Definición 2.1. Sea V un espacio vectorial real. Un producto interno en V es una función que asocia, para cada par ordenado de vectores x y y en V, un número real, denotado por tal que, para todo x, y, z ∈ V y todo λ ∈ R, se verifica lo siguiente:

Ejemplo 2.1. Sea V = R^n×n y definamos

para todo A, B ∈ V. Es fácil ver que define un producto interno en V. Este producto interno es llamado producto interno de Frobenius.

Un espacio vectorial real V con un producto interno especifico es llamado espacio con producto interno.

Teorema 2.1 (Teorema 6.1 en [4]). Sea V un espacio con producto interno. Entonces para x, y, z ∈ V y λ ∈ , las siguientes afirmaciones son satisfechas:

Definición 2.2. Sea V un espacio con producto interno. Para x, y ∈ V, definimos la norma o longitud de x por y la distancia entre x y y por ||x – y||.

es una norma en R^n×n llamada norma de Frobenius.

Teorema 2.2 (Teorema 6.2 en [4]). Sea V un espacio con producto interno. Entonces para todo x, y ∈ V y λ ∈ , se verifican las siguientes afirmaciones:

Definición 2.3. Sea V un espacio con producto interno. Dos vectores x, y ∈ V son ortogonales si = 0. Un subconjunto S de V es ortogonal si para cualesquier dos vectores distintos en S ellos son ortogonales. Un vector x ∈ V es un vector unitario si ||x|| = 1. Finalmente, un subconjunto S de V es ortonormal si S es ortogonal y consiste enteramente de vectores unitarios.

Teorema 2.3 (Teorema 6.3 en [4]). Sea V un espacio con producto interno y S = {v₁,v₂,...,v_k} un subconjunto ortogonal de V consistiendo de vectores no nulos. Si y ∈ , entonces

Corolario 2.1 (Corolario 1 del Teorema 6.3 en [4]). Con las hipótesis del Teorema 2.3, si S es ortonormal y y ∈ , entonces

Teorema 2.4 (Teorema 6.4 en [4]). Sea V un espacio con producto interno y S = {w₁,w₂,...,w_n} un subconjunto linealmente independiente de V . Defina S = {v₁,v₂,...,v_n}, donde v₁ = w₁ y

Entonces S' es un conjunto ortogonal de vectores no nulos tal que <S'>=>S>. La construccion de {v₁,v₂,...,v_n} usada en la demostración del Teorema 2.4 es llamada proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt

Denotemos

Una función definida en un intervalo J ⊆ R con valores en R^m×n es llamada función matricial

En virtud del isomorfismo de R^m×n y R^mn cualquier función matricial pode ser observada como una curva en R^mn

Así, dada una función matricial Φ(t) = [a_ij(t)] ∈ R^mn queda automáticamente determinada una colección de mn funciones reales de variable real aij llamadas funciones coordenadas de Φ. Observe que a_ij : J → R para todo (i,j) ∈ Im,n. Las propiedades comunes a estas funciones coordenadas, caracterizan las propiedades de la función matricial Φ.

Sean f : I → R una función real y Φ,Ψ : I → R^m×n funciones matriciales definidas en un intervalo entonces Φ + Ψ, f Φ y (aquí m = n) son funciones definidas de la forma usual, es decir, para todo t ∈ I

o ( ϕ + ψ ) ( t ) = ϕ ( t ) + ψ ( t )

o ( f ϕ ) ( t ) = f ( t ) ϕ ( t )

o ⟨ ϕ , ψ ⟩ ( t ) = ⟨ ϕ ( t ) , ψ ( t ) ⟩ (cuando m=n) donde < . > denota el producto interno de Frobenius.

Definición 2.4. Sea Φ: J → R^m×n una función matricial tal que Φ(t) = [a_ij(t)], para todo t ∈ J. Si t.∈ J, decimos que la matriz A = [a_ij] ∈ R^m×n es el límite de Φ(t) cuando t tiende a t_o, que denotamos por

Las reglas usuales del álgebra de limites se satisfacen para funciones matriciales, ver ejercicio 21 en [1]. La continuidad de funciones matriciales se define también en relación a sus funciones coordenadas.

