1. Introducción.

Sea la siguiente ecuación propuesto por el físico austriaco Erwin Schrödinger (1925)

con dato inicial u(0) = φ ∈ H^s_per , donde s es un número real y denotamos por H^s_per al espacio de Sobolev periódico de orden s. Dicha ecuación describe la evolución temporal de una partícula no relativista. Esta ecuación es importante en la teoría de la mecánica cuántica. Schrödinger discute en detalle las relaciones entre la mecánica hamiltoniana y la óptica en 1926, ver [4] y [12]. Para la justificación física del modelo podemos citar [2] y [15].

De [13], la ecuación de Schrödinger homogénea (1.1) esta bien colocada para todo s real. Ahora, planteamos el mosdelo

Ahora, planteamos el modelo

con dato inicial en , el cual resolveremos siguiendo las ideas de [3], [11], [12] y [13]. Esto es, probaremos que posee solución, la solución es única y que ella depende continuamente respecto al dato inicial.

Citamos algunos trabajos de existencia de solución vía semigrupos [4], [6], [7], [8], [9] y nos apoyamos de algunos resultados de [10].

Probaremos la existencia y unicidad de solución de (1.2), así como la dependencia continua de la solución respecto al dato inicial. Luego, introduciremos una familia de operadores para reescribir nuestro resultado en una versión más elegante. Finalmente, haremos el análisis de diferenciabilidad versus dato inicial del problema homogéneo (1.2).

Nuestro artículo esta organizado como sigue. En la sección 2, indicamos la metodología usada y citamos la referencia usada para los resultados preliminares que se puedan necesitar. En la sección 3, probamos que el problema de Cauchy asociado a la ecuación homogénea (1.2) esta bien colocada. En la sección 4, introducimos una familia de operadores que forma un grupo unitario en H^s_per . En la sección 5, mejoramos el Teorema 3.1. En la sección 6, hacemos el análisis de la diferenciabilidad de la solución versus el dato inicial.

Finalmente, en la sección 7, damos las conclusiones de nuestro estudio.

2. Metodología.

Como marco teórico, usaremos en este trabajo los siguientes tópicos: Teoría de Fourier en espacios de Sobolev periódico, análisis armónico, teoría de grupos y semigrupos de clase Co, y familias fuertemente continuas. Como referencia, en la revisión de algunos resultados previos que usaremos, citamos a Iorio [3], Santiago and Rojas [11] y [12].

Toda esta teoría la usamos en el análisis de existencia y buena colocación del problema de Cauchy asociada a la ecuación (1.2), realizando una serie de cálculos y aproximaciones en el desarrollo de este trabajo.

3. Existencia de solución del problema (Q3).

En esta sección, empezamos probando que existe solución del modelo homogéneo (1.2) en espacios de Sobolev Periódico, usando la teoría de Fourier.

Teorema 3.1. Sea s un número real fijo, α > 0 y el problema homogéneo

entonces (Q3) esta globalmente bien colocado i.e. satisfaciendo la ecuación (Q3), de modo que la aplicación : φ → u, que asigna a cada dato inicial φ la solución u del PVI (Q3), es continua.

Además, la solución u satisface la regularidad:

con

También se obtiene que la aplicación: φ → ∂_tu que asigna a cada dato inicial φ la derivada de la solución u del PVI (Q3): ∂_tu, es continua y satisface:

Demostración:

La prueba lo hacemos del siguiente modo.

1. Primero obtenemos el candidato a solución. Para conseguir ese candidato tomamos la transformada de Fourier a la ecuación.

Así, planteamos un sistema no acoplado de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden

homogéneo

de donde obtenemos el candidato a solución:

2. En segundo lugar, probaremos que:

3. Ahora, probaremos que u(.) es continua en R.

Se observa que lím_t→t’ H(t) = 0. Ahora, necesitamos de la convergencia uniforme de la serie para el intercambio de límites. Para esto, tomamos el k-esimo término de la serie y lo mayoramos por una serie convergente, i.e.

donde hemos usado la desigualdad triangular (propiedad de la norma) y la igualdad |e^iθ| = 1, ∀θ ∈ R.

