏₁y₁+ b₂y₂ + b_ay_a + ^... + b_ny_n = 0 de maneira que se tenha:

Um conjunto de equações lineares homogéneas pode formar um sistema de equações lineares homogéneas, passando o respectivo conjunto-solução a satisfazer, ao mesmo tempo, todas as equações que compõem o respectivo sistema de equações lineares homogéneas. Ressalta-se que, todo sistema linear homogéneo é classificado como possível determinado, ou seja, tem sempre solução que pode ser apenas a solução trivial ou infinitas soluções, conforme o teorema de Kronecker-Capelli (Castro, 2018). Neste caso, um sistema de equações lineares homogéneas tem a seguinte forma:

Este sistema homogéneo pode ser escrito na forma matricial, ou seja, 𝐴𝒙 = 𝟎, atendendo à forma matricial de um sistema linear 𝐴𝒙 = 𝑪, onde, neste caso, tem-se conforme abaixo.

Nesta conformidade, uma solução de um sistema linear homogéneo pode ser entendida como um vector 𝒚 = [y₁ y₂ y₃ ... y_n], tal que as equações do sistema linear homogéneo sejam satisfeitas, quando se substitui

Atendendo ao facto de equações e sistemas homogéneos desempenharem um papel essencial em toda a Álgebra Homométrica, urge apresentar aqui alguns resultados já conhecidos da Álgebra Linear sobre sistemas homogéneos, tal como segue nas proposições abaixo.

PROPOSIÇÃO 1. Seja 𝑛 o número de incógnitas e 𝑚 o número de equações em um sistema homogéneo; 𝐴 = (𝑎_{𝑖𝑗.𝑚×𝑛}, a matriz dos coeficientes, tal que 𝑚 < 𝑛. Então, o sistema homogéneo 𝐴𝒙 = 𝟎 tem solução diferente da solução trivial.

DEMONSTRAÇÃO. Já que o sistema homogéneo considerado tem menos equações do que incógnitas (𝑚 < 𝑛) e considerando o método de Gauss-Jordan, o número de linhas não nulas 𝑟 da forma escalonada da matriz aumentada do sistema, obtida por este método de Gauss-Jordan, é tal que 𝑟 < 𝑛. Nestas condições, tem-se 𝑟 pivôs e 𝑛 − 𝑟 incógnitas livres, passíveis de assumir qualquer valor real. Assim, o sistema admite solução não trivial, ou seja, infinitas soluções.

Esta proposição 1 garante a existência de soluções não nulas em sistemas de equações lineares homogéneos que possuem o número de incógnitas maior que o número de equações. Entretanto, não afirma nada sobre casos para os quais o número de incógnitas é igual ao número de equações, o que é garantido na proposição 2 abaixo.

PROPOSIÇÃO 2. Seja 𝐴𝒙 = 0 um sistema de equações lineares homogéneas qualquer, para o qual 𝐴 = (𝑎_{𝑖𝑗.𝑛×𝑛} é uma matriz quadrada. Então, o sistema linear homogéneo 𝐴𝒙 = 0 tem somente a solução trivial.

DEMONSTRAÇÃO. Considere-se uma matriz quadrada 𝐴 = (𝑎_{𝑖𝑗.𝑛×𝑛} com inversa 𝐴⁻¹ e que 𝒙_𝟎 seja uma solução qualquer do sistema homogéneo 𝐴𝒙 = 0. Então, multiplicando ambos os membros desta equação homogénea pela matriz inversa 𝐴⁻¹, tem-se:

𝐴⁻¹(𝐴𝒙_𝟎) = 𝟎𝐴⁻¹.

Desta igualdade segue a expressão abaixo, aplicando operações matriciais básicas:

𝐴⁻¹(𝐴𝒙_𝟎) = 𝟎𝐴⁻¹ ⇒ (𝐴⁻¹𝐴)𝒙.= 𝟎 ⇒ 𝐼𝒙. = 𝟎 .

Desta expressão, 𝐼 é a matriz identidade. Daí, conclui-se, tal como se queria demonstrar, que a única solução deste sistema considerado é a solução trivial, ou seja:

𝒙_o = 𝟎 .

Por esta proposição 2, todo o sistema de equações lineares homogéneo que apresenta o mesmo número de equações e incógnitas, ou seja, 𝑛 = 𝑚, sendo 𝑛 o número de incógnitas e 𝑚 o número de equações, tem como única solução a solução trivial.

PROPOSIÇÃO 3. Sejam 𝒙_𝟎, 𝒙_𝟏, 𝒙_𝟐, … , 𝒙_𝒏 soluções do sistema linear homogéneo 𝐴𝒙 = 𝟎.

Então, as seguintes afirmações são verdadeiras:

i) A soma destas soluções 𝒙_{𝟎 + x1 + x2 + ... + xn tambien e solucao deste sistema linear homogéneo Ax = 0}

ii) Para todo escalar a𝕂, 𝛼𝒙_𝑖, 𝑖, é também solucao deste sistema de equacoes lineares homogéneo Ax = 0

DEMONSTRAÇÃO. Demonstrando cada uma destas afirmações, segue:

i) Sejam 𝒙_𝟎, 𝒙₁, 𝒙₂, … , 𝒙_𝑛 soluções do sistema linear homogéneo 𝐴𝒙 = 𝟎. Então temse:

𝐴𝒙_𝟎 = 𝐴𝒙₁= 𝐴𝒙₂ = ⋯ = 𝐴𝒙_𝑛 = 𝟎 .

