1. Introducción.

Fundamentalmente, la geometría diferencial clásica de curvas es el estudio de las propiedades locales de las curvas en el plano y en el espacio. Para ser más específico, las propiedades locales determinan el comportamiento de una curva en una vecindad de un punto. Podemos pensar en una curva como un camino que marca el camino que un objeto hace al viajar en el espacio. La estructura principal de la curva que queremos considerar es su forma. Pueden surgir preguntas de la siguiente naturaleza: ¿La curva en consideración es recta o doblada?, ¿Cuan doblada es su curvatura? ¿Ellas pueden ser estudiadas en dimensiones superiores? Esenciales para el estudio de las curvas espaciales son las ecuaciones de Frenet, que en el caso tridimensional usan curvatura y torsión para expresar las derivadas de los tres campos vectoriales {t,n,b} que componen el cuadro de Frenet en términos de los propios campos vectoriales. Podemos hacer un estudio análogo para dimensión cuatro. Existen varias perspectivas a partir de las cuales una curva del espacio puede ser estudiada. Imagine el rastro que un ciclista puede dejar para atrás en una estrada lodosa. Podemos llamar ese camino de curva en dos dimensiones. Mas coloquialmente, una curva puede ser pensada como un viaje hecho por una partícula en movimiento. Las formas más comunes de parametrizar tal viaje serían en función del tiempo o de la distancia recorrida. Para nuestros propósitos, es conveniente estudiar curvas mediante el lente de la longitud de arco. Y, una vez que estamos apenas preocupados en analizar la forma de la curva del espacio, podemos dejar de considerar la velocidad de la partícula a la medida que ella completa su camino. Para simplificar, podemos felizmente forzar la partícula a moverse a lo largo de su camino en velocidad unitaria. A pesar de que inicialmente podamos imaginar una curva semejante a las marcaciones que hacemos con un lápiz en una hoja de papel plana, tal plano no es la única superficie donde residen las curvas. Las partículas pueden moverse y formar curvas en prácticamente cualquier superficie. En verdad, si nuestro ciclista en nuestra ilustración pedaleó una distancia significativa, la curva resultante del rastro formado en el lodo sería más identificable con una curva esférica, una vez que nuestro planeta es esférico. Curvas en superficies variadas pueden ser caracterizadas y sus comportamientos resultantes estudiados.

En este trabajo estudiamos la geometría de las curvas en el conjunto de matrices 2×2 con coeficientes reales aprovechando el producto interno de Frobenius y llevando en consideración el isomorfismo entre R. y el espacio de las matrices 2 × 2 con coeficientes reales. Mas específicamente, definimos una noción de regularidad (ver Subsección 3.1) la cual nos ayuda a utilizar el proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt para generar un referencial móvil conveniente (ver Subsección 3.2). Así, obtenemos las fórmulas de Frenet-Serret (ver Teorema 3.1). Finalizamos, presentando una versión del teorema fundamental de las curvas matriciales de orden 2 × 2 (ver Teorema 3.3).

2. Preliminares.

2.1. Nociones de espacios con producto interno.

Definición 2.1. Sea V un espacio vectorial real. Un producto interno en V es una función que asocia, para cada par ordenado de vectores x y y en V, un número real, denotado por tal que, para todo x, y, z ∈ V y todo λ ∈ R, se verifica lo siguiente:

Ejemplo 2.1. Sea V = R^n×n y definamos

para todo A, B ∈ V. Es fácil ver que define un producto interno en V. Este producto interno es llamado producto interno de Frobenius.

Un espacio vectorial real V con un producto interno especifico es llamado espacio con producto interno.

Teorema 2.1 (Teorema 6.1 en [4]). Sea V un espacio con producto interno. Entonces para x, y, z ∈ V y λ ∈ , las siguientes afirmaciones son satisfechas:

Definición 2.2. Sea V un espacio con producto interno. Para x, y ∈ V, definimos la norma o longitud de x por y la distancia entre x y y por ||x – y||.

es una norma en R^n×n llamada norma de Frobenius.

Teorema 2.2 (Teorema 6.2 en [4]). Sea V un espacio con producto interno. Entonces para todo x, y ∈ V y λ ∈ , se verifican las siguientes afirmaciones:

Definición 2.3. Sea V un espacio con producto interno. Dos vectores x, y ∈ V son ortogonales si = 0. Un subconjunto S de V es ortogonal si para cualesquier dos vectores distintos en S ellos son ortogonales. Un vector x ∈ V es un vector unitario si ||x|| = 1. Finalmente, un subconjunto S de V es ortonormal si S es ortogonal y consiste enteramente de vectores unitarios.

Teorema 2.3 (Teorema 6.3 en [4]). Sea V un espacio con producto interno y S = {v₁,v₂,...,v_k} un subconjunto ortogonal de V consistiendo de vectores no nulos. Si y ∈ , entonces

Corolario 2.1 (Corolario 1 del Teorema 6.3 en [4]). Con las hipótesis del Teorema 2.3, si S es ortonormal y y ∈ , entonces

Teorema 2.4 (Teorema 6.4 en [4]). Sea V un espacio con producto interno y S = {w₁,w₂,...,w_n} un subconjunto linealmente independiente de V . Defina S = {v₁,v₂,...,v_n}, donde v₁ = w₁ y

Entonces S' es un conjunto ortogonal de vectores no nulos tal que <S'>=>S>. La construccion de {v₁,v₂,...,v_n} usada en la demostración del Teorema 2.4 es llamada proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt

2.2. Nociones de cálculo matricial.

Denotemos

Una función definida en un intervalo J ⊆ R con valores en R^m×n es llamada función matricial

En virtud del isomorfismo de R^m×n y R^mn cualquier función matricial pode ser observada como una curva en R^mn

Así, dada una función matricial Φ(t) = [a_ij(t)] ∈ R^mn queda automáticamente determinada una colección de mn funciones reales de variable real aij llamadas funciones coordenadas de Φ. Observe que a_ij : J → R para todo (i,j) ∈ Im,n. Las propiedades comunes a estas funciones coordenadas, caracterizan las propiedades de la función matricial Φ.

Sean f : I → R una función real y Φ,Ψ : I → R^m×n funciones matriciales definidas en un intervalo entonces Φ + Ψ, f Φ y (aquí m = n) son funciones definidas de la forma usual, es decir, para todo t ∈ I

o $(\varphi +\psi )\left(t\right)=\varphi \left(t\right)+\psi \left(t\right)$

$o\; (f\varphi )\left(t\right)=f\left(t\right)\varphi \left(t\right)$

$o\; ⟨\varphi ,\psi ⟩\left(t\right)=⟨\varphi \left(t\right),\psi \left(t\right)⟩$ (cuando m=n) donde < . > denota el producto interno de Frobenius.

Definición 2.4. Sea Φ: J → R^m×n una función matricial tal que Φ(t) = [a_ij(t)], para todo t ∈ J. Si t.∈ J, decimos que la matriz A = [a_ij] ∈ R^m×n es el límite de Φ(t) cuando t tiende a t_o, que denotamos por

Las reglas usuales del álgebra de limites se satisfacen para funciones matriciales, ver ejercicio 21 en [1]. La continuidad de funciones matriciales se define también en relación a sus funciones coordenadas.

Definición 2.5. Sea Φ : J → R^m×n una función matricial tal que Φ(t) = [a_ij(t)], para todo t ∈ J. Decimos que Φ es continua en t₀ ∈ J si, y solo si, cada aij es continua en t₀ para todo (i,j) ∈ Im,n.

Definición 2.6. Sea Φ : J → R^m×n, donde J es un intervalo abierto. Decimos que Φ es diferenciable en t_o ∈ J si, y solo si, existe el siguiente límite:

Proposición 2.1 (Proposición 1.4.1 en [1]). Sea Φ : J → R^m×n, donde J es un intervalo abierto tal que Φ(t) = [a_ij(t)], para todo t ∈ J. Φ es diferenciable en t₀ ∈ J si, y solo si, a_ij es diferenciable en t₀, para todo (i,j) ∈ I_m,n. En caso afirmativo, se satisface que $\varphi \text{'}\left(t_0\right)=[a_{ij}\left[t_0\right)]$ .