Así,

y usando el Teorema del M-Test de Weierstrass tenemos que la serie converge uniformemente. Luego esta permitido el intercambio de límite, esto es,

y de ahí concluimos

4. Probaremos que

En efecto,

Usando L’Hospital tenemos que M(h) −→ 0 cuando h → 0.

Ahora, necesitamos la convergencia uniforme de la serie para habilitar el intercambio de límites. Para ello procedemos mayorando el k-ésimo término de la serie. Previamente observamos para h > 0:

y tomando norma tenemos

Considerando h < 0 para el caso t diferente de 0, tenemos

tomando norma y usando que |e^iϑ| = 1, ∀ϑ ∈ R tenemos

Usando las desigualdades (3.6) y (3.7) procedemos a mayorar |M(h)|² como sigue

Esto también es válido para el caso t = 0, donde hemos usado (3.6) para el caso h > 0 y (3.7) para el caso h < 0.

Ahora, pasamos a mayorar el k-ésimo término de la serie, donde usamos la estimativa (3.8)

entonces usando el Teorema M-Test de Weierstrass tenemos que la serie (3.5) converge uniformemente y por lo tanto es posible intercambiar límites y obtener

5. Probaremos la dependencia continua de la solución respecto a los datos iniciales, i.e. sean φ y φe datos próximos en , entonces sus correspondientes soluciones u y ue, respectivamente, también están próximos en el espacio solución. Sea t ∈ R,

Tomando supremo sobre R tenemos

6. Ahora, probaremos la unicidad de solución. La igualdad (3.9) nos permitirá mostrar que la solución es única. En efecto, sea y supongamos que existan u y $\stackrel{-}{u}$ dos soluciones, entonces usando (3.9) tenemos

de donde concluimos que $u=\stackrel{-}{u}$

Así, el problema (Q3) esta bien colocado y su única solución que depende continuamente del dato inicial es

7. Sea r < s entonces y desde que el dato inicial , tenemos que y satisface

De (3.3) y usando (3.10) tenemos que

Es decir,

8. Así, de (3.2) y (3.11) concluimos que para t ∈ R

9. Probaremos que ∂_tu(·) es continua en R. En efecto, sea . ∈ R,

Ahora, necesitamos de la convergencia uniforme de la serie para el intercambio de límites. Para esto, tomamos el k-ésimo término de la serie y lo mayoramos por una serie convergente, i.e.

donde hemos usado la desigualdad triangular (propiedad de la norma) y la igualdad |e^iθ| = 1, ∀θ ∈ R.

Así,

y usando el Teorema del M-Test de Weierstras tenemos que la serie converge uniformemente.

Luego esta permitido el intercambio de límite, esto es,

y de ahí concluimos

Esto es,

10. Probaremos la dependencia continua de ∂_tu respecto a los datos iniciales, i.e sean φ y $\frac{}{\phi }$ próximos en , entonces sus correspondientes derivadas de las soluciones u y $\frac{}{\mathrm{u}}$, esto es ∂_tu y ∂_t $\frac{}{\mathrm{u}}$, respectivamente, también están próximos. Sea t ∈ R,

esto es,

Así,

Tomando supremo sobre R tenemos:

11. Del item anterior tenemos que vale:

En consecuencia tenemos el siguiente resultado.

Corolario 3.1. La única solución de (Q3) es

4. Grupo de Operadores Unitarios en H^s_per

Ahora, introduciremos una familia de operadores que verificaran las condiciones de ser un grupo unitario de clase

Teorema 4.1. Sea s ∈ R y la aplicación

Además, se verifican los siguientes enunciados:

Demostración. Primero observamos que , así T(0) = I.

