El dominio de las aplicaciones consideradas en este artículo es un espacio métrico (X,d), denotado por X. La topología se construye por medio de la distancia d : X × X → [0,+∞) y haciendo uso de la ε−vecindad abierta generada por cada ε > 0 en cualquier subconjunto A de X, la cual viene dada por

${\mathcal{O}}_{\epsilon }\left(A\right)=\bigcup _{a\in A}\{x\in X:d(x,a)<\epsilon \}=\{x\in X:d(x,A)<\epsilon \},$

donde d(x,A)=´ınf{d(x,a): a∈A}. Específicamente, una familia T(·) = {T(t) : t ≥ 0} que está formada por funciones continuas de X en X es un semigrupo en X, si T(·) satisface las tres condiciones siguientes:

• ⋄ T(0) = I_X , donde I_X es la aplicación identidad en X.

• ⋄ T(s+t) = T(t)T(s) (composición), para todo t,s ∈ [0,+∞).

• ⋄ [0,+∞)×X ∋ (t,x) 7→ T(t)x ∈ X es continua.

La órbita positiva de un subconjunto E de X viene dada por

${\gamma }^{+}\left(E\right)=\bigcup _{t\ge 0}T\left(t\right)E.$

Con la órbita se estudia el comportamiento asintótico de E bajo la acción del semigrupo, por ejemplo, cuando la órbita positiva es el propio conjunto. Se utilizan concretamente los subconjuntos invariantes bajo T(·), es decir, los conjuntos A ⊂ X que cumplen

T(t)A = A, para todot ≥ 0.

Para relacionar las propiedades dinámicas de un conjunto invariante con otras órbitas, se introduce el concepto de atracción para lo cual es necesario comparar conjuntos. Esto se logra haciendo uso de la semidistancia de Hausdorff entre dos subconjuntos del espacio métrico, la cual viene dada por

$d_H(A,B)=\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\left\{d\right(a,B):a\in A\}; A\subset X, B\subset X.[/p]$

De este modo, cuando

$\underset{t\to \infty }{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}{d}_H\left(T\right(t)B,A)=0; A\subset X, B\subset X$

se dice que A atrae al conjunto B. Finalmente, al subconjunto A de X se le denomina atractor global para T(·) cuando:

• ⋄ $\mathcal{A}$ es compacto.

• ⋄$\mathcal{A}$ es invariante.

• ⋄$\mathcal{A}$ atrae a cada subconjunto acotado de X.

Cabe mencionar que cada atractor global no solo es único, sino también está formado por todas las soluciones globales que son acotadas.

La exposición se organiza de la siguiente manera. En la sección 2 se definen los dos tipos de atractores locales y se describen las condiciones para obtener su equivalencia (proposición 2.11). En la sección 3 no solo se incluye el concepto de descomposición de Morse débil, sino también sus propiedades dinámicas. En este contexto, se usa la llamada familia invariante aislada para obtener el teorema 3.4, donde se establece la equivalencia del concepto de descomposición de Morse presentado por dos enfoques diferentes en los libros de Rybakowski (1987) y de Carvalho et al. (2013). En la sección 4, se introduce el concepto de semigrupo gradiente con respecto a una familia invariante aislada y se prueba que el semigrupo es dinámicamente gradiente con respecto a esa familia (proposición 4.8). Para la recíproca de esta afirmación se construye una función de Lyapunov generalizada, estableciéndose así la equivalencia entre los dos conceptos (teorema 4.13). En la sección 5, se presenta el teorema de estabilidad (teorema 5.3) como una aplicación de la teoría desarrollada en las secciones anteriores, mediante algunos ejemplos. Se concluye con el apéndice A, donde se describen las propiedades básicas de las soluciones maximales de una ecuación diferencial autónoma definida en un espacio de dimensión finita.

La siguiente definición aparece en el libro de Rybakowski y no presupone la existencia de un atractor global para el semigrupo. Para evitar cualquier equivocación se habla de una pareja atractor- repulsor dentro de un compacto invariante. Este concepto es complementario al llamado par atractor-repulsor en un atractor global (definición 2.9).

Definición 2.2. Sea SA un compacto invariante bajo T(·). El conjunto A ⊂ SA es un atractor local débil (en SA ) si existe una constante ε > 0 que satisface

$\omega \left({\mathcal{O}}_{\epsilon }\right(A)\cap S_{\mathcal{A}})=A.$

El repulsor (relativo a SA ) asociado al atractor local débil A ⊂ SA es

$A^{*}=\{x\in S_{\mathcal{A}}:\omega (x)\cap A=⌀\}.$.

