1. Introducción

En 2010, G.Carboni, J.A.Guccione y J.J.Guccione, han obtenido en [1] un complejo mixto, más simple que el canónico que da homología de Hochschild, cíclica, negativa y periódica de un producto cruzado $E=A{\#}_{f}H$, donde H es una álgebra de Hopf arbitraria y f es un cociclo invertible por convolución con valores en una K−álgebraA. Según [1, página 849], la homología de Hochschild de E es la homología de $E\otimes {}_{E^e}(X_{\ast },d_{\ast })$, donde $(X_{\ast },d_{\ast })$ es una resolución proyectiva relativa de E.

Los bifuntores $Tor$ y $\overline{Tor}$ se introdujeron en [2, III.8]. Se desea mostrar que la técnica utilizada para demostrar que los bifuntores $Ex{t}^n$ y ${\overline{Ext}}^n$ son naturalmente equivalentes (ver [2, IV.8]), es aplicable a los correspondientes bifuntores $Tor$ para demostrar su equivalencia natural.

En la sección [2, IV.11] se describió brevemente el bifuntor $To{r}_n^{\Lambda }(-,-)$ para $n=0,1,\cdots$, y se mencionó que $To{r}_n^{\Lambda }$ es balanceado. Dado $\gamma :\Lambda \to \Lambda \text{'}$ un morfismo de anillos unitarios y C un Λ’-módulo derecho. En la sección [2, IX.4] se introdujo el símbolo $To{r}_n^{\gamma }(C,-)$ para denotar los funtores derivados izquierdos del funtor $C{\otimes }_{{\Lambda }^{\text{'}}}(-):m_{\Lambda \text{'}}\to \mathfrak{A}b$.

En el artículo [3, § 2] fueron tratados los funtores relativos Tor y Ext como análogos a los funtores “Tor” y “Ext” de Cartan-Eilenberg [4], a partir de un subanillo S de un anillo R utilizando resoluciones (R, S)-proyectivas (o inyectivas) de R-módulos.

El propósito de este artículo es establecer las propiedades de homologías de Hochschild de productos cruzados de Hopf a partir de las nociones del funtor derivado relativo Tor. Se establecen como resultados principales Teorema 4.1, Teorema 4.2, Teorema 5.1 y Teorema 5.2. La presentación de este trabajo se hace en cinco secciones.

En la segunda sección, usando clase proyectiva de epimorfismos se aborda los funtores derivados relativos izquierdos de un funtor aditivo, y el lema de herradura.

En la tercera sección, usando los Λ-módulos derechos proyectivos y los Λ-módulos izquierdos proyectivos se desarrolla la equivalencia natural de los bifuntores $To{r}_n^{\Lambda }$ y ${\overline{Tor}}_n^{\Lambda }$.

En la cuarta sección, dado un morfismo de anillos unitarios γ: R→S se adapta una teoría relativa para la equivalencia natural de los bifuntores relativos $To{r}_n^{\gamma }$ y ${\overline{Tor}}_n^{\gamma }$.

Algunas características de Tor relativo desarrolladas en [3] son reproducidas utilizando como herramienta principal la existencia de una clase proyectiva de epimorfismos en la categoría abeliana de S-módulos (Teorema 4.1) puesto que a un subanillo R de un anillo S se le puede asociar un morfismo de anillos unitarios γ: R→S tal que $1\mapsto 1$.

En la quinta sección, se determinan propiedades de homología de Hochschild de productos cruzados.

2. Clase Proyectiva de Epimorfismos

Para abordar la relativización de la equivalencia natural necesitaremos algunas nociones de funtores derivados relativos izquierdos de un funtor aditivo de una categoría abeliana dotada de una clase proyectiva en una categoría abeliana.

Las ideas de las demostraciones del teorema, de la proposición y del lema de esta sección se puede encontrar en [5].

FuntoresDerivados Izquierdos. Sean $\mathfrak{A}$ una categoría abeliana y una clase de epimorfismos en $\mathfrak{A}$.

Teorema 2.1. [2, T IX. 1.3] Sean y dos complejos de cadenas en$\mathfrak{A}$. Si esproyectivo y esacíclico, entonces cada morfismo induce un morfismo de complejos de cadenas . Además, dos morfismos de complejos de cadenas inducidos por α son homotópicos.

Definición 2.1. Una clase cerrada de epimorfismos de $\mathfrak{A}$ es proyectiva si para cada objeto A de $\mathfrak{A}$ existe un epimorfismo ε: P→A en , donde P es proyectivo.

Proposición 2.1. Si es una clase proyectiva, entonces cada objeto de $\mathfrak{A}$ posee una resolución proyectiva.

Definición 2.2. Sea un funtor covariante aditivo entre categorías abelianas, donde es una clase proyectiva en$\mathfrak{A}$. Dado A ∈, sea P una resolución proyectiva de $\mathfrak{A}$ y

un complejo de cadenas sobre $\mathfrak{B}$. Se define

Definición 2.3. Dado y P’ una resolución proyectiva de A’, se define la aplicación por , donde $\phi$ : P→P’ es un morfismo de complejos de cadenas inducido por α .

El teorema 2.1 garantiza que están bien dadas las dos definiciones anteriores. Así, queda definido el n-ésimo funtor derivado izquierdo de T denotado por para n=0, 1, ^... .

La herramienta para obtener una sucesión exacta larga que involucra los funtores derivados izquierdos es el resultado siguiente.

Lema 2.1 (Lema de Herradura). Sea una clase proyectiva en una categoría abeliana $\mathfrak{A}$ y 0→A’→A→A’’ →0 una sucesión exacta corta en$\mathfrak{A}$.

Si y son resoluciones proyectivas de A’ y A’’, respectivamente; entonces existe una resolución proyectiva P de A tal que P’↣P↠P’’ es una sucesión exacta corta de complejos de cadenas donde P=P’⊕P’’ y tal que el diagrama siguiente es conmutativo

Proposición 2.2. Sea un funtor covariante aditivo entre categorías abelianas, donde es una clase proyectiva en $\mathfrak{A}$, entonces para n = 0,1,2,^... es un funtor covariante aditivo.

Demostración: Primero probemos que es un funtor covariante.

Dado un objeto A en, se obtiene un objeto en$\mathfrak{B}$.

Dado un morfismo α : A→A’ en , se obtiene un morfismo en $\mathfrak{B}$ tal que .

Claramente satisface los dos axiomas de funtores:

FUN1. para todo A ∈ .

FUN 2. para todo los morfismos α: A→A’ y β: A’→A’’ en .

Finalmente probemos que el funtor es aditivo verificando la igualdad para A y B objetos de .

Por [2, P IX. 1.2] se sabe que 0→A→A⊕B→B→0 es una sucesión exacta corta en $\mathfrak{A}$. Aplicando Proposición 2.1 y Lema 2.1 se obtiene una resolución proyectiva P de A⊕B tal que P=P’⊕P’’.

Como el funtor T es aditivo TP_n=TP’_n⊕TP’’_n para n≥0, modo que TP=TP’⊕TP’’.