De facto, seja, por hipótese, 𝒙 = 𝒙_𝟎 + 𝒙_𝟏+ 𝒙_𝟐 + ⋯ + 𝒙_𝒏 uma solução deste sistema. Então, multiplicando ambos os membros desta igualdade pela matriz 𝐴, tem-se: 𝐴𝒙 = 𝐴𝒙_𝟎+ 𝐴𝒙_𝟏 + 𝐴𝒙_𝟐+ ⋯ + 𝐴𝒙_𝒏 .

Desta última expressao, segue, tal como se queria demostrar que, nestas condicoes, x= 𝒙_𝟎 + 𝒙_𝟏 + 𝒙_𝟐 + ⋯ + 𝒙_𝒏 é solução do sistema linear homogéneo 𝐴𝒙 = 𝟎, ou seja:

𝐴𝒙 = 𝟎 + 𝟎 + 𝟎 + ⋯ + 𝟎 ⇒ 𝐴𝒙 = 𝟎.

ii) Seja 𝒙_𝒊 uma solução do sistema linear homogéneo 𝐴𝒙 = 𝟎. Então 𝛼𝒙_𝒊 também é solução deste sistema, pois, tal como se queria demonstrar: 𝐴(𝛼𝒙) = 𝛼(𝐴𝒙) = 𝛼𝟎 = 𝟎 .

Desta proposição 3 se pode verificar importante comportamento de sistemas de equações lineares homogéneos que não é satisfeito por sistemas lineares em geral de tipo 𝐴𝒙 = 𝒄, e que desempenha um papel fundamental na descrição de sub-espaços de espaços vectoriais reais n-dimensionais. De facto, por esta proposição 3, o conjunto solução de um sistema linear homogéneo é um sub-espaço do ℝ^𝑛, ou seja, é um subconjunto deste espaço vectorial real n-dimensional que cumpre com todos os axiomas que definem um espaço vectorial, o que não acontece com o conjunto solução de um sistema linear não-homogéneo, pois não contém o vector nulo e qualquer das suas soluções é única e não admite, geralmente, sub-soluções.

Definição de Equação Homogénea Geral e Equação Homogénea Linear Identitária

Na literatura algébrica, uma equação homogénea linear apresenta a forma observada no item 2 que aborda sobre equação linear e sistemas lineares homogéneos (Farias et al, 2018). Entretanto, o conceito de homogeneidade é bem mais amplo e enquadra funções homogéneas, quaisquer equações lineares, equações diferenciais, havendo assim necessidade de se estabelecer uma definição de equação homogénea em geral. A rigor, a homogeneidade extrapassa qualquer ciência particular, ou seja, é uma noção transversal que exprime a ideia do que há de comum em seres, objectos, processos, métodos, tecnologias, enfim. Homogeneidade é, para além de um conceito científico, um termo filosófico, tecnológico, antropológico. A definição 1 abaixo apresenta a forma de uma equação homogénea geral.

DEFINIÇÃO 1. Seja 𝕍^𝑛 um espaço vectorial n-dimensional sobre um corpo 𝕂, 𝐹 o conjunto de todas as funções de 𝕍^𝑛. Diz-se que 𝐻(𝑓_𝑖) = 0 é uma equação homogénea geraldefinida no espaço vectorial 𝕍^𝑛 se se tem:

Os 𝑏_𝑖 são elementos do corpo 𝕂 e 𝑓_𝑖 são funções de natureza diversa pertencentes ao conjunto 𝐹 definido no espaço vectorial 𝕍^𝑛, para 𝑘 ∈ ℕ.

Resulta desta definição 1 que uma equação homogénea geral apresenta várias configurações dependentes da tipologia de funções que a compõem, pela qual uma equação homogénea pode ser linear ou não linear. Atendendo à forma como estas funções se relacionam na equação, esta pode ser simples ou composta. Ademais, importa realçar que uma classificação geral da equação homogénea linear não cabe no escopo desta obra, estando reservada para abordagens mais aprofundadas sobre a Álgebra Homométrica.

A expressão equação homogénea linear identitária é quase toda familiar, a menos do termo identitária. Entretanto, parece fácil perceber que este termo deriva da palavra identidade e, como tal, deve estar associado às funções componentes da equação homogénea. Assim, trata-se da presença de funções identidades como componentes da equação homogénea, ou seja, as funções componentes consideradas são funções identidades.

Por esta explanação, uma equação homogénea linear identitária apresenta uma tipologia simples, uma vez que todas as suas funções componentes devem ser funções identidades. A definição 2 abaixo apresenta a característica fundamental destes tipos de equações, a de terem funções lineares identidades como componentes.

DEFINIÇÃO 2. Seja 𝕍^𝑛 um espaço vectorial n-dimensional sobre um corpo 𝕂, 𝐿 o conjunto de todas as funções lineares de 𝕍^𝑛. Uma equação homogénea linear identitária é uma equação homogénea linear para a qual as funções lineares componentes são funções lineares identidades, ou seja:

Esta equação tem, claramente, o formato de uma equação linear homogénea definida no âmbito da Álgebra Linear, apresentada anteriormente, ou seja, a equação homogénea linear identitária pode ser escrita na forma seguinte:

Neste caso, são funções componentes da equação homogénea linear identitária as funções lineares tais que:

𝑓₁(𝑥₁) = 𝑥₁; 𝑓₂(𝑥₂) = 𝑥₂; 𝑓_a(𝑥_a) = 𝑥_a 𝑓₄(𝑥₄) = 𝑥₄; … ; 𝑓_𝑛(𝑥_𝑛) = 𝑥_𝑛.