Al par ordenado (A,A^∗) se le dice: pareja atractor-repulsor, respecto a SA .

Ejemplo 2.3. En el semigrupo inducido por (2) y descrito por la Figura 1 el conjunto SA = D₁ es un compacto, invariante bajo T(·). El conjunto A = D₁ es un atractor local débil pues satisface $A=\omega \left({\mathcal{O}}_{\epsilon }\right(A)\cap S_{\mathcal{A}})$ para algún ε > 0 y su respectivo repulsor A^∗ es ∅.

En el estudio de las propiedades dinámicas de la pareja atractor- repulsor (A,^A∗ ) en un compacto invariante SA (teorema 2.4), aparece el concepto de solución global. La solución global para el semigrupo T(·) es una función continua ξ : R → X que verifica

T(t)ξ(s) = ξ(t +s), ∀s ∈ Ry ∀t ∈ [0,+∞).

Si x ∈ X admite una solución global ξ_x con ξ_x (0) = x se dice que la solución global ξ_x pasa por x. Esta solución ξ_x verifica ξ_x (t) = T(t)x para todo t ≥ 0. Además, el conjunto α−límite es

En este contexto, por la continuidad del semigrupo se obtiene T(t)α(ξ_x )⊂α(ξ_x ),∀t ≥ 0. Análogamente, para cada elección del parámetro t ≥ 0, la regla de correspondencia s 7→ ξ_x (t +s) define una solución global que pasa por T(t)x.

Teorema 2.4. Sea (A,A^∗) una pareja atractor-repulsor para T(·), respecto a SA , entonces

1. 1. Los conjuntos A y A^∗son disjuntos, compactos e invariantes.
2. 2. Sea ξ_x =ξ : R→SA la solución global que pasa por x∈SA ; las siguientes implicaciones son válidas:

1. 1. Si $x\in A^{*}$ o la intersección ω(x) ∩ A∗ ̸= ∅, entonces ξ(R) ⊂ A .
2. 2. Si α(ξ)∩A ̸⁼ ∅ entonces ξ(R) ⊂ A.
3. 3. Si x ̸∈ A∪A^∗, entonces A^∗ ⊃ α(ξ) y ω(x) ⊂ A.

Demostración. La prueba de este teorema aparece en el último capítulo del libro de Rybakowski (1987).

Corolario 2.5. Sean x ∈ SA y A el atractor local débil en SA .

$\mathrm{S}\mathrm{i}\hspace{0.33em}\hspace{0.33em}\omega \left(x\right)\cap A\ne ⌀,\hspace{0.33em}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{c}\mathrm{e}\mathrm{s}\hspace{0.33em}\omega \left(x\right)\subset A.$

Demostración. Se observa inicialmente que si x ∈ A, entonces por la propiedad (1) y la invarianza de A se obtiene directamente que el conjunto ω(x) está incluido en A. Si por el contrario $x\notin A^{*}$. y la intersercción $\omega \left(x\right)\cap A\ne ⌀,$ la definición del repulsor A implica directamente que $x\notin A^{*}$. En otras palabras, $x\notin (A\cup A^{*})$. Por el teorema 2.4, se obtiene ω(x) ⊂ A. Por lo tanto, se cumple el corolario.

El atractor global de T(·) es el compacto invariante que atrae a cada subconjunto acotado de X. En otras palabras, el atractor global es un compacto invariante al cual confluyen todas las trayectorias, este hecho nos da la información de cómo evoluciona el sistema con el transcurrir del tiempo. Cabe recordar que el atractor global es único y se caracteriza con las soluciones globales ξ que son acotadas. Es decir, el atractor global A satisface

A = {ξ(0): ξ es una solución global acotada} .

A continuación, se presenta un resultado de existencia del atractor global en dimensión finita, tal como aparece en Gavilán (2019). Cabe mencionar que tal monografía no describe la estabilidad de las familias uniparamétricas de semigrupos en el sentido de la sección 5.