Puesto que el n-ésimo funtor de Homología H_n es aditivo, se sigue que

3. Equivalencia Natural de Bifuntores

En esta sección, teniendo en cuenta [6, Corolario 1] se omite la demostración de algunas proposiciones ya que en la sección siguiente aparece ideas de la demostración o las demostraciones correspondientes usando la estructura homológica llamada clase proyectiva de epimorfismos en una categoría abeliana.

3.1. Los Bifuntores Tor^Λ_n

Usando los Λ-módulos derechos proyectivos es posible mostrar la existencia de los bifuntores $To{r}_n^{\Lambda }(-,-):m_{\Lambda }^r\times m_{\Lambda }^l\to \mathfrak{A}b$ para n = 1,2,...; que son covariantes en la primera variable y covariantes en la segunda variable (ver [2, IV.11]).

Proposición 3.1. Si B es un Λ-módulo izquierdo, entonces $(-){\oplus }_{\Lambda }B:m_{\Lambda }^r\to \mathfrak{A}b$ es un funtor covariante aditivo.

Proposición 3.2. Sea B un Λ-módulo izquierdo, entonces el funtor $(-){\oplus }_{\Lambda }B:m_{\Lambda }^r\to \mathfrak{A}b$ es exacto derecho.

Demostración: Sea una sucesión exacta de Λ-módulos derechos, entonces debemos probar que

es una sucesión exacta.

La sucesión (3.1) es exacta en A’’ ⊗_Λ B; es decir, g_∗ es sobreyectiva.

La sucesión (3.1) es exacta en A ⊗_Λ B; es decir, Im(f_∗) = Ker(g_∗) .

El hecho que g_∗f_∗ = (gf)_∗ = 0 implica que Im(f_∗) ⊆ Ker(g_∗).

Ahora, podemos definir los funtores derivados izquierdos de (−) ⊗_Λ B.

Definición 3.1. El funtor $To{r}_n^{\Lambda }(-,B):m_{\Lambda }^r\to \mathfrak{A}b$ se define como

Esto significa que el grupo abeliano $To{r}_n^{\Lambda }(A,B)$ es calculado eligiendo una resolución proyectiva P de A y tomando la n-ésima homología del complejo de cadenas P⊗_ΛB.

Proposición 3.3. Si P es un Λ-módulo derecho proyectivo y Q es un Λ−módulo izquierdo proyectivo, entonces $To{r}_n^{\Lambda }(P,B)=0=To{r}_n^{\Lambda }(A,Q)$ para n=1, 2, ..

Dado A un ∆-módulo derecho y B’↣B↠B’’ una sucesión exacta corta de Λ-módulos izquierdos, obtenemos la Tor-sucesión exacta larga en la segunda variable

Dada una sucesión exacta corta de complejos de cadenas de Λ-módulos. La definición de ω_n : H_n(C) → H_n−1(A) se puede hacer explícitamente, como sigue:

Sea [c] ∈ H_n(C), luego c ∈ Z_n(C) = Ker∂ ⊆ Cn

Como ψ es sobreyectiva, ψ(b) = c para algún b ∈ Bn.

Del hecho que c ∈ Ker∂ se tiene ψ∂b = ∂ψ(b) = ∂c = 0, así ∂b ∈ Kerψ = Im$\phi$ y $\phi$a = ∂b para algún a ∈ A_n−1. Aplicando el operador ∂ a esta igualdad:

Luego $\phi$(∂a) = 0, siendo $\phi$ monomorfismo ∂a = 0. Esto significa que a ∈ Z_n−1(A) y por lo tanto determina [a] ∈ H_n−1(A), de manera que ωn es definido por ω_n[c] = [a].

Proposición 3.4. Si damos un diagrama conmutativo de complejos de cadenas de Λ-módulos con filas sucesiones exactas cortas

entonces el diagrama de homologías

es conmutativo.

Demostración: Como el n-ésimo funtor de homología H_n(−) es covariante, basta verificar que el diagrama

conmuta.

Sea [c] ∈ H_n(C), entonces ω_n[c] = [a], donde a ∈ Ker∂_n−1, $\phi$ _n−1a = ∂_nb y ψ_nb = c.

Por otro lado, γ_∗[c]∈ H_n(C’) y ω’_n γ_∗[c]= ω’[γ_nc].

Utilizando los diagramas conmutativos siguientes

se obtiene que γ_nc= ψ’_n(β_nb), β_n-1 $\phi$ _n-1a= $\phi$’_n-1α_n-1a. Pero $\phi$ _n−1a = ∂_nb, luego β_n-1 $\phi$ _n-1a= β_n-1∂_nb= ∂’_nβ_nb. Así, $\phi$’_n-1(α_n-1a)= ∂’_n(β_nb). Puesto que α_n-1a ∈ Ker∂’_n-1, por definición ω’_n[γ_nc]= [α_n-1a]; de modo que ω’_n γ_∗[c]= [α_n-1a]. Por lo tanto α_∗ω_n= ω’_n γ_∗.

La sucesión (3.2) es natural con respecto a la primera variable y a la sucesión exacta corta en la segunda variable.

Proposición 3.5. Sea α : A → A’ un morfismo de Λ-módulos derechos y sea

un diagrama conmutativo de Λ-módulos izquierdos con filas sucesiones exactas cortas. Entonces los diagramas siguientes son conmutativos:

La prueba de la proposición siguiente proviene de [2, P IV.5.5].

Proposición 3.6. Sea

una resolución proyectiva de un Λ-módulo derecho A, entonces la sucesión

Sean y categorías. Sea F: ×→$\mathfrak{D}$un funtor de la categoría producto × en la categoría $\mathfrak{D}$. Entonces F se llama bifuntor.

Proposiciòn 3.7. Sea F:$\times$ →$\mathfrak{D}$; dado C₁ $\in$ ||, F determina un funtor $F_{C_1}$: $\to \mathfrak{D}$; dado C₂ $\in$ ||, F determina un funtor $F_{C_2}$ :→$\mathfrak{D}$. Si $\phi$ ₁: C₁→C’₁, $\phi$ ₂: C₂→C’₂ son morfismo, entonces el diagrama siguiente conmuta

Demostración:

Puesto que F es un bifuntor, se definen $F_{C_1}\left(C_2\right)=F(C_1,C_2)$, $F_{C_2}\left(C_1\right)=F(C_1,C_2)$, $F_{C_1}\left({\phi }_2\right)=F(1_{C_1},{\phi }_2)$ y $F_{C_2}\left({\phi }_1\right)=F({\phi }_1,1_{C_2})$. Entonces $F_{C_1}$ y $F_{C_2}$ son funtores determinados por F

El diagrama (3.7) conmuta pues $F_{C_1^{\text{'}}}\left({\phi }_2\right)F_{C_2}\left({\phi }_1\right)=F({\phi }_1,{\phi }_2)=F_{C_2^{\text{'}}}\left(\phi 1\right)F_{C_1}\left({\phi }_2\right)$.

