O presente artigo constituise de um fragmento da pesquisa de Jesus (2017) referente a dissertacao de Mestrado Profissional em Matemática da Fundacao Universidade Federal de Sergipe, intitulada “Módulos e grupos abelianos finitamente gerados”. Para este artigo, estabelecemos como objetivo principal, detalhar os principais resultados desse assunto para tornalo mais acessível a iniciantes interessados em compreender tal teoria.

A resolucao de sistemas lineares é um problema básico de álgebra linear trabalhado no ensino medio onde procuramos as solucoes sobre um corpo, geralmente, R ou C. Esse problema se torna mais difícil se consideramos sistemas lineares com entradas em um anel A e procuramos por solucoes nesse anel, por consequencia do número reduzido de propriedades que caracteriza A. Com o intuito de tratar esse assunto de forma mais compreensível, foram detalhados os principais resultados associado ao tema encontrados principalmente em [1] e distribuídos da seguinte forma:

Na secao 2, apresentamos alguns resultados básicos de Algebra Linear e salientamos algumas consideracoes importantes. Tais resultados geralmente sao abordados nas disciplinas da área de Algebra em cursos de Licenciatura em Matematica, mas sem destacar algumas particularidades. Por exemplo: ao considerar o conjunto dos coeficientes sendo um anel, estamos trabalhando com o conceito de modulos sobre um anel e obtemos resultados analogos aos de espac¸o vetorial. No entanto, existem afirmacoes verdadeiras em espaco vetorial que nao se estendem a um módulo. Pois, nao e verdade que todo conjunto gerador de um A-módulo contém uma base e é falso que todo subconjunto linearmente independente de um A-modulo possa ser completado a uma base. Ainda podemos citar o fato de que um modulo finitamente gerado sobre um anel nao comutativo pode ter bases com cardinalidade diferentes (ver exemplo 2.9).

Ademais, destacamos outro ponto importante em Álgebra Linear que é desenvolver técnicas para conseguir diagonalizar um operador linear sobre um espaco vetorial de dimensao finita usando o fato de que números associados a uma operador linear, como o posto ou o determinante, podem ser determinados atraves de uma simples análise de sua matriz associada. Tambem citamos o teorema espectral o qual afirma que toda matriz simétrica e equivalente a uma matriz diagonal. Inclusive, e estudado a forma canónica de Jordan de uma matriz que sobre condicoes específicas fornece uma matriz diagonal em blocos equivalente a matriz considerada.

Ainda na sec¸ao 2, introduzimos fatos conhecidos acerca de módulos e apresentamos vários exemplos com objetivo de fazer um comparativo desses resultados com exemplos em espacos vetoriais.

Finalmente, podemos destacar que o exemplo 2.2 garante que um grupo abeliano e simplesmente um Z-modulo. Ja na secao 4, usamos essa identificacao para classificar os grupos abelianos finitamente gerados conforme teorema 4.1. Anteriormente, na secao 3 descrevemos as operacoes elementares que podem ser aplicadas a linhas e colunas de uma matriz, alem de evidenciarmos a existéncia de uma matriz diagonal associada a uma matriz dada B com a condicao de essas duas matrizes apresentarem o mesmo módulo. Por fim, na secao 5 aplicamos os resultados de módulos aqui obtidos para encontrar a forma racional de um endomorfismo de K[t]-módulos, K um corpo.

Enfim, esperamos que esse trabalho contribua para o melhor amadurecimento do profissional da área de Matemática ou área fim, especialmente dos aspirantes a professor de Matemática, quanto ao conhecimento é abstracao dessa teoria, tendo em vista as diversas aplicacoes em conteudos trabalhados na educacao básica, nos quais o docente poderá ministrar com mais domínio e desenvoltura.

Vamos apresentar algumas definicoes básicas de módulos bem como exemplos e alguns resultados que consideramos significativos. Neste trabalho, vamos considerar A um anel com unidade.

Definicao 2.1. Seja A um anel. Um A-módulo M e um grupo abeliano aditivo (M,+) dotado de uma multiplicacao escalar.

que satisfaz

1 · m = m, (ab) · m = a · (bm), (a + b) · m = a · m + b · m, a · (m + n) = a · m + a · n,

para todos a, b em A e para todos m,n em M.