Um conjunto de equações homogéneas lineares identitárias, também chamado, simplesmente, conjunto de equações lineares homogéneas, forma um sistema homogéneo de equações lineares, ao qual se aplicam todas as proposições e teoremas conhecidos no contexto da Álgebra Linear e da Geometria Analítica.

De facto, se 𝕂 é um corpo de escalares e 𝐴 uma matriz dos coeficientes 𝑏_𝑖 ∈ 𝕂, e 𝒙 o vectorsolução, então 𝐴𝒙 = 𝟎 é um sistema linear homogéneo identitário na forma matricial, compacta, de cuja forma analítica, não compacta, foi apresentada anteriormente, no item que aborda sobre equações lineares e sistemas homogéneos.

Equação Homogénea Linear Vectorial

As palavras que compõem a expressão equação homogénea linear vectorial são todas familiares ao contexto da disciplina de Álgebra Linear. Contudo, a expressão como um todo designa aqui um conceito não tão familiar, pelo menos numa primeira aproximação, revelando a sua identidade após alguns resultados que serão apresentados no decorrer da abordagem deste item. A definição 3 abaixo exprime uma versão formal de uma equação homogénea linear vectorial.

DEFINIÇÃO 3. Seja 𝕍𝑛 um espaço vectorial n-dimensional sobre o qual está fixado um ponto 𝑃. associado a um vector 𝒗₀ = ((𝑎₁; 𝑎₂; 𝑎₃; … ; 𝑎𝑛), considerados constantes, podendo, a partir do ponto 𝑃., ser obtido um outro ponto, o ponto 𝑃₁ e, em consequência, do vector 𝒗₀ deriva, por variação de pelo menos um dos seus componentes, o vector 𝒗₁= (𝑏₁; 𝑏₂; 𝑏₃; … ; 𝑏𝑛). Seja 𝒙 = (𝑥₁; 𝑥₂; 𝑥₃; … ; 𝑥𝑛) um vector deste espaço vectorial. Nestas condições, chama-se equação homogénea linear vectorial a equação de tipo

para a qual 𝑓_𝑖(𝑥_𝑖) = 𝑥_𝑖(𝑏_𝑖 − 𝑎_𝑖) são as funções componentes e 𝑎_𝑖, 𝑏_𝑖, as componentes dos vectores 𝒗₀ e 𝒗_i, denominados vector inicial e vector pós-inicial, respectivamente, e 𝑥_𝑖, os coeficientes incógnitas da equação.

A ideia de uma equação homogénea linear vectorial reside no facto de, dados dois vectores 𝒗₀ e 𝒗i, com 𝒗0 fixo, é sempre possível determinar um terceiro vector 𝒙 do mesmo espaço vectorial, a partir destes dois vectores exclusivamente, sendo este vector 𝒙 o único vector linearmente independente associado aos dois vectores dados 𝒗₀ e 𝒗i.

TEOREMA 1. Considere-se uma equação homogénea linear vectorial como a apresentada na definição 3. Então, toda equação linear, dada por uma igualdade de tipo

𝑏₁𝑥₁ + 𝑏₂𝑥₂ + 𝑏₃𝑥₃+ ⋯ + 𝑏_𝑛𝑥_𝑛 = 𝑐,

é uma equação homogénea linear vectorial, para a qual 𝑐 = 𝑎₁𝑥₁ + 𝑎₂𝑥₂ + 𝑎₃𝑥₃+ ⋯ + 𝑎𝑛𝑥𝑛; 𝑥_𝑖 são os coeficientes e 𝑎_𝑖, 𝑏_𝑖, componentes dos vectores inicial e pós-inicial, respectivamente, associados a um espaço vectorial 𝕍𝑛.

DEMONSTRAÇÃO. Sabe-se que uma equação homogénea linear vectorial é da forma:

𝑥₁(𝑏₁ − 𝑎₁) + 𝑥₂(𝑏₂ − 𝑎₂) + 𝑥₃(𝑏₃ − 𝑎₃) + ⋯ + 𝑥_𝑛(𝑏_𝑛− 𝑎_𝑛) = 0 .

Desenvolvendo o membro esquerdo desta igualdade, segue:

𝑏₁𝑥₁ − 𝑎₁𝑥₁ + 𝑏₂𝑥₂ − 𝑎₂𝑥₂ + 𝑏₃𝑥₃ − 𝑎₃𝑥₃ + ⋯ + 𝑏𝑛𝑥𝑛 − 𝑎𝑛𝑥𝑛 = 0 .

Ou seja:

𝑏₁𝑥₁ + 𝑏₂𝑥₂ + 𝑏₃𝑥₃ + ⋯ + 𝑏𝑛𝑥𝑛 = 𝑎₁𝑥₁ + 𝑎₂𝑥₂ + 𝑎₃𝑥3 + 𝑎_𝑛𝑥_𝑛 .