Proposición 3.8. Si $F_{C_1}$: →$\mathfrak{D}$, $F_{C_2}$: →$\mathfrak{D}$ son funtores cuyos subíndices son objetos de las categorías , , respectivamente, tales que $F(C_1,C_2)=F_{C_1}\left(C_2\right)=F_{C_2}\left(C_1\right)$ y el diagrama (3.7) conmuta, entonces estas familias de funtores “determinan el bifuntor” (ver [2, E II.2.7]) G: ×→$\mathfrak{D}$ tal que $G_{C_1}\left(C_2\right)=F_{C_1}\left(C_2\right)$ y $G_{C_2}\left(C_1\right)=F_{C_2}\left(C_1\right)$.

Proposición 3.9. $To{r}_n^{\Lambda }(-,-):m_{\Lambda }^r\times m_{\Lambda }^l\to \mathfrak{A}b$ es un bifuntor para n = 1,2,....

Demostración: Se deja al lector.

3.2. Los Bifuntores Tor_n^Λ

Usando los Λ-módulos izquierdos proyectivos es posible mostrar la existencia de los bifuntores ${\overline{Tor}}_n^{\Lambda }(-,-):m_{\Lambda }^r\times m_{\Lambda }^l\to \mathfrak{A}b$ para . n= 1,2,...; que son covariantes en la primera variable y covariantes en la segunda variable.

Proposición 3.10. Si A es un Λ-módulo derecho, entonces $A{\otimes }_{\Lambda }(-):m_{\Lambda }^l\to \mathfrak{A}b$ es un funtor covariante aditivo.

Proposición 3.11. Sea A un Λ-módulo derecho, entonces el funtor $A{\otimes }_{\Lambda }(-):m_{\Lambda }^l\to \mathfrak{A}b$ es exacto derecho.

Ahora, podemos definir los funtores derivados izquierdos de A ⊗_Λ (−).

Definición 3.2. El funtor ${\overline{Tor}}_n^{\Lambda }(A,-):m_{\Lambda }^l\to \mathfrak{A}b$ se define como

Esto significa que el grupo abeliano ${\overline{Tor}}_n^{\Lambda }(A,B)$ es calculado eligiendo una resolución proyectiva Q de B y tomando la n-ésima homología del complejo de cadenas A⊗_ΛQ.

Proposición 3.12. Si P es un Λ-módulo derecho proyectivo y Q es un Λ-módulo izquierdo proyectivo, entonces ${\overline{Tor}}_n^{\Lambda }(A,Q)=0={\overline{Tor}}_n^{\Lambda }(P,B)$, para n = 1,2, ^....

Dado A un Λ-módulo derecho y B’↣B↠B’’ una sucesión exacta corta de Λ-módulos izquierdos, obtenemos la $\overline{Tor}$-sucesión exacta larga en la segunda variable

Proposición 3.13. Sea α: A→A’ un morfismo de Λ-módulos derechos y sea (3.4) un diagrama conmutativo de Λ-modulos izquierdos con filas sucesiones exactas cortas. Entonces los diagramas siguientes son conmutativos:

Proposición 3.14. ${\overline{Tor}}_n^{\Lambda }(-,-):m_{\Lambda }^r\times m_{\Lambda }^l\to \mathfrak{A}b$ es un bifuntor para n = 1,2,....

Demostración: Se realiza como en Proposición 4.14.

Proposición 3.15. $(-){\otimes }_{\Lambda }(-):m_{\Lambda }^r\times m_{\Lambda }^l\to \mathfrak{A}b$ es un bifuntor.

Demostración: Probaremos esta proposición con los cuatro siguientes ítems i), ii),iii) y iv) :

i) Sea $F_A:m_{\Lambda }^l\to \mathfrak{A}b$ dado por F_A = A⊗_Λ(−), entonces por Proposición 3.10 FA es un funtor covariante tal que F_A(B) = A ⊗_ΛB.

ii) Sea $F_B:m_{\Lambda }^r\to \mathfrak{A}b$ dado por F_B = (−)⊗_ΛB, entonces por Proposición 3.1 FB es un funtor covariante tal que F_B(A) = A ⊗_ΛB.

iii) Por i) y ii) resulta que F_A(B) = F_B(A).

Consideremos $\phi$ ₁=α, $\phi$ ₂=β, C₁=A, C’₁=A’, C₂=B, C’₂=B’, =$m_{\Lambda }^r$ y =$m_{\Lambda }^l$ y para obtener el diagrama (3.7)

iv) Claramente este diagrama conmuta.

Análogamente a la demostración del teorema 4.2; usando las proposiciones 3.3 y 3.12, la conmutatividad de los diagramas (3.5), (3.6), (3.9) y (3.10) se puede demostrar el teorema siguiente.

Teorema 3.1. Los bifuntores $To{r}_n^{\Lambda }(-,-)$ y ${\overline{Tor}}_n^{\Lambda }(-,-)$: $m_{\Lambda }^r\times m_{\Lambda }^l\to \mathfrak{A}b$; n = 0,1,2,... son naturalmente equivalentes.

4. Relativización de la Equivalencia Natural

Dado un morfismo de anillos unitarios γ: R → S, entonces el funtor de cambio de anillos es $U=U^{\gamma }:m_S^l\to m_R^l$.

Abreviando la palabra epimorfismo escribiremos simplemente epi.

Teorema 4.1. [2, E IX.1.5] Sea ={ϵ’: B→C epi en $m_S^l$ | U_ε' : UB → UC se descompone en $m_R^l$}, entonces es una clase proyectiva.

Demostración: Sea $\mathfrak{A}\text{'}=m_S^l$, $\mathfrak{A}=m_R^l$ y la clase proyectiva de epimorfismos de R-módulos izquierdos que se descomponen. Puesto que el funtor U es fiel, tiene adjunto izquierdo y preserva epimorfismos, por [2, T IX.4.1] deducimos que = U^-1() es una clase proyectiva.

Sean Rop, Sop anillos opuestos de los anillos R y S, respectivamente. El morfismo inducido de anillos unitarios $\overline{\gamma }$: R^op → S^op tal que $\overline{\gamma }\left(r\right)=\gamma \left(r\right)$, da origen al funtor de cambio de anillos $\overline{U}=U^{\overline{\gamma }}:m_{S^{op}}^l\to m_{R^{op}}^l$.

Sea ={ϵ’: B→C epi en $m_{S^{op}}^l$ | $\overline{U}$ϵ’: $\overline{U}$B → $\overline{U}$C se descompone en $m_{R^{op}}^l$}, entonces por el teorema anterior es una clase proyectiva.

Así, es una clase proyectiva de epimorfismos de S-módulos izquierdos que se descomponen como morfismos de R-módulos izquierdos, y es una clase proyectiva de epimorfismos de S-módulos derechos que se descomponen como morfismos de R-módulos derechos.

Para simplificar la notación, en lugar de y escribiremos y respectivamente.

El objetivo en esta sección es demostrar que los bifuntores $To{r}_n^{\gamma }n(-,-)$ y ${\overline{Tor}}_n^{\gamma }(-,-)$: ($m_S^r$,) x ($m_S^l$,) → $\mathfrak{A}$b; n=0, 1, 2, ^… son naturalmente equivalentes.