Definición 2.5. Sea Φ : J → R^m×n una función matricial tal que Φ(t) = [a_ij(t)], para todo t ∈ J. Decimos que Φ es continua en t₀ ∈ J si, y solo si, cada aij es continua en t₀ para todo (i,j) ∈ Im,n.

Definición 2.6. Sea Φ : J → R^m×n, donde J es un intervalo abierto. Decimos que Φ es diferenciable en t_o ∈ J si, y solo si, existe el siguiente límite:

Proposición 2.1 (Proposición 1.4.1 en [1]). Sea Φ : J → R^m×n, donde J es un intervalo abierto tal que Φ(t) = [a_ij(t)], para todo t ∈ J. Φ es diferenciable en t₀ ∈ J si, y solo si, a_ij es diferenciable en t₀, para todo (i,j) ∈ I_m,n. En caso afirmativo, se satisface que ϕ ' ( t 0 ) = [ a i j [ t 0 ) ] .

Decimos que la función matricial Φ : J → R^m×n es de clase C¹ en intervalo J si, y solo si, Φ es diferenciable en J y la función derivada Φ es continua en J. Procediendo por inducción, decimos que Φ es de clase C^k (k > 1) en el intervalo J si, y solo si, Φ^(k−1) es diferenciable en J y la función derivada k-ésima Φ^(k) es continua en J. Una función matricial Φ es llamada diferenciable de clase C^∞ si existen las derivadas de todas los órdenes de Φ.

Si f : I → es una función diferenciable y Φ,Ψ : I → R^m×n funciones matriciales diferenciables definidas en un intervalo entonces Φ + Ψ, f Φ y (aquí m = n) son funciones diferenciables y

• (Φ + Ψ)' (t) = Φ' (t) + Ψ '(t);

• (f Φ)' (t) = f'(t)Φ (t) + f (t)Φ'(t);

• φ Ψ ' = φ' Ψ + φ Ψ' (cuandom = n) donde < , > denota el producto internode Frobenius..

Sea Φ : I → R una función matricial diferenciable y f : J → I función real diferenciable. Entonces la función compuesta (Φ o f)(t) = Φ(f(t)) es diferenciable en J y

Definición 2.7. Sea Φ : [a,b] →R^mxn una función matricial tal que Φ(t) = [a_ij(t)], para todo t ∈ [a,b]. Decimos que Φ es integrable en [a,b] si, y solo si, cada a_ij es integrable en [a,b]. En caso afirmativo, se tiene que

Naturalmente muchas de las reglas del cálculo diferencial e integral que conocemos pueden ser extendidas al cálculo matricial.

Definición 2.8. Una curva parametrizada diferenciable de R³ es una aplicación diferenciable α, de clase C^∞, de un intervalo abierto I ⊂ R en R³. La variable t ∈ I es el parámetro de la curva, y el subconjunto de de los puntos α(t), t ∈ I, es llamado trazo de la curva.

Observación 2.1. Una curva parametrizada diferenciable de R³ es una aplicación α : I → R³ que para cada t asocia α(t) = (x(t),y(t),z(t)), donde las funciones x,y,z son diferenciables de clase C^∞.

Definición 2.9. Una curva parametrizada diferenciable α : I → R³ es llamada regular si α'(t) es diferente de 0, ∀t ∈ I.

Definición 2.10. Una curva regular α : I → R³ esta parametrizada por la longitud de arco si |α (t)| = 1, ∀t ∈ I.