Afirmamos que T(t) es lineal pues la transformada de Fourier y su inversa son lineales. En efecto, sea entonces

Probaremos que ; i.e. |T(t)| = 1, ∀t ∈ R. En efecto, sea

, análogo a (3.3) obtenemos

Luego,

Ahora, probaremos que T(t + r) = T(t) ◦ T(r), ∀t,r ∈ R. En efecto, sea Tenemos

Afirmamos que

En efecto, cuando r = 0 es evidente que se cumple la afirmación. Así, probaremos el caso r > 0. Para esto, basta observar que

desde que vale (4.4).

Luego, de (4.5) y tomando la transformada inversa de Fourier tenemos:

Así, definimos:

Esto es,

También, tomando la transformada de Fourier a g obtenemos:

Usando (4.7) en (4.3) y de (4.6) tenemos

Así

Si t= 0 o r= 0, entonces la igualdad de (4.8) también es verdad, con esto concluimos con la prueba de

Ahora, probaremos que el operador T(t) es unitario ∀t∈ R.

De la identidad (4.2) tenemos que T(t) es isométrico para todo t ∈ R.

De (4.9) tenemos

Obviamente se observa que (4.10) implica la sobreyectividad de T(t) y que (4.11) implica la inyectividad de T(t). Por lo tanto, T(t) es biyectivo y

Siendo T(t) isométrico y sobreyectivo obtenemos que T(t) es unitario ∀t ∈ R (i.e. T(t)∗ ◦ T(t) = T(t) ◦ T(t)∗ = I). Además, de (4.12) tenemos T(t)∗ = T(−t), ∀t ∈ R. Ahora probaremos la continuidad de t → T(t)φ, esto es

En efecto, usando el item 3 de la prueba del teorema anterior, tenemos

Observamos que lím._→0 H(t + h) = 0.

Ahora, necesitamos de la convergencia uniforme de la serie para el intercambio de límites. Para eso, tomamos el k-ésimo término de la serie y lo mayoramos por una serie convergente, i.e.

donde hemos usado la desigualdad triangular (propiedad de la norma) y la igualdad |e^iθ| = 1, ∀θ ∈ R.

Así,

y usando el Teorema del M-Test de Weierstrass tenemos que la serie en (4.15) converge uniformemente. Luego esta permitido el intercambio de límite, esto es

Observación 4.3. Con la observación 4.1 tendríamos que {T(t)}t∈R es un grupo de clase C0. Así, por la observación (4.2) se tendría (4.13). Por lo tanto, {T(t)}t∈R es un grupo unitario de clase . Sean ϕ1 y ϕ2 datos próximos en , entonces probaremos que sus correspondientes T(·)ϕ1 y T(·)ϕ2, respectivamente, también están próximos. Como {T(t)}t∈R es unitario, para t ∈ R tenemos

5. Versión del Teorema 3.1 usando {T(t)}t∈R.

A seguir enunciamos el Teorema 3.1 en función del grupo {T(t)}t∈R.

Teorema 5.1. Sea s ∈ R y {T(t)}t∈R el grupo unitario de clase C. del Teorema 4.1 entonces T(·)φ es la única solución de

en el sentido que

Demostración.

La prueba de (5.1) es análoga al del item 4 de la prueba del Teorema 3.1. Y la prueba del resto del enunciado también se sigue como la prueba del Teorema 3.1 y como consecuencia del Teorema 4.1.

6. Análisis de la diferenciabilidad versus datos iniciales.

Con la finalidad de enriquecer nuestro estudio, buscaremos el espacio infinito dimensional donde ocurre la diferenciabilidad y su conexión con el dato inicial.

Teorema 6.1. Sea s ∈ R,

Recuerde obtenemos

Usando L’Hospital tenemos que M(h) → 0 cuando h → 0. Ahora, necesitamos la convergencia uniforme de la serie para habilitar el intercambio de límites. Para ello procederemos mayorando el k-ésimo término de la serie. Para h > 0 tenemos

Luego

Usando la desigualdad (6.2) procedemos a mayorar |M(h)|² como sigue

Pasamos a mayorar el k-ésimo término de la serie, donde usamos la estimativa (6.3)

y como |φ|²_s< ∞ entonces la serie es convergente.