Proposición 2.6. Si X = Rⁿy T(·) admite un subconjunto acotado B ⊂ Rⁿque atrae a cada conjunto unitario deRⁿ. Entonces B atrae a cada subconjunto compacto K ⊂ Rⁿ. En particular, B es atrayente, es decir:

$\underset{t\to +\infty }{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}{d}_H\left(T\right(t)C,B)=0, \forall C\subset {\mathbb{R}}^n,\mathrm{ }\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{o}.$

Demostración. La condición «B atrae al conjunto A» es equivalente a decir para cada constante ε > 0, la vecindad O_ε (B) absorbe al conjunto A. Simbólicamente esto significa:

(4)

Esto se obtiene directamente, puesto que la inclusión T(t)A ⊂ O_ε (B) es equivalente a la desigualdad d_H (T(t)A,B) ≤ ε. En este contexto, basta probar que para cada conjunto compacto K ⊂ Rⁿ se cumple:

ε > 0 ⇒ O_ε (B) absorbe al conjunto K.

En efecto, si ε > 0, la condición limd_HTRⁿt→+∞

implica que alguna vecindad abierta de x ∈ K es absorbida por O_ε (B). Usando una cobertura finita del compacto K se infiere que O_ε (B) absorbe K. Por (4), se obtiene que B atrae a cada compacto

K ⊂ Rⁿ .

El conjunto B es atrayente, pues para cada acotado C ⊂ Rⁿ su clausura C es un compacto que satisface no solo la inclusión T(t)C ⊂ T(t)C sino también

$d_H\left(T\right(t)C,B)=d_H(\overline{T\left(t\right)C},B)\le d_H\left(T\right(t)\overline{C},B)\to 0.$

Esto concluye la demostración.

Ejemplo 2.7. La ecuación diferencial

x˙ = −x(x−η)(x+η), η es una constante

induce un semigrupo T(·) que admite un conjunto compacto e invariante que atrae a cada número real. Específicamente, a partir de la proposición 2.6, se obtiene que el intervalo A = [−η , η] es el atractor global.

Ejemplo 2.8. Considere el sistema de ecuaciones diferenciales dado en (2). Por la caracterización presentada en (3), se obtiene directamente que el disco

$\overline{D_2}=\left\{\right(x,y)\in {\mathbb{R}}^2:x^2+y^2\le 4\}$

de la Figura 1, es un conjunto compacto e invariante bajo T(·) que atrae a cada conjunto unitario del plano R². En este contexto, la proposición 2.6 garantiza que el disco D₂ es el atractor global del sistema.

A continuación, se estudia la estructura del atractor global.

Definición 2.9. Sea T(·) un semigrupo que admite un atractor global A ⊂ X. Un subconjunto A ⊂ A es un atractor local del semigrupo si

ω(O_ε (A)) = A, para algúnε > 0.

El repulsor A^∗ asociado al atractor local A es el conjunto definido por

$A^{*}=\{x\in \mathcal{A}:\omega (x)\cap A=⌀\}.$

El par (A,A^∗) es llamado par atractor-repulsor para T(·).

Ejemplo 2.10. A manera de ilustración se presentan algunos atractores locales que se construyen dentro del atractor global

A = D₂ (ejemplo 2.8). Específicamente, ellos son:

Así, cada uno de estos conjuntos cumplen ω(O_ε (A_j )) = A_j para algún ε > 0 cuando 0 ≤ j ≤ 3. Sus respectivos repulsores asociados son:

donde int(D₁) significa el interior de D₁. Además se observa que

∅= A₀ ⊂ A₁ ⊂ A₂ ⊂ A₃ =A y A .

La siguiente proposición presenta las definiciones de atractor local de acuerdo a dos enfoques diferentes. El primero aparece en el libro de Rybakowski (1987) y el segundo se encuentra en el libro de Carvalho et al. (2013).

Proposición 2.11. Sea A un atractor global para T(·). Si A ⊂A es invariante, son equivalentes:

1. 1. Existe ε > 0 tal que $\omega \left({\mathcal{O}}_{ϵ}\right(A)\cap \mathcal{A})=A$.

Existe ε > 0 tal que $\omega \left({\mathcal{O}}_{\epsilon }\right(A\left)\right)=A[/p]$

Demostración. Si se acepta el ítem (b), basta observar que

A ⊂ O_ε (A)∩A ⊂ O_ε (A).

A partir de las propiedades del conjunto límite, que aparecen en

(1), se obtiene que

ω(A) ⊂ ω(O_ε (A)∩A ) ⊂ ω(O_ε (A)) = A

Por lo tanto, se cumple (a) pues A es invariante.

Para la demostración de la recíproca vea el libro de Carvalho et al. (2013).

Observación 2.12. Cuando en la proposición 2.11, se sustituye la condición A (atractor global) por SA (compacto e invariante) la equivalencia no necesariamente es válida.