Definición 2.11. Sea α: I → R³ una curva regular parametrizada por la longitud de arco, entonces la curvatura de α en s ∈ I es el número real

Es conocido, que si α : I → R³ es una curva regular, parametrizada por la longitud de arco, y tal que k(s)>0 para todo s ∈ I, entonces el conjunto {t(s),n(s),b(s)}, donde

es un referencial ortonormal llamado triedro de Frenet el cual satisface las denominadas fórmulas de

A seguir, enunciamos uno de los resultados más importantes de la teoría de curvas en R³ la cual nos dice que la curvatura y la torsión determinan la geometría de una curva.

Teorema 2.5 (Teorema fundamental das curvas, Teorema 6.15 en [6]).

(a) Dadas dos funciones diferenciables, k(s) > 0 y τ(s), s ∈ I ⊂ R, existe una curva regular α(s) parametrizada por la longitud de arco, tal que k(s) es la curvatura y τ(s) es la torsión de α en s.

(b) La curva α(s) es única si fijamos un punto α(s_o) = po, α'(s_o) = v1, α''(s_o) = k(s_o)v2, donde v1 y v2 son vectores ortonormales de R³.

(c) Si dos curvas α(s) y β(s) tienen la misma curvatura y torsión (a menos del signo), entonces α y β son congruentes.

Definición 3.1. Una curva parametrizada diferenciable de R^2×2 es una función matricial α, de clase C^∞, de un intervalo abierto I ⊂ en R^2×2. La variable t ∈ I es llamada parámetro de la curva, y el subconjunto de R^2×2 de los puntos α(t), t ∈ I, es llamado trazo de la curva.

Observación 3.1. Una curva parametrizada diferenciable de R^2×2 es una aplicación α: I → R^2×2 que para cada t ∈ I asocia una matriz 2 × 2 de la forma α(t) = [αij(t)], donde las componentes α11, α12, α21, α22 son funciones diferenciables de clase C^∞.

Análogo a las rectas en Rⁿ de la forma α(t) = P + tQ, tenemos el siguiente ejemplo.

donde α 11 2 + α 12 2 + x 21 2 + α 22 2 ≠ 0 es una curva parametrizada diferenciable de R^2×2 , cuyo trazo es una

Definición 3.2. Una curva parametrizada diferenciable α de R^2×2 es llamada regular de orden m si el conjunto de m-vectores {α'(t), α''(t), ..., α(^m)(t)} son linealmente independientes para todo t ∈ I.

Sean I, J ⊂ R intervalos abiertos, α : I → R^2×2 y β : J → R^2×2 curvas parametrizadas diferenciables. Decimos que α y β son equivalentes si existe una biyección h : J → I diferenciable C^∞, con h'(s) ≠ 0 para todo s ∈ J y tal que β = α o h. En estas condiciones, decimos que β es una reparametrización de α por h. La función h es llamada cambio de parámetro.

Observe que, si β es una reparametrización de α por h, entonces α es una reparametrización de β por h⁻¹. La orientación de una curva regular α es el sentido del recorrido del trazo de α. Una reparametrización α de β tiene orientación igual (resp. opuesta) a la de α si el cambio de parámetro es estrictamente creciente (resp. decreciente).

Sea α : I → R^2×2 una curva regular de orden m (m ≥ 1). Para dos puntos t_o ≤ t₁ de I fijos, la longitud del arco de la curva α de t. a t.es dado por

donde denota la norma de Frobenius. La función longitud de arco de la curva α a partir de t_o es

Una curva regular de orden m (m ≥ 1) α : I → R^2×2 es llamada parametrizada por la longitud del arco si el vector tangente es unitario, es decir, = 1 para todo s ∈ I.

Proposición 3.1. Sean α : I →R^2×2 una curva regular de orden m (m ≥ 1) y s : I → s(I) ⊂ R la función longitud de arco de α a partir de t.. Entonces, existe la función inversa h de s, definida en el intervalo abierto J = s(I), y β = α o h es una reparametrización de α, donde β esta parametrizada por la longitud del arco.

