El conjunto de funciones {einθ}n∈Z es llamado un sistema trigonométrico, y un polinomio trigonométrico es una función de la forma , para algún N ∈ N y algún conjunto de números complejos {cn}n=−N,...,N. Se verifica que un sistema trigonométrico es un conjunto o.n. en L²([−π,π]).

Algo más; el mencionado sistema trigonométrico es completo en L²([−π,π]).

Sea f ∈ L¹([−π,π]), esto es, es llamado el n-ésimo coeficiente de Fourier de f. La serie ∑n∈Z < f,einθ > einθ es llamada la serie de Fourier de f.

Lema 3.6 .

Sean f y g dos funciones definidas sobre R, tal que c.t.p. x ∈ R se tiene

∫R f(x − y)g(y)dy| < ∞. En estas condiciones se define la convolución

Nota 3.2. (f ∗ g)(x) = 0 si ∫_R|f(x − y)g(y)|dy = ∞.

Vía un cambio de variables, verificamos que f ∗ g = g ∗ f.

Lema 3.10.

Demostración:

De la anterior discusión extraigamos dos ideas:

Se verifica que si f,g ∈ L²(R),x,y ∈ R, entonces:

Para la función g : R → C, t ∈ R, t > 0, definimos la dilatación

Definición 3.10. Sea g: R → C una función tal que:

Entonces {gt}t>0 es llamada una aproximación de la identidad.

Definición 3.11.

Sea f ∈ L¹(R) ,x ∈ R es llamado un punto de Lebesgue de f si límh→0+ 1/2h ∫-hh |f(x-y)- f(x)|dy = 0.

Lema 3.11. Si f ∈ L1(R), entonces c.t.p. x ∈ R es un punto de Lebesgue de f.

Teorema 3.1.

Sea f ∈ L¹(R) y {gt}t>0 una aproximación de la identidad, entonces para todo punto de Lebesgue de f (para c.t.p. x ∈ R) tenemos limt→0+(gt ∗ f)(x) = f(x).

Sea el producto interno < f,eixξ >= ∫R f(x)e−ixξdx. Si f ∈ L1(R), tenemos |∫R f(x)e−ixξdx| ≤ ||f||1. Esto justifica la

Definición 3.12. Si f ∈ L¹(R), ξ ∈ R, definimos f(ξ^)=∫R f(x)e−ixξdx.

f∧ es la transformada de Fourier de f; la aplicación ∧ es llamada la transformada de Fourier.

Si g ∈ L¹(R), x ∈ R, definimos g∨, la transformada de Fourier inversa de g

la aplicación ∨ es llamada la transformada de Fourier inversa.

Para tener la deseada formula de inversión f(x)=(f∧) ∨(x)= 1/2π∫_R f∧ (x)e−ixξdx, se impone la condición de que f y f∧ pertenezcan a L¹(R).

Además, tales condiciones permitirán definir f^ si f ∈ L²(R). Obviando la introducción de una adecuada función gaussiana, se tiene la siguiente versión de la inversa de Fourier sobre L1(R).

Teorema 3.2. Sea f ∈ L¹(R), tal que f ∈ L¹(R) entonces:

en todo punto de Lebesgue x de f.

Corolario 3.2 (Unicidad de la transformada de Fourier en L¹(R)). Sean f,g ∈ L¹(R) tal que f∧ = g∧

c.t.p. Entonces f = g c.t.p.

Demostración: Por el teorema 3.2, f − g = (f∧ − g∧)∨ = 0 c.t.p.

Nota 3.3. También se tiene f = (f∨)∧

Lema 3.12. Sean f,g ∈ L¹(R) y f∧, g∧ ∈ L¹(R), entonces:

Definición 3.13 (Transformada de Fourier en L²(R)).

Sea f ∈ L²(R); (fn) tal que fn,fn^ ∈ L¹(R),∀n y fn → f en L²(R). Definimos la transformada de Fourier de f,f^, siendo el límite de (fn) en el sentido L²(R). Así, f^ = limfn^ en L²(R).

También definimos f∨, la transformada de Fourier inversa de f ∈ L²⁽R) via f∨ = lim fn∨ en L²(R).