Este hecho se muestra en el siguiente ejemplo:

Ejemplo 2.13. Sea SA = D₁. En el ejemplo 2.3 se observa que el conjunto A = D₁ cumple el ítem (a) de la proposición 2.11, sin embargo A = D₁ no satisface el ítem (b), pues $\omega \left({\mathcal{O}}_{\epsilon }\right(A\left)\right)\ne A$ para todo ε > 0.

Este concepto aparece en el artículo de Aragão et al. (2011) y es de gran utilidad para describir las propiedades de una descomposición de Morse, en un atractor global A (teorema 3.4). La familia {E₁,...,E_n } es invariante aislada si existe δ > 0 tal que

${\mathcal{O}}_{\delta }\left(E_i\right)\cap {\mathcal{O}}_{\delta }\left(E_j\right)=⌀$, cuando 1 ≤ i < j ≤ n

y cada cerrado E_i ⊂ A es el invariante maximal en O_δ (E_i ). En otras palabras, cada conjunto cerrado E_i es invariante aislado. Específicamente, un conjunto cerrado e invariante E ⊂ X se denomina invariante aislado, si existe una constante ε > 0 tal que el conjunto inicial E es el invariante maximal en O_ε (E), es decir, cualquier conjunto invariante B ⊂ O_ε (E) satisface B ⊂ E. Por ejemplo, en un atractor global A

cada atractor local A ⊂ A y su respectivo repulsor son invariantes aislados.

El siguiente teorema demuestra la equivalencia del concepto de descomposición de Morse dados en los libros de Rybakowski (1987) y de Carvalho et al. (2013). Cabe mencionar que por la proposición 2.11 los pares atractor-repulsor en un atractor global heredan las propiedades topológicas de las parejas atractorrepulsor, por ejemplo la compacidad. En particular, se dan las condiciones para aplicar el teorema 2.4.

Teorema 3.4. Sea T(·) un semigrupo que admite un atractor global A . Son equivalentes:

1. 1. El atractor global admite una descomposición de Morse débil. Es decir, existe una colección ordenada {E˜₁,...,E˜_n } asociada a una familia de atractores locales débiles en A

∅ = A₀ ⊂ A₁ ⊂ ··· ⊂ A_n−1 ⊂ A_n = A

por medio de la relación

${\tilde{E}}_j=A_j\cap A_{j-1}^{*}, \forall 1\le j\le n$

1. 1. El atractor global admite una familia ordenada {E₁,...,E_n } de cerrados que es invariante aislada, para la cual cada solución global ξ : R → A induce i, j con i ≥ j tal que

Demostración. (1 ⇒ 2): Se prueba inicialmente que la siguiente familia ordenada {E˜₁,...,E˜_n } es invariante aislada. Para obtener esta afirmación se observa que todos los conjuntos ${\tilde{E}}_j=A_j\cap A_{j-1}^{*}$ son compactos y disjuntos, por ello existe una constante positiva ε > 0 que satisface ${\mathcal{O}}_{ϵ}\left({\tilde{E}}_i\right)\cap {\mathcal{O}}_{ϵ}\left({\tilde{E}}_j\right)=⌀$ cuando 1 ≤ i < j ≤ n. Como ${\tilde{E}}_i$ es el repulsor de A_i−1 en A_i , entonces E^˜_i es invariante aislado, es decir, admite una constante δ_i> 0 de modo que E˜_i es invariante maximal en O_δi (E^˜_i ). Por tanto,

• Existe la constante δ = m´ın{ε,δ₁,...,δ_n } > 0 para la cual se cumple que E^˜_i es invariante maximal en O_δ (E^˜_i ). Además, si 1 ≤ i < j ≤ n, la intersección ${\mathcal{O}}_{\delta }\left({\tilde{E}}_i\right)\cap {\mathcal{O}}_{\delta }\left({\tilde{E}}_j\right)=⌀$.

Continuando con la prueba, se afirma que cada solución global ξ : R→A induce subíndices i, j con i≥ j de modo que α(ξ)⊂E˜_i y ω(ξ(0)) ⊂ E^˜_j . En este sentido, se da x = ξ(0) ∈A y se elige el subíndice i como el menor elemento del conjunto {1,...,n} para el cual el respectivo atractor local A_i contiene a x, pero A_i−1 no lo incluye. Es decir,

i = min{1,...,n: x ∈ A_i , pero x ∈/ A_i−1 }.