A partir desta última igualdade, o membro direito – constituído por produtos de componentes do vector inicial fixo, constante, e componentes do vector dos coeficientes 𝒙 = (𝑥₁; 𝑥₂; 𝑥₃; … ; 𝑥_𝑛) pode ser representado por um único parâmetro homogéneo 𝑐, de tal modo que se tenha a seguinte equação linear, tal como se queria demonstrar:

O conjunto de duas ou mais equações homogéneas lineares vectoriais constitui um sistema de equações lineares homogéneo. O contrário também é verdadeiro, pelo teorema 1, pois a partir de equações lineares se pode formar equações homogéneas vectoriais, sendo esta uma técnica importante para o método de contracção dimensional sistemática abordado neste trabalho, em especial, nos itens abaixo. Nesta visão, as condições de dependência e independência de vectores aqui consideradas válidas são aquelas já conhecidas e definidas no contexto da Álgebra Linear. Ademais, tais vectores podem constituir sistemas lineares homogéneos com solução única para casos em que 𝑚 = 𝑛, tendo tais sistemas infinitas soluções para casos em que se tem 𝑚 < 𝑛, tal como se observa a partir da proposição 1 anteriormente considerada.

Resolução de Equações Homogéneas Lineares pelo Método de Contracção Dimensional Sistemática

O método de contracção dimensional sistemática de equações lineares aqui em análise fundamenta-se em resultados teóricos já apresentados neste trabalho nas proposições 2 e 3, bem como no teorema 1 anteriormente considerado. A definição 4 abaixo apresenta o conceito formal deste método de contracção dimensional sistémica.

DEFINICAO 4. Seja Vⁿ um espaco vectorial n-dimensional sobre o qual está fixado um ponto 𝑃₀, a partir do qual se pode obter um outro ponto 𝑃₁, e 𝑏₁𝑥₁+ 𝑏₂𝑥₂ + 𝑏₃𝑥₃+ ⋯ + 𝑏_𝑛𝑥_𝑛 = 𝑐, uma equação linear definida neste espaço vectorial. Então, o método 𝑀_𝑖 diz-se método de contracção dimensional sistemática de equações lineares se, dados os vectores 𝒗. = (𝑎₁; 𝑎₂; 𝑎₃; … ; 𝑎_𝑛) e 𝒗.= (𝑏₁; 𝑏₂; 𝑏₃; … ; 𝑏_𝑛), 𝑀_𝑖 permite transformar esta equação linear em um sistema homogéneo de equações lineares, pelo qual se pode calcular o vector de coeficientes 𝒙 = (𝑥₁; 𝑥₂; 𝑥₃; … ; 𝑥_𝑛) associado a estes vectores dados.

No contexto desta definição 4, os 𝑎_𝑖 e 𝑏_𝑖 são componentes, respectivamente, dos vectores 𝒗₀ e 𝒗_𝑖, os quais são dados, restando os 𝑥_𝑖 como incógnitas da equação. Ou seja, fixado um ponto 𝑃. num espaço vectorial de dimensão finita 𝕍^𝑛, caso se conheça um outro ponto 𝑃₀ deste espaço, que evolui a partir do ponto fixado 𝑃₀, então os coeficientes 𝑥_𝑖 de uma equação homogénea linear vectorial que envolve os vectores 𝒗_o e 𝒗₁ podem ser determinados pelo método de contracção sistemática de equação homogénea ou sistema homogéneo em consideração (Cunha, 2009).

TEOREMA 2. Seja

𝑏₁𝑥₁ + 𝑏₂𝑥₂ + 𝑏₃𝑥₃ + ⋯ + 𝑏_𝑛𝑥_𝑛 = 𝑐

uma equação homogénea linear vectorial definida num espaço vectorial 𝕍^𝑛 e associada aos vectores 𝒗₀ = (𝑎₁; 𝑎₂; 𝑎₃; … ; 𝑎_𝑛) e 𝒗₁ = (𝑏₁; 𝑏₂; 𝑏₃; … ; 𝑏_𝑛), dados e conhecidos deste espaço. Então, as incógnitas 𝑥_𝑖 são determinadas a partir do sistema abaixo:

DEMONSTRAÇÃO. Considere-se a equação linear apresentada neste teorema:

(2)

A partir desta equação linear, identifica-se o parâmetro homogéneo 𝑐, tal que

𝑐₁ = 𝑎₁𝑥₁; 𝑐₂ = 𝑎₂𝑥₂; 𝑐₃ = 𝑎₃𝑥₃; … ; 𝑐_𝑛 = 𝑎_𝑛𝑥_𝑛,

e que:

𝑐 = 𝑐₁ + 𝑐₂ + 𝑐₃ + ⋯ + 𝑐_𝑛 ⇒ 𝑐 = 𝑎₁𝑥₁ + 𝑎₂𝑥₂ + 𝑎₃𝑥₃ + ⋯ + 𝑎_𝑛𝑥_𝑛.

Substituindo esta última igualdade na equação (2), segue:

𝑏₁𝑥₁ + 𝑏₂𝑥₂ + 𝑏₃𝑥₃ + ⋯ + 𝑏_𝑛𝑥_𝑛 = 𝑎₁𝑥₁ + 𝑎₂𝑥₂ + 𝑎₃𝑥₃ + ⋯ + 𝑎_𝑛𝑥_𝑛 .

Organizando esta igualdade, tem-se:

𝑏₁𝑥₁ − 𝑎₁𝑥₁ + 𝑏₂𝑥₂ − 𝑎₂𝑥₂ + 𝑏₃𝑥₃ − 𝑎₃𝑥₃ + ⋯ + 𝑏_𝑛𝑥_𝑛 − 𝑎_𝑛𝑥_𝑛 = 0 .