Sea ψ_n: $To{r}_n^{\gamma }(-,-)\to {\overline{Tor}}_n^{\gamma }(-,-)$, dado un objeto (A,B) ∈ $|m_S^r\times m_S^l|$| debemos obtener un morfismo ψ_n^A,B: $To{r}_n^{\gamma }(A,B)\to {\overline{Tor}}_n^{\gamma }(A,B)$ en $\mathfrak{A}$b; dado un morfismo (α,β) en $m_S^r\times m_S^l$, donde α : A → A’, β : B → B’, debemos verificar que el diagrama siguiente

conmuta en $\mathfrak{A}$b, cuyas filas son isomorfismos (ver [2, II.4]).

4.1. Los Bifuntores Tor_n^γ

Usando los S-módulos derechos -proyectivos se garantiza la existencia de los bifuntores $To{r}_n^{\gamma }(-,-):m_S^r\times m_S^l\to \mathfrak{A}b$ para n = 1,2,^...; que son covariantes en la primera variable y covariantes en la segunda variable (ver [2, IX.4]).

Proposición 4.1. Si B es un S-módulo izquierdo, entonces (−) ⊗_S B : mrS → Ab es un funtor covariante aditivo.

Proposición 4.2. Sea B un S-módulo izquierdo, entonces el funtor (−)⊗S B : $m_S^r\to \mathfrak{A}b$ es -exacto derecho.

Demostración: Se realiza como en Proposición 4.9.

Puesto que (−) ⊗_S B es un funtor covariante aditivo entre categorías abelianas cuyo dominio esta dotado de una clase proyectiva , podemos definir los funtores -derivados izquierdos de (−) ⊗_S B

Definición 4.1. El funtor $To{r}_n^{\gamma }(-,B):m_S^r\to \mathfrak{A}b$ se define como

Esto significa que el grupo abeliano $To{r}_n^{\gamma }(A,B)$ es calculado eligiendo una resolución -proyectiva P de A y tomando la n-ésima homología del complejo de cadenas P ⊗_S B.

En general,

donde ∂_n∗ = ∂_n ⊗_S B.

Definición 4.2. Un S-módulo izquierdo Q es -plano si el funtor (−) ⊗_S Q es -exacto.

Proposición 4.3. Si Q es un S-módulo izquierdo-proyectivo, entonces $To{r}_n^{\gamma }(A,Q)=0$ para n = 1,2,^....

Dados un S-módulo derecho A y una sucesión -exacta corta de S-módulos izquierdos B’ ↣ B ↠ B’’. Sea P un S-módulo derecho -proyectivo, por un resultado análogo a [2, P III.7.4] P es un S-módulo -Plano. Así, por la Definición 4.4 la sucesión P⊗_SB’ ↣ P⊗_SB ↠ P⊗_SB’’ es una sucesión exacta corta de grupos abelianos. Para cada S-módulo izquierdo B, el funtor (−) ⊗_S B : $m_S^r\to \mathfrak{A}b$ es covariante y aditivo.

Las sucesiones de funtores aditivos y transformaciones naturales (−) ⊗_S B’ → (−) ⊗_S B → (−) ⊗_S B’’ es exacta sobre -proyectivos. Si P es una resolución -proyectiva de A, entonces P⊗_SB’ ↣ P⊗_SB ↠ P⊗_SB’’ es una sucesión exacta corta de complejos de cadenas. Aplicando [2, T IV.2.1] obtenemos la Tor-sucesión exacta larga en la segunda variable

Esta sucesión es natural con respecto a la primera variable y a la sucesión exacta corta en la segunda variable.

Proposición 4.4. Sea α: A → A’ un morfismo de S-módulos derechos y sea

un diagrama conmutativo de S-módulos izquierdos con filas -exactas cortas. Entonces los diagramas siguientes son conmutativos:

Demostración: Se realiza como en Proposición 4.12.

Dado B un S-módulo izquierdo y A’ ↣ A ↠ A’’ una sucesión -exacta corta de S-módulos derechos. Por el Lema 2.1 podemos considerar P’, P y P’’ como resoluciones -proyectivas de A’, A y A’’, respectivamente, donde P = P’ ⊕ P’’ tales que P’ ↣ P ↠ P’’ es una sucesión -exacta corta de complejos de cadenas. Del hecho que el funtor (−) ⊗_S B es aditivo y covariante, sabemos que P’⊗_SB ↣ P⊗_SB ↠ P’’⊗_SB es una sucesión exacta corta de complejos de cadenas. Aplicando [2, T IV.2.1] obtenemos la Tor-sucesión exacta larga en la primera variable

Esta sucesión es natural con respecto a la segunda variable y a la sucesión exacta corta en la primera variable.

Proposición 4.5. Sea β: B → B’ un morfismo de S-módulos izquierdos y sea (4.4) un diagrama conmutativo de S-módulos derechos con filas sucesiones -exactas cortas. Entonces los diagramas siguientes son conmutativos:

Demostración: Se realiza como en Proposición 4.11.

La prueba de la proposición siguiente se deja al lector,

Proposición 4.6. Sea

una resolución -proyectiva de un S-módulo derecho A, entonces la sucesión

es exacta para n ≥ 1.

Proposición 4.7. $To{r}_n^{\gamma }(-,-):m_S^r\times m_S^l\to \mathfrak{A}b$ es un bifuntor para n = 1,2,....

Demostración: Se realiza como en Proposición 4.14.

4.2. Los Bifuntores Tor_n^γ.

Usando los S-módulos izquierdos -proyectivos se garantiza la existencia de los bifuntores $To{r}_n^{\gamma }(-,-):m_S^r\times m_S^l\to \mathfrak{A}b$ para n = 1,2,...; que son covariantes en la primera variable y covariantes en la segunda variable.

Proposición 4.8. Si A es un S-módulo derecho, entonces $A{\otimes }_S(-):m_S^l\to \mathfrak{A}b$ es un funtor covariante aditivo.

La proposición siguiente es una versión relativa de la parte (ii) de [2, P III.7.3].

Proposición 4.9. Sea A un S-módulo derecho, entonces el funtor $A{\otimes }_S(-):m_S^l\to \mathfrak{A}b$ es -exacto derecho.

Demostración: Sea $B\text{'}\stackrel{f}{\to }B\stackrel{g}{\to }B\text{'}\text{'}\stackrel{}{\to }0$ una sucesión -exacta de S-módulos izquierdos, entonces debemos probar que

es una sucesión exacta.

En efecto, el funtor $A{\otimes }_S(-):m_S^l\to \mathfrak{A}b$ es adjunto izquierdo del funtor HomZ(A,−): $\mathfrak{A}b\to m_S^l$ (ver [2, P III.7.2]). Puesto que g ∈ , g es un epimorfismo de la categoría abeliana $m_S^l$.

Pero A ⊗_S (−) tiene adjunto derecho, luego g_∗ = A ⊗_S g es un epimorfismo en $\mathfrak{A}b$. Si k = ker(g), coker(k) = coker(ker(g)) = g. Como A⊗_S (−) tiene adjunto derecho, el morfismo A⊗_S g es el conúcleo k_∗ = A⊗_Sk. Esto equivale a que la sucesión A ⊗_SKer(g) $\stackrel{k_{*}}{\to }$ A ⊗_S B $\stackrel{g_{*}}{\to }$ A ⊗_S B’’ → 0 es exacta en $\mathfrak{A}b$.