Demostración: Como α es una curva regular de orden m ≥ 1 entonces diferente de 0 para todo t ∈ I. Luego s (t) = > 0, es decir, s es una función estrictamente creciente. De ahí, existe una función inversa de s, h : J → I. Ahora como h(s(t)) = t tenemos que

Concluimos que β = α o h es una reparametrización de α y

La aplicación β de la Proposición 3.1 es llamada reparametrización de α por la longitud de arco.

La Proposición 3.1 nos dice que toda curva regular de R^2×2 puede ser reparametrizada por la longitud de arco, fijando un t_o∈ I. Por lo tanto, podemos suponer que una curva regular esta parametrizada por la longitud de arco para fines de estudios geométricos.

Definición 3.3. Sea α : I → R^2×2 una curva regular de orden m (m ≥ 1) parametrizada por la longitud de arco. La primera curvatura de α en s ∈ I es el número real k₁(s) definido por

Proposición 3.2. Sea α : I →R^2×2 una curva regular de orden m (m ≥ 1) parametrizada por la longitud de arco. Entonces, α(I) es un “segmento de recta” si, y solo si, k₁(s) = 0 para todo s ∈ I.

Demostración: Supongamos que α(I) es un “segmento de recta” parametrizada por la longitud de arco, entonces α(s) = P + sA₀, donde P ∈ R_2×2 y A₀ es un vector unitario de R_2×2 . Por lo tanto,

para todo s ∈ I. Se sigue que k₁= = 0. Recíprocamente, si = 0 para todo s ∈ I, entonces α''(s) = O para todo s ∈ I, de ahí integrando dos veces en relación a s y considerando que α (t) sea unitario, tenemos que existen dos matrices constantes A0,P ∈ R^2×2 tal que α(s) = P + sA₀, donde A₀ es una matriz unitaria.

Definición 3.4. Sea α : I → R^2×2 una curva regular de orden m (m ≥ 1) parametrizada por la longitud de arco tal que k.(s) > 0. El vector

es denominado vector normal a α en s. Denotando por t(s) = α'(s), el denominado vector tangente a α en s, tenemos que t(s) y n(s) son vectores ortonormales y

3.1

Proposición 3.3. Sea α : I → R^2×2 una curva regular de orden m (m ≥ 1) de curvatura k₁ no nula. Si α es una curva plana (contenida en un subespacio de dimensión dos), entonces α está contenida en un plano generado por t(s) y n(s).

Demostración: Podemos suponer α(s) parametrizada por la longitud de arco. Como α es una curva plana, entonces existe un plano de R^2×2 que contiene α(I). Sean v₁, v₂ vectores constantes, linealmente independientes y ortogonales a este plano. Probaremos que v₁ y v₂ son ortogonales a t(s) y n(s) para todo s ∈ I. Fijando s. ∈ I, entonces para todo s ∈ I, y i = 1,2,

Como k₁(s) > 0, concluimos que el plano generado por t(s) y n(s) no depende de s y contiene α(I).

A seguir definiremos una base ortonormal en R^2×2. Para esto, debemos suponer primeramente que la curva α: I → R^2×2 es regular de orden 4. Motivados por la base móvil de Frenet-Serret para vectores en el espacio euclidiano (ver Capítulo 2 en [3]) la cual es obtenida usando el proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt (ver Teorema 2.4) en los vectores α ' ( s ) , α ' ' ( S ) , α ' ' ' ( S ) y α i v ( s ) .

Definición 3.5. Sea α : I → R^2×2 una curva regular de orden 4. El conjunto {t(s), n(s), b.(s), b.(s)}, donde

3.2

es llamada base móvil de Frenet-Serret de α en R^2×2. Los vectores b₁ y b₂ son llamados vector binormal y vector trinormal respectivamente.

El siguiente teorema nos da las expresiones de las derivadas de la base móvil en función de la propia base construida arriba.

Teorema 3.1. Sea α : I → R^2×2 una curva regular de orden 4 parametrizada por la longitud de arco, entonces los elementos de la base móvil de Frenet-Serret satisfacen las denominadas fórmulas de Frenet-Serret:

donde k_1, k₂, k₃ son llamadas primera, segunda y tercera curvatura respectivamente, y son dadas por κ 1 = t ' n = α ' ' , κ 2 = n ' b 1 y κ 3 = b 1 ' b 2 .