Nota 3.4. Observemos que para f ∈ L²(R), f^ es definida como una función de L²(R), y no puntualmente como en el casi de f ∈ L¹(R).

Se tiene ∧ : L²(R) → L²(R) y ∨: L²(R) → L²(R).

Teorema 3.3. si f,g ∈ L²(R), entonces

Corolario 3.3. Sea f ∈ L²(R), (fn) en L²(R), tal que fn → f en L²(R), entonces:

3.3, 3.4

Finalmente, en nuestro recorrido por los dominios del análisis de Fourier, tenemos el siguiente resultado central:

Teorema 3.4. Si f ∈ L²(R), entonces f=(f^)∨ y f=(f∨)^

Demostración: Seleccionemos una sucesión (fn), donde fn, fn ∈ L¹(R) tal que fn → f en L²(R).

Por la definición de f^, se tiene fn^ → f^ en L²(R).

Por (3.4) del corolario, tenemos (fn^)∨ → (f^)∨ en L²(R). Pero, (fn^)∨ = fn → f en L2(R). Luego (f^)∨=f.

Similarmente, por (3.3) del corolario, tenemos:

Observación 3.1. Observación El teorema 3.4 nos permite afirmar que ∧: L²(R) → L²(R) es un operador inyectivo y sobre, con inversa ∨ : L²(R) → L²(R). Nota 3.5. Para mayores detalles ver M. Frazier [4].

La idea, ya presentada, es usar una familia de formas de ondas básicas, las que son bien concentradas en tiempo y en frecuencia. A tal familia se le asocia una transformación lineal tiempo-frecuencia. Tales formas de ondas son llamadas átomos tiempo-frecuencia o elementos básicos. Denotemos con (ϕν)ν∈Γ (donde ν podría ser un parámetro multi-índice) una familia general de átomos tiempo-frecuencia, que asumimos en L²(R), con ||ϕν|| = 1. A tal familia (ϕν), y a cualquier f ∈ L²(R), le asociamos el operador lineal tiempo-frecuencia T, definido vía

Sabemos, por la fórmula de Parseval, que

Un caso particular de tal T es la transformada de Gabor, la que es conseguida usando ϕν(t) = gu,ξ(t) = eiξtg(t − u), (átomo de Fourier localizado o ”ventanizado”).

Como sabemos, estos átomos fueron introducidos por Gabor en 1946 para medir los componentes frecuencias localizadas de sonidos. La ventana g es de valor real y simétrica (g(t) = g(−t)), es trasladada por u y es modulada en la frecuencia ξ. Observemos que si ||g|| = 1, entonces ||gu,ξ|| = 1,∀(u,ξ) ∈ R2. Así obtenemos la ya conocida transformada de Gabor (con una variante respecto a la anterior notación)

la que también es llamada transformada de Fourier “corto-tiempo” (pues la transformada de Fourier es localizada por g(t − u) en una variedad de t = u).

Volvamos al caso general de los átomos tiempo-frecuencia. Sea ψ una ondículas ”progenitora” en el sentido de que ella genera átomos - ondículas de la forma

Las funciones de Fourier localizadas y las ondículas tienen sus energías bien localizadas en tiempo, en tanto que la transformada de Fourier es bien concentrada en bandas de frecuencia limitadas. ¿Como es la representación tiempo-frecuencia de un átomo ϕν? Veamos.

El centro-frecuencia de ϕν es entonces definido vía:

y la difusión alrededor de ξν es

Figura 4.4. Figura 4.4. Figura 4.4. Caja de Heisenber

Definición 4.4. PT(f)(u,ξ) = | < f,ϕν(u,ξ) > |2 es llamado una densidad de energía.

En el caso de los átomos de Gabor, la densidad de energía se llama un espectrogramo:

lo que mide la energía de f en la vecindad tiempo-frecuencia de (u,ξ), dada por la caja de Heisenberg de gu,ξ.

