El análisis armónico es poco conocido en nuestro país; algo lamentable pues es una de las teorías centrales de la matemática por la belleza de sus ideas, métodos y sobre todo por sus aplicaciones a muchos problemas concretos. Desde sus inicios, con el cálculo infinitesimal y sobre todo en el siglo XVIII, destacados matemáticos se dedicaron a su cultivo. Esto motivo el proyecto de que escribamos el presente artículo de divulgación, y otros, con el objetivo de motivar a los jóvenes matemáticos el estudio e investigación de esta rama del análisis. Este escrito está dedicado a los espacios de Hardy Hp y a los espacios BMO pues ellos contribuyeron al progreso de varias áreas en distintas escuelas donde las investigaron. Sobre estos espacios se ha escrito mucho, tanto en artículos como en libros. Con el objetivo de orientar su estudio citemos algunos, dentro de los que disponemos, como son: [10], [12], [24], [30], [32], [33], entre otras importantes publicaciones. Ver las Referencias dadas.

Los espacios de Hardy H^p y los espacios BMO aparecieron en varias aplicaciones, como en las ecuaciones en derivadas parciales, por ejemplo. Así los espacios H^p surgieron en estudios de la escuela inglesa siendo G.H.Hardy uno de sus notables investigadores (década de los años 1910, 20’s); en tanto a los espacios BMO, ellos fueron introducidos por F.John- L.Nirenberg en 1961, [15], y fueron aplicados de inmediato a problemas de la matemática aplicada. Veamos algunos argumentos sobre estos espacios.

Por definición se tiene BMO = {f ∈ L1(Q0)/ [f]BMO = supQ⊂Q0 1/|Q| ∫Q |f(x) − fQ|dx ≤ M < ∞}, donde Q₀ es un cubo fijo en Rⁿ y tanto Q0 como Q son cubos con lados paralelos a los ejes coordenados; fQ es el promedio 1/|Q| ∫Q f(x)dx. Con la norma ||f||_BMO = [f]BMO + ||f||_L1(Q0), BMO es un espacio de Banach.

La investigación de estos espacios fue muy significativa pues se aplicaron a otras ramas como son las ecuaciones en derivada parciales (EDP’s), las funciones analíticas, las martingalas en las probabilidades, espacios de tipo parabólicos, la teoría de interpolación, los espacios homogéneos, las variedades diferenciales, ... . Por otro lado, se observa que L^∞ ⊂ BMO; además, se verifica que si 1 ≤ p < ∞, BMO ⊂ L^p(Q0), una relación importante pues se comprueba que BMO es el adecuado sustituto de L^∞ en ciertos casos que fallan en el límite L∞. También, en el otro extremo, el sustituto de L1 es el espacio de Hardy H¹, (H¹ ⊂ L¹), definido vía: H¹ = {f ∈ L¹/Rjf ∈ L¹, j = 1, 2, ..., n}, donde Rj es la transformada de

Riesz . H¹ es un espacio de Banach con la norma ||f||_H1=||f||_L1+∑j=1n||Rjf||_L1.

Por definición S es el espacio de las funciones f rápidamente decrecientes, esto es, f ∈ C^∞ y para todo entero k ≥ 0, lim|x|→∞xkf(x) = 0. También, sea el espacio , el cual es denso en H¹. (D es el espacio de las funciones infinitamente diferenciables con soporte compacto).

El celebrado resultado de dualidad de Charles Fefferman (1971) establece que (H¹⁾∗ = BMO, donde < f,g >= ∫f(x)g(x)dx, f ∈ S_0, g ∈ BMO, lo cual se extiende por continuidad a una forma bilineal continua sobre H1 × BMO. Este resultado ha sido extendido y generalizado en diferentes contextos del análisis armónico. Se tiene la siguiente caracterización:

Desde que Rj: L^∞ → BMO es operado continuo, tal representación permite obtener una norma equivalente en BMO. Así, Neri [22] sugiere tomar . De un modo más general, sobre los espacios BMO y H¹ (y sus respectivas generalizaciones) se hacen actuar operadores de tipo convolución, como son, por ejemplo, los operadores integrales singulares de Calderón-Zygmund Tf(x) = v.p. ∫Rn k(x − y)f(y)dy, donde el núcleo k es homogéneo de grado −n, esto es,

; además, k satisface ciertas condiciones de regularidad, como k ∈ C^∞(Σ) (contorno de la bola unitaria). Un resultado fundamental de la teoría clásica es: “T: L^p → L^p, 1 < p < ∞, es un operador continuo”. Los casos críticos son p = 1 y p = ∞, lo que resalta el papel de los espacios BMO y H¹. De un modo general, en el contexto de los operadores de tipo convolución, se tiene ([22]): “si g ∈ L¹, entonces T : H¹ → H¹, f → g ∗ f, es un operador continuo y se extiende a un operador continuo sobre BMO, con norma ≤ ||g||_L1”.