Supongamos que en la categoría abeliana $m_S^l$, f = µε donde ε ∈ . Aplicando el funtor A ⊗_S (−) obtenemos que A ⊗_S f = (A ⊗_S µ)(A ⊗_S ε) donde A ⊗_S ε es un epimorfismo. Como Im(f) = Ker(g), µ = k; de modo que Im(f_∗) = Im(A ⊗_Sf) = Im(A ⊗_Sk) = Ker(g_∗). Por lo tanto, la sucesión

es exacta.

Puesto que A ⊗_S (−) es un funtor covariante aditivo entre categorías abelianas cuyo dominio está dotado de una clase proyectiva , podemos definir los funtores -derivados izquierdos de A ⊗S (−).

Definición 4.3. El funtor $To{r}_n^{\gamma }$(A,−) : ($m_S^l$,) → $\mathfrak{A}b$ se define como

Esto significa que el grupo abeliano $To{r}_n^{\gamma }$(A, B) es calculado eligiendo una resolución -proyectiva Q de B y tomando la n-ésima homología del complejo de cadenas A ⊗_S Q. Sea $Q:\cdots \stackrel{}{\to }{Q}_{n+1}\stackrel{{\partial }_{n+1}}{\to }{Q}_n\stackrel{{\partial }_n}{\to }{Q}_{n-1}\stackrel{}{\to }\cdots \stackrel{}{\to }{Q}_0\stackrel{}{\to }0$, entonces $A{\otimes }_{S}Q:\cdots \stackrel{}{\to }A{\otimes }_S{Q}_{n+1}\stackrel{{\partial }_{n+1}}{\to }A{\otimes }_S{Q}_n\stackrel{{\partial }_n}{\to }A{\otimes }_S{Q}_{n-1}\stackrel{}{\to }\cdots \stackrel{}{\to }A{\otimes }_S{Q}_0\stackrel{}{\to }0$ es un complejo de cadenas.

Puesto que el funtor A ⊗S (−) es-exacto derecho y Q₁ → Q₀ → B → 0 es una sucesión - exacta, se sigue que A ⊗_S Q₁ → A ⊗_S Q₀ → A ⊗_S B → 0 es una sucesión exacta.

Entonces ${\overline{Tor}}_0^{\gamma }$(A, B)= A ⊗_SB.

Consideremos las presentaciones -proyectivas de B; de K₁; de K₂. Puesto que A ⊗_S (−) es -exacto derecho, vemos que , y son sucesiones exactas, donde ∂_1∗ = µ_1∗ε_1∗ y ∂_2∗ = µ_2∗ε_2∗.

En general,

donde ∂_n∗ = A ⊗_S ∂_n.

Definición 4.4. Un S-módulo derecho P es -plano si el funtor P ⊗_S (−) es -exacto.

Proposición 4.10. Si Q es un S-módulo izquierdo -proyectivo, entonces

Demostración: Puesto que $Q:\cdots \stackrel{}{\to }{Q}_1=0\stackrel{{\partial }_1}{\to }{Q}_0\stackrel{{\partial }_0}{\to }0$ donde Q₀ = Q, es una resolución -proyectiva de Q, por (4.11) para n ≥ 1 y B = Q se sigue qué ${\overline{Tor}}_n^{\gamma }(A,Q)=\frac{Ker{\partial }_{n_{*}}}{Im{{\partial }_{n+1}}_{*}}=0$.

Sea A un S-módulo derecho y f: M → M' un morfismo de S-módulos izquierdos. Sean R y R' resoluciones -proyectivas de M y M', respectivamente. Por el teorema 2.1, existe una aplicación de cadenas f: R → R'. Puesto que A ⊗_S (−) es un funtor covariante, A ⊗_S f: A ⊗_S R → A ⊗_S R' es una aplicación de cadenas. Tomando la n-ésima homología obtenemos el morfismo

Dado A un S-módulo derecho y una sucesión -exacta corta de S-módulos izquierdos. Por el Lema 2.1 podemos considerar Q', Q y Q'' como resoluciones -proyectivas de B', B y B'', respectivamente, donde Q = Q' ⊕ Q'' y tal que es una sucesión -exacta corta de complejos de cadenas. Del hecho que el funtor A ⊗_S (−) es aditivo y covariante, sabemos que es una sucesión exacta corta de complejos de cadenas. Aplicando [2, T IV.2.1] obtenemos la Tor-sucesión exacta larga en la segunda variable

La proposición siguiente afirma que sucesión (4.13) es natural con respecto a la primera variable y a la sucesión exacta corta en la segunda variable.

Proposición 4.11. Sea α: A → A’ un morfismo de S-módulos derechos y sea (3.4) un diagrama conmutativo de S-módulos izquierdos con filas sucesiones -exactas cortas. Entonces los diagramas siguientes son conmutativos:

Demostración: Sabemos que A ⊗_S (−): $m_S^l\to \mathfrak{A}b$ es un funtor covariante para cada $A\in \left|m_S^r\right|$ fijo. Sea α_∗: A ⊗S (−) → A0 ⊗S (−) la transformación natural inducida por el morfismo α: A → A’.

Como es una sucesión -exacta corta de S-módulos izquierdos, por el Lema 2.1 podemos considerar que Q', Q y Q'' son resoluciones -proyectivas de B', B y B'', respectivamente, donde Q = Q' ⊕ Q'' y tal que es una sucesión -exacta corta de complejos de cadenas. Aplicando el funtor covariante aditivo A⊗_S (−), obtenemos la sucesión exacta corta de complejos de cadenas para cada S-módulo derecho A. Puesto que α_∗ es una transformación natural, el diagrama de complejos de cadenas siguiente es conmutativo y tiene filas sucesiones exactas cortas

Utilizando la proposición 3.4 obtenemos el diagrama conmutativo (4.14).

Por otro lado, del hecho que es una sucesión -exacta corta de S-módulos izquierdo, como antes podemos obtener una sucesión -exacta corta de complejos de cadenas donde R = R' ⊕R'' y tales que R', R y R'' son resoluciones -proyectivas de C', C y C'', respectivamente. Luego es una sucesión exacta corta de complejos de cadenas A partir del diagrama conmutativo (3.4) podemos obtener el diagrama conmutativo siguiente de complejos de cadenas

Pero A ⊗_S (−) es un funtor covariante aditivo, luego

es un diagrama conmutativo de complejos de cadenas con filas sucesiones exactas cortas. Por Proposición 3.4 obtenemos el diagrama conmutativo (4.15).

Dado B un S-módulo izquierdo y una sucesión -exacta corta de S-módulos derechos. Sea Q un S-módulo izquierdo -proyectivo, por un resultado análogo a [2, P III.7.4] Q es un S-módulo -plano. Así, la sucesión es una sucesión exacta corta de grupos abelianos.

Para cada S-módulo derecho A, el funtor A ⊗_S (−): $m_S^l\to \mathfrak{A}b$ es covariante aditivo.