Decimos que la función matricial Φ : J → R^m×n es de clase C¹ en intervalo J si, y solo si, Φ es diferenciable en J y la función derivada Φ es continua en J. Procediendo por inducción, decimos que Φ es de clase C^k (k > 1) en el intervalo J si, y solo si, Φ^(k−1) es diferenciable en J y la función derivada k-ésima Φ^(k) es continua en J. Una función matricial Φ es llamada diferenciable de clase C^∞ si existen las derivadas de todas los órdenes de Φ.

Si f : I → es una función diferenciable y Φ,Ψ : I → R^m×n funciones matriciales diferenciables definidas en un intervalo entonces Φ + Ψ, f Φ y (aquí m = n) son funciones diferenciables y

• (Φ + Ψ)' (t) = Φ' (t) + Ψ '(t);

• (f Φ)' (t) = f'(t)Φ (t) + f (t)Φ'(t);

•${⟨\mathrm{\phi },\mathrm{\Psi }⟩}^{\text{'}}=⟨\mathrm{\phi \text{'}},\mathrm{\Psi }⟩+⟨\mathrm{\phi },\mathrm{\Psi \text{'}}⟩$ (cuandom = n) donde < , > denota el producto internode Frobenius..

Sea Φ : I → R una función matricial diferenciable y f : J → I función real diferenciable. Entonces la función compuesta (Φ o f)(t) = Φ(f(t)) es diferenciable en J y

Definición 2.7. Sea Φ : [a,b] →R^mxn una función matricial tal que Φ(t) = [a_ij(t)], para todo t ∈ [a,b]. Decimos que Φ es integrable en [a,b] si, y solo si, cada a_ij es integrable en [a,b]. En caso afirmativo, se tiene que

Naturalmente muchas de las reglas del cálculo diferencial e integral que conocemos pueden ser extendidas al cálculo matricial.

2.3. Nociones de curvas en R³.

Definición 2.8. Una curva parametrizada diferenciable de R³ es una aplicación diferenciable α, de clase C^∞, de un intervalo abierto I ⊂ R en R³. La variable t ∈ I es el parámetro de la curva, y el subconjunto de de los puntos α(t), t ∈ I, es llamado trazo de la curva.

Observación 2.1. Una curva parametrizada diferenciable de R³ es una aplicación α : I → R³ que para cada t asocia α(t) = (x(t),y(t),z(t)), donde las funciones x,y,z son diferenciables de clase C^∞.

Definición 2.9. Una curva parametrizada diferenciable α : I → R³ es llamada regular si α'(t) es diferente de 0, ∀t ∈ I.

Definición 2.10. Una curva regular α : I → R³ esta parametrizada por la longitud de arco si |α (t)| = 1, ∀t ∈ I.

Definición 2.11. Sea α: I → R³ una curva regular parametrizada por la longitud de arco, entonces la curvatura de α en s ∈ I es el número real

Es conocido, que si α : I → R³ es una curva regular, parametrizada por la longitud de arco, y tal que k(s)>0 para todo s ∈ I, entonces el conjunto {t(s),n(s),b(s)}, donde

es un referencial ortonormal llamado triedro de Frenet el cual satisface las denominadas fórmulas de

A seguir, enunciamos uno de los resultados más importantes de la teoría de curvas en R³ la cual nos dice que la curvatura y la torsión determinan la geometría de una curva.

Teorema 2.5 (Teorema fundamental das curvas, Teorema 6.15 en [6]).

(a) Dadas dos funciones diferenciables, k(s) > 0 y τ(s), s ∈ I ⊂ R, existe una curva regular α(s) parametrizada por la longitud de arco, tal que k(s) es la curvatura y τ(s) es la torsión de α en s.

(b) La curva α(s) es única si fijamos un punto α(s_o) = po, α'(s_o) = v1, α''(s_o) = k(s_o)v2, donde v1 y v2 son vectores ortonormales de R³.

(c) Si dos curvas α(s) y β(s) tienen la misma curvatura y torsión (a menos del signo), entonces α y β son congruentes.