En este contexto, si x, la invarianza del conjunto cerrado E˜_i garantiza que α(ξ)∪ω(x) ⊂ E^˜_i y se concluye. Si por el contrario x es decir $x\notin (A_{i-1}\cup A_{i-1}^{*})$, el teorema 2.4 muestra que $\alpha \left(\xi \right)\subset A_{i-1}^{*}$ y $\omega \left(x\right)\subset A_{i-1}$. La elección de i y la invarianza de A_i implica que $\alpha \left(\xi \right)\subset \widetilde{E_i}=A_i\cap A_{i-1}^{*}$. De ω(x) ⊂ A_i −₁, pueden ocurrir dos situaciones complementarias:

$o \omega \left(x\right)\cap A_{i-2}^{*}\ne ⌀,\mathrm{ }\mathrm{o}\mathrm{ }\mathrm{b}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{ }\omega \left(x\right)\cap A_{i-2}^{*}=⌀.$

Si $\omega \left(x\right)\cap A_{i-2}^{*}\ne ⌀$, el teorema 2.4 muestra que $\omega \left(x\right)\subset A_{i-2}^{*}$ y se concluye que ω(x) ⊂ E^˜_i−1 . Si por el contrario ω(x) es disjunto de ^A∗_i−2 se desprende que ω(x)∩E^˜_i−1⁼ ∅. Es más, la suposición $\omega \left(x\right)\cap A_{i-2}^{*}=⌀$ implica que $\omega \left(x\right)\cap A_{i-2}\ne ⌀$ y por el corolario 2.5 se obtiene ω(x) ⊂ A_i−2 . En este contexto,

$\left.\begin{array}{l}\omega \left(x\right)\subset A_{i-2}\\ \omega \left(x\right)\cap A_{i-3}^{*}\ne ⌀\end{array}\right\}⟹\omega \left(x\right)\subset {\tilde{E}}_{i-2}$

y

$\left.\begin{array}{l}\omega \left(x\right)\subset A_{i-2}\\ \omega \left(x\right)\cap A_{i-3}^{*}=⌀\end{array}\right\}⟹\omega \left(x\right)\subset A_{i-3}$.

De este modo, se desprende que ω(x) ⊂ E^˜_i−2 o bien ω(x) ⊂ A_i−3 . Continuando con este procedimiento inductivo, puede finalmente ocurrir que ω(x) ⊂ A₂, y así se desprende que ω(x) ⊂ E^˜₂ o bien ω(x) ⊂ A₁ = E^˜₁. Es decir, ω(x) ⊂ E^˜_j , para algún 1 ≤ j < i. Por lo tanto, se cumple (2) en el presente teorema.

(2 ⇒ 1): La familia ordenada de cerrados {E₁,...,E_n } es invariante aislada, existe δ > 0 tal que O_δ (E_i ) ∩ O_δ (E_j^{) =} ∅ cuando 1 ≤ i < j ≤ n, y además cada cerrado E_i ⊂ A es invariante maximal en O_δ (E_i ). La compacidad de A garantiza que cada E_i es compacto. Con todo esto, (2) induce las condiciones de la proposición 3.3. Por lo tanto, la familia {E₁,...,E_n } es una descomposición de Morse y se obtiene (1). Esto concluye la demostración.

Ejemplo 3.5. La descomposición de Morse S = {E₁,E₂,E₃} del atractor global A = D₂ se obtiene utilizando la relación

E_j para todo 1 ≤ j ≤ 3, donde el par atractor-repulsor están dados en el ejemplo 2.10. Es decir,

$E_1=A_1\cap A_0^{*}=\left\{\right(\mathrm{0,0}\left)\right\}\cap \overline{D_2}=\left\{\right(\mathrm{0,0}\left)\right\}.[/p]$

$E_3=A_3\cap A_2^{*}=\overline{D_2}\cap \partial \overline{D_1}=\partial \overline{D_1}.$

Además, se observa que la familia ordenada S = {E₁,E₂,E₃} de cerrados es invariante aislada. Además, en la Figura 1, para cada solución global ξ : R → A se cumple

(6)

Definición 4.6. Sea T(·), un semigrupo que admite un atractor global A y sea S = {E₁,...,E_n }, una familia invariante aislada. Se dice que T(·) es un semigrupo gradiente con respecto a S si existe una función continua V : X → R tal que:

• ⋄ La función [0,∞) ∋ t 7→ V(T(t)x) ∈ R es decreciente, para cada x ∈ X;

• ⋄ V es constante en E_i , para cada 1 ≤ i ≤ n y

• ⋄ V(T(t)x) = V(x),∀t ≥ 0 si y sólo si x ∈ ^[Ei=1

V es la función de Lyapunov generalizada de T(·), con respecto a S .