3.3 y 3.4

Note que de (3.3) y (3.4) verificamos que n (s) es independiente del vector trinormal b2(s). En seguida, mostraremos también que n (s) no depende del vector normal n(s). En efecto, derivando la identidad en relación a s, tenemos

luego, de (3.3), concluimos que la componente normal de n (s) es nula. Siendo α (s) perpendicular a t(s), tenemos que

luego, de (3.3), la componente tangencial de n (s) es −k1(s). Así, n (s) puede ser escrito como,

3.5 y 3.6

Observe que, en el teorema anterior, por construcción de la base, las curvaturas k₁, k₂ y k₃ son no nulas.

Ejemplo 3.2. Consideremos la curva parametrizada por la longitud de arco

Definición 3.6. Una aplicación F : R^2×2 → R^2×2 es una isometría de R^2×2 si F preserva distancias, es decir, para cualesquiera P,Q ∈ R^2×2,

donde es la norma de Frobenius.

Ejemplo 3.3.

(a) La transformación identidad de R^2×2 es una isometría.

(b) Sea A un punto fijo de R^2×2. La aplicación T: R^2×2 → R^2×2 que, para cada P ∈ R^2×2, asocia T(P) = A + P es una isometría de R^2×2, denominada traslación por A.

Proposición 3.4.

(a) Si F y G son isometrías de R^2×2, entonces F o G es una isometría.

(b) Si F y G son traslaciones, entonces F o G = G o F es una traslación.

(c) Si T es una traslación por A, entonces T⁻¹es invertible y T⁻¹ es una traslación por −A.

(d) Dados dos puntos A y B de R^2×2, existe una única traslación T tal que T(A) = B.

Demostración: La prueba es idéntica a la Proposición 6.3 en [6].

Definición 3.7. Una transformación ortogonal de R^2×2 es una aplicación lineal C: R^2×2 → R^2×2 que preserva el producto interno, es decir,

Note que el Ejemplo 3.3 (a), (c) y (d) son transformaciones ortogonales.

Observación 3.2. Una transformación ortogonal C de R^2×2, siendo una aplicación linear, satisface las siguientes propiedades:

• C(O) = O.

• C es diferenciable y la diferencial de C en cualquier punto P ∈ R^2×2 coincide con C, es decir, dC_p(V ) = C(V ).

Proposición 3.5. Toda transformación ortogonal es un isomorfismo y una isometría.

Demostración : Sea C : R^2×2 → R^2×2 una transformación ortogonal. Sea P ∈ Nu(F) de ahí tenemos que

entonces P = O. Concluimos que C es inyectiva y por el Teorema 2.5 en [4] tenemos que C es un isomorfismo. Ahora mostremos que C es una isometría. Como C es una aplicación lineal y preserva el producto interno, tenemos que, ∀ P, Q ∈ R^2×2,

Proposición 3.6. Si F: R^2×2 → R^2×2 es una isometría tal que F(O) = O, entonces F es una transformación ortogonal.

Demostración: Primeramente, mostremos que F preserva el producto interno. Sean P,Q ∈ R^2×2. Como consecuencia de las propiedades de producto interno y el hecho que F es una isometría con F(O) = O, tenemos que

Teorema 3.2. Si F : R^2×2 → R^2×2 es una isometría, entonces, existe una única traslación T y una única transformación ortogonal C, tal que F = T o C.