Teorema de Dualidad

La extensión de estos espacios, H¹ y BMO, a espacios tipo Sobolev es de alguna manera natural. Así, sea k ∈ Z+; por definición

BMO_k = {f ∈ BMO/Dαf ∈ BMO, |a| ≤ k}; ||f||BMOk = ||f||BMO + ∑|α|≤k ||Dαf||BMO, los que con sus respectivas normas son espacios de Banach; entonces se tiene, [22]: “si k es un núcleo de Calderón-Zygmund, entonces T : Hk1 → Hk1 (f → k ∗ f) y T : BMOk → BMO_k (f → k ∗ f) son operadores continuos”. Se observa que estos resultados también aparecen en [10]. Se verifica que los espacios Hk1, k = 1, 2, ... son isomorfos entre sí y, así mismo lo son los espacios BMOk. El isomorfismo esta dado por el operador integral fraccional I, definido vía [|fˆ](x) = ϕ−1(x)fˆ(x), donde ϕ ∈ C∞, ϕ(x) = |x| si |x| ≥ 1. De un modo general, si s es un número real, se define |s vía [|sfˆ](x) = ϕ−s(x)fˆ(x), que permite definir los espacios de Banach Hs1 = |s(H1) y BMOs = |s(BMO) con sus respectivas normas ||f||Hs1 = |||−sf||_H1 y ||f||_BMOs = ||I−sf||BMO. Para s ∈ R, los Hs1 son isomorfos ente sí, así como los son los BMOs. Es conveniente resaltar que H1 ni BMO son espacios de Hilbert, lo que sigue de un argumento debido a Neri, [22], en donde se afirma que H1 no es reflexivo, esto es, (H1)∗∗ = (BMO)∗ ≠ H1.

Spanne, [27], ha extendido los espacios BMO a través de los espacios BMOϕ donde ϕ(t) es una función positiva, no-decreciente, definida sobre (0,∞). Por definición, BMOϕ = {f ∈ donde R es la longitud del lado del

cubo Q. Con la respectiva norma, BMOϕ es un espacio de Banach. La importancia de estos espacios es que para casos particulares de ϕ se obtienen clásicos espacios de funciones. Veamos

Spane estudia la caracterización de los espacios BMOϕ y, a fin de evitar expresiones de carácter técnico, remarcamos solo algunos resultados.

Casos Particulares.[27]. Veamos los siguientes argumentos.

S. Janson ha obtenido interesantes caracterizaciones de los espacios BMOϕ. La primera de ellas es una extensión de la caracterización de Ch. Fefferman ([10]); la segunda está relacionada a la función conmutador de un operador integral singular. En la primera idea, Janson considera una condición extra para ϕ; así, asume que (1), (condición de crecimiento). Se observa que se tiene y que la condición (1) implica que la función , la que es positiva, no-decreciente y continua, define al mismo espacio BMOϕ, lo que sugiere que bajo la hipótesis (1), ϕ puede ser asumida continua en BMOϕ. Bajo esas hipótesis, Janson prueba que:

La prueba de la condición “si” es un tanto técnica y elaborada [13] En cuanto a la segunda caracterización, sea el operador singular Tg(x) = v.p.∫ k(x − y)g(y)dy; hemos mencionado que T : L^p → L^p, 1 < p < ∞, es un operador acotado y que esta condición falla en los casos límites p = 1,∞; sin embargo

T es de tipo débil (1,1), esto es, satisface la condición , donde |{...}| es la medida de Lebesgue del conjunto {...}. La característica que Janson da para BMOϕ es vía una condición de regularidad de un operador análogo a T, definido sobre Lp y con valores en un apropiado espacio de Orlicz. Concretamente, sea f definida sobre Rn y sea M la función multiplicación por f, la función conmutador, asociado a T, es por definición cq = MT − TM.