Ejemplo 4.7. La ecuación diferencial

x˙ = −x³, x ∈ R,

genera un semigrupo T(·) cuyo atractor global es A = {0}. En este caso, S = {E₁} = {{0}} es invariante aislada y la función V : R → R, definida por V(y^{) = y} cumple

$\frac{d}{dt}V\left(x\right(t\left)\right)=-x^6\left(t\right),$

donde x(t) = T(t)x₀ es la solución que satisface x(0) = x₀. Claramente se verifica que t 7→ V(T(t)x₀) es decreciente. Además, V(x(t)) = V(x₀),∀t ≥ 0 implica que x(t) ∈ {0} = E₁. Por tanto, V es una función de Lyapunov y el semigrupo es gradiente con respecto a S .

Proposición 4.8. Si V : X → Res una función de Lyapunov generalizada de T(·), con respecto a la familia invariante aislada S = {E₁,...,E_n }, entonces T(·) es dinámicamente gradiente con respecto a S .

Demostración. Para verificar la definición 4.3 se considera una solución global ξ_x , con ξ_x (0) = x. Como T(·) es gradiente con respecto a la familia invariante aislada S = {E₁,...,E_n }, se cumple que

$\omega \left(x\right)\subset \bigcup _{k=1}^n{E}_k\hspace{0.33em}\hspace{0.33em}\mathrm{y}\hspace{0.33em}\hspace{0.33em}\alpha \left({\xi }_x\right)\subset \bigcup _{k=1}^n{E}_k$

Por tanto,

⋄ Para cualquier solución global ξ : R → A existe 1 ≤ i, j ≤ n tal que

Para probar que S no tiene una estructura homoclínica se procede por reducción al absurdo. En otras palabras:

• Se admite un subconjunto {E_k1 ,...,E_kp } de S (p ≤ n), asociado a soluciones globales {ξ₁,...,ξ_p } tales que

cuando 1 ≤ j ≤ p con E_kp+1 = E_k1 .

Como V es continua y decreciente a lo largo de las soluciones, para todo 1 ≤ j ≤ p y s ≤ 0 ≤ t se tiene

$V\left(\alpha \right({\xi }_j\left)\right)\ge V\left({\xi }_j\right(s\left)\right)\ge V\left({\xi }_j\right(0\left)\right)\ge V\left({\xi }_j\right(t\left)\right)\ge V\left(\omega \right({\xi }_j\left(0\right)\left)\right),$

donde V(E_kj ) = V(α(ξ_j )) y V(ω(ξ_j (0))) = V(E_kj+1 ). Puesto que E_kp+1 = E_k1 , se desprende que V(T(t)ξ_p (0)) = V(ξ_p (t)) =V(ξ_p (0)) y por la definición 4.6, ξ_p (0) ^{∈ ∪p}_j=1E_kj . Por la invarianza de cada E_kj se tiene que los conjuntos límites ω(ξ_p (0)),α(ξ_p )⊂E_kj 0 para algún 1≤ j₀ ≤ p. Como ω(ξ_p (0))⊂E_kp+1 y α(ξ_p ) ⊂ E_kp , surge una contradicción con la definición de familia invariante aislada. Consecuentemente,

⋄ No existe una estructura homoclínica asociada a S .

Por tanto, el semigrupo satisface la definición 4.3.

En el artículo de Carvalho et al. (2009), se presenta el concepto de atractor tipo-gradiente como el atractor que se caracteriza por medio de la unión de los conjuntos inestables de sus conjuntos invariantes asociados (8). En este contexto, de acuerdo con la clásica teoría de los sistemas dinámicos, el conjunto inestable de un subconjunto invariante E viene dado por

Ejemplo 4.9. Se considera los conjuntos invariantes

E₁ = {(0,0)}, E₂ = ∂D₂ y E₃ = ∂D₁

para el semigrupo generado por el sistema dado en (2). Los conjuntos inestables de cada E_j son:

W^u (E₁) = E₁, W^u (E₂) = E₂ y W^u (E₃) = int(D₂)\E₁.

Además, cuando los conjuntos invariantes son atractores locales, estos coinciden con sus conjuntos inestables.