La sucesión de funtores aditivos y transformaciones naturales es exacta sobre -proyectivos. Si Q es una resolución -proyectiva de B, entonces es una sucesión exacta corta de complejos de cadenas. Aplicando [2, T IV.2.1] obtenemos la Tor-sucesión exacta larga en la primera variable

Esta sucesión es natural respecto a la sucesión exacta corta en la primera variable y a la segunda variable.

Proposición 4.12. Sea β: B → B' un morfismo de S-módulos izquierdos y sea (4.4) un diagrama conmutativo de S-módulos derechos con filas sucesiones -exactas cortas. Entonces los diagramas siguientes son conmutativos:

Demostración: Sabemos que A ⊗_S (−): $m_S^l\to \mathfrak{A}b$ es un funtor covariante para cada $A\in \left|m_S^r\right|$ fijo.

Sean y transformaciones naturales inducidas por α' y α'', entonces por un resultado análogo a [2, P III.7.4] la sucesión es exacta corta para cada S-módulo izquierdo E-proyectivo Q.

Sean Q y Q' resoluciones -proyectivas de B y B', respectivamente. Entonces β: Q → Q' es la aplicación de cadenas inducida por β: B → B'. Utilizando los funtores covariantes A'⊗_S(−), A⊗_S(−) y A''⊗_S(−) se obtiene las aplicaciones de cadenas A'⊗_S Q → A'⊗_S Q', A⊗_S Q → A⊗_S Q' y A''⊗_S Q → A''⊗_S Q'. Puesto que τ' y τ'' son transformaciones naturales, el diagrama de complejos de cadenas siguiente es conmutativo y tiene filas sucesiones exactas cortas

Aplicando a este diagrama la proposición 3.4 obtenemos el diagrama conmutativo (4.17).

A partir del diagrama conmutativo (4.4) podemos obtener

el cual es un diagrama conmutativo de funtores aditivos y transformaciones naturales tales que las filas son exactas sobre -proyectivos.

Puesto que Q es una resolución -proyectiva de B, el diagrama de complejos de cadenas siguiente es conmutativo con filas sucesiones exactas cortas

Por la proposición 3.4 obtenemos el diagrama conmutativo (4.18).

La prueba de la proposición siguiente se deja al lector

Proposición 4.13. Sea

una resolución -proyectiva de un S-módulo izquierdo B, entonces la sucesión

es exacta para n ≥ 1.

Proposición 4.14. es un bifuntor para n = 1,2,....

Demostración: Probaremos esta proposición con los cuatro ítems siguientes i), ii),iii) y iv) :

i) Sea F_A : $m_S^l\to \mathfrak{A}b$ dado por , entonces por la Definición 4.3 F_A es un funtor covariante para n = 1,2,... tal que

ii) Sea F_B : $m_S^r\to \mathfrak{A}b$ dado por , entonces F_B es un funtor covariante. Esta afirmación probaremos con los cuatro ítems siguientes:

(1) Dado por ser un subgrupo de un grupo abeliano.

(2) Dado es definido por . Utilizando la proposición 4.13 podemos obtener el diagrama conmutativo siguiente

Ahora, del hecho que . Pero , luego

(3) para todo .

En efecto, por (2) para f = 1_A y A'=A:

(4) Si f: A → A', f': A' → A'' son morfismos de S-módulos derechos, entonces

En efecto, por (2) es tal que

iii) Por i) y (1) resulta que F_A(B) = F_B(A).

Consideremos y para obtener el diagrama (3.7).

iv) Afirmamos que este diagrama conmuta.

Sean Q y Q' resoluciones -proyectivas de B y B', respectivamente. Por el teorema 2.1 existe una aplicación de cadenas β: Q → Q' inducido por β. En virtud de la proposición 4.13 las sucesiones

son exactas, donde .

Observando el diagrama

y las igualdades ∂'β∂ = ∂'∂'β = 0, vemos que Ker∂_n = Im∂_n+1 ⊆ Ker(∂'β). Por lo tanto existe un único morfismo . Así, para . Considerando el diagrama

vemos que .

Por otro lado . Así, el diagrama (4.19) conmuta.

Teorema 4.2. Los bifuntores ; n = 0,1,2,... son naturalmente equivalentes.

Demostración: Definamos inductivamente la equivalencia natural i) Si n = 0, probemos que es una equivalencia natural.

Recordemos que para todo Sea una presentación -proyectiva de B, entonces obtenemos de (4.3) y (4.13) las sucesiones exactas largas correspondientes:

Por lo tanto, Ψ ${}_0^{A,B}:=1_{A{\otimes }_{S}B}$

Claramente Ψ₀ es natural con respecto a la primera variable y a la segunda variable; en consecuencia, Ψ₀ es una equivalencia natural.

Con (4.20) y (4.21), definimos Ψ ${}_1^{A,B}$ exigiendo la conmutatividad del diagrama y morfismo núcleo

Por las proposiciones 4.3 y 4.10 sabemos que para n = 1,2... y para el -proyectivo P.

ii) Hipótesis de inducción. Supongamos que el teorema es cierto para n-1>0.

Con las sucesiones exactas largas (4.20) y (4.21) podemos construir el diagrama siguiente

Observando este diagrama deducimos que ${\omega }_n$, ${\overline{\omega }}_n$ son isomorfismos y por hipótesis de inducción, Ψ ${}_{n-1}^{AR}$ es un isomorfismo, entonces definimos el isomorfismo Ψ ${}_n^{AB}$ de manera que el diagrama sea conmutativo por

(a) Afirmamos que Ψ_n es natural en B para n ≥ 1. Para ello consideramos un morfismo β: B → B', en $m_S^l$ y un S-módulo derecho fijo A, y debemos verificar que el diagrama siguiente es conmutativo

(b) Afirmamos que Ψ_n es natural en A para n ≥ 1. Para ello consideramos un morfismo α: A → A' en $m_S^r$ y un S-módulo izquierdo fijo B, y debemos verificar que el diagrama siguiente es conmutativo

(c) Afirmamos que Ψ_n no depende de la presentación -proyectiva elegida de B para n ≥ 1.

Para probar (a) y (c) consideremos el diagrama conmutativo

con el cual construimos el diagrama siguiente y debemos verificar que dicho diagrama es

Probamos la afirmación (a). Considerando (4.22) y, la conmutatividad de los diagramas (4.6) y (4.15) deducimos que su cara izquierda es conmutativa; es decir,

Haciendo β = 1_B en la afirmación (a) probemos (c).

Para dos presentaciones -proyectivas de , haciendo β = 1_B en la afirmación (a) obtenemos β_∗Ψ${}_n^{AB}$= Ψ${}_n^{AB\text{'}}$β_∗, de modo que, donde . Por consiguiente, no depende de la presentación-proyectiva de B.

Probemos la afirmación (b), como sigue:

Del hecho que α: A→ A’ sabemos que . Considerando la presentación -proyectiva de , construimos el paralelogramo siguiente

Considerando (4.22) y, la conmutatividad de los diagramas (4.5) y (4.14) vemos que su cara izquierda es conmutativa.

Usando la conmutatividad de los diagramas (4.6) y (4.15) se puede demostrar la proposición siguiente.