Um olhar sobre esta expressão permite interpretá-la como a soma de duas equações lineares

de incógnitas 𝑥₁, 𝑥₂, 𝑥₃, … , 𝑥_𝑛. Considere-se que tal soma seja operada por conta do uso do método de adição associado à resolução de sistemas de equações lineares na disciplina de Álgebra Linear (Anton e Rorres, 2012). Por conseguinte, resulta fácil retornar ao sistema de equações lineares de que resultou a referida equação, pelo que, tal como se queria demonstrar, segue:

EXEMPLO 1. Sejam 𝒗₀ = (3; 4; 7) e 𝒗₁ = (9; 5; 9) vectores de 𝕍³. Encontre:

• A equação homogénea linear;

• O sistema de equações homogéneas lineares associado.

Resolução

a) Considerando a equação homogénea linear, segue:

9𝑥₁ + 5𝑥₂ + 9𝑥₃ = 𝑐 e 𝑐 = 3𝑥₁ + 4𝑥₂+ 7𝑥₃.

Então, a equação homogénea linear correspondente será: 6𝑥₁+ 𝑥₂ + 2𝑥₃ = 0.

b) Considerando esta equação homogénea linear, tem-se o seguinte sistema:

Usando qualquer método clássico directo percebe-se que, para este sistema linear, 𝑥₁= −1, 𝑥₂ = −36, 𝑥₃ = 21 é uma solução. E esta solução vale para a equação homogénea apresentada e para o correspondente sistema homogéneo em estudo.

É claro que este conjunto-solução depende dos valores dos componentes dos vectores dados, ou seja, fixado o vector inicial, o vector 𝒙 = (𝑥₁; 𝑥₂; 𝑥₃; … ; 𝑥_𝑛) dependerá da evolução do sistema que integra os dois pontos, vectores considerados. Neste sentido, a equação linear dada relaciona pura e simplesmente os dois vectores dados, não dependendo de qualquer outro factor, um indício importante do carácter dinâmico de que se reveste a Álgebra Homométrica. Um desenvolvimento mais aprofundado deste facto, como por exemplo, análise algébrica tetradimensional ou pentadimensional da dinâmica de pontos com simuladores informáticos será desenvolvida em outros trabalhos mais específicos.

No contexto da Mecânica Clássica, por exemplo, um ponto material que se desloca sobre a superfície de um corpo, dentro de um dado campo gravitacional, com condições iniciais de movimento dinâmico bem definidas, tais como força de atrito e coeficiente de atrito, massa, força de gravidade, força de reacção normal, possui um vector dinâmico inicial característico do ponto material e do meio com o qual interage, constituído pelos valores destas grandezas do estágio inicial. Este vector pode evoluir para um vector pós-inicial, na medida em que pelo menos uma destas grandezas pode variar. Dados estes dois vectores, pode-se determinar o valor do vector de coeficientes 𝒙 = (𝑥₁; 𝑥₂; 𝑥₃; … ; 𝑥_𝑛), do qual dependem grandezas dinâmicas importantes como aceleração, força resultante, força de inércia, dentre outras.

Resolução de Sistemas Homogéneos de duas Equações Lineares pelo Método de Contracção Dimensional Sistemática

Este trabalho parte do princípio segundo o qual o teorema de Crámer aplicado a qualquer sistema homogéneo de duas equações lineares com três incógnitas permite encontrar soluções do referido sistema, considerando 𝑥₃ = ∆, onde 𝑥₃ é a terceira incógnita das equações deste sistema e ∆, o determinante relativo às duas incógnitas iniciais, ou seja:

A presente proposta metodológica de contracção dimensional sistemática centra-se na redução do número de incógnitas até atingir apenas três incógnitas, visando cumprir o princípio acenado acima, a partir do qual se tem a solução que se observará abaixo (Miranda et al, 2015).

Nesta conformidade, o método de contracção dimensional sistemática pode ser descrito através de suas quatro principais características que o diferenciam dos demais métodos de resolução de sistemas lineares:

1. 1. Reduz, sistematicamente, o número de incógnitas de um sistema de equações lineares homogéneas até um número de incógnitas mais favorável à sua resolução;
2. 2. Converte sistemas lineares não-homogéneos em sistemas lineares homogéneos;
3. 3. Permite converter uma equação linear em sistema de equações lineares homogéneo;
4. 4. Garante soluções de sistemas lineares homogéneos, em geral, originais e exactas, sem recurso a variáveis livres que podem assumir quaisquer valores, no contexto dos métodos de escalonamento;
5. 5. Permite obter uma solução padrão única (solução linearmente independente) de um sistema linear homogéneo que, no campo da Álgebra Linear, possui infinitas soluções.

De facto, no quadro da Álgebra Linear, a resolução de sistemas homogéneos de equações lineares com 𝑛 incógnitas e 𝑚 equações e que contam com soluções não triviais, em conformidade com a proposição 1, contempla a existência de variáveis livres que exigem atribuição aleatória de valores do corpo de escalares para se obter as soluções respectivas, uma situação que omite o verdadeiro formato, espectro, forma ou aspecto formal das soluções do sistema em resolução.

Para ultrapassar esta dificuldade e garantir o aspecto formal real das soluções de sistemas homogéneos existe o método de contracção sistemática de equações lineares e sistemas homogéneos de equações lineares que segue definido, na definição 5 abaixo, e posteriormente analisado na sua operacionalização.

