O intuicionismo e o problema com as provas não construtivas

The intuitionism and the problem with non-constructive proofs

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O intuicionismo é uma vertente construtivista que diz respeito aos fundamentos da matemática. O matemático holandês Luitzen Brouwer (1881-1966) é considerado o “pai” do intuicionismo., sendo a versão desenvolvida por este pensador o fio condutor para a escrita aqui desenvolvida. A abordagem construtivista, elaborada por Brouwer, é oposta à abordagem realista (de viés platônico) adotada por vários matemáticos de sua época, como a do alemão David Hilbert. (1862-1943) e a do austríaco Kurt Gödel (1906-1978) “que foi um platonista por toda sua vida” (IEMHOFF, 2015, p.4). Resumidamente pode-se colocar o impasse entre essas vertentes com a seguinte pergunta: os objetos matemáticos são construídos ou descobertos? Os matemáticos realistas afirmam que estes objetos são descobertos enquanto os construtivistas afirmam que eles são produções mentais.. A proposta de Brouwer “foi considerada estranha por muitos, mas tratada como forte concorrente frente a abordagem clássica adotada por alguns dos matemáticos mais famosos do seu tempo” (IEMHOFF, 2015, p.4). O intuicionismo, fundado pelo matemático holandês, trata a matemática como uma atividade humana que almeja resolver problemas encontrados pelo próprio homem, sendo sua elaboração fruto da interação entre diversos indivíduos em constante diálogo e cooperação. A matemática, nessa linha de pensamento, é vista como uma construção intersubjetiva. Segundo Da Costa:

Brouwer insiste que a matemática não se compõe de verdades eternas, relativas a objetos intemporais, metafísicos, semelhante às ideias platônicas. Em contraposição, com base em pressupostos pragmáticos, ele procura demonstrar que o saber matemático escapa a toda e qualquer caracterização simbólica e se forma em etapas sucessivas que não podem ser conhecidas de antemão. A matemática, em resumo, pertence à categoria das atividades sócio-biológicas e se destina a satisfazer certas exigências vitais do homem. (1992, p. 36).

Sendo assim, para Brouwer, “os fundamentos da matemática estão na própria matemática” (1975, p. 89). Para este pensador holandês, a matemática se justifica e se funda apenas em sua construção., não necessitando, como queriam os platônicos, assumir a existência de entidades suprassensíveis que justificariam a atividade dos matemáticos.

Dentre as motivações de Brouwer está a discussão sobre as condições necessárias para uma prova matemática ser aceita. Desta forma será conveniente compreender a crítica intuicionista ao princípio do terceiro excluído da lógica clássica e, por fim, as implicações que a rejeição deste princípio produz na análise das provas (como, por exemplo, a redução ao absurdo) utilizadas na prática matemática.

Basicamente pode-se caracterizar a lógica clássica da seguinte forma:

A lógica clássica pressupõe o princípio da bivalência, segundo o qual toda sentença possui um dos dois valores de verdade, isto é, toda sentença ou é verdadeira ou é falsa. Pelo princípio da não contradição, também endossado pela lógica clássica, uma sentença não pode ser simultaneamente verdadeira e falsa. E, pelo princípio do terceiro excluído, ou uma dada sentença é verdadeira, ou sua negação é verdadeira. Sentenças da forma (terceiro excluído) e (não contradição) são sempre verdadeiras. (RODRIGUES FILHO, 2011, p. 28-29).

O princípio do terceiro excluído, como foi citado acima, garante que as valorações de uma sentença e sua negação sejam contrárias. Estendendo a noção de sentença para a de prova matemática e aplicando o terceiro excluído, pode-se dizer que toda prova matemática ou é verdadeira ou é falsa, desta forma uma prova matemática e sua negação não podem ter as mesmas valorações.. Matemáticos platônicos (realistas) tendem a concordar com a posição apresentada, ou seja, a de se aplicar o terceiro excluído ao âmbito das provas matemáticas. Prima facie parece razoável aceitar a posição platônica, afinal as provas matemáticas parecem ser ou verdadeiras ou falsas. Porém alguns questionamentos surgem quando se começa a usar esse método para solucionar problemas “abertos”, surgindo a necessidade de se separar as provas matemáticas entre construtivas e não construtivas.