Proposición 4.15. Para cualquier S-módulo derecho A y cualquier sucesión -exacta corta de S-módulos izquierdos el diagrama siguiente es conmutativo

Usando la conmutatividad de los diagramas (4.9) y (4.18) se puede demostrar la proposición siguiente, que nos dice que Ψ_n es compatible con ω en la primera variable.

Proposición 4.16. Para cualquier sucesión -exacta corta de S-módulos derechos y cualquier S-módulo izquierdo B el diagrama siguiente es conmutativo

Según el teorema 4.2, la proposición 4.15 y la proposición 4.16 usamos la notación Tor aún para calcular $To{r}_n^{\gamma }$(A,B) vía resolución -proyectiva en la segunda variable cuando A es un S-módulo derecho (fijo). Así, en lugar de $To{r}_n^{\gamma }$(A,−) escribiremos $To{r}_n^{\gamma }$(A,−). Entonces, las propiedades básicas de los funtores son dadas en el resultado siguiente.

Teorema 4.3. Existen grupos abelianos $To{r}_n^{\gamma }$(A,B) para cada S-módulo izquierdo B, junto con los morfismos de conexión para cada sucesión -exacta corta

tales que se cumplen las propiedades siguientes:

(1) $To{r}_n^{\gamma }$(A,B) = 0 para n < 0.

(2) $To{r}_0^{\gamma }$(A,B) es naturalmente isomorfo a A ⊗_S B.

(3) $To{r}_n^{\gamma }$(A,B) = 0 para n > 0 si B es -proyectivo.

(4) La sucesión siguiente es exacta

Demostración: Se sigue de la definición 4.3, la proposición 4.10 y la sucesión exacta larga (4.13).

5. Propiedades de HH de Productos Cruzados de Hopf

Sea K un anillo conmutativo unitario. Un K-módulo A es una K-álgebra si A es un anillo y ∀α ∈ K, ∀a,b ∈ A se tiene α(ab) = (αa)b = a(αb). Un morfismo de K-álgebras f: A → B es un morfismo de K-módulos y a su vez morfismo de anillos.

Ejemplo 5.1. Alg_K es una categoría, cuyos objetos son las K-álgebras, morfismos son morfismos de K-álgebras y el producto de estos morfismos es la composición de morfismos de K-álgebras. Se verifican los tres axiomas de categoría para Alg_K como en el Ejemplo 5.3.

Definición 5.1. Sea K un anillo conmutativo y A una K-álgebra. Se define el álgebra envolvente de A como A^e:= A ⊗K A^op, donde la multiplicación es dada por (a ⊗ b)(c ⊗ d) = ac ⊗ db.

Proposición 5.1. Si A es una K-álgebra, entonces :

(1) A es A^e-módulo izquierdo.

(2) A es A_e-módulo derecho.

Demostración:

(1) Puesto que A tiene una estructura de grupo aditivo abeliano, definimos la multiplicación por un escalar mediante (r ⊗ s) · a = ras para r ∈ A, s ∈ A y r ⊗ s ∈ A ⊗ A^op = A^e.

Se cumplen los 4 axiomas de módulo izquierdo:

Por consiguiente, A es A^e-módulo izquierdo.

(2) Puesto que A tiene una estructura de grupo aditivo abeliano, definimos la multiplicación por un escalar mediante a · (r ⊗ s) = sar para r ∈ A, s ∈ A y r ⊗ s ∈ A ⊗ A^op = A^e.

Se cumplen los 4 axiomas de módulo derecho. Por lo tanto, A es A^e-módulo derecho.

Corolario 5.1. Si M es un A-bimódulo, entonces M es un A^e-módulo izquierdo.

Ejemplo 5.2. La aplicación γ : A → A^e dada por γ(r) = r ⊗ 1 es un morfismo de anillos.

Sea K un anillo conmutativo unitario. Sean A una K-álgebra y H una K-álgebra de Hopf.

Definición 5.2. [8] Dadas una acción débil de H sobre A, σ: H×H → A una aplicación K-bilineal, el K-módulo A ⊗_K H provisto de multiplicación dada por

se llama producto cruzado (de Hopf) de A por H, y se denota por A#_σH, si la multiplicación es asociativa y tiene como elemento unitario 1_A ⊗ 1_H.

Definición 5.3. Sean E = A#_σH, E' = A'#_σ'H'. Un morfismo de productos cruzados de Hopf $\phi$: E → E' es una aplicación K-lineal $\phi$= f ⊗ g: A ⊗ H → A' ⊗ H' tal que

$\phi$(1_A ⊗1_H) = 1_A' ⊗1_H’, donde f: A → A’ es un morfismo de K-álgebras, g: H → H’ es un morfismo de K-álgebras de Hopf.

Definición 5.4. Sean $\phi$: E → E’, $\phi$': E' → E'' morfismos de productos cruzados. Se define la composición $\phi$'$\phi$: E → E'' por $\phi$’$\phi$ = f'f ⊗ g'g: A ⊗ H → A'' ⊗ H'', donde f'f: A → A'' es un morfismo de K-álgebras, g'g: H → H'' es un morfismo de K-álgebras de Hopf. Es claro que $\phi$’$\phi$ preserva la multiplicación y el elemento unitario.

Ejemplo 5.3. Cp es una categoría, cuyos objetos son productos cruzados de Hopf, cuyos morfismos son morfismos de productos cruzados y el producto de sus morfismos es la composición de aplicaciones.

Se satisfacen los tres axiomas de categoría para Cp:

Sea E = A#_σH un producto cruzado, entonces vemos que E es una K-álgebra y existe un morfismo de anillos unitarios γ: E → E^e. Sea la clase proyectiva de epimorfismos de E^e-módulos izquierdos que se descomponen como morfismos de E-módulos izquierdos (Teorema 4.1).

Recordando que es un funtor covariante aditivo entre categorías abelianas, podemos definir los funtores -derivados izquierdos de E ⊗_Ee(−).

Por [1] la homología de Hochschild de un producto cruzado E es la homología de E⊗E^e (X_∗,d_∗), donde (X_∗,d_∗) es una resolución proyectiva relativa de E, considerando [2, p. 319] podemos dar la siguiente.

Definición 5.5. Sea E un producto cruzado. El n-ésimo funtor de homología de Hochschild de E denotado por se define como

Si M es un E^e-módulo izquierdo (M es un E-bimódulo ), obtenemos que . Dado f: M → M' un morfismo de E^e-módulos izquierdos, por (4.12) Las propiedades del funtor de homología de Hochschild de un producto producto cruzado E, H_∗(-, E), son dadas mediante el corolario y el teorema siguientes.

Corolario 5.2. Dados E = A#_σH un producto cruzado y N un E^e-módulo izquierdo. Existen grupos abelianos H_n(N,E), los morfismos de conección ω_n: H_n(M'',E) → H_n−1(M',E) para cada sucesión -exacta corta en $m_{E^e}^l$ tales que se cumplen las propiedades siguientes:

(1) H_n(N,E) = 0 para n < 0.

(2) H₀(N,E) es naturalmente isomorfo a E ⊗_E^e N.

(3) H_n(N,E) = 0 para n > 0 si N es -proyectivo.