DEFINIÇÃO 5. Seja 𝐴𝒙 = 𝟎 um sistema homogéneo de equações lineares que admite soluções não triviais. Então, o método 𝑀_𝑖 diz-se método de contracção dimensional sistemática de sistemas lineares homogéneos se, na busca por soluções deste sistema, 𝑀_𝑖 expande o sistema 𝐴𝒙 = 𝟎 com 𝑛 incógnitas e 𝑚 equações em um somatório de vários sistemas homogéneos associados 𝐴𝒙₁+ 𝐴𝒙₂ + 𝐴𝒙₃ + ⋯ + 𝐴𝒙_𝑛−𝑞= 𝟎, contraindo sistematicamente o número de incógnitas da equação linear de 𝑛 para 𝑛 − 1, de 𝑛 − 1 para 𝑛 − 2, e assim por diante. O método de contracção dimensional sistemática aplica-se a sistemas de 2, 3, 4 ou mais equações lineares, cujas soluções são não triviais, pois para casos de soluções triviais referenciadas na proposição 1, a solução é conhecida a priori, não havendo necessidade de qualquer cálculo. Entretanto, no contexto deste trabalho, em particular, este método será aplicado apenas a sistemas homogéneos de duas equações lineares, ficando reservado para análises futuras a aplicação deste método para sistemas com mais de duas equações. Em casos de existir apenas uma equação linear, utiliza-se primeiro o método de contracção dimensional sistemática de equações lineares para depois, obtido um sistema homogéneo, aplicar o método de contracção sistemática de sistemas de equações lineares.

O método de contracção dimensional sistemática aplica-se a sistemas de duas equações lineares com mais de 3 incógnitas, uma vez que, tal como já foi demonstrado na proposição 1, os sistemas com duas incógnitas e duas equações têm apenas a solução trivial, e os sistemas com 3 incógnitas que tenham soluções não triviais podem ser resolvidos com os métodos clássicos conhecidos na Álgebra Linear, conservando-se toda a estrutura das suas soluções originais.

Por conta desta proposição 1, os sistemas com 4 ou mais incógnitas também podem apresentar apenas a solução trivial, desde que tenham o mesmo número de incógnitas e equações, devendo este método em referência ser aplicado, de modo eficiente, a sistemas homogéneos com soluções não triviais.

Assim, os sistemas homogéneos de duas equações lineares com 4 ou mais incógnitas que apresentam soluções não triviais podem ser resolvidos por este método de contracção sistemática, aplicando-se os seguintes passos:

i) À luz da proposição 3, cada 𝒙_𝑖 de cada equação linear dada deve ser decomposto de tal modo que a solução geral 𝒙 seja composto pela soma das soluções particulares 𝒙_𝑖𝑗 de cada sub-espaço de dimensao n - 1 que compoe o espaco vectorial Vⁿ considerado;

ii) O número de soluções particulares referentes aos sub-espaços de dimensão 𝑛 − 1 de 𝕍^𝑛 são em número de 𝑛 − 1, sendo 𝑛 a dimensão do espaço vectorial em consideração;

iii) Em seguida, forma-se, para cada uma das duas equações dadas, um sistema homogéneo com 𝑛 equações lineares e 𝑛 − 1 incógnitas, obtendo-se, assim dois sistemas homogéneos de equações lineares em que se repetem em cada coluna as componentes dos vectores associados; iv) O passo seguinte será a formação de sistemas homogéneos parciais de duas equações lineares para cada sistema, seleccionadas por formas a se obter uma equação do primeiro sistema homogéneo formado a partir da primeira equação linear do sistema original dado, e uma equação do segundo sistema homogéneo formado a partir da segunda equação linear do sistema original dado;

v) Cada sistema homogéneo parcial assim obtido terá 𝑛 − 1 incógnitas e as suas equações serão seleccionadas de tal modo que se tenha, em cada sistema homogéneo parcial, os mesmos coeficientes originais dados; vi) Se os sistemas homogéneos parciais obtidos têm mais de 3 incógnitas, de tal modo que não possam ser resolvidos com os métodos clássicos conhecidos, então o processo prossegue, repetindo os cinco primeiros passos; vii) Para cada repetição dos cinco primeiros passos, os coeficientes das equações lineares de cada sistema expandido resultante deverão ser decompostos, em conformidade com a proposição 3.

Mais abaixo segue um exemplo de aplicação deste método de contracção dimensional sistemática para o cálculo de um sistema linear homogéneo de duas equações e 4 incógnitas. Em trabalhos futuros serão desenvolvidos outros mais exemplos aplicados a campos como Física, Química, Biologia, Ciências da Computação e Cosmologia, um escopo que o carácter básico deste trabalho não permite. Destarte, dado um sistema de equações lineares homogéneo como o apresentado acima, com 𝑛 > 𝑚, onde 𝑛 é o número de incógnitas e 𝑚 o número de equações, a sua resolução, através do método de contracção dimensional sistemática, segue os passos acima, os quais podem ser resumidos como segue:

1. 1. Decompor cada incógnita do sistema de equações lineares dado como soma de 𝑛 − 1 novas variáveis;
2. 2. Substituir as novas variáveis no sistema de equações lineares dado para cada equação deste sistema;
3. 3. Formar novos sistemas de equações lineares com 𝑚 equações, que contenham variáveis da mesma natureza, cujo número de incógnitas esteja reduzido para 𝑛 − 1, chamados sistemas parciais;
4. 4. Repetir este processo até que os sistemas parciais tenham 𝑛 = 3 incógnitas;
5. 5. Resolver os sistemas parciais com 3 novas incógnitas e substituir os seus valores na soma que compõe as incógnitas originais para determinar os valores destas incógnitas originais. Para 𝑛 = 4, o método de contracção dimensional sistemática deve ser aplicado de tal modo que se possa reduzir o número de incógnitas até 𝑛 − 1, e neste caso, até 𝑛 = 3, o que significa que cada incógnita de (3) deverá ser decomposta em 3 sub-incógnitas, ou seja:

Aplicando esta decomposição da incógnita, primeiro para a primeira equação e depois para a segunda equação do sistema (3), tem-se:

De facto, se se aplicar o método de substituição para este sistema acima, ter-se-á a equação I com todas as suas novas incógnitas.