El átomo de Gabor g es una función par, luego gu,ξ(t) = eiξtg(t − u) está centrada en u. Luego:

es decir, el tiempo se propaga alrededor de u, independiente de u y ξ. Así mismo, g es real y simétrica (g es real y simétrica) y se tiene:

es decir, la ventana frecuencia está centrada en ξ. La propagación frecuencia alrededor de ξ es dada por:

(nuevamente la propagación es independiente de u y ξ). ([1]).

Figura 4.5. Figura 4.5. Figura 4.5. Cajas de Heisenber

De esta manera, gu,ξ corresponde a una caja de Heisenberg que tiene área σtσw, con centro en (u,ξ). Ver la figura adjunta. Observemos que el tamaño de la caja es independiente de (u,ξ); esto significa que la transformada de Fourier localizada tiene la misma resolución a través del plano tiempo-frecuencia. Notemos que cuando los puntos tiempo-frecuencia (u,ξ) recorre R², las cajas de Heisenberg de los átomos gu,ξ cubren todo el plano tiempo-frecuencia. De esta manera se puede conjeturar que una señal, de energía finita, se pueda recuperar usándose la transformada de Fourier localizada Gf(u,ξ). La respuesta es afirmativa y se tiene el siguiente resultado.

Teorema 4.3. Sea f ∈ L²(R). Entonces,

4.5

y se tiene la conservación de la energía:

4.6

Demostración: [1] Probemos (4.5). Pongamos fξ(u) = Gf(u,ξ). Entonces, usando g(t) = g(−t):

Luego:

Por tanto, el segundo lado de (4.5) es:

donde hemos usado que: (g(t − u))∧, respecto a u=g^(w)e-itw.

Recordemos ahora al teorema de Fubini, que nos permite intercambiar el orden de integración.

Luego, si f ∈ L¹(R) (si no se tuviera esta condición, entra en juego un argumento de densidad entre los espacios de Lebesgue) aplicamos el teorema de Fubini para obtener:

(considerando la fórmula de la transformada de Fourier inversa).

Prueba de (4.6): Tenemos [Gf(u,ξ)]^, respecto a u, = f^(w + ξ)g^(w), luego:

Observación, Observemos que la fórmula de reconstrucción (4.5) se puede escribir en la forma

la cual, recuerda a la descomposición de una señal en una base ortonormal, pero con el cuidado de que en este caso la familia (gu,ξ)u,ξ∈R2 es redundante en L²(R).

Sigamos con la transformada de Gabor Gf. Es claro que f(t) es una señal uni-dimensional, en tanto que su transformada de Fourier localizada Gf(u,ξ) es una función bi-dimensional, definida en el plano tiempo-frecuencia. La fórmula (4.6) nos dice que si f ∈ L²(R), entonces Gf ∈ L²(R). Sin embargo, por la anterior observación, Gf es redundante y por tanto no es verdad que cualquier φ ∈ L²(R²) es la transformada de Gabor de algún f ∈ L²(R). ¿Como obtener una caracterización de esta situación? Se tiene el siguiente resultado al respecto.

Demostración:

⇒) Supongamos que ∃f ∈ L²(R) tal que φ(u,ξ) = Gf(u,ξ). Tenemos:

El análisis tiempo-frecuencia en el procesamiento de señales es un campo de gran investigación en los últimos años. En esta dirección es conveniente considerar algunos aspectos como son: los átomos tiempo - frecuencia; disponer de descomposiciones optimas de la señal en función de átomos tiempo-frecuencia; buen manejo del plano tiempo-frecuencia y su partición optima. El problema esencial es construir un algoritmo que permita descomponer una señal dada, de un modo optimo, como una combinación lineal de átomos tiempo-frecuencia, elegidos de un modo adecuado. Cada señal admite, en general, un número infinito de tales representaciones; la idea es escoger la ”mejor” entre ellas, de acuerdo a algún criterio. Ya conocemos a los átomos tiempo-frecuencia de Gabor.

Una colección Ω de átomos tiempo-frecuencia es un subconjunto de L²(R), que es completo, esto es, el conjunto de las combinaciones lineales ∑αiai, ai ∈ Ω es denso en L²(R).