Así cfg(x) = MTg(x) − TMg(x) = f(x)v.p. ∫ k(x − y)g(y)dy − v.p. ∫ k(x − y)f(y)g(y)dy = v.p. ∫ [f(x) − f(y)]k(x − y)g(y)dy. Coifman-Rochberg-Weiss probaron que si f ∈ BMO entonces cf: Lp → Lp, 1 < p < ∞, es un operador acotado. Motivado por este resultado, Janson [14] establece una caracterización para BMOϕ bajo la siguiente hipótesis: sea 1<p<n/ α con α ≤ 1; sean ϕ y ψ dos funciones positivas no-decrecientes sobre R+ tales que es decreciente, ψ es convexa con ψ(0) = 0, relacionados entre si por ϕ(R) = Rn/ϕ ϕ−1(R−n). Entonces cf: L^p → Lψ es continua si y solo si f ∈ BMOψ, donde Lψ es el espacio definido vía Lψ = {f/ψ(λ|f|)dx < ∞} para algún λ > 0. Además, ||cf||L(Lp,Lψ) ~ ||f||_BMOϕ.

La evolución de los espacios de Hardy está íntimamente ligada a fundamentales cuestiones del análisis real y complejo. Sea f ∈ L^p(R), 1 < p < ∞, a la cual asociamos la función analítica F(x + it) = U(x,t) + iV (x,t), donde U(x,t) = P(x,t) ∗ f, siendo el núcleo de Poisson y V(x,t) = Q(x,t) ∗ f, con el núcleo conjugado de Poisson. Entonces se sabe que , lo que sugiere en general definir

Así tenemos la aplicación inyectiva bicontinua L^p → H^p, f → F(x + it), en donde se tiene además ||f||_Lp ≤ ||F||_Hp ≤ A||f||_Lp . Aún más, tal aplicación es sobreyectiva, esto es, si F ∈ H^p, 1 < p < ∞, ∃f ∈ L^p(R) tal que F es la correspondiente función analítica asociada a f.

En síntesis: si 1 < p < ∞, Lp es isomorfo (topológicamente) con H^p. En el caso p = 1 se verifica que la aplicación H¹ → L¹(R), F(x + it) → f(x) = limt→0U(x,t), es inyectiva y continua pero no sobre (la imagen de H¹ es la clase de las funciones en L¹ cuyas transformadas de Hilbert están también en L1). El caso n-dimensional exige condiciones extras para definir H^p(Rⁿ). Así, sean x ∈ Rⁿ, t ∈ R+ y F(x,t) = (u₀(x,t),...,un(x,t)), donde las componentes son funciones armónicas en R+n+1 y la correspondiente matriz jacobiana J tiene traza cero. Bajo ciertas condiciones (“condiciones de Cauchy- Riemann generalizadas”) se define H^p(Rn) = {F(x,t)/||F||Hp = (supt>0 ∫Rn |F(x,t)|pdx)1/p < ∞}, 1 < p < ∞ es más delicado y será tratado después.

En la sección anterior ya hemos visto como los espacios H^p pueden ser definidos en términos de ciertas condiciones maximales; en esta oportunidad veremos la relación entre los operadores maximales de Hardy-Littlewood y los espacios BMO. Tales operadores juegan además un papel fundamental en el desarrollo del análisis armónico moderno. La idea básica moderna se remonta al teorema fundamental del cálculo integral y a su extensión según el teorema clásico de diferenciación de Lebesgue: “si f ∈ L1loc(Rⁿ), entonces c.t.p, donde Q(x,R) es un cubo de centro x y lado de longitud R”. De alguna manera, esto sugiere considerar el operador maximal de Hardy-Littlewood definido vía: “si f : Rⁿ → R es medible-L, Λf(x) = supR 1/|Q(x,R)| ∫Q(x,R)|f(t)|dt. Observamos que el papel de los cubos Q(x,R) puede ser hecho por las esferas S(x,R), de centro x y radio R (en general en análisis tal sustitución no siempre es factible). Un dato esencial es que Λ: L^p → L^p, 1 < p ≤ ∞, es un operador continuo y que Λ es de tipo débil (1,1). Este resultado y el teorema de diferenciación de Lebesgue implican que si 1 < p ≤ ∞, f ∈ L^p si y solo si Λf ∈ L^p. Miremos ahora a la definición de BMO dada. Si f ∈ L1loc se considera ahora un análogo operador maximal:

Λ# f(x) = supR 1/|Q(x,R)| ∫Q(x,R) |f(t)−fQ|dt; (el hecho de que el cubo este centrado en x no es esencial;´ podría Q solo contener a x). Hemos dicho que f ∈ L∞ si y solo si Λ f ∈ L∞; en el caso Λ# solo se tiene que f ∈ L^∞ implica que V# f ∈ L^∞. La otra implicancia es lo que caracteriza a BMO. Así, si f ∈ L1loc y V# f ∈ L^∞ entonces f ∈ BMO. Si 1 ≤ p0 ≤ p, 1 < p < ∞ y f ∈ Lp0 entonces f ∈ Lp si y solo si Λ# f ∈ Lp. Estas consideraciones fueron expuestas y estudiadas significativamente por Fefferman - Stein [10] y también se encuentran en el libro de C. Sadosky [26].

Muckenhoupt - Wheeden (1976) han considerado los espacios pesados BMOw, donde el peso w es una función positiva en L¹loc(Rⁿ). Por definición: f ∈ BMOw si f ∈ L¹ _loc(Rⁿ)y existe una constante M < ∞ tal que , donde fQ es el promedio 1/|Q| ∫Q fdx. Observamos que si w = 1, BMOw BMO de John - Nirenberg. Algunas veces BMOw es definido por la condición

, donde . Si w ≡ 1, c_Q = f_Q y

BMOw = BMO. De un modo general, la consideración de espacios de funciones pesados es una actitud natural de generalizar los espacios clásicos; la cuestión es determinar las propiedades de la función w a fin de que ciertos hechos esenciales sigan valiendo, como lo es (por ejemplo) caracterizar w para ciertos operadores usuales sean continuos sobre espacios pesados. Fue Benjamín Muckenhoupt quien descubrí o las condiciones esenciales para que la teoría de estos espacios pesados sea compatible con los hechos conocidos en el caso no pesado. En esta dirección, se dice que: w ∈ Ap, 1 < p < ∞, si existe una constante c tal que w ∈ A1 si existe una constante c tal que Λw(x) ≤ cw(x), donde Λ es el operador maximal de Hardy - Littlewood.

w ∈ A^∞ si existen constantes α y β tal que 0 < α, β < 1, y para todo cubo Q y todo subconjunto medible E de Q, si |E| < α|Q|, entonces ∫E wdx < β ∫Q wdx (equivalentemente, w ∈ A^∞ si y solo si w ∈ Ap, para algún p).

A manera de ejemplo veamos una generalización, al caso pesado, de un teorema esencial en la teoría de los espacios BMO debido a John - Nirenberg. Se trata de la estimación de la función distribución de elementos de BMO vía una exponencial. Concretamente, si f ∈ BMO y α > 0 entonces |{x ∈ Q/|f(x) − fQ| > α}| ≤ Be−bα||f||BMO -1|Q|, Q ⊂ Rⁿ, donde B y b son apropiadas constantes que dependen solo de n.

El recíproco de este resultado es inmediato, obteniéndose así una generalización de BMO vía la naturaleza exponencial de la función distribución de sus elementos. La generalización al caso pesado, debido a Muckenhoupt - Wheeden [15], establece: si f ∈ BMOw, α > 0 y w ∈ A1, entonces existen constantes B y b tal que . Obsérvese que si w ≡ 1 se recupera el teorema de John - Nirenberg.

Sectores importantes del análisis armónico han sido llevados al contexto de los espacios homogéneos por, entre otros, R. Coifman - G. Weiss, R. Macías - Segovia, D. Stengenga, A. P. Calderón. Veamos la definición de estos espacios. Sea X un espacio topológico asociado de una medida positiva de Borel µ y de una casi distancia d: X × X → R+ tal que

Definición. (X,µ,d) es llamado un espacio homogéneo.

En este universo el BMO homogéneo es el espacio de las funciones medibles f ∈ L¹loc(X) tal que

, con ∞, se considera ||f||_BMO(X) = [f]BMO(X) y si µ es finito, ||f||BMO(X) = |∫X f(x)dµ(x)|+[f]BMO(X).

Con las identificaciones del caso, f ∼ g si f −g es constante, entonces BMO(X) es un espacio de Banach.

Rⁿ con la usual distancia euclidiana y con una medida de Borel, es un espacio homogéneo. Así mismo lo es la esfera ∑n−1 = {x ∈ Rⁿ/|x| = 1} con la medida µ invariante por rotación y con la casi - distancia d(x,y) = |1− <x, y>|α, donde . Muchos resultados clásicos han sido llevados al lenguaje de los espacios homogéneos; así se tiene, por ejemplo, que el operador maximal de

Hardy – Littlewood es un operador de tipo débil-(1,1).