En el siguiente teorema se describen las propiedades básicas de un semigrupo dinámicamente gradiente respecto a una descomposición de Morse del atractor global. En este contexto, se utilizan los conjuntos inestables para obtener atractores locales.

Teorema 4.10. Sea T(·) un semigrupo dinámicamente gradiente respecto a la familia invariante aislada S = {E₁,...,E_n }. Si S es una descomposición de Morse de A . Entonces los conjuntos

$A_k=\bigcup _{i=1}^k{W}^u\left(E_i\right), \mathrm{ }\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{ } 1\le k\le n[/p]$

son atractores locales de T(·) que satisfacen las inclusiones A₀ =

∅ ⊂ A₁ ⊂ ··· ⊂ A_n−1 ⊂ A_n = A y E_j. Además,

Demostración. Una prueba aparece en el artículo de Aragão et al. (2011).

Del teorema 4.10 se desprende otra caracterización del atractor global:

y recibe el nombre de atractor tipo-gradiente.

Ejemplo 4.11. Si se considera los resultados del ejemplo 4.9 se tiene que

$\mathcal{A}=A_3=\bigcup _{i=1}^3{W}^u\left(E_i\right).$

donde E_i fueron obtenidos utilizando la relación $E_i=A_i\cap A_{i-1}^{*}$ del ejemplo 3.5 en el cual también se presentan los atractores locales.

Los siguientes resultados permiten construir la función de Lyapunov generalizada del teorema 4.13.

Proposición 4.12. Se asume que T(·) admite un atractor global A y que (A,A^∗) es un par atractor-repulsor para T(·), con A̸=∅.

1. 1. 1.- La función h : X → [0,+∞) dada por h(z) = ^sup_t ≥₀d T cumple

• (a) h⁻¹(0) = A y h es continua en X.

• (b) $t\mapsto h\left(T\right(t\left)z\right)$ es decreciente, para cada z ∈ X.

1. 1. 2.- La función L : X → [0,1], dada por

$L\left(z\right)=\frac{d(z,A)}{d(z,A)+d(z,A^{*})}$ está bien definida y es uniformemente continua en X. Además, L⁻¹(0) = A y

L⁻¹(1) = A^∗.

1. 1. 3.- La función K : X → [0,1] dada por K(z) = supL(T(t)z) esta

t≥0

bien definida y satisface:

• K es continua en X y decreciente a lo largo de las soluciones.

• K⁻¹(0) = A y K⁻¹(1)∩A = A^∗.

• Si z ∈ A y K(T(t)z) = K(z), ∀ t ≥ 0 entonces z ∈ A∪A^∗.

1. 1. 4.- La función f : X → Rdada por f(z) = K(z) + h(z) es continua en X, y satisface:

• f decreciente a lo largo de las soluciones.

• f⁻¹(0) = A y f⁻¹(1)∩A = A^∗.

• Si z ∈ X y f(T(t)z) = f(z), ∀t ≥ 0 entonces z ∈ A∪A^∗.

Demostración. Esta construcción aparece en los trabajos de Aragão et al. (2011); Carvalho et al. (2013) (vea también las tesis de Marín (2016)).

Los autores en el artículo de Aragão et al. (2011), recuerdan que en el artículo de «enCarvalho et al. (2009) aparecen los semigrupos dinámicamente gradiente(no requieren la existencia de una función de Lyapunov, sólo algunas propiedades en la descomposición de Morse del atractor) como un concepto intermedio entre los semigrupos gradientes y los semigrupos que admiten un atractor tipo-gradiente» (8). Para los semigrupos que admiten un atractor global, ser dinámicamente gradiente con respecto a una familia invariante aislada es equivalente a poseer una función de Lyapunov generalizada.

Teorema 4.13. Sea T(·), un semigrupo que admite un atractor global A y sea S = {E₁,...,E_n }, una familia invariante aislada. Son equivalentes:

1. 1. T(·) es un semigrupo gradiente con respecto a S .
2. 2. T(·) es S−dinámicamente gradiente.