Para a segunda equação do sistema (1), segue:

A partir destes sistemas expandidos I) e II), são formados os quatro sistemas parciais seguintes que juntam uma equação do sistema I) com uma equação do sistema II), contendo as mesmas incógnitas, ou seja:

Resolvendo estes sistemas parciais a), b), c) e d) usando qualquer método conhecido na Álgebra Linear, tem-se as seguintes soluções:

De facto, é fácil verificar que os valores 𝑥₁ = −8; 𝑥₂= −8; 𝑥₃ = −16; 𝑥₄ = −16 satisfazem o sistema homogéneo de duas equações lineares dado.

Contudo, este método de contracção dimensional sistemática de sistemas homogéneos pode ser bastante complexo para dimensões muito grandes de espaços vectoriais e, parece tentadora a constatação segundo a qual resulta mais simplificado resolver sistemas homogéneos lineares utilizando os métodos clássicos já conhecidos. Entretanto, a vantagem fundamental deste método de contracção dimensional sistemática está no facto de revelar a estrutura completa e formal das soluções gerais obtidas destes sistemas homogéneos lineares, uma condição sine qua non para a definição e o estudo das propriedades do produto vectorial homogéneo discutido nos próximos trabalhos.

Solução-Padrão de uma Equação Homogénea Linear

Pela proposição 3, se 𝒙 é uma solução do sistema homogéneo de equações lineares 𝐴𝒙 = 𝟎, então o seu produto por uma constante real também é solução deste sistema e é sempre possível encontrar subsistemas

𝐴𝒙₀ = 𝟎, 𝐴𝒙₁ = 𝟎, 𝐴𝒙₂ = 𝟎, … , 𝐴𝒙_𝑛 = 𝟎 ,

para os quais 𝒙₀ + 𝒙₁ + 𝒙₂ + ⋯ + 𝒙𝑛 = 𝒙, 𝑛 ∈ ℕ.

Este resultado mostra a necessidade de se introduzir o conceito de solução padrão de uma equação homogénea linear, visando identificar uma solução-modelo que deve servir propósitos específicos, já que várias soluções, diferentes no seu conteúdo, podem ser obtidas para um mesmo sistema homogéneo de equações lineares. A definição 6 abaixo apresenta, formalmente, este conceito bastante importante para, por exemplo, definir e operacionalizar o produto vectorial homogéneo, posteriormente analisado.

DEFINIÇÃO 6. Considere-se uma solução 𝛼𝒙 de um sistema homogéneo de equações lineares

𝐴𝒙 = 𝟎 que admite soluções não triviais. Então, a solução 𝒙, mais simples desta solução geral 𝛼𝒙, de um sistema homogéneo de equações lineares é chamada de solução padrão deste sistema 𝐴𝒙 = 𝟎, e 𝛼 é chamado coeficiente de expansão do sistema homogéneo 𝐴𝒙 = 𝟎, em relação ao sistema homogéneo tridimensional para o qual 𝑛 = 3.

Por esta definição 6, o número 𝛼 é sempre um número natural, pois a expansão de um dado sistema homogéneo de equações lineares somente pode ser feita em um número inteiro positivo de vezes. O teorema 3 abaixo apresenta uma forma de calcular o coeficiente de expansão 𝛼 de um sistema homogéneo de equações lineares.

TEOREMA 3. Seja 𝒙 uma solução padrão de um sistema homogéneo 𝐴𝒙 = 𝟎 de equações lineares com 𝑛 incógnitas. Então, o coeficiente de expansão 𝛼 deste sistema homogéneo de equações lineares é dado pela seguinte igualdade:

𝛼 = 𝑛 − 3 .

DEMONSTRAÇÃO. Considere-se um sistema homogéneo de equações lineares expandido 𝛼 vezes, ou seja, 𝐴(𝛼𝒙) = 𝟎. Então, por hipótese, seja 𝛼 = 𝑛 − 𝑘. Então, basta mostrar que 𝑘 =

3. Para o efeito, substituindo 𝛼 = 𝑛 − 𝑘 na equação homogénea considerada, segue: 𝐴[(𝑛 − 𝑘)𝒙] = 𝟎 .

Ou seja:

𝑛𝐴𝒙 − 𝑘𝐴𝒙 = 𝟎 ⇒ 𝑛𝐴𝒙 = 𝑘𝐴𝒙 .

Como, segundo este método de contracção dimensional, a solução de qualquer sistema homogéneo de duas equações lineares é encontrada para 𝑛 = 3, pois em sistemas lineares homogéneos com 3 incógnitas são é necessário recorrer a variáveis livres, então o número de expansões do sistema 𝐴𝒙 = 𝟎 para 𝑛 = 3 e 𝑚 = 2 é nulo, ou seja, para 𝑛 = 3 e 𝑚 = 2 não existe qualquer necessidade de expansão deste sistema homogéneo.

Assim, substituindo nesta hipótese acima 𝑛 = 3 ⇔ 𝛼 = 0 (quando 𝑛 é igual a 3, 𝛼 deve necessariamente ser igual a zero), ou seja, na igualdade 𝛼 = 𝑛 − 𝑘, tem-se, tal como se queria demonstrar:

𝛼 = 𝑛 − 𝑘 ⇒ 0 = 3 − 𝑘 ⇒ 𝑘 = 3 .