3. Curvas matriciales de orden 2 × 2.

3.1. Curvas regulares de orden m.

Definición 3.1. Una curva parametrizada diferenciable de R^2×2 es una función matricial α, de clase C^∞, de un intervalo abierto I ⊂ en R^2×2. La variable t ∈ I es llamada parámetro de la curva, y el subconjunto de R^2×2 de los puntos α(t), t ∈ I, es llamado trazo de la curva.

Observación 3.1. Una curva parametrizada diferenciable de R^2×2 es una aplicación α: I → R^2×2 que para cada t ∈ I asocia una matriz 2 × 2 de la forma α(t) = [αij(t)], donde las componentes α11, α12, α21, α22 son funciones diferenciables de clase C^∞.

Análogo a las rectas en Rⁿ de la forma α(t) = P + tQ, tenemos el siguiente ejemplo.

donde ${\alpha }_{11}^2+{\alpha }_{12}^2+x_{21}^2+{\alpha }_{22}^2\ne 0$ es una curva parametrizada diferenciable de R^2×2 , cuyo trazo es una

Definición 3.2. Una curva parametrizada diferenciable α de R^2×2 es llamada regular de orden m si el conjunto de m-vectores {α'(t), α''(t), ..., α(^m)(t)} son linealmente independientes para todo t ∈ I.

Sean I, J ⊂ R intervalos abiertos, α : I → R^2×2 y β : J → R^2×2 curvas parametrizadas diferenciables. Decimos que α y β son equivalentes si existe una biyección h : J → I diferenciable C^∞, con $\textcolor{red}{}\mathrm{h\text{'}(s)}\ne 0$ para todo s ∈ J y tal que β = α o h. En estas condiciones, decimos que β es una reparametrización de α por h. La función h es llamada cambio de parámetro.

Observe que, si β es una reparametrización de α por h, entonces α es una reparametrización de β por h⁻¹. La orientación de una curva regular α es el sentido del recorrido del trazo de α. Una reparametrización α de β tiene orientación igual (resp. opuesta) a la de α si el cambio de parámetro es estrictamente creciente (resp. decreciente).

Sea α : I → R^2×2 una curva regular de orden m (m ≥ 1). Para dos puntos t_o ≤ t₁ de I fijos, la longitud del arco de la curva α de t. a t.es dado por

donde $\textcolor{red}{}‖\textcolor{red}{}‖$ denota la norma de Frobenius. La función longitud de arco de la curva α a partir de t_o es

Una curva regular de orden m (m ≥ 1) α : I → R^2×2 es llamada parametrizada por la longitud del arco si el vector tangente es unitario, es decir, = 1 para todo s ∈ I.

Proposición 3.1. Sean α : I →R^2×2 una curva regular de orden m (m ≥ 1) y s : I → s(I) ⊂ R la función longitud de arco de α a partir de t.. Entonces, existe la función inversa h de s, definida en el intervalo abierto J = s(I), y β = α o h es una reparametrización de α, donde β esta parametrizada por la longitud del arco.

Demostración: Como α es una curva regular de orden m ≥ 1 entonces diferente de 0 para todo t ∈ I. Luego s (t) = > 0, es decir, s es una función estrictamente creciente. De ahí, existe una función inversa de s, h : J → I. Ahora como h(s(t)) = t tenemos que

Concluimos que β = α o h es una reparametrización de α y

La aplicación β de la Proposición 3.1 es llamada reparametrización de α por la longitud de arco.

La Proposición 3.1 nos dice que toda curva regular de R^2×2 puede ser reparametrizada por la longitud de arco, fijando un t_o∈ I. Por lo tanto, podemos suponer que una curva regular esta parametrizada por la longitud de arco para fines de estudios geométricos.

Definición 3.3. Sea α : I → R^2×2 una curva regular de orden m (m ≥ 1) parametrizada por la longitud de arco. La primera curvatura de α en s ∈ I es el número real k₁(s) definido por

Proposición 3.2. Sea α : I →R^2×2 una curva regular de orden m (m ≥ 1) parametrizada por la longitud de arco. Entonces, α(I) es un “segmento de recta” si, y solo si, k₁(s) = 0 para todo s ∈ I.

Demostración: Supongamos que α(I) es un “segmento de recta” parametrizada por la longitud de arco, entonces α(s) = P + sA₀, donde P ∈ R_2×2 y A₀ es un vector unitario de R_2×2 . Por lo tanto,

para todo s ∈ I. Se sigue que k₁= = 0. Recíprocamente, si = 0 para todo s ∈ I, entonces α''(s) = O para todo s ∈ I, de ahí integrando dos veces en relación a s y considerando que α (t) sea unitario, tenemos que existen dos matrices constantes A0,P ∈ R^2×2 tal que α(s) = P + sA₀, donde A₀ es una matriz unitaria.

Definición 3.4. Sea α : I → R^2×2 una curva regular de orden m (m ≥ 1) parametrizada por la longitud de arco tal que k.(s) > 0. El vector

es denominado vector normal a α en s. Denotando por t(s) = α'(s), el denominado vector tangente a α en s, tenemos que t(s) y n(s) son vectores ortonormales y

Proposición 3.3. Sea α : I → R^2×2 una curva regular de orden m (m ≥ 1) de curvatura k₁ no nula. Si α es una curva plana (contenida en un subespacio de dimensión dos), entonces α está contenida en un plano generado por t(s) y n(s).

Demostración: Podemos suponer α(s) parametrizada por la longitud de arco. Como α es una curva plana, entonces existe un plano de R^2×2 que contiene α(I). Sean v₁, v₂ vectores constantes, linealmente independientes y ortogonales a este plano. Probaremos que v₁ y v₂ son ortogonales a t(s) y n(s) para todo s ∈ I. Fijando s. ∈ I, entonces para todo s ∈ I, y i = 1,2,

Como k₁(s) > 0, concluimos que el plano generado por t(s) y n(s) no depende de s y contiene α(I).

3.2. Fórmulas de Frenet-Serret.

A seguir definiremos una base ortonormal en R^2×2. Para esto, debemos suponer primeramente que la curva α: I → R^2×2 es regular de orden 4. Motivados por la base móvil de Frenet-Serret para vectores en el espacio euclidiano (ver Capítulo 2 en [3]) la cual es obtenida usando el proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt (ver Teorema 2.4) en los vectores $\alpha \text{'}\left(s\right),\alpha \text{'}\text{'}\left(S\right),\alpha \text{'}\text{'}\text{'}\left(S\right)y{\alpha }^{iv}\left(s\right)$ .

Definición 3.5. Sea α : I → R^2×2 una curva regular de orden 4. El conjunto {t(s), n(s), b.(s), b.(s)}, donde

es llamada base móvil de Frenet-Serret de α en R^2×2. Los vectores b₁ y b₂ son llamados vector binormal y vector trinormal respectivamente.

El siguiente teorema nos da las expresiones de las derivadas de la base móvil en función de la propia base construida arriba.

Teorema 3.1. Sea α : I → R^2×2 una curva regular de orden 4 parametrizada por la longitud de arco, entonces los elementos de la base móvil de Frenet-Serret satisfacen las denominadas fórmulas de Frenet-Serret:

donde k_1, k₂, k₃ son llamadas primera, segunda y tercera curvatura respectivamente, y son dadas por ${\kappa }_1=⟨t^{\text{'}},n⟩=‖{\mathrm{\alpha }}^{\text{'}\text{'}}‖$ , ${\kappa }_2=⟨n^{\text{'}},b_1⟩$ y ${\kappa }_3=⟨{b_1}^{\text{'}},b_2⟩$ .

Note que de (3.3) y (3.4) verificamos que n (s) es independiente del vector trinormal b2(s). En seguida, mostraremos también que n (s) no depende del vector normal n(s). En efecto, derivando la identidad en relación a s, tenemos

luego, de (3.3), concluimos que la componente normal de n (s) es nula. Siendo α (s) perpendicular a t(s), tenemos que

luego, de (3.3), la componente tangencial de n (s) es −k1(s). Así, n (s) puede ser escrito como,

Observe que, en el teorema anterior, por construcción de la base, las curvaturas k₁, k₂ y k₃ son no nulas.

Ejemplo 3.2. Consideremos la curva parametrizada por la longitud de arco

3.3. Isometrías en R^2×2.

Definición 3.6. Una aplicación F : R^2×2 → R^2×2 es una isometría de R^2×2 si F preserva distancias, es decir, para cualesquiera P,Q ∈ R^2×2,

donde $‖\textcolor{red}{}‖$ es la norma de Frobenius.

Ejemplo 3.3.

(a) La transformación identidad de R^2×2 es una isometría.

(b) Sea A un punto fijo de R^2×2. La aplicación T: R^2×2 → R^2×2 que, para cada P ∈ R^2×2, asocia T(P) = A + P es una isometría de R^2×2, denominada traslación por A.

Proposición 3.4.

(a) Si F y G son isometrías de R^2×2, entonces F o G es una isometría.

(b) Si F y G son traslaciones, entonces F o G = G o F es una traslación.

(c) Si T es una traslación por A, entonces T⁻¹es invertible y T⁻¹ es una traslación por −A.

(d) Dados dos puntos A y B de R^2×2, existe una única traslación T tal que T(A) = B.

Demostración: La prueba es idéntica a la Proposición 6.3 en [6].

Definición 3.7. Una transformación ortogonal de R^2×2 es una aplicación lineal C: R^2×2 → R^2×2 que preserva el producto interno, es decir,

Note que el Ejemplo 3.3 (a), (c) y (d) son transformaciones ortogonales.

Observación 3.2. Una transformación ortogonal C de R^2×2, siendo una aplicación linear, satisface las siguientes propiedades:

• C(O) = O.

• C es diferenciable y la diferencial de C en cualquier punto P ∈ R^2×2 coincide con C, es decir, dC_p(V ) = C(V ).

Proposición 3.5. Toda transformación ortogonal es un isomorfismo y una isometría.

Demostración: Sea C : R^2×2 → R^2×2 una transformación ortogonal. Sea P ∈ Nu(F) de ahí tenemos que

entonces P = O. Concluimos que C es inyectiva y por el Teorema 2.5 en [4] tenemos que C es un isomorfismo. Ahora mostremos que C es una isometría. Como C es una aplicación lineal y preserva el producto interno, tenemos que, ∀ P, Q ∈ R^2×2,

Proposición 3.6. Si F: R^2×2 → R^2×2 es una isometría tal que F(O) = O, entonces F es una transformación ortogonal.

Demostración: Primeramente, mostremos que F preserva el producto interno. Sean P,Q ∈ R^2×2. Como consecuencia de las propiedades de producto interno y el hecho que F es una isometría con F(O) = O, tenemos que

Teorema 3.2. Si F : R^2×2 → R^2×2 es una isometría, entonces, existe una única traslación T y una única transformación ortogonal C, tal que F = T o C.

Demostración: Existencia: Sea T una traslación por F(O), entonces por la Proposición 3.4 tenemos que T⁻¹ es la traslación por −F(O) y la aplicación compuesta T⁻¹o F es una isometría. Como

por la Proposición 3.6, T⁻¹ o F es una transformación ortogonal que denotamos por C. Por lo tanto,

Observe que, si F: R^2×2 → R^2×2 es una función diferenciable, entonces, para cada P ∈ R^2×2, la diferencial de F en P es una aplicación lineal dF_p : R^2×2 → R^2×2 definida por

Proposición 3.7. Con la notación anterior, sea F = T o C una isometría de R^2×2, entonces F es diferenciable y ∀P ∈ R^2×2 y V ∈ R^2×2, dF_p(V ) = C(V ).

Demostración: Como T y C son diferenciables entonces F es diferenciable. Si T es una traslación por A, entonces

Corolario 3.1. Si F es una isometría de R^2×2, entonces ∀P ∈ R^2×2, dF. preserva el producto interno, es decir,

Proposición 3.8. Sean A y B puntos de R^2×2, $V_1,V_2,V_3,V_{4}y{W}_1,W_2,W_3,W_4$ referenciales ortonormales de R^2×2. Entonces, existe una única isometría F de R^2×2 tal que F(A) = B y dF.(V.) = W., i = 1,2,3,4.

Demostración: Existencia: Por el Teorema 2.6 em [4], existe C: R^2×2 → R^2×2 aplicación lineal, tal que $C\left(V_i\right)=W_i$ , i = 1,2,3,4. Sean P,Q . R^2×2, como {V₁, V₂, V₃, V₄} es una base de R^2×2 existen a₁, a₂, a₃, a₄, b₁, b₂, b₃, b₄. R tales que

Ahora, usando el hecho de que {V₁, V₂, V₃, V₄} y {W₁, W₂, W₃, W₄} son bases ortonormales tenemos que

Concluimos que C preserva el producto interno. Por lo tanto, C es una transformación ortogonal. Sea T la traslación por B − C(A). Entonces, la isometría F = T o C satisface las condiciones exigidas. En efecto,

De la última relación obtenemos que C(Vi) = C(Vi) = Wi. Por el Corolario del Teorema 2.6 en [4],tenemos que$C=\overline{C}$. Por lo tanto,$T\circ C\left(A\right)=\overline{T}\circ C\left(A\right)=B$, es decir, T y T son traslaciones que llevan C(A) en B. Concluimos de la Proposición 3.4 que$T=\overline{T}$, por lo cual $F=\overline{F}$.

Definición 3.8. Dos curvas regulares de orden 4, α, β: I → R. son congruentes si existe una isometría F de R^2×2 tal que β = F o α.

donde k₁, k₂, k₃ y {t, n, b₁, b₂} son las curvaturas y base móvil de α, respectivamente.

Demostración: Como F y α son diferenciables tenemos que es diferenciable. Además, tenemos que

Luego, por la inyectividad de dFα(s) y el Teorema 3.1 em [5], obtenemos que $\{\overline{\alpha }\text{'}(s),\overline{\alpha }\text{'}\text{'}(s),\overline{\alpha }\text{'}\text{'}\text{'}(s),\overline{\alpha }\text{'}\text{'}\text{'}\text{'}(s\left)\right\}$ es un conjunto linealmente independiente. Por la ortogonalidad de la transformación dF_α(s), tenemos

Por lo tanto, $\overline{\alpha }\left(s\right)$ es parametrizada por la longitud de arco. De (3.7) tenemos que

Como dF_A(s) es linear, preserva el producto interno y por (3.7), obtenemos que

así,

finalmente,

3.4. Teorema fundamental de las curvas en R^2×2.

Teorema 3.3. [Teorema Fundamental de las curvas en R^2×2]

(a) Si k₁,k₂,k₃ : I → R son tres funciones de clase C∞ con k₁(s), k₂(s), k₃(s) > 0, para todo s ∈ I, existe una curva α : I → R^2×2 parametrizada por la longitud de arco, tal que k₁(s) es la primera curvatura, k₂(s) es la segunda curvatura y k₃(s) es a tercera curvatura de α en s para todo s ∈ I.

(b) La curva α del ítem (a) es única si fijamos un punto P₀ ∈ R^2×2 y vectores ortonormales V₁, V₂, V₃, V₄ con las siguientes condiciones,

(c) Si dos curvas α, β: I → R^2×2 parametrizadas por la longitud de arco tienen la misma primera curvatura, segunda curvatura y tercera curvatura, entonces α y β son congruentes.

Demostración: Vamos iniciar probando (c). La idea es considerar una isometría F conveniente y la curva $\stackrel{-}{\alpha }=F\circ \alpha$ que es congruente a α, en seguida probar que $\stackrel{-}{\alpha }=\beta$. Fijemos s₀ ∈ I. Usaremos los índices α y β para indicar la curva a la cual se refiere la primera curvatura, segunda curvatura, etc. Por la Proposición 3.8 existe F isometría de R^2×2 tal que F(α(s0)) = β(s0) y

Por lo tanto, f es constante. Como f(s₀) = 0, tenemos f ≡ 0 y, consecuentemente, $\stackrel{-}{t}=t_{\beta }$

Ahora mostremos (a). Para probar la existencia de α mostraremos primero que existe un referencial ortonormal {t(s), n(s), b₁(s), b₂(s)} que satisface las fórmulas de Frenet-Serret.