Por conveniencia tomamos ||a||_L2 = 1, ∀a ∈ Ω. Se requiere, además, que a ∈ Ω tenga una estructura simple y que sea óptimamente localizada en el plano tiempo-frecuencia. Algunos ejemplos de colecciones de átomos tiempo-frecuencia son: las ondículas de Gabor, la colección completa de átomos tiempo- frecuencia de Gabor, las ondículas de Malvar-Wilson, los paquetes de ondículas, entonces, ¿Que colección Ω deberá uno escoger para estudiar una dada señal? Pues bien, habiendo escogido Ω, ¿Como debemos descomponer una signal f óptimamente en una serie ∑i=0∞αiai, ai ∈R, ai∈ Ω? Las respuestas a tales cuestiones han permitido una serie de investigaciones en el campo del procesamiento de la señal. Por ejemplo, un elegante algoritmo que permite una óptima descomposición es el propuesto por S. Mallat y llamado ”matching pursait”. [7], tercera edición.

Teorema 4.6. Sea ψ ∈ L¹⁽R) ∩ L²(R) tal que

Para t > 0, y ∈ R sea la dilatación ψt(x)=1/t ψ(x/t).

Entonces, para todo f ∈ L²(R) se tiene la representación

4.7

Recordemos que este profundo resultado de Calderón ya fue enunciado en la sección 2.1, donde enfatizamos que

Demostración: Tomemos transformada de Fourier en el lado derecho de 4.7 y cambiando el orden de integración, obtenemos:

Si ξ > 0, hagamos el cambio de variables s = tξ en la última integral, obtenemos:

Finalmente, si ξ < 0 pongamos s = −tξ y obtendremos

Corolario 4.1. Bajo las hipótesis del teorema 4.6, pongamos . Entonces:

Demostración:

Nota 4.1. Si f ∈ L²(R), entonces f puede ser escrito, vía (4.8), como una superposición de las funciones básicas {ψt,y}t>0,y∈R.ψt,y está a la escala t y está centrada en y.

Definición 4.6. La aplicación f → < f,ψt,y >t>0,y∈R es llamada la transformada de ondícula continua.

(4.8) es llamada identidad de ondícula continua.

Es claro que, desde el punto de vista computacional, (4.7) y (4.8) no son fáciles de manipular cuando se desee obtener aproximaciones finitas. Sin embargo, la prueba matemática de tales representaciones es relativamente más fácil que demostrar la identidad de ondícula. Dentro de este panorama, S. Mallat introdujo la idea de análisis multiresolución, la que ha de servir para construir ondículas. [6].

Definición 4.7. Un análisis multiresolución (AMR), con función escala ϕ, es una sucesión {Vj}j∈Z de subespacios (cerrados) de L²(R) tal que:

Vía cambio de variables, se verifica que {ϕj,k}k∈Z es un sistema o.n. completo (una base) para Vj.

Desde que ϕ∈V₀⊂V₁ se tiene:

4.9

donde (u(k))_k∈Z ∈ l²(Z) y u(k) =< ϕ,ϕ1,k >. u = (u(k)) se llama sucesión escala.

En forma muy breve, el camino para construir una ondícula a partir de una AMR es como sigue:

Estudiemos ahora al fundamental resultado de Mallat.

Teorema 4.7. [4],[5],[9] Sea {Vj}j∈Z un AMR, con función escala ϕ y sucesión escala u = (u(k)) en l1(Z).

entonces, {ψj,k}j,k∈Z es un sistema de ondículas en L²(R).

Demostración: Vía dilatación, la o.n. de {ψ0,k}k∈Z implica que {ψj,k}k∈Z es o.n. ∀j ∈ Z.

Definamos Wj = {∑k z(k)ψj,k/z = (z(k)) ∈ l2(Z)}.

Vía dilatación verificamos que f(x) ∈ W0 ⇔ f(2jx) ∈ Wj.

Luego, Vj+1 = Vj ⊕ Wj,∀j ∈ Z [tenemos V1 = V0 ⊕ W0;def(x) ∈ V0 ⇔ f(2jx) ∈ Vj y f(x) ∈ W0 ⇔ f(2jx) ∈ Wj, se tiene la igualdad].

La tesis es equivalente a verificar que B = {ψj,k}j,k∈Z es un conjunto o.n. completo en L²(R).

Probemos que B es un conjunto o.n. en L²(R). En efecto, sabemos que {ψj,k}k∈Z es o.n. para cada j. Probemos que < ψj,k,ψl,m >= 0 si j ≠ l.

Bien, asumamos j > l; entonces, ψl,m ∈ W_l ⊂ V_l+1 ⊂ ... ⊂ V_j. Pero, ψ_j,k ∈ W_j y Wj ⊥ V_j, luego ψ_j,k ⊥ ψ_l,m. Por tanto, B es o.n.

Probemos ahora que B es completo en L²(R). Usaremos el siguiente resultado:

Nota 4.2. ”Si g ∈ V_j para algún j ∈ Z tal que ∀l ≤ j − 1, se tiene g ⊥ W_l (esto es, ∀w ∈ W_l,< g,w >= 0), entonces g = 0.”

De esta manera, si f ∈ L²(R) tal que < f,ψ_j,k >= 0,∀j,k ∈ Z (esto es, f ⊥ Wj,∀j ∈ Z), debemos probar que f = 0. En efecto, para cada j ∈ Z sea Pj : L²(R) → Vj el operador proyección; así, Pj(f) es la proyección de f sobre el subespacio cerrado Vj. Luego, Pj(f) = ∑k∈Z < f,ϕj,k > ϕj,k. Sabemos que Pj(f) ∈ Vj y (f − Pj(f)) ⊥ Vj. Si l ≤ j − 1 entonces Wl ⊂ V_l+1 ⊆ V_j. Luego, (f − Pj(f)) ⊥ Wf, ∀l ≤ j − 1. Desde que f ⊥ Wl,∀l, la linealidad implica que Pj(f) ⊥ Wl,∀l ≤ j − 1.

Nota 4.3. Si f ∈ L²(R), entonces ||f − Pj(f)|| → 0.

Sea ϕ(x) la función característica de [0,1), cuyo soporte compacto es [0,1]. De ella se construye la ondícula

4.10

ψ genera la familia φj,k,j,k ∈ Z, las que también son de soporte compacto. Usando la idea de AMR, y siguiendo a Daubechies [2], probamos que la familia {ψj,k}j,k∈Z es una b.o.n (base ortonormal) para L²(R). Para ello se verifica que:

En efecto, probemos (1). El lector es invitado a graficar las funciones ϕ(x), ψ(x), ψ(2x), ψ(2x−1),... por ejemplo. Se observa que, en general,

donde soporte de ψj,k =[k/2j, k+1/2j[.

De esta manera observamos que ψj,k y ψj,k’, con k≠k’, tienen soportes disjuntos (salvo posiblemente, conjuntos de medida cero); luego, ψj,k ⊥ ψj,k’. Consideremos ahora ψj,k y ψj’,k con j≠ j’, digamos j’ < j. Observemos que la longitud del soporte de ψj,k =1/2j . Luego, si j’ < j, 1/j < 1/j’ y tenemos que soporte de ψj,k ⊂ soporte de ψj’,k. Entonces, ψj,k ⊥ ψj’,k.

Desde que ||ψj,k|| = 1,∀j,k ∈ Z, concluimos que {ψj,k}j,k∈Z es ortonormal.

La prueba de (2) es técnica y larga, por ello la omitimos, Ver [5][9].

Por otro lado se observó en la prueba de que {ψj,k}j,k∈Z, es una b.o.n. de L²(R) esta implícita la idea de AMR. Así, para cada j ∈ Z pongamos

donde I_j,k es el intervalo diádico [k/2j, k+1/2j]. Se tiene: si k es par, entonces I_j+1,k ⊆ Ij,k/2 ; y si k es impar,

Ij+1,k ⊆ Ij,k-1/2. Luego, si f ∈ Vj entonces f es constante sobre intervalos diádicos de longitud 2−j, y

por tanto, f es constante sobre intervalos diádicos de longitud 2−(j+1). Por tanto, f ∈ Vj+1. Así, se ha verificado i) V_j ⊆ V_j+1, ∀j ∈ Z.

Por esta última conclusión, y por el teorema de Mallat, se puede construir un sistema de ondículas en L²(R).

Veamos; tenemos ϕ(x) = ∑k u(k)ϕ1,k(x). Calculemos los coeficientes u(k), k ∈ Z. Sabemos que:

u(k) =< ϕ, ϕ_1,k > ya que {ϕ1,k}_k∈Z es o.n. Pero,

Luego u(0) =< ϕ,ϕ_1,0 >= 2−1/2, u(1) =< ϕ,ϕ1,1 >= 2−1/2 y u(j) = 0, si j ≠ 0,1.

Por tanto tenemos ϕ(x) = ∑k u(k)21/2ϕ(2x − k), esto es

Corolario 4.2. {ψj,k}j,k∈Z es una b.o.n. para L²(R). ψ es llamada la ondícula de Haar. El sistema de Haar {ψj,k} es la más antigua b.o.n. de ondículas.

Recordemos al teorema de muestro de Shannon: “Si f ∈ L¹(R) tal que el soporte de fˆ ⊂ [−π,π], entonces

En esta dirección tenemos el siguiente argumento:

Observemos que ||ψ^|| = 1. Por otro lado, antitransformando,

Objetivo: probar que {ψj,k}_j,k∈Z es una b.o.n. para L²(R).

Para probar esta afirmación, debemos verificar que ||ψj,k|| = 1,∀j,k ∈ Z, y que {ψj,k} es un marco (frame) casi ortogonal, con cota-marco igual a 1 (esto significa que debemos probar: ∑j,k | < f,ψj,k >

|2 = ||f||2). Si estas dos condiciones se satisfacen, es conocido que ello implica que {ψj,k} sea una b.o.n. para L²(R). En efecto,

Primero veamos que se cumple: i) ||ψj,k|| = ||ψ|| = ||ψ^|| = 1,∀j,k ∈ Z.

En segundo lugar tenemos:

∴ {ψj,k}j,k∈Z es una b.o.n. para L²(R).

Definición 4.8. es llamada ondícula de Shannon.

Este ejemplo es una regularización del sistema de Haar. Sea g₀(x) = K_[0,1](x).

Por definición, gm = gm−1 ∗ g0, m ≥ 1 entero. gm se llama la función spline de orden m. De esta manera, gm(x)=∫10 gm-1(x-t)dt. Sea la familia {gm(x − k)}_k∈Z.

V^m ₀ denota al espacio generado por{gm(x − k)}_k∈Z. V^m _j es definido vía dilatación:

Sea m ≥ 1 entero. Por definición

En particular,

S1 = {f constante sobre [k,k +1], k ∈ Z}, espacio en donde consideramos la base (g₀(x−k))_k∈Z. En general:

En este breve paseo por el mundo de las ondículas hemos recorrido algunos pasajes de un universo que cada vez se va ampliando más, tanto en sus fundamentos teóricos, como, y sobre todo, en sus diversas aplicaciones. Este camino podría ser continuado por otros caminos de igual belleza y atracción. Bosquejemos algunos de ellos:

3. Ondículas de soporte compacto. En su interrelación con la teoría de filtros y problemas concretos, en la teoría de ondículas surgieron algunas cuestiones como, ¿es posible construirse bases o.n. de ondículas que corresponden a filtros finitos? ¿tales ondículas serán más útiles en problemas concretos, como en la teoría de señales? Estas, y otras cuestiones, fueron clarificadas por I. Daubechies, en 1988, al introducir las ondículas de soporte compacto, quien fue motivada por un trabajo de S. Mallat relativo a un algoritmo rápido para calcular transformadas de ondículas. Ver [2] y [6].

4. Ondículas y sus múltiples aplicaciones. Se ha publicado mucho sobre ondículas, tanto en artículos, como en libros. Esta tendencia parece incrementarse día a día. Una razón es por sus múltiples aplicaciones a muchas áreas de la ciencia y de la tecnología. El lector es invitado a visitar la biblioteca de ciencias de la PUCP, en donde existen muchos libros sobre ondículas, tanto teóricos como de aplicaciones. Vía esa visita, este paseo puede continuar...