Por este teorema 3, um sistema homogéneo de duas equações lineares com 4 incógnitas tem um coeficiente 𝛼 igual a 1, ou seja, 𝛼 = 1 ⇔ 𝑛 = 4 ; para um sistema homogéneo de duas equações lineares com 5 incógnitas, 𝛼 é igual a 2, ou seja, 𝛼 = 2 ⇔ 𝑛 = 5, e assim por diante, dependendo, o coeficiente de expansão 𝛼, da dimensão do espaço vectorial 𝕍^𝑛 considerado. Ademais, por conta da natureza deste trabalho, o enquadramento desta temática nos procedimentos didácticos e metodológicos relativos ao cálculo de equações e sistemas de m equações lineares com n incógnitas serão objecto de uma discussão futura.

Considerações Finais

O método de contracção dimensional sistemática, aqui proposto, destina-se ao cálculo de equações e sistemas de equações homogéneos lineares contraindo sistematicamente o número de incógnitas para reduzir a complexidade de cálculo deste sistema, visando determinar um vector simultaneamente ortogonal a todos os vectores multiplicativos constituintes do sistema homogéneo dado, dentre outras propriedades associadas a este vector em relação a outros vectores do mesmo espaço vectorial (Pinho, 2010).

Realça-se, assim, que o referido método não está vinculado ao produto vectorial externo, por conta da sua própria definição, o qual requer que o vector-solução e os vectores multiplicativos pertençam a bases de mesma dimensão, e não de algum espaço vectorial externo, como se verifica no produto vectorial de Gibbs e Heaviside e no produto exterior de Grassmann (Silva, 2002). Ademais, este método é essencialmente aplicado para a determinação do produto vectorial homogéneo associado a espaços de quaisquer dimensões, contrariamente ao que acontece com o produto externo.

Por conseguinte, o método de contracção dimensional constitui, propriamente, um método de cálculo de equações lineares, sistemas de equações lineares, sistemas homogéneos de equações lineares, cujo coeficiente de expansão seja 𝛼 ≥ 1, o que ocorre para um número de incógnitas 𝑛 ≥

4. Destarte, este método de contracção dimensional é empregue para os seguintes casos:

• Resolução de equações lineares, em especial, as equações lineares com mais de três incógnitas;

• Resolução de sistemas de equações lineares, em particular, os sistemas de equações lineares com soluções não triviais;

• Resolução de sistemas homogéneos de equações lineares, em especial, os sistemas homogéneos com mais de três incógnitas;

• Estudo do produto vectorial homogéneo, em especial para espaços vectoriais de dimensões superiores a três;

• Estudo de triproduto, tetraproduto, pentaproduto e k-produto vectorial homogéneo;

• Estudo de k-produtos escalares homogéneos de vectores de espaços vectoriais ndimensionais;

• Estudo, em geral, da Álgebra Homométrica, Geometria Homométrica, Cálculo Diferencial e Integral Homométrico, Equações Diferenciais Homométricas e outros campos cujos objectos exigem o conhecimento da estrutura real e/ou complexa do espaço n-dimensional, planos homogéneos e sua dinâmica.

Portanto, ao longo desta abordagem apresentaram-se:

1. 1. Fundamentos do método de contracção dimensional sistemática como método geral e apropriado para o cálculo de equações e sistemas de equações lineares homogéneos, visando soluções exactas e originais;
2. 2. Bases metodológicas para definição e operacionalização do produto vectorial homogéneo que serve de alicerce para a construção da Álgebra Homométrica;
3. 3. A proposta metodológica de contracção dimensional sistemática que, atendendo ao seu carácter de recorrência, é útil para a resolução de sistemas lineares através de programas computacionais de forma mais eficiente, quando são necessárias resoluções exactas destes sistemas com um número elevado de incógnitas.

Referências Bibliográficas

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Miranda, Daniel; Grisi, Rafael; Lodovici, Simué (2015). Geometria Analítica e Vectorial. Universidade Federal do ABC. Brasil.

Pinho, Domingos Pires Valente Sevivas (2010). Matrizes e aplicações no ensino secundário. Dissertação de Mestrado. Mestrado em Matemática/Educação. Universidade Portucalense Infante D. Henrique. Portugal.

Santana, Cláudia Ribeiro; Yartey, Joseph Nee Anyah (2008). Álgebra Linear. Universidade Estadual de Santa Cruz e Universidade Federal de Bahia. Brasil.

Santos, Reginaldo J. (2010). Introdução à Álgebra Linear. Universidade Federal de Minas Gerais. ICEx. Brasil.

Silva, Cibelle Celestino (2002). Da força ao tensor: evolução do conceito físico e da representação matemática do campo electromagnético. Tese de Doutoramento. Doutoramento em Ciências Físicas. Instituto de Física Gleb Wataghin da Universidade de Campinas. UNICAMP. Brasil.

Silva, Diego Adriano; Brito, Arnaldo Silva; Sousa, Valdirene Gomes de (2020). Equações Diafantinas Lineares: um estudo com estudantes do 1º ano do Ensino Médio. Revista Electrónica da Matemática. Volume 6, No. 2. Brasil (Pp. 16).

Steinbruch, Alfredo; Winterle, Paulo (1995). Álgebra Linear. Pearson. Brasil.

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Notas de autor