(4) La sucesión siguiente es exacta

Demostración: Se sigue del teorema 4.3.

Teorema 5.1. H_∗(−,E) = {H_n(−,E)} es el -satélite izquierdo del funtor aditivo .

Demostración: Por la Definición 5.5, la Definición 4.3, la sucesión exacta larga (4.13), el diagrama conmutativo (4.15) y la proposición 2.2, resulta que {H_n(−,E)} es una sucesión -conectada de funtores de ($m_{E^e}^l$,) en $\mathfrak{A}b$ (ver [2, IX.3]).

Por otro lado, conforme a la proposición 4.9 el funtor es -exacto derecho. De [2, T IX.2.7] se sigue que los funtores son naturalmente equivalentes. Luego, podemos escribir .Para que H_∗(-,E) sea el -satélite izquierdo de E ⊗_E^e(-) debe satisfacer la propiedad universal siguiente.

Para cada sucesión -conectada de funtores, T = {T_n}, de ($m_{E^e}^l$,) en $\mathfrak{A}b$ y cada transformación natural ψ: T₀ → H₀(-,E) existe un único morfismo de sucesiones E-conectadas denotado por Ψ = {ψ_n}: T → H_∗(-,E) con ψ₀ = ψ (ver [2, IX.3]).

Por el corolario 5.2 la transformación natural ψ_n = 0 para n < 0, ψ₀ := ψ. Definimos inductivamente ψ_n : T_n → H_n(-,E) para n > 0. Supongamos que hemos definido de modo unico ψ_k para 0 ≤ k ≤ n-1, y conmuta con ω_k como en

para toda sucesión -exacta corta . Procedemos a definir ψ_n.

Sea una presentación -proyectiva de M. Entonces tenemos el diagrama conmutativo

con fila inferior exacta. Esto produce un único morfismo ψ_nM: T_nM → H_n(M,E) mediante ψ_nM = (ω_n)⁻¹ψ_n−1Kω_n.

Debemos probar que ψ_n es una transformación natural, independiente de la elección de presentación -proyectiva de M (ver en la prueba del teorema 4.2 las partes (a) y (c)).

Consideremos el morfismo de presentaciones -proyectivas

Entonces el diagrama

conmuta.

En efecto, podemos incrustar el diagrama (5.4) en el cubo

Del hecho que las cinco caras del cubo conmutan, se deduce que la cara izquierda también conmuta. Tomando M = M', se ve que ψ_n no depende de la presentación -proyectiva de M.

Por la proposición 4.15 para la sucesión -exacta corta de E^e-módulos izquierdos el diagrama siguiente es conmutativo

Esto completa la prueba.

Dando la definición siguiente.

Definición 5.6. Sea E un producto cruzado. El n-ésimo funtor de cohomología de Hochschild de E denotado por se define como

y denotando H_∗(-,E) = {H_n(-,E)}, se puede demostrar el resultado siguiente.

Teorema 5.2. H_∗(-,E) es el -satélite derecho del funtor aditivo

Dado un morfismo de anillos unitarios γ: R → S. Si F: $m_S^l$ → $m_R^l$ es el funtor de cambio de anillos, por la prueba de [6, Teorema 4] sabemos que es una clase inyectiva de monomorfismos de S-módulos izquierdos que se descomponen como morfismos de R-módulos izquierdos. Denotando donde

obtenemos el siguiente.

Corolario 5.3. es el -satelite derecho del funtor aditivo .

Lema 5.1. [9, Lema 2.2.5] Sean g: A → A' un morfismo de K-álgebras asociativas y f: M→ M' un morfismo de A'-bimódulos. Estos inducen el diagrama conmutativo siguiente

Por lo tanto tenemos una aplicación de K-módulos graduado h_∗: H_n(A,M)→ H_n(A’,M’)

Corolario 5.4. [9, Corolario 2.2.8] HH_∗ es un funtor covariante de la categoría de K-álgebras asociativas con unidad en la categoría de K-módulos graduados.

Considerando M = A, M' = A', g: A → A' y f = g en el lema anterior, vemos que HH_n(g): HH_n(A) → HH_n(A') se define por

Dado A ∈ |Alg_K|, haciendo g = 1_A se ve que HH_n(1_A) = $1_{H{H}_n\left(A\right)}$.

Si g: A → B, g': B → C son morfismos de K-álgebras,

Por consiguiente, HH_n(-): Alg_K → $m_K^l$ es un funtor covariante para n ≥ 0.

Recordando que un producto cruzado E es una K-álgebra. Por la proposición 5.1, E es un E^e-módulo derecho y E es un E^e-módulo izquierdo. Tomando M = E en la Definición 5.5

Conforme a Odabasi S. [tesis doctoral]-Universidad de Murcia (2014), la categoría de productos cruzados es una subcategoría de una categoría de K-álgebras ya que cada producto cruzado de Hopf es una K-álgebra, un morfismo de productos cruzados es un morfismo de K-álgebras y cada morfismo identidad de un producto cruzado es un morfismo identidad de la K-álgebra correspondiente.

Observación 5.1. Se tiene ; es decir, HH_∗ de productos cruzados es un funtor covariante de la categoría de productos cruzados en la categoría de K-módulos graduados.

6. Conclusiones

(1) La clase proyectiva de epimorfismos en $m_S^r$ es importante en la equivalencia natural de los bifuntores .

(2) Las homologías de Hochschild de un producto cruzado vistas como funtores son los funtores derivados relativos izquierdos de un funtor aditivo.

(3) H_∗(-, E) es el -satélite izquierdo del funtor aditivo E ⊗_E^e (-) ( Teorema 5.1 ).

(4) Si N es un módulo izquierdo sobre el producto cruzado E, entonces para n > 0 por la afirmación del teorema 4.1, [6, Proposición 14] y parte 3 del corolario 5.2.

7. Agradecimientos

El presente trabajo surge del estudio de la homología de Hochschild de un producto cruzado de Hopf realizado en la tesis de doctorado de Matemática en IMCA-UNI. El autor agradece a la Universidad Nacional del Altiplano de Puno por la licencia otorgada para publicaciones en revistas indexadas; al Instituto de Matemática y Ciencias Afines por dar un espacio para hacer investigaciones en el doctorado de Matemática. Asimismo, el autor expresa su agradecimiento especial a Dr. Christian Valqui por orientarlo y por permitir participar en el grupo de investigacion “ Algebra y Geometría no conmutativa”.

Referencias

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[6] Ccolque T FC. Caracterización de Proyectivos Relativos e Inyectivos Relativos. Selecciones Matemáticas. 2020; 7(2):276-288.

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[8] Guccione JA, Guccione JJ. Hochschild (co)homology of Hopf crossed products. K-theory. 2002; 25(2):138-169.

[9] La Rosa Obando LB. Homología de Hochschild y Homología Cíclica. [Tesis de Licenciatura]. Lima: Facultad de Ciencias, Universidad Nacional de Ingeniería; 2010.

Información adicional

How to cite this article: Ccolque FC. Relativization of Tor for HH of crossed products. Selecciones Matemáticas. 2022;9(2):336-356. http://dx.doi.org/10.17268/sel.mat.2022.02.10