Demostración: Existencia: Sea T una traslación por F(O), entonces por la Proposición 3.4 tenemos que T⁻¹ es la traslación por −F(O) y la aplicación compuesta T⁻¹o F es una isometría. Como

por la Proposición 3.6, T⁻¹ o F es una transformación ortogonal que denotamos por C. Por lo tanto,

Observe que, si F: R^2×2 → R^2×2 es una función diferenciable, entonces, para cada P ∈ R^2×2, la diferencial de F en P es una aplicación lineal dF_p : R^2×2 → R^2×2 definida por

Proposición 3.7. Con la notación anterior, sea F = T o C una isometría de R^2×2, entonces F es diferenciable y ∀P ∈ R^2×2 y V ∈ R^2×2, dF_p(V ) = C(V ).

Demostración: Como T y C son diferenciables entonces F es diferenciable. Si T es una traslación por A, entonces

Corolario 3.1. Si F es una isometría de R^2×2, entonces ∀P ∈ R^2×2, dF. preserva el producto interno, es decir,

Proposición 3.8. Sean A y B puntos de R^2×2, V 1 , V 2 , V 3 , V 4 y W 1 , W 2 , W 3 , W 4 referenciales ortonormales de R^2×2. Entonces, existe una única isometría F de R^2×2 tal que F(A) = B y dF.(V.) = W., i = 1,2,3,4.

Demostración: Existencia: Por el Teorema 2.6 em [4], existe C: R^2×2 → R^2×2 aplicación lineal, tal que C ( V i ) = W i , i = 1,2,3,4. Sean P,Q . R^2×2, como {V₁, V₂, V₃, V₄} es una base de R^2×2 existen a₁, a₂, a₃, a₄, b₁, b₂, b₃, b₄. R tales que

Ahora, usando el hecho de que {V₁, V₂, V₃, V₄} y {W₁, W₂, W₃, W₄} son bases ortonormales tenemos que

Concluimos que C preserva el producto interno. Por lo tanto, C es una transformación ortogonal. Sea T la traslación por B − C(A). Entonces, la isometría F = T o C satisface las condiciones exigidas. En efecto,

De la última relación obtenemos que C(Vi) = C(Vi) = Wi. Por el Corolario del Teorema 2.6 en [4],tenemos que C = C ¯ . Por lo tanto, T ∘ C ( A ) = T ¯ ∘ C ( A ) = B , es decir, T y T son traslaciones que llevan C(A) en B. Concluimos de la Proposición 3.4 que T = T ¯ , por lo cual F = F ¯ .

Definición 3.8. Dos curvas regulares de orden 4, α, β: I → R. son congruentes si existe una isometría F de R^2×2 tal que β = F o α.

donde k₁, k₂, k₃ y {t, n, b₁, b₂} son las curvaturas y base móvil de α, respectivamente.

Demostración: Como F y α son diferenciables tenemos que es diferenciable. Además, tenemos que

3.7

Luego, por la inyectividad de dFα(s) y el Teorema 3.1 em [5], obtenemos que { α ' ( s ) , α ' ' ( s ) , α ' ' ' ( s ) , α ' ' ' ' ( s ) } es un conjunto linealmente independiente. Por la ortogonalidad de la transformación dF_α(s), tenemos

Por lo tanto, α ( s ) es parametrizada por la longitud de arco. De (3.7) tenemos que

Como dF_A(s) es linear, preserva el producto interno y por (3.7), obtenemos que

así,

finalmente,

Teorema 3.3. [Teorema Fundamental de las curvas en R^2×2]

(a) Si k₁,k₂,k₃ : I → R son tres funciones de clase C∞ con k₁(s), k₂(s), k₃(s) > 0, para todo s ∈ I, existe una curva α : I → R^2×2 parametrizada por la longitud de arco, tal que k₁(s) es la primera curvatura, k₂(s) es la segunda curvatura y k₃(s) es a tercera curvatura de α en s para todo s ∈ I.

(b) La curva α del ítem (a) es única si fijamos un punto P₀ ∈ R^2×2 y vectores ortonormales V₁, V₂, V₃, V₄ con las siguientes condiciones,

(c) Si dos curvas α, β: I → R^2×2 parametrizadas por la longitud de arco tienen la misma primera curvatura, segunda curvatura y tercera curvatura, entonces α y β son congruentes.