Para exemplificar as diferenças entre provas construtivas e não construtivas na matemática serão utilizados, como referências adaptadas, os exemplos expostos por George e Velleman (2002, P. 3-5).. A primeira prova diz respeito ao somatório dos . primeiros números naturais maiores que zero, podendo ser expressa da seguinte forma:

• Teorema 1: a soma dos . primeiros números naturais maiores que zero equivale a:

• Prova por indução matemática: a soma dos números naturais maiores que zero exibe uma propriedade interessante que pode ser representada no seguinte esquema:

Nesta sequência a soma do primeiro termo com o último (1+n) equivale à soma do segundo termo com o penúltimo [2 + (n-1)], com a soma do terceiro termo com o antepenúltimo [3 + (n-2)] e assim sucessivamente. A indução matemática pode ser aplicada porque a sequência dos números naturais sempre cresce de acordo com a unidade. Ao se agrupar as somas por pares de números, pode-se afirmar que a soma dos . primeiros termos dos números naturais maiores que zero será:

A demonstração desta propriedade, a soma da sequência dos números naturais maiores que zero, ilustra a noção de prova construtiva. Foi construída uma propriedade da sequência dos números naturais de forma que sua elaboração exibisse uma especificidade da sequência em questão não deixando margens para críticas. Agora será apresentada a segunda prova para ilustrar uma situação onde se utilizará uma prova não construtiva para se demonstrar propriedades matemáticas:

• Teorema 2: é irracional.

• Prova por redução ao absurdo: a prova por redução ao absurdo requer a utilização do princípio do terceiro excluído da lógica clássica visto anteriormente. Tomando a proposição . como a afirmação de que é irracional, pelo princípio do terceiro excluído pode-se dizer que ou seja, ou é irracional ou não é irracional (logo, é racional).

A prova por redução ao absurdo da proposição . consiste em mostrar que leva a uma contradição (ou trivialidade), logo se é falso, então . é verdade. Partindo de ou seja, de que não é irracional, pode-se dizer que , onde . e . são números inteiros e primos entre si (a fração está na forma irredutível). Se isso é verdade, pode-se elevar os dois lados da igualdade ao quadrado que a relação permanece, ou seja , podendo também ser escrito na forma . Como o quadrado de todo número ímpar é um número ímpar, será sempre par e também será par. Assim se conclui que . também é par. Ora, se . é par ele pode ser escrito como , assim a relação pode ser escrita na forma , ou seja, . Feito estas considerações se chega a conclusão de que . também deve ser par, contrariando a premissa com a qual a demonstração foi iniciada, que e . e . são números inteiros e primos entre si. A prova por redução ao absurdo pode ser formalizada de acordo com o seguinte esquema:

Foi exatamente o que a demonstração do teorema 2 respeitou. Partindo do princípio do terceiro excluído de que ou é irracional ou não é irracional, se mostrou que não é o caso que não é irracional, logo se concluiu que é irracional.

A prova apresentada acima, por redução ao absurdo, é um exemplo de prova não construtiva na matemática. Observe que não foi construída nenhuma prova para ., ou seja, para o teorema que afirma que é irracional. O que foi feito foi uma demonstração de que leva à trivialidade, logo se demonstrou , e a partir do terceiro excluído se concluiu .. Além da prova por redução ao absurdo se pode, também, destacar a seguinte prova não construtiva:

• Teorema 3: existem números irracionais . e . tal que é racional.

• Prova por argumento de casos: como foi demonstrado no teorema anterior, é irracional. Para o bem da simplicidade será considerado , logo . Tomando . como sendo a proposição que afirma que é racional, novamente pode-se dizer que, pelo terceiro excluído, ou é o caso que . ou não é o caso que ..

Diferentemente da redução ao absurdo, aqui será avaliado caso por caso do terceiro excluído:

• Caso 1: assume-se que . é o caso, ou seja, que é racional. Considerando esse caso, o teorema 3 já está provado.

• Caso 2: assume-se que é o caso, ou seja, que é irracional. Dessa forma em vez de se escolher , basta escolher e . Portanto a exigência de que existem números irracionais . e . tal que é racional é cumprida, pois para este caso . Novamente o teorema 3 é provado.

Nesta última demonstração, apesar do uso do terceiro excluído, não foi utilizado a prova por redução ao absurdo, logo não se demonstrou para se concluir .. Na prova por argumento de casos foi mostrado que assumindo . ou o teorema 3 é provado. A prova é não construtiva porque ela apenas admite a existência de números irracionais . e . tal que seja racional, porém não apresenta quaisquer possibilidades de construção destes números.