Así, usando el Teorema M-Test de Weierstrass tenemos que la serie converge uniformemente y por lo tanto es posible intercambiar los límites y obtener:

Así, se cumple el siguiente resultado, para t = 0.

Corolario 6.1. Sea s ∈ R

si y solamente si . Ahora, en términos del grupo unitario {T(t)}t∈R, obtenemos los dos siguientes resultados cuyas pruebas son análogas a las pruebas del teorema 6.1 y corolario 6.1 respectivamente.

Teorema 6.2. Sea s ∈ R,

si y solamente si .

También se cumple el siguiente resultado.

Corolario 6.2. Sea s ∈ R

si y solamente si .

7. Conclusiones.

En nuestro estudio de la ecuación tipo Schrödinger en espacios de Sobolev periódico hemos obtenido importantes resultados, entre los cuales destacamos:

1. Usando la teoría de Fourier, demostramos la existencia y unicidad de solución del modelo (Q3), así como la dependencia continua de la solución respecto al dato inicial.

2. Probamos la regularidad de la solución de (Q3).

3. Introduciendo una familia de operadores, la cual forma un C0-Grupo unitario, reescribimos la solución del problema (Q3), obteniendo resultados más elegantes.

4. En el análisis de diferenciabilidad de la solución versus el dato inicial obtenemos resultados como el saber en que espacio existe la derivada ∂_tu(t) = i∂_x2u(t) − iαu(t) y que esto depende mucho del espacio donde se tome el dato inicial.

5. Además, teóricamente hemos conseguido una familia de operadores que forman un Co-Grupo unitario.

Referencias

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[2] Cazenave T. An introduction to nonlinear Schrödinger equations. Third Edition. Rio de Janeiro: IM-UFRJ; 1996.

[3] Iorio R, Iorio V. Fourier Analysis and partial Differential Equations. Cambridge University; 2001.

[4] Liu Z, Zheng S. Semigroups associated with dissipative system. Chapman Hall/CRC; 1999.

[5] Moore W. Schrödinger - Life and Thought. Cambridge University Press; 1989.

[6] Muñoz Rivera J. Semigrupos e equações Diferenciais Parciais. Petropolis-LNCC; 2007.

[7] Pazy A. Semigroups of linear operator and applications to partial differential equations. Applied Mathematical Sciences. 44 Springer Verlag. Berlín; 1983.

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[10] Santiago Ayala Y. Tópicos de Análisis Funcional. Fundamentos y Aplicaciones. Alemania. Editorial Académica Española; 2014.

[11] Santiago Y, Rojas S. Regularity and wellposedness of a problem to one parameter and its behavior at the limit. Bulletin of the Allahabad Mathematical Society. 2017; 32(02):207-230.

[12] Santiago Y, Rojas S. Existencia y regularidad de solución de la ecuación del calor en espacios de Sobolev Periódico. Selecciones Matemáticas. 2019; 06(01):49-65.

[13] Santiago Y, Rojas S. Existencia y regularidad de solución de la ecuación de Schrödinger no homogénea en espacios de Sobolev Periódico. Selecciones Matemáticas. 2021; 08(01):37-51.

[14] Schrödinger E. An Undulatory Theory of the Mechanics of Atoms and Molecules. Phys. Rev. 1926; 28:10-49.

[15] Sulem C, Sulem P. The nonlinear Schrödinger equation: self-focusing and wave collapse. Springer Verlag New York; 1999.

[16] Terence T. Nonlinear dispersive equations: Local and Global analysis. Regional conference series in mathematics, No. 106. American Mathematical Society; 2006.

Información adicional

How to cite this article: Candia E. V, Santiago A Y. Existence of the Solution of a Schrödinger type Homogeneous Model in Periodic Sobolev Spaces. Selecciones Matemáticas. 2022;9(2):357–369. http://dx.doi.org/10.17268/sel.mat.2022.02.11