Demostración: Vamos iniciar probando (c). La idea es considerar una isometría F conveniente y la curva α - = F ∘ α que es congruente a α, en seguida probar que α - = β . Fijemos s₀ ∈ I. Usaremos los índices α y β para indicar la curva a la cual se refiere la primera curvatura, segunda curvatura, etc. Por la Proposición 3.8 existe F isometría de R^2×2 tal que F(α(s0)) = β(s0) y

Por lo tanto, f es constante. Como f(s₀) = 0, tenemos f ≡ 0 y, consecuentemente, t - = t β

Ahora mostremos (a). Para probar la existencia de α mostraremos primero que existe un referencial ortonormal {t(s), n(s), b₁(s), b₂(s)} que satisface las fórmulas de Frenet-Serret.

Por el Teorema de Existencia y Unicidad de soluciones de ecuaciones diferenciales lineales (ver Teorema 6 de la Sección 7 del Capítulo 6 en [2] o ver Teorema 4.2.3 en [1]) tenemos que, fijados

el sistema de dieciséis ecuaciones diferenciales, i,j = 1,2

3.8

posee una única solución con las condiciones iniciales dadas. En particular, existe una única solución t_ij, n_ij, (b₁)_ij, (b₂)_ij, i,j = 1,2 del sistema (3.8) cuando fijamos

Vamos probar ahora que la solución {t(s), n(s), b.(s), b.(s)} es una base ortonormal de R^2×2 para todo s ∈ I. Para esto, consideremos las funciones

que satisfacen el sistema de diez ecuaciones diferenciales:

con condición inicial:

La solución para ese sistema de ecuaciones diferenciables es única y es dada por las funciones:

En efecto, basta substituir estas funciones en el sistema de arriba para verificar que forman una solución del sistema.

or lo tanto, la solución de ( 3.8) con la condición inicial (3.9) forma un referencial ortonormal. Definimos la curva α: I → R^2×2 por

Como α'(s) = t(s), entonces α es una curva parametrizada por la longitud de arco s.

Afirmación 3.4. α es una curva regular de orden 4.

De hecho, primero observe que

Como {t(s), n(s), b₁(s), b₂(s)} es un conjunto ortonormal, y siendo k₁, k₂ y k₃ no nulos, tenemos que el conjunto {α'(s), α''(s), α'''(s), α^(iv)(s)} es linealmente independiente para todo s ∈ I.

También, se tiene

análogo al cálculo de b₁(s), puede ser mostrado que

así,

Finalmente, mostremos (b). Unicidad: Sean α, β: I → R^2×2 dos curvas parametrizadas por la longitud de arco tales que

Entonces, nα(s₀) = n_β(s₀) = V₂, (b₁)α(s₀) = (b₁)_β(s₀) = V₃ y (b₂)α(s₀) = (b₂)β(s₀) = V4. Como {tα, nα, (b₁)α, (b₂)_α} y {tβ, n_β, (b₁)_β, (b₂)_β} son soluciones del sistema (3.8) con condición inicial {V₁,V₂,V₃,V₄}, tenemos que α = β.

Existencia: Dados P₀ ∈ R^2×2 y V₁, V₂, V₃, V₄ vectores ortonormales, el sistema (3.8) tiene una única solución {t(s), n(s), b₁(s), b₂(s)} con condición inicial t(s₀) = V₁, n(s₀) = V₂, b₁(s₀) = V₃ y b₂(s₀) = V₄.

Por lo tanto, la solución de ( 3.8) con la condición inicial (3.9) forma un referencial ortonormal. Definimos la curva

Existencia: Dados P0 ∈ R2×2 y V1, V2, V3, V4 vectores ortonormales, el sistema (3.8) tiene una única solución {t(s), n(s), b1(s), b2(s)} con condición inicial t(s0) = V1, n(s0) = V2, b1(s0) = V3 y b2(s0) = V4. Note que

es una curva parametrizada por la longitud de arco, con

para todo s ∈ I.