Example 2.1. Seja (A,+,·) um anel.

1. Todo espaco vetorial sobre um corpo K e um K-módulo.

2. Considere

Com as operacoes usuais de soma de n-uplas e multiplicacao por escalar temos que Aⁿ e um A-módulo.

3. Seja M = M_m×n(A) o conjunto de todas matrizes de ordem m × n com entradas em A. Definindo a adicao usual das matrizes e a multiplicacao usual de matrizes por escalar, temos que M e um A-módulo.

Example 2.2. Sejam A = (Z,+,·) um anel e (G,+) grupo abeliano. Defina a multiplicacao escalar por

Com essa operacao temos que G e um Z-módulo. Vamos provar a propriedade 2 e as demais ficam para o leitor. Para todo a e b em z e v, v₁ e v₂ em G, temos dois casos a analisar: a · b ≥ 0 ou a · b < 0. Se a · b ≥ 0, entao a,b ≥ 0 ou a,b < 0. Quando a,b ≥ 0 (se a,b < 0, entao −ab > 0)

Obsdervacao 2.1. Da definicao 2.1 e do exemplo 2.2 vemos que grupos abelianos = Z-modulos.

Definicao 2.2. Sejam A um anel, M um A-modulo é W um subconjunto nao vazio de M. Dizemos que W e um submódulo do A-módulo M ou um A-submódulo de M se para todos w₁,w₂ em W e a ∈ A

Vale aw1 + w2 ∈ W.

1. Seja V um espaco vetorial sobre um corpo K. Um subconjunto S ⊆ V e um K-submódulo de V se, e somente se, S e um subespaco vetorial de V .

2. Seja (G,+) um grupo abeliano. Entao os Z-submódulos sao exatamente os seus subgrupos.

3 Os submódulos do A-módulo A sao os ideais de A.

Definicao 2.3. Sejam W₁,...,W_k A-submódulos de M. Dizemos que M e a soma direta dos submódulos W₁,...,W_k, e escrevemos M = W₁ ⊕ ··· ⊕ W_k se:

Em outras palavras, M e a soma direta dos submódulos Wi, se cada elemento v em M pode ser escrito unicamente na forma v = w₁ + ··· + w_k, com wi em Wi.

Example 2.3. Consideremos o Z-módulo . Os subconjuntos e sao subódulos de Z6 tais que

Portanto, Z6 = N1 ⊕ N2.

Definicao 2.4. Sejam (M,+) e (M₀,]) dois A-módulos. Uma aplicacao ϕ : M → M₀ e homomorfismo de A-módulos ou um A-homomorfismo se para todos a em A, v1,v2 em M temos que :

Example 2.4. Se K e um corpo, os homomorfismos de K-módulos sao as transformacoes lineares entre espac¸os vetoriais sobre K.

Definicao 2.5. Dizemos que um homomorfismo de A-módulos e isomorfismo de A-módulos se ele é bijetivo. Quando existe um isomorfismo entre dois A-módulos M e M', dizemos que M e isomorfo a` M', e denotamos por M M'.

Definicao 2.6. Dado um homomorfismo de A-módulos ϕ : M → M', definimos o núcleo de ϕ e a imagem de ϕ, respectivamente, como os seguinte conjuntos:

Segue da definicao que o núcleo de um homomorfismo ϕ : M → M^' e um submódulo de M e a imagem Im(ϕ) um submódulo de M^'. Seja M um A-módulo é N um submódulo de M. Entao, o grupo quociente (M/N,+), isto e, o conjunto de {m+N | m ∈ M} das classes laterais de N em M, munido de uma multiplicacao por escalar de A

hereda uma estrutura de A-módulo de M. O A-modulo M/N chamado de A-módulo quociente de M por N. O teorema a seguir e o analogo ao teorema do isomorfismo para grupos cuja prova pode ser encontrada em [3].

Teorema 2.1 (Teorema do Isomorfismo). Seja ϕ : M → M₀ um homomorfismo sobrejetor de A-módulos cujo ker(ϕ) = N. Entao ψ e um isomorfismo de A-módulos entre o quociente M/N e a imagem do homomorfismo ϕ.

