Tolygiųjų skaičių laipsniai β-tainėje skaičiavimo sistemoje

Igoris Belovas

Articles

On repdigits powers in base β

Igoris Belovas Igoris.Belovas@mif.vu.lt

Vilniaus universitetas, Lituania

Tolygiųjų skaičių laipsniai β-tainėje skaičiavimo sistemoje

Lietuvos matematikos rinkinys, vol. 63 Ser. B, pp. 14-20, 2022

Vilniaus Universitetas

Esta obra está bajo una Licencia Creative Commons Atribución 4.0 Internacional.

Recepción: 30 Junio 2022

Publicación: 10 Diciembre 2022

Summary: Santrauka. Straipsnyje nagrinėjamos tolygiųjų skaičių laipsnių formulės įvairiose skaičia- vimo sistemose. Šio tipo uždaviniai padeda įvaldyti atitinkamą matematinį aparatą, tad gali būti naudojami kaip pratimai informatikos ir informatikos inžinerijos krypčių bakalauro studijų studentams.

Keywords: tolygieji skaičiai, skaičiavimo sistemos.

Abstract: The article presents formulas for powers of repdigits in the different n umeral s ystems. T his task can be used as an exercise for computer science students to help them master the corresponding mathematical apparatus.

Keywords: repdigits, numeral systems.

1I˛vadas

Tolygieji skaičiai (angl. repdigits; vok. Schnapszahlen; pranc. nombres uniformes) – iš vienodų skaitmenų sudaryti natūralieji skaičiai, t. y., jei $β$ yra skaičiavimo sistemos pagrindas, tai tolygusis skaičius yra išreiