Para una ilustración clara de este modelo, considérese una población de presas (liebres, H(t)) y de depredadores (linces, L(t)) donde H y L se miden en número de animales por área (también llamado “densidad”). Suponga que, en ausencia de linces, la población de liebres aumenta exponencialmente a una tasa constante α, medida en unidades . En ausencia de liebres, la población de linces decae exponencialmente a una tasa constante de , lo que significa que el lince no puede sobrevivir con ninguna otra fuente de alimento que no sean las liebres. La interacción tanto de linces como de liebres afecta negativamente a las liebres (cuya población disminuye a una tasa constante de β con una unidad de medida de ), y afecta positivamente a la población de linces (cuya población aumenta a una tasa constante γ con unidad de medida ), proporcionalmente al número de animales presentes.

El aumento de la población de linces tras la interacción con las liebres se debe al aumento de la reproducción resultante de la alimentación. Dadas estas suposiciones, se puede escribir un modelo básico “depredador- presa” (también conocido como el modelo de “Lotka-Volterra” [20]):

1.1

1.2

Este es un modelo bidimensional, no lineal [17, 20], y es uno en el cual se puede derivar como es la interrelación de variables en un sistema de ecuaciones diferenciales. Se asume que γ < β, para reflejar el hecho de que no existe una relación uno a uno entre el daño a la presa y el beneficio a los depredadores, causada por la depredación. Es decir, el depredador puede necesitar varias liebres como para aumentar su población.

El Toxoplasma gondii es uno de los parásitos, en la Tierra, más exitosos infectando gatos, ratas, focas y más de un tercio de la población humana [9]. Los animales contraen el parásito al consumir alimentos infectados o al entrar en contacto con heces de gatos infectadas. La toxoplasmosis, la enfermedad causada por el Toxoplasma gondii, presenta síntomas similares a los de la gripe en los seres humanos, pero puede ser mortal para las focas monje en peligro de extinción. Las mujeres embarazadas con toxoplasmosis pueden tener abortos espontáneos, mortinatos y otras anomalías congénitas [14]. Los gatos son el único animal en el cual se reproduce el Toxoplasma gondii, así que es fundamental entender cómo se mueve el parásito a través de una población de gatos y luego cómo se propaga potencialmente a otras especies. Se puede construir y analizar un modelo de ecuaciones diferenciales entre hospedadores para estudiar la transmisión del Toxoplasma gondii; específicamente, estudiar como la infecciosidad de patógenos y la tasa de diseminación en el medio ambiente afectan la proliferación de infecciones en la población de gatos. Para otros modelos matemáticos de Toxoplasma gondii donde se acople dinámicas dentro del huésped y entre huéspedes, o donde se trate con la dinámica del modelo, remítase a [21, 7], respectivamente.

La idea básica del siguiente modelo es que los gatos infecciosos arrojan ooquistes de Toxoplasma gondii (una etapa de vida específica de un parásito) en el medio ambiente. Los gatos susceptibles que están expuestos a estos ooquistes en el medio ambiente pueden infectarse con el parásito. Las ecuaciones del modelo son

2.1

2.4

Muchos valores de los parámetros pueden encontrarse en la literatura o estimarse a partir de ella [11]. El enfoque que siguen estos artículos radica en como la tasa de infección (ω) afecta al tamaño de la población en estado estable. Primero, se usa soluciones numéricas para generar intuición acerca del comportamiento del modelo y el sistema biológico. Luego se usa la programación para hacer cálculos sustanciales (resol- viendo el modelo varias veces para diversos valores de parámetros diferentes) para generar patrones. Luego, la información obtenida de esos patrones guía el uso de técnicas analíticas para extraer evidencia concreta de las predicciones obtenidas a través de la experimentación numérica.

En este modelo, se estudia la dinámica de un patógeno común y los costos sanitarios asociados a su tratamiento. Los síntomas de la comúnmente llamada “gripe” varían, pero a menudo son lo suficientemente graves como para que el paciente no vaya al trabajo ni a la escuela. Los modelos matemáticos de la influenza buscan explicar la dinámica de transmisión de persona a persona a nivel poblacional [4, 10], la respuesta inmune a la infección a nivel individual [3] e incluso la dinámica evolutiva del virus dentro y entre epidemias [12]. En términos generales, las infecciones por los virus de la influenza estacional representan un riesgo grave para los ancianos, los jóvenes y las personas con sistemas inmunitarios comprometidos.

¿Cómo comprender los costos de atención médica asociados con una variedad de enfoques de salud pública para controlar la influenza estacional? ¿Cómo las suposiciones o decisiones sobre el tratamiento influían en los costos totales de atención médica acumulados? Este modelo presenta un intento de especificar algunos de los complejos factores médicos, económicos y éticos que se encuentran en la intersección de la dinámica de las enfermedades infecciosas y la salud y las políticas públicas.

Implícito en el modelo está el supuesto de que todos los nacimientos crean individuos susceptibles y que no hay transmisión vertical de la infección (infección de la madre al recién nacido) o transferencia de inmunidad adquirida a la descendencia. Los nacimientos ocurren a una tasa constante de . individuos por año y todos los individuos están sujetos a una tasa de mortalidad natural . por año. El parámetro de transmisión β caracteriza la tasa a la cual ocurren nuevos casos en respuesta a las interacciones entre individuos susceptibles e infectados. Se ha modelado la perdida de infección (y contagiosidad) como un proceso por el cual los individuos se pierden por muerte o recuperación a una tasa γ. Se supone que una fracción δ muere y la fracción restante (1−δ) se han recuperado en respuesta al tratamiento con probabilidad ρ, o naturalmente con probabilidad (1−ρ). Los individuos se vacunan a una tasa de ζ por año y todos los individuos con inmunidad, incluidas las que se han recuperado de la infección, pierden inmunidad a una tasa ω.

3.1-3.5

Se agregará la Ecuación (3.6) para ayudar a rastrear explícitamente el número de muertes asociadas con la infección.

3.6

La distinción entre recuperación natural, recuperación después es del tratamiento y muertes como resultado de la infección en el modelo es algo única. Dado que los costos financieros importantes están asociados con la muerte, se toma la decisión de realizar un seguimiento de las muertes relacionadas con la influenza. Sin las Ecuaciones (3.6) -(3.7), el modelo presentado sería un modelo bastante genérico y flexible de transmisión de enfermedades infecciosas que permitiría la vacunación, la recuperación con y sin intervención médica, y las muertes asociadas a infecciones [2, 5, 8]. Se asignará los costos de salud asociados con la vacunación mediante z, con la infección mediante b, con la muerte mediante d, con la recuperación natural mediante n, y con recuperación asistida por hospitalización mediante r. Específicamente, la Ecuación (3.7) permite rastrear los costos de atención médica asociados con muchas de las transiciones registradas en las otras ecuaciones del modelo.

3.7

En cada uno de los tres modelos aquí presentados se realizó su análisis y su dinámica. El método implícito es la asignación de valores a parámetros dados en la literatura afín. Dicho análisis y dinámica no corresponde a un estudio rigurosamente formal acostumbrado en Matemáticas formales, sino tiene un enfoque orientado a la praxis en programación.

La relación paramétrica entre las variables usando separación de variables [20] da

4.1

Sin embargo, como los modelos son a menudo sistemas de ecuaciones diferenciales no lineales que son complicadas de resolver analíticamente, se confía en gran medida en el programa de código abierto (y lenguaje de programación) R, el cual está gratuitamente disponible para generar resultados numéricos y gráficos de los modelos matemáticos [19], junto con su paquete deSolve [13].

Los solucionadores de ecuaciones diferenciales incorporados en software matemático (como R) usan métodos más sofisticados que el método de Euler, pero la idea es la misma. Los “métodos de orden superior” comunes (así llamados debido a que aproximan soluciones a un orden superior de precisión) son el método de Heun y los métodos de Runge-Kutta [18].

Figura 4.1 Figura 4.1 Soluciones al modelo depredador-presa en el plano de fase Las soluciones comienzan desde las condiciones iniciales H(0)= 50, L (0)= 8 indicado por el punto solido y las cantidades se mueven a lo largo de la curva en la dirección de la flecha a medida que avanza el tiempo Elaboración propia.

Usando tecnología para trazar la curva paramétrica para c ≈ 3,343 (obtenida de las condiciones iniciales H (0) = 50, L (0) = 8), se obtiene una curva cerrada (Figura 4.1). Trazar la curva en el plano de fase en sentido antihorario muestra los niveles de población de las 2 especies a medida que pasa el tiempo. Se ve que las poblaciones oscilan. Por ejemplo, partiendo de la condición inicial (H (0), L (0)) = (50,8), la población de liebres es moderada, mientras que la población de linces es bastante baja. A medida que pasa el tiempo, la población de liebres aumenta bastante (casi a 150) debido a que no hay muchos linces para comerlas, mientras que la población de linces solo aumenta en una cantidad modesta. Sin embargo, después es de un tiempo, la población de linces comienza a aumentar en gran cantidad (hay muchas liebres para comer, así que los linces pueden reproducirse a un ritmo mayor), mientras que la población de liebres en realidad disminuye (están siendo devoradas por todos los nuevos linces). Después es de que la población de liebres llega a unos diez individuos, la población de linces disminuye vertiginosamente (porque no hay suficientes liebres más para comer), mientras que la población de liebres solo muestra un modesto descenso. La población de liebres luego se recupera y comienza a aumentar (debido a que hay menos linces para comerlas), mientras que la población de linces apenas aumenta, hasta que se llega al punto de partida original, y todo el proceso se repite.

La Figura 4.2 muestra las soluciones en función del tiempo (es decir, lo que llamamos “dinámica del modelo”), así como la curva de la solución en el plano de fase. En el gráfico de la derecha, se ve que a medida que pasa el tiempo, las poblaciones oscilan, con los picos de la población de depredadores (curva roja) a la zaga de los picos de la población de las presas (curva azul).

La Figura 5.1 muestra la dinámica del sistema para , con otros valores de parámetros como se indica en el pie de imagen. Nótese que, en lugar de intentar resolver analíticamente el sistema no lineal de 4 ecuaciones diferenciales acopladas, se resolvió el sistema numéricamente de forma relativamente rápida y sencilla. Se ve que, para los parámetros dados, cada subpoblación de gatos muestra oscilaciones decrecientes y finalmente se nivela en un valor fijo (i.e., alcanza un estado estable). El número de ooquistes en el ambiente también oscila hasta alcanzar un estado estacionario peque no, pero distinto de cero. A largo plazo, habrá a muy pocos gatos con infección aguda (la línea punteada rosa es casi 0) y más gatos crónicamente infectados que gatos susceptibles (la línea naranja discontinua está por encima de la línea purpura continua).

Se resolvió numéricamente las ecuaciones del modelo 101 veces para 101 valores diferentes de ω que van de 0 a 0,15 unidades medidas en (en este intervalo se observan los cambios en las gráficas.

Figura 4.2 Figura 4.2 Soluciones al modelo depredadorpresa Se utilizaron los valores de los parámetros α=1.1, β=0.05 , γ=0.01, δ=0.5 y las condiciones iniciales H(0)= 50, L(0)=8. (Izquierda) Densidades de solución trazadas en función del tiempo (Derecha) Soluciones en el plano de fase. Elaboración propia.

Figura 5.1.

En esta sección es interesante observar c como cambian los resultados del modelo en función de un parámetro específico. En este caso, la tasa de vacunación ζ. Se realiza un experimento similar al modelo del Toxoplasma gondii, en donde se resuelve el modelo para varios valores de ζ, y luego se grafica los valores de equilibrio de las variables de estado como una función de ζ. Se puede sugerir tasas de vacunación ideales (pero realistas) que pueden minimizar el costo de un brote de influenza, ya que es una variable que en la vida real se puede controlar.

Figura 6.1 Figura 6.1 Muestra de resultados para la dinámica de transmisión de la influenza (izquierda) y el costo (derecha) de condiciones iniciales S (0) = 980, V (0) = 10, I (0) = 10 y con otras variables iniciadas en cero.

0 20 40 60 80 100 0 20 40 60 80 100

Tiempo (semanas) Tiempo (semanas)

En la Figura 6.1 (panel izquierdo) se presenta la dinámica del modelo, es decir, el comportamiento de las soluciones del modelo matemático, con condiciones iniciales y parámetros establecidos. Se inicia con una población mayoritariamente susceptible y con pequeños grupos de individuos infectados y vacunados. En la fase de programación en R, se establece un gran aumento en el grupo infeccioso seguido de aumentos en el tamaño de los dos grupos recuperados: los que se recuperan naturalmente superan en número a los que se someten a tratamiento. Afortunadamente, para esta parametrización, las muertes relacionadas con la influenza son bastante raras. Dado que gran parte de la población tiene alguna forma de inmunidad (después de la recuperación o la vacunación), el segundo brote, que se centra cerca de t ≈ 60 semanas, es relativamente pequeño. Adicionalmente, la acumulación de la atención médica y los costos económicos asociados se representa en la Figura 6.1 (panel derecho). El aumento inicial en la función de costos se debe en gran medida a los costos relacionados con la infección y el tratamiento, mientras que el aumento más lento y sostenido más allá de t = 20 semanas se atribuye en gran parte al costo de la vacunación.

Después de estudiar el comportamiento de este modelo para una variedad de parametrizaciones, se obtiene una idea de que parámetros son biológica o dinámicamente interesantes. Específicamente, se elige resolver numéricamente el modelo para valores desde 0,00 hasta 0,20 correspondientes al parámetro de vacunación ζ, y luego trazar los comportamientos a largo plazo como una función de ζ (Figura 6.2). Se ve que para tasas de vacunación superiores a ζ ≈0.09/semana, la infección se elimina y la población está compuesta únicamente por individuos de los grupos susceptibles y vacunados.

Figura 6.2 Figura 6.2 Valores de solución numérica a largo plazo trazados versus la tasa de vacunación Las etiquetas "Tratado" y "Natural" se refieren a poblaciones recuperadas con y sin antivirales respectivamente.

1. Con las computadoras se puede resolver numéricamente sistemas de ecuaciones que son complicadas de resolver analíticamente. En esta investigación se pudo realizar experimentos numéricos variando diferentes valores de parámetros para entender como se ve afectada la dinámica del modelo. En medio de una investigación, comparar los resultados con los datos del mundo real puede ayudar a identificar valores probables de parámetros desconocidos. Se puede utilizar resultados numéricos para ayudar a decidir que caminos seguir para la experimentación adicional o para establecer un análisis de lápiz y papel más específico. En este trabajo se demuestra que la experimentación numérica en R es un enfoque increíblemente importante al analizar modelos matemáticos.

2.Se puede modificar alguno de los modelos presentados aquí teniendo en cuenta los parámetros biológicos, con el fin de entender la biología relevante necesaria para escribir cómodamente un modelo propio, esto es útil para aquellos interesados en empezar una investigación en Modelos Biológicos. Después de formular un modelo, se resuelve numéricamente para ver si los resultados tienen sentido. Si la dinámica es realmente diferente a la esperada, se sabrá que se debe modificar el modelo antes de continuar. Quizás se omitió una variable importante, o se está utilizando valores de parámetros poco realistas, o simplemente se tiene un error tipográfico en el código. Después es de obtener resultados razonables, uno puede comunicarse con expertos en el campo. ¿Qué sucede si se cambia el valor de un parámetro?, ¿Cuál es el comportamiento cualitativo a medida que cambia el parámetro? Se sugiere continuar con la investigación de los modelos anteriormente descritos, pero con variante de aleatoriedad [1, 6]. Esto es el estudio de sus respectivas extensiones estocásticas, en donde dadas las mismas condiciones iniciales, se producirá un resultado diferente cada vez que se resuelva. Cada una de estas soluciones representa una ruta de muestra de la distribución de probabilidad subyacente única.