Para a exposição da crítica intuicionista às provas não construtivas na matemática será abordado, primeiramente, aspectos básicos da lógica intuicionista. Conforme Da Costa escreveu:

A lógica, para Brouwer, não é o fundamento da matemática, segundo pretendem os logicistas. Dá-se precisamente o oposto: as leis lógicas (aplicáveis no domínio matemático) derivam-se da matemática, ou, melhor, da linguagem matemática. E como Brouwer acha que a atividade matemática independe da linguagem, isto é, da maneira pela qual expressamos as verdades dessa ciência, conclui ele, singularmente, que as leis lógicas não constituem fenômeno matemático e, sim, fenômeno etnográfico. (1992, p. 38).

A lógica idealizada por Brouwer foi axiomatizada e melhor desenvolvida pelo seu discípulo Arend Heyting (1898-1980), porém interessa, para a presente exposição, menos os desenvolvimentos técnicos desta lógica do que alguns aspectos básicos para a continuidade do trabalho. Conforme ressalta Van Atten: “A interpretação padrão atual da lógica intuicionista é a interpretação BHK (de ‘Brouwer, Heyting e Kolmogorov’)” (2014, p.2), sendo que seus conectivos podem ser avaliados da maneira que se segue:

• ┴ não é provável.

• A prova de consiste na prova de . e na prova de ..

• A prova de consiste na prova de . ou na prova de ..

• A prova de é a construção que transforma toda prova de . em uma prova de ..

• A prova de se dá por apresentar pelo menos um elemento . do domínio e uma prova de A(d).

• A prova de é a construção que transforma toda prova de . que pertence ao domínio em uma prova de A(d).

Após elucidar estas interpretações é importante destacar o seguinte comentário sobre a introdução da negação: “A negação da fórmula . é provada uma vez que se mostrou que não existe prova de ., o que significa fornecer uma construção que deriva trivialidade de qualquer prova possível de .. Logo é equivalente a ” (IEMHOFF, 2015, p. 10).

Com a interpretação dos símbolos lógicos apresentada, serão mostradas algumas diferenças entre princípios da lógica clássica e da lógica intuicionista. Conforme Da Costa mostrou (1992, p. 40), os princípios abaixo são válidos na lógica clássica:

1.

2.

3.

Sendo estes o princípio da não contradição, o princípio do terceiro excluído e o princípio da dupla negação. Na lógica intuicionista o princípio da não contradição é válido, porém os outros dois princípios não são. Da Costa (1992, p. 40) fornece os seguintes princípios para a lógica intuicionista:

4.

5.

6.

Para a continuação do trabalho interessa focar na diferença entre o princípio 3 da lógica clássica (terceiro excluído) e o princípio 5 da lógica intuicionista apresentado por Da Costa.

Como foi retratado neste artigo, algumas provas matemáticas utilizam o terceiro excluído em inferências para a elaboração de provas não construtivas, como os casos dos teoremas 2 e 3 apresentados no tópico anterior. Contudo intuicionistas não aceitam provas não construtivas na matemática, logo eles rejeitam o princípio do terceiro excluído da lógica clássica. Como foi falado, para Brouwer a matemática é mais uma atividade humana do que regras universais, logo uma prova que não forneça uma construção, ou um método de construção, não tem sentido para um intuicionista. Para exemplificar melhor a passagem do princípio 3, da lógica clássica, para o princípio 5, da lógica intuicionista, será utilizado como exemplo a conjectura de Goldbach, a que diz que todo número inteiro e par maior que dois (2) equivale à soma de dois números primos. Esta conjectura é interessante porque, até o momento, não existe um método de se afirmar que ela é verdadeira, logo o único caminho para se construir uma prova é ir encontrando todos os números pares e verificar se Goldbach estava certo. Obviamente tal método é impraticável, pois a sequência dos números pares é infinita, além da distância entre um primo e outro ir aumentando consideravelmente à medida que eles vão se tornando maiores. Feito estas considerações, pode-se dizer que a conjectura de Goldbach é um problema em aberto. Seguindo o raciocínio de Iemhoff (2015, p. 15), e tomando . como a conjectura de Goldbach, até o momento não se pode dizer intuicionisticamente (construtivamente).. Ainda não foi encontrada uma demonstração de que . é verdade e nem de que seja, logo, também, não se pode aferir que , pois não existe um método construtivo para .. Com isso se pode dizer que é um teorema válido na lógica intuicionista. Outra forma de compreender a divergência dos princípios é chamar de ., desta forma será . Um intuicionista não tem provas para . e nem para , pois se tivesse aplicaria o princípio do terceiro excluído sobre ele mesmo.. Por isso a dupla negação é rejeitada pela lógica intuicionista e a tripla negação é introduzida. Negar é apenas dizer (como Iemhoff mostrou na interpretação da negação) que não existe prova para , e disso não se pode concluir a.