Demostración. La parte (1 ⇒ 2) se prueba en la proposición 4.8. Para obtener (2 ⇒ 1) se construye una función de Lyapunov generalizada V : X → R que satisface V(E_k ) = k−1 para 1 ≤ k ≤ n. Inicialmente se reordena S para obtener una descomposición de Morse y se usa cada par atractor-repulsor (A_j ,^A∗_j ). Con esto se consideran las funciones continuas K_j dadas por

$K_j\left(z\right)=\underset{t\ge 0}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}\&\#091;\frac{d\left(T\right(t)z,A_j)}{d\left(T\right(t)z,A_j)+d\left(T\right(t)z,A_j^{*})}\&\#093;, \forall 1\le j\le n$

y se define

nV(z) = h(z)+ ∑ K_j (z),

j=0

donde

$K_0\left(z\right)=\underset{t\ge 0}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}\&\#091;\frac{d\left(T\right(t)z,⌀)}{d\left(T\right(t)z,⌀)+d\left(T\right(t)z,\mathcal{A})}\&\#093;=0.$

Como las funciones h y K_j son decrecientes a lo largo de las soluciones (proposición 4.12), se obtiene el primer ítem de la definición 4.6, según el cual:

⋄ La función [0,∞) ∋ t 7→ V(T(t)x) ∈ R es decreciente, para cada x ∈ X.

Para continuar se considera $z\in E_k=A_k\cap A_{k-1}^{*}$. De este modo, z ∈ A_k ⊂ A_k+1 ⊂ ··· ⊂ A_n = A y

$z\in A_{k-1}^{*}\subset A_{k-2}^{*}\subset \dots \subset A_1^{*}\subset A_0^{*}=\mathcal{A}.$

En consecuencia

h(z) = 0, K_j (z) = 1, si 1 ≤ j ≤ k−1 y K_j (z) = 0, si k ≤ j ≤ n.

Es decir,

Por lo tanto, V(E_k ) = k −1, para todo 1 ≤ k ≤ n y se obtiene la siguiente afirmación.

• ⋄ V es constante en E_i , para cada 1 ≤ i ≤ n. Para probar que V satisface la definición 4.6 se afirma:

Para obtener (9) se observa que las funciones h y K_j son decrecientes a lo largo de las soluciones de T(·), es decir,

h(T(t)z) ≤ h(z) y K_j (T(t)z) ≤ K_j (z),∀t ≥ 0 si 0 ≤ j ≤ n.

Si existe t > 0 con h(T(t)z) < h(z) (o bien K_j (T(t)z) < K_j (z), para algún 0 ≤ j ≤ n) se obtiene V(T(t)z) < V(z), lo cual genera una contradicción. Por tanto, h(T(t)z) = h(z),∀t ≥ 0 (o K_j (T(t)z) = K_j (z),∀t ≥ 0 cuando 0 ≤ j ≤ n). En otras palabras, cada f_j = K_j +h satisface

f_j (T(t)z) = f_j (z), ∀t ≥ 0.

De la proposición 4.12, se obtiene $z\in (A_j\cup A_j^{*})$ cuando 0 ≤ j ≤ n.

Es decir,

$z\in \bigcap _{j=0}^n(A_j\cup A_j^{*})=\bigcup _{j=1}^n{E}_j$ (teorema 4.10) y se obtiene (9). Para concluir, se afirma que para todo z ∈ X,

En efecto, sea $z\in \bigcup _{j=1}^n{E}_j=\bigcap _{j=0}^n(A_j\cup A_j^{*})$. Para cada 0 ≤ j ≤ n se

obtiene que z ∈ A_j ∪A^∗_j .

Si z ∈ A_j se cumple que T(t)z ∈ A_j ⊂ A ,∀t ≥ 0 y así h(T(t)z) = 0 y K_j (T(t)z) = 0, ∀t ≥ 0, luego V(T(t)z) = h $V\left(T\right(t\left)z\right)=h\left(T\right(t\left)z\right)+\sum _{j=0}^n{K}_j\left(T\right(t\left)z\right)=0,\forall t\ge 0$. En particular,

V(T(t)z) = V(z) = 0,∀t ≥ 0.

Si z ∈ A^∗_j , cada K_j (T(t)z) = 1 y h(T(t)z) = 0, ∀t ≥ 0. Es decir,

V(T(t)z) = V(z) = n,∀t ≥ 0.

Esto demuestra (10). En otras palabras,

⋄ V(T(t)x) = V(x),∀t ≥ 0 si y sólo si x ∈ ^[E_i .

En consecuencia V satisface la definición 4.6. Por lo tanto, T(·) es un semigrupo gradiente con respecto a S .

Ejemplo 4.14. Del resultado del ejemplo 4.5, se concluye que T(·) es un semigrupo gradiente respecto a la familia invariante aislada S = {E₁,E₂,E₃}.

Autor para correspondencia: *mgavilang@unmsm.edu.pe