Definicao 2.7. Dizemos que β e um conjunto de geradores de M, ou simplesmente, que β gera M se qualquer elemento v ∈ M pode ser escrito como combinacao linear finita (em geral, nao única) de elementos de β, isto e, existem a_i,...,a_i+j ∈ A e v_i,...,v_i+j ∈ β tais que v = a_iv_i + ··· + a_i+jv_i+j.

Um A-módulos M e dito finitamente gerado se existe um conjunto finito de elementos que gera M.

Definicao 2.8. Seja M um A-módulo. Um conjunto β ⊆ M e linearmente independente se, para todo subconjunto {v_i,...,v_i+j} finito de β, sempre que a_iv_i + ··· + a_i+jv_i+j = 0, implica ai = ... = a_i+j = 0.

Definicao 2.9. Um conjunto β de elementos de um A-módulos M que e linearmente independente é gera M e dito ser uma base de M.

Example 2.5. O conjunto β = {(1,0),(0,1)} e uma base do Z-módulo Z × Z.

Definicao 2.10. Um A-módulo M e dito livre se ele admite uma base. Se ó A-módulo livre M é finitamente gerado entao o módulo M e isomorfo a An para algum n.

Example 2.6. Todo espaco vetorial nao nulo de dimensao finita e um módulo livre.

Em seguida, apresentamos alguns exemplos para mostrar que nem sempre os módulos se comportam como um espaco vetorial.

Example 2.7. Nao e verdade que todo subconjunto linearmente independente de um módulo livre possa ser ampliado a uma base. De fato, o Z-módulo Z e livre e o conjunto {2} e linearmente independente. Entretanto, esse conjunto nao e e nao pode ser ampliado a uma base.

Example 2.8. Nao e verdade que todo conjunto de gerador pode ser reduzido a uma base. Novamente, considerando o Z-módulo Z temos o conjunto gerado por {2,3} nao pode ser reduzido a uma base.

Teorema 2.2 . Se A e um anel comutativo é M e um A-módulo livre com bases {v₁,...,v_n} e {w₁,...,w_m} entao m = n.

Demonstracao: Ver [6], Exercıcio 3.10.

Como consequencia do teorema 2.2, definimos o posto de um A-módulo livre M, quando A e um anel comutativo, como sendo o número de elementos de uma base de M. A hipotese do anel ser comutativo no teorema 2.2 e necessaria, vejamos um exemplo.

Example 2.9. Seja Z[X] o Z-modulo dos polinomios na indeterminada X com coeficientes inteiros. Considere o anel de endomorfismos A :=∈Z Z[X]. O anel nao comutativo A, considerado como um A-modulo, possui duas bases finitas com diferente cardinalidade. De fato, A como um A-módulo e finitamente gerado por apenas um elemento, tendo o endomorfismo identidade como base. Definamos agora f₁,f₂ ∈ A da seguinte forma: para todo n ∈ N₀, seja

Estendendo linearmente, temos que cada elemento f ∈ A fica definido pelas suas imagens nos monomios X_n, pois estes elementos formam uma base de Z[X]. Assim, expandimos as aplicacoes linearmente a todos os elementos de Z[X]. Verifiquemos que {f₁,f₂} e uma base de A. Sejam α₁,α2 ∈ A e considere α₁f₁ + α₂f₂ ≡ 0. Entao, para todo n ∈ N₀, temos que

Assim, α₁(p) = 0 para todo p ∈ Z[X]. Portanto, α ₁ ≡ 0. Fazendo o mesmo calculo para cada X_2n temos α₂ ≡ 0. Logo, {f₁,f₂} e linearmente independente. Agora, seja f ∈ A. Consideremos β₁,β₂ ∈ A definidos da seguinte maneira: para todo n ∈ N₀,

e estendemos por linearidade. Temos que, para todo n ∈ N₀,

Do mesmo modo, calculando (β₁f₁ + β₂f₂)(X_2n) vemos que coincide com f(X_2n). Assim, por linearidade, temos que f = β₁f₁ + β₂f₂. Portanto, {f₁,f₂} gera A. Logo, {f₁,f₂} e uma base de A.

Definicao 2.11. Seja A um anel. Um A-módulo M em que todos os seus submodulos sao finitamente gerados e chamado Noetheriano.

Considere A um anel Noetheriano e seja M um A-modulo finitamente gerado por {v₁,...,v_m}. Entao,existe um A-homomorfismo sobrejetor π : A_m → M com

Como ker( π ) = N e um submódulo de A ⁿ e portanto, finitamente gerado, sendo . = {..,...,w.} um conjunto de geradores de N temos um A-homomorfismo sobrejetor ϕ : A n → N , mas os elementos de β pertencem a Aⁿ , dessa forma obtemos um A-homomorfismo

onde B e uma m × n matriz com entradas em A. Note que ker(π) = Im(ψ) = BAⁿ e pelo teorema do isomorfismo 2.1,

Neste caso, dizemos que a matriz B e uma matriz de apresentacao de M.

Definicao 2.12. Seja M um A-módulo finitamente gerado por um conjunto β = {v₁,...,v_m}. Chamamos um elemento Y = (y₁,...,y_m)t em A^m, tal que y₁v₁ +···+y_mv_m = 0, um vetor relacao ou uma relacao entre geradores de M.

Definicao 2.13. Um conjunto S de relacoes de M e um conjunto maximal de M se cada relacao de M e uma combinacao linear de elementos de S com coeficientes em A.

Example 2.10. O Z-módulo que e gerado por trés elementos v₁, v₂ e v₃ com o conjunto completo de relacoes

é apresentado pela matriz

Obsdervacao 2.2. Note que a quantidade de linhas da matriz de apresentacao de um módulo e igual a quantidade de geradores. Uma vez que varias matrizes apresentam o mesmo módulo ou módulos isomorfos, exibiremos, a seguir, algumas regras para manipular uma matriz B sem alterar a classe do isomorfismo do modulo que essa matriz apresenta:

Proposicao 2.1. Sejam B uma matriz de apresentacao m × n de um A-módulo M e P, Q matrizes elementares de tamanho adequado conforme o teorema 3.1. As seguintes regras nao modificam o módulo em que B apresenta:

. Multiplicar a esquerda de B por Q⁻¹, com Q em GLm(A);

. Multiplicar a direita de B por P, com P em GLn(A);

. Exclusao de uma coluna de zeros da matriz B;

. Exclusao da linha i e da coluna j, caso a j-esima coluna de B seja e_i.

Utilizando essas regras com a matriz de apresentacao B do exemplo 2.10, podemos reduzi-la a matriz

e isso significa M Z.

Seja B = (b_ij) uma m × n matriz com entradas b_ij nos inteiros. Sao operacoes elementares em suas linhas e colunas:

1. Permutacao de duas linhas L_i ↔ L_j (resp. de duas colunas C_i ↔ C_j).

2. Substituicao de uma linha (resp. de uma coluna) pela soma desta linha com um múltiplo inteiro de uma outra linha L_i ↔ L_i + cL_j,c ∈ Z (resp. pela soma desta coluna com um multiplo inteiro de uma outra coluna).

3. Multiplicar uma linha ou coluna por −1.

Vejamos, atraves de exemplos, que essas operacoes elementares sao obtidas por multiplicacao, a direita ou a esquerda, da matriz B por certas matrizes invertıveis.

Example 3.1. Sea

Para permutar as colunas 2 e 3 de B fazemos o produto

em que a ultima matriz desse produto e uma matriz elementar de determinante −1. Se queremos permutar as linhas de B entao realizamos o produto

Por fim, para a substituicao de uma coluna pela soma desta coluna com um múltiplo inteiro de uma outra coluna, por exemplo substituir a coluna 3 de B pela soma da coluna 3 mais d vezes a coluna 1 de B fazemos

Teorema 3.1. Seja B uma matriz com coeficientes inteiros. Existem produtos Q e P de matrizes elementares, de tamanhos adequados, de modo que Q⁻¹BP e diagonal, digamos

3.1

onde as entradas da diagonal d_i sao positivas, e d_i | d_i+1 para cada i = 1,...,k − 1.

Demonstracao: Se B = 0, nao temos nada a fazer. Suponhamos que B seja nao nula. Por meio de permutacoes de linhas e colunas, podemos considerar uma entrada nao nula e positiva na posicao b₁₁. Em seguida, vamos zerar a primeira linha e a primeira coluna de B. Se a primeira coluna contem uma entrada b_i1 nao nula i > 1, aplicando o algoritmo da divisao, existem unicos q_i e r_i inteiros tais que

com 0 ≤ r_i < b₁₁. Depois, substituímos a i-esima linha L_i de B por L_i − q_iL₁ e mudamos bi1 para ri. Se r_i = 0, entao produzimos um 0 na primeira coluna. Se r i ≠ 0 , repetimos o processo acima.

Depois de um numero finito de operacoes elementares nas linhas dessa matriz, obtemos uma matriz equivalente a B com b_i1 = 0 para todo i > 1. Analogamente, usando as operacoes elementares nas colunas, conseguimos b_1j = 0 para todo j > 1. Assim, obtemos uma matriz equivalente a matriz original B que e da forma

Agora, suponhamos que alguma entrada b de M₁, situada na posicao ij da matriz B₁ nao e divisıvel por d 1 '

Entao, substituımos a primeira coluna C₁ de B₁ por C₁ + C_j produzindo uma entrada b na primeira coluna de B₁. Com isso, repetimos todo o processo acima e ao final temos uma matriz equivalente a matriz B₁ da forma

onde d₁ | d₂ e d₂ divide todas as entradas de M₂. Entao, aplicaremos todo o processo na matriz M2.

Procedendo dessa forma chegamos a uma matriz da forma (3.1) como afirma o teorema.

Example 3.2. Seja.

Determinemos as matrizes B₀, Q⁻¹ e P, tal que B₀ =Q⁻¹BP, onde Q e P sao invertíveis. Realizando operac¸oes elementares nas linhas e colunas de B

Portanto

Observe que, para obter a matriz Q⁻¹ basta multiplicar na ordem inversa as matrizes elementares que produzem as operacoes em linhas. Ja para obter a matriz P, basta multiplicar as matrizes elementares na ordem em que suas respectivas as operacoes em colunas sao feitas.

Corolario 3.1. Seja ϕ : M → M^' um homomorfismo de grupos abelianos livres. Existem bases de M e M' de tal modo que a matriz do homomorfismo tem a forma diagonal do teorema 3.1.

Teorema 3.2. Seja M um grupo abeliano livre de posto m, e seja N um subgrupo de M. Entao N é um grupo abeliano livre e seu posto e menor do que ou igual a m.

Demonstracao: Sendo M um Z-modulo finitamente gerado tem-se N e finitamente gerado e podemos considerar β₀ = {u1,...,un} um conjunto de geradores de N. Sejam β = {w₁,...,w_m} uma base de M e i : N → M um homomorfismo inclusao. Escrevemos

e consideramos a matriz B = (bij)m×n. Pelo Teorema 3.1, existe uma matriz B^'= Q⁻¹BP diagonal da forma

onde d₁ | d₂ | ··· | d_k. Alem disso, podemos interpretar P como sendo a matriz de mudanca de base de Zn e Q e a matriz de mudanca de base de Z_m. Como β e β^' foram considerados arbitrarios, podemos considerar uma base β₁ de M e um conjunto de geradores de modo que temos B^' = Q⁻¹BP. Assim, uj = d_jw_j, para 1 ≤ j ≤ k.

No entanto, a matriz B pode conter alguma coluna nula, a qual corresponde a um gerador uj cujo vetor de coordenadas na base β e o vetor nulo e por tanto u_j = 0. Assim, podemos descarta-lo de β'. Fazendo isso para todas as colunas nulas de B temos que a quantidade de geradores de N, que por abuso de notacao vamos chamar de n, é k e n ≤ m. Agora, mostremos que o conjunto β^' = {u₁,...,u_n} e uma base de N. Como β' gera N, basta mostrar que β' e linearmente independente. Sejam b₁,...,b_n ∈ Z tais que

ou seja,

Visto que w1,...,wn sao linearmente independentes tem-se bjdj = 0, para cada 1 ≤ j ≤ n. Como d j ≠ 0 para todo 1 ≤ j ≤ n, concluímos que b_j = 0 para j = 1,...,n. Logo, β' e linearmente independente é portanto, uma base de N.

Desde que um grupo abeliano finitamente gerado M admite uma matriz de apresentacao diagonal 3.1, vamos mostrar que M e a soma direta de subgrupos cíclicos e um modulo livre. Vale lembrar que um grupo C é cíclico quando e gerado por apenas um elemento.

Teorema 4.1 (Teorema de Estrutura para Grupos Abelianos). Um grupo abeliano finitamente gerado M e uma soma direta de subgrupos cíclicos C_d1,...,C_dr e um grupo abeliano livre L, ou seja,

onde a ordem di de C_di e maior que1 e di divide d_i+1 para i = 1,...,r − 1.

Demonstracao: Seja M um grupo abeliano finitamente gerado por β = {v₁,...,v_m}. Consideramos B uma matriz de apresentacao para M determinada pelo conjunto de geradores β e Y um conjunto completo de relacoes de M. Pelo teorema 3.1, a matriz B apresenta o mesmo modulo que a matriz

Vamos eliminar qualquer linha i e coluna j cuja entrada da diagonal seja igual a 1 pois nesse caso temos a relacao vi = 0 que nao contribui no conjunto dos geradores. Al em disso, eliminamos qualquer coluna de zeros pois nao impoe relacao. Assim, depois de reordenar os di’s, a matria B tem a forma

onde d₁ > 1 e d₁ | d₂ | ··· | dr, com r ≤ k ≤ m. Como isso, d₁v₁ = 0,...d_rv_r = 0,

formando um conjunto completo de relacoes de M. Agora, seja C_j o subgrupo cíclico gerado por v_j, para 1 ≤ j ≤ m. Entao, C_j e cíclico de ordem dj se j ≤ r e C_j e cíclico infinito se j > r.

Mostremos que M e a soma direta destes grupos cíclicos. Como β gera M, temos que M = C₁ + ··· + Cm. Basta mostrar que w₁ + ... + w_m = 0 implica w_j = 0, para wj em Cj. De fato, considere a equacao w₁ + ··· + w_m = 0, com w_j em Cj. Uma vez que vj gera Cj segue que w_j = y_jv_j, para algum inteiro yj. Assim, Y = (y₁,...,y_m)t e uma relacao de M. Visto que as colunas de B formam um conjunto completo de relacoes de M, Y = BX para algum vetor X. Isto significa que y_j e um múltiplo de dj, se j ≤ r e y_j = 0, se j > r. Como d_jv_j = 0 se j ≤ r, temos que w_j = 0 se j ≤ r. Portanto, w_j = 0 para 1 ≤ j ≤ m. Logo,

onde o grupo abeliano livre . e a soma direta dos grupos cíclicos infinitos C_j , com j > r.

Example 4.1. Seja M um grupo abeliano finitamente gerado por v₁, v₂ e v₃, com conjunto completo de relacoes

A 3 × 3 matriz de apresentacao de M e dada por

Diagonalizando B, obtemos

Portanto, M ≅ Z2 ⊕ Z2 ⊕ Z2.

Example 4.2. Considere M um grupo abeliano finitamente gerado por v₁, v₂ e v₃, com as relacoes

Vamos escrever M como soma direta de grupos cíclicos. Temos a matriz de apresentacao do Z-modulo M

Ao diagonalizar B, obtemos

e portanto, M≅Z6⊕Z. Com o objetivo de mostrar a unicidade do teorema de estrutura 4.1 vamos enunciar o seguinte resultado cuja demonstracao pode ser encontrada em [1, proposicao 2.11.3].

Proposicao 4.1. Se a e b sao inteiros relativamente primos, entao o grupo cíclico C_ab e isomorfo á soma direta C_a ⊕ C_b.

Demonstracao:

Combinando o teorema 4.1 com a proposicao 4.1.

Corolario 4.1 (Forma Alternativa do Teorema de Estrutura). Todo grupo abeliano finito e uma soma direta de grupos cíclicos de ordem potencia de um primo, ou seja,

onde u_1j ≤ u_2j ≤ ··· ≤ u_rj e 1 ≤ j ≤ s.

Teorema 4.2 (Unicidade do Teorema de Estrutura). Se um grupo abeliano finito M e uma soma direta de subgrupos cíclicos de ordens potencia de um primo , entao os inteiros dj do teorema 4.1 sao unicamente determinados pelo grupo M.

Demonstracao: Sejam p₁,...,p_s os primos distintos na decomposicao de M. Vamos listar todas as potencias de um primo que aparecem na decomposicao de M da seguinte maneira:

onde r e o número de ocorréncia dos primos que aparecem mais vezes e u_1j ≤ u_2j ≤ ··· ≤ u_rj, 1 ≤ j ≤ s. Eventualmente, alguns dos uij terao que ser nulos. Seja d_i o produto das potencias de um primo na linha i, ou seja,

onde 1 ≤ i ≤ r. E claro que d₁ | d₂ | ··· | d_r. Como as potencias de um primo que aparecem em cada di sao primas entre si, pela proposicao 4.1 podemos concluir

Daí, segue que

Resumindo, dado uma lista dos vemos que cada di fica determinado,a menos de associados. Reciprocamente, dado uma lista dos sao as potencias de um primo que aparece na decomposicao do respectivo di. Logo, os di sao unicamente determinados por M.

Example 4.3. Seja o grupo abeliano finito G = Z₂₀ ⊕ Z₄₀ ⊕ Z₁₀₈. Pelo corolario 4.1, G e uma soma direta de subgrupos cíclicos de ordens potencia de um primo, ou seja,

Assim, as potencias de um primo que aparecem na decomposicao de G sao 22, 5, 23, 5, 22 e 33 e dispoem-se de acordo com a seguinte tabela:

Portanto,

Logo, G ≅ Z₄ ⊕ Z₂₀ ⊕ Z₁₀₈₀.

Example 4.4. Vamos encontrar explicitamente todos os grupos abelianos (a menos de isomorfismo) de ordem 400 = 24 · 52. Existem exatamente 5 grupos abelianos de ordem 24, sao eles

e existem exatamente 2 grupos abelianos de ordem 52, a saber Z₅₂ e Z₅ ⊕ Z_5. Entao, os grupos abelianos de ordem 400 sao

Teorema 5.1. Sejam A = K[t] o anel de polinomios na variavel t sobre um corpo K e B uma A-matriz de tamanho m × n. Existem matrizes P e Q, produto de A-matrizes elementares, tal que B' = Q⁻¹BP e diagonal, sendo que cada entrada nao nula da diagonal di de B' e um polinomio monico, e ainda d₁|d₂ ...|d_k.

Example 5.1.

Assim como feito para Z-modulos, vamos considerar um A-módulo cíclico C, digamos que seja gerado por v ∈ A. Dessa forma, existe um homomorfismo sobrejetor ϕ : A −→ C tal que r 7→ rv, onde o nucleo I = ker(ϕ) e um ideal principal de A e pelo teorema do isomorfismo C A/(d), para algum polinomio d ∈ A. Isso significa que o módulo de relacoes e gerado por um único elemento.

Teorema 5.2. Seja A = K[t] o anel de polinomios em uma variavel sobre o corpo K. Seja V um A-módulo finitamente gerado. Entao o A-módulo V e uma soma direta de módulos cíclicos C₁,...,C_k com um A-modulo livre L, onde Ci e isomorfo a A/(d_i), os elementos di sao polinomios monicos de grau positivo com d₁|d₂ ...|d_k.

Voltando ao exemplo 5.1, com A = Q[t], o A-módulo V apresentado pela matriz B e isomorfo ao módulo apresentado pela matriz B' que segundo a propriedade (2.1) obtemos V A/(f). Mas como os fatores t,t − 1,t − 2 sao polinomios irredutıveis sobre Q os mesmos sao relativamente primos e entao

Agora vamos ao objetivo desta secao que e aplicar esse conceito a operadores lineares. Dado um operador linear T : V −→ V em um espaco vetorial V sobre um corpo K podemos definir nesse espaco vetorial V uma estrutura de A-módulo por

em que dado f(t) = a_ntⁿ + a_n−1tⁿ⁻¹ + ... + a₁ ^t + a₀ ∈ A consideramos

Com essa notacao tem-se t · v = T(v) e (V,·) e um A-modulo. Reciprocamente,

Proposicao 5.1. Seja A = K[t] o anel de polinomios em uma variavel sobre um corpo K. Se V e um A-modulo, entáo temos um operador linear T : V −→ V , sendo agora V um K-espac¸o vetorial.

Demonstracao: Desde que V e um A-módulo, podemos definir a multiplicacao por polinomios cons- tantes que sao os elementos de K, e assim V se torna um espaco vetorial sobre K. Novamente pelo fato de V ser um A-módulo, podemos definir a multiplicacao de elementos de V pelo elemento t ∈ A. Vamos denotar essa operacao de multiplicacao por t em V como sendo T, ou seja,

5.1

Sendo V um A modulo, em particular vale a distributividade da soma sobre o produto e entao tc(v +v₀) = ctv + tv₀ o que significa T(cv + v₀) = cT(v) + T(v₀), para todo v, v₀ ∈ V,c ∈ K. Portanto, a aplicacao T e um operador linear sobre o espac¸o vetorial V .

Corolario 5.1. Com as hipoteses da proposicao 5.1 as regras que associam a cada K[t]-módulo V um operador linear sobre V e vice-versa sao operacoes inversas.

Se V e um K[t]-modulo de dimensao finita n como K-espac¸o vetorial, entao aplicando o teorema 5.2 tem-se uma decomposicao de V em soma direta de submodulos cíclicos

V = C 1 ⊕ . . . ⊕ C k

onde cada C_i e isomorfo a K[t]/(f_i), f_i polinomio mónico em K[t], e a parte livre e zero desde que V e de dimensao finita. Considerando βi uma base de C_i,i = 1,...,k, temos que β = (β₁,...,β_k) e uma base de V sendo que cada espaco Ci e invariante por T o que significa a matriz de T ser diagonal em blocos assim como acontece para um espac¸o vetorial.

Vamos escolher um dos módulos C_i e para um melhor entendimento omitimos o índice. Seja v o gerador do modulo C. Como K[t] e um domínio de ideais principais ja vimos que C e isomorfo a K[t]/(f) para algum f(t) = t^m +a_m−1t^m−1 +...+a₁t+a₀ ∈ K[t] monico de grau m. Mais precisamente, temos o isomorfismo K[t]/(f) −→ C dado por 1 7→ v. Pelo algoritmo da divisao,

e portanto o conjunto {1,t,...,t^m−1} e uma base de K[t]/(f) como K[t]-modulo, consequentemente o conjunto β = {v,tv,...,t^m−1v₀} e uma base de V como K-espac¸o vetorial. Considerando T o operador multiplicacao por t definido em (5.1), ao escrevermos os vetores da base β da forma (v₀,v₁,...,v_n−1), onde v_i = T_i(v₀), temos

Mas como

segue que

Dessa forma, vamos ter a matriz de T na base β

cujo polinomio característico é f(t). Esse argumento e suficiente para demonstrar o seguinte resultado.

Teorema 5.3. Seja T um operador linear em um espaco vetorial de dimensao finita V sobre um corpo K. Existe uma base para V tal que a matriz de T e composta de blocos do tipo descrito acima. Essa matriz e chamada de forma canónica racional do operador T.

Example 5.2. Seja K = R. Considere a matriz B na forma racional

que tem como polinomio característico f(t) = t³ ₋₁ = (t−1)(t²+t+1). Desde que (t−1) e t²+t+1 sao polinomios irredutíveis sobre K, o K[t]-modulo cíclico V que B representa e uma soma direta de módulos cíclicos, que mediante a consideracao acima sua matriz de apresentacao em blocos é dada por

Sobre o corpo dos numeros complexos o polinómio t² + t + 1 e redut}ível com fatores irredutíveis t − ω,t − ω², onde e a matriz de apresentacao do módulo V e diagonalizavel, mais precisamente,