O problema em questão é sobre o status das provas não construtivas na solução de problemas matemáticos, afinal estas provas devem ou não serem aceitas para solucionar determinado problema? É claro que as respostas para esta questão divergirão de acordo com o referencial teórico utilizado para se fundamentar a matemática. Pensadores que defendem que os objetos da matemática são descobertos pelos matemáticos aceitam tanto as provas construtivas quanto as provas não construtivas na resolução dos problemas. Para este grupo de pensadores, a matemática é algo imutável e universal, logo um problema em aberto significa uma falha epistêmica humana, cujo trabalho de um matemático deve ser o de tentar resolvê-la. Uma nova solução encontrada por determinado matemático é apenas uma descoberta de algo que antes era desconhecido. As provas não construtivas possuem caráter positivo para essa vertente porque elas representam uma forma de elucidar problemas em abertos cujas soluções existentes ainda não foram descobertas, dessa forma esse tipo de prova se apresenta como uma saída útil e aceitável.

Para matemáticos intuicionistas as provas não construtivas não possuem sentido, afinal a matemática é uma atividade da mente humana, tendo existência somente no ato de sua criação (construção). A rejeição do terceiro excluído é fundamental para esta vertente que defende a posição de que não se pode provar algo que não foi construído. Conforme ressalta Brouwer: “Se segue que a questão da validade do princípio do terceiro excluído é equivalente a questão de saber se problemas insolúveis na matemática podem existir. Não restam dúvidas para a convicção a favor da posição de que problemas matemáticos insolúveis não existem” (1975, p. 109).

Um intuicionista não concorda com a posição de que existem problemas em aberto (ou insolúveis) na matemática, pois a matemática só existe na medida em que é formulada pela mente humana. O sentido da matemática é sua construção, então somente provas construtivas possuem status positivo para essa linha de pensamento.

A exigência, radical, de Brouwer em aceitar apenas provas construtivas é ao mesmo tempo o ponto forte e o ponto fraco da corrente intuicionista. Exigir que determinada prova matemática seja construída parece um procedimento prudente e positivo para a atividade matemática. A construção de determinada propriedade matemática aumenta a quantidade de teoremas e objetos conhecidos na área. O pensamento de Brouwer, segundo Da Costa (1992, p. 45), ao criar instabilidade sobre os fundamentos da matemática no seu tempo, acabou sendo propulsor de outras propostas filosóficas (como o formalismo) que tentam fornecer uma leitura mais adequada sobre a atividade matemática.

O problema do intuicionismo é a recusa dos métodos não construtivos, com isso os defensores desta vertente construtivista têm de arcar com problemas filosóficos profundos ao recusarem o terceiro excluído como princípio básico nas elaborações de provas. Pode-se colocar o problema desta forma: se hoje for elaborada uma prova construtiva para solucionar a conjectura de Goldbach, um intuicionista deverá assumir que até ontem não existiam provas nem para . e nem para , mas que a partir de hoje sabe-se que . é o caso. Da Costa (1992, p. 46) ainda coloca um problema a mais para os intuicionistas, o de que o matemático que construiu a prova requerida (neste caso, a solução construtiva da conjectura de Goldbach) venha, por ventura, a esquecê-la. Novamente a abordagem intuicionista levará a concluir que, a partir do momento do esquecimento, não existiriam provas nem para . e nem para . A abordagem intuicionista torna a matemática extremamente subjetiva, descartando qualquer traço de objetividade da mesma. Conforme enfatiza Da Costa:

Para Brouwer, a lógica é posterior à matemática, isto é, a atividade matemática se desenvolve sem necessidade de se apelar para nenhum princípio lógico; em cada raciocínio particular, é a evidência que garante sua legitimidade. A lógica, então, codifica as regularidades observadas nas inferências feitas, e jamais podemos estar seguros de que dada codificação encerre todos os princípios que reflitam tais regularidades (1994, p. 138-139).

Feito essas considerações, parece que rejeitar veementemente as provas não construtivas afasta o intuicionismo da verdadeira prática matemática, aquela que aceita estas provas enquanto não são encontrados métodos construtivos para solucionar questões de interesse da própria disciplina.