Así mismo se obtiene el apropiado teorema de Lebesgue sobre diferenciación de integrales. Stegenga ha probado la versión homogénea del teorema de caracterización, exponencial de John - Nirenberg haciendo uso del apropiado lema de descomposición de Calderón - Zygmund.

A fin de comprender la versión homogénea del teorema de dualidad de Ch. Fefferman, y que es probado en Macías [17] y en Coifman - Weiss [7], veamos la idea de (p,q) - átomo la que servirá para definir a los espacios de Hardy Hp(X). Sean 0 < p < q con p ≤ 1 ≤ q ≤ ∞. La función a(x) es un (p,q) - átomo si:

Observemos que en ii. no tiene sentido la expresión a(x)xα pues X no posee necesariamente una estructura algebraica.

Consideremos ahora a los espacios de Lipschitz homogéneos Λα,

Sea 0 < p < 1 ≤ q; por definición

Los espacios BMO están contenidos en un interesante espacio de funciones, los espacios L^p,λ estudiados por Campanato, Spanne, Stampacchia, entre otros (ver los citados trabajos). Por definición: sea, 1 ≤ p < ∞, 0 ≤ λ < n + p y f ∈ L¹ _loc(Rⁿ). Entonces, f ∈ L^p,λ si

donde R es la longitud del lado del cubo Q. Formalmente, L^1,n ~BMO. La importancia de los espacios L^p,λ está en que ellos globalizan ciertos espacios de funciones clásicos, como son los espacios Lp, L^p,λ (Morrey), ∧α y a los propios espacios BMO. Es sabido la gran utilidad de esos espacios en problemas de EDP de tipo elípticos y parabólicos, lo que estimula su estudio en problemas concretos. Un problema´ fundamental en la evolución del análisis fue el problema de Dirichlet. Veamos. Sea R+n+1n0{(x,t) xϵRn, t ∈ R+}. u(x,t) es una función armónica si , donde Dado f definida sobre Rn, el Problema de Dirichlet consiste en encontrar u(x,t) tal que Δu = 0 sobre y lím u(x,t) = f(x) cuando t → 0 sobre Rn. Es claro que para tenerse un problema bien puesto es necesario dar ciertas condiciones extras a f. Informalmente, sabemos que la solución de este problema está dado por la integral de Poisson de f, u(x,t) = (P ∗ f)(x), donde es el núcleo de Poisson. En esta orientación se tiene las siguientes caracterizaciones, según la ubicación de las trazas de las funciones armónicas. Si 1 < p ≤ ∞, HP es el espacio de Hardy ya considerado. Se tiene HP = Pt ∗ L^p, con equivalencia de las normas. Si B es la clase de las medidas de Borel finitas, HB es el espacio de las funciones armónicas u(x,t) tal que supt>0 (||u(.,t)||) < ∞. Se tiene HB = Pt ∗ B, con equivalencia de las normas. Este tipo de ecuaciones sugirió considerar otras nuevas con f en espacios trazas; ¿qué sucede si f ∈ BMO? Esta cuestión está relacionada con el trabajo de Fefferman - Stein [10].

Si f ∈ BMO, entonces , lo que da consistencia a la integral de Poisson u(x,t) = (Pt ∗ f)(x) de una función en BMO. Además, se verifica que para todo´ f ∈ BMO y todo cubo Q de lado d > 0 se tiene que existe una constante A > 0 tal que , donde

. Tal implicancia dio lugar a una

nueva caracterización en la dirección señalada antes. Así Fabes - Johnson - Neri [9] consideran al espacio

Corolario inmediato es que si f ∈ BMO entonces su integral de Poisson u(x,t) = (Pt ∗ f)(x) está en HMO. La caracterización de Fabes - Johnson - Neri es HMO = Pt ∗ BMO, con equivalencia de las normas.

Dado que BMO está inmerso en L^p,λ surge la cuestión de llevar esta última ecuación a espacios con trazas en Lp,λ. Este problema fue también resuelto por Fabes - Johnson - Neri [6]. El siguiente resultado permite hacer un cambio de variables y poner Lp,λ en otro lenguaje de notación. Si , entonces L^2p,λ2 ⊂ L^p1,λ1.