Por el Teorema de Existencia y Unicidad de soluciones de ecuaciones diferenciales lineales (ver Teorema 6 de la Sección 7 del Capítulo 6 en [2] o ver Teorema 4.2.3 en [1]) tenemos que, fijados

el sistema de dieciséis ecuaciones diferenciales, i,j = 1,2

posee una única solución con las condiciones iniciales dadas. En particular, existe una única solución t_ij, n_ij, (b₁)_ij, (b₂)_ij, i,j = 1,2 del sistema (3.8) cuando fijamos

Vamos probar ahora que la solución {t(s), n(s), b.(s), b.(s)} es una base ortonormal de R^2×2 para todo s ∈ I. Para esto, consideremos las funciones

que satisfacen el sistema de diez ecuaciones diferenciales:

con condición inicial:

La solución para ese sistema de ecuaciones diferenciables es única y es dada por las funciones:

En efecto, basta substituir estas funciones en el sistema de arriba para verificar que forman una solución del sistema.

or lo tanto, la solución de ( 3.8) con la condición inicial (3.9) forma un referencial ortonormal. Definimos la curva α: I → R^2×2 por

Como α'(s) = t(s), entonces α es una curva parametrizada por la longitud de arco s.

Afirmación 3.4. α es una curva regular de orden 4.

De hecho, primero observe que

Como {t(s), n(s), b₁(s), b₂(s)} es un conjunto ortonormal, y siendo k₁, k₂ y k₃ no nulos, tenemos que el conjunto {α'(s), α''(s), α'''(s), α^(iv)(s)} es linealmente independiente para todo s ∈ I.

También, se tiene

análogo al cálculo de b₁(s), puede ser mostrado que

así,

Finalmente, mostremos (b). Unicidad: Sean α, β: I → R^2×2 dos curvas parametrizadas por la longitud de arco tales que

Entonces, nα(s₀) = n_β(s₀) = V₂, (b₁)α(s₀) = (b₁)_β(s₀) = V₃ y (b₂)α(s₀) = (b₂)β(s₀) = V4. Como {tα, nα, (b₁)α, (b₂)_α} y {tβ, n_β, (b₁)_β, (b₂)_β} son soluciones del sistema (3.8) con condición inicial {V₁,V₂,V₃,V₄}, tenemos que α = β.

Existencia: Dados P₀ ∈ R^2×2 y V₁, V₂, V₃, V₄ vectores ortonormales, el sistema (3.8) tiene una única solución {t(s), n(s), b₁(s), b₂(s)} con condición inicial t(s₀) = V₁, n(s₀) = V₂, b₁(s₀) = V₃ y b₂(s₀) = V₄.

Por lo tanto, la solución de ( 3.8) con la condición inicial (3.9) forma un referencial ortonormal. Definimos la curva

Existencia: Dados P0 ∈ R2×2 y V1, V2, V3, V4 vectores ortonormales, el sistema (3.8) tiene una única solución {t(s), n(s), b1(s), b2(s)} con condición inicial t(s0) = V1, n(s0) = V2, b1(s0) = V3 y b2(s0) = V4. Note que

es una curva parametrizada por la longitud de arco, con

para todo s ∈ I.

4. Conclusiones.

Este trabajo estudio la geometría de las curvas matriciales de orden 2×2 con coeficientes reales. Usamos el proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt para generar un referencial móvil conveniente. Así, obtenemos las fórmulas de Frenet-Serret. Finalmente, probamos una versión del teorema fundamental de las curvas matriciales de orden 2 × 2.

Referencias

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[2] Coddington EA. An introduction to ordinary differential equations. New York: Dover Publications; 1989.

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[4] Friedberg SH, Insel AJ, Spence LE. Linear algebra. 4th ed. New Delhi: Pearson New International Edition; 2013.

[5] Lang S. Linear algebra. Undergraduate Texts in Mathematics. 3th ed. New York: Springer; 1987.

[6] Tenenblat K, Introdução à geometria diferencial. 2. ed. São Paulo: Blucher; 2008.

Información adicional

How to cite this article: Martínez León V. et al.Geometry of 2×2 matrix curves. Selecciones Matemáticas. 2022;9(2):258–274. http://dx.doi.org/10.17268/sel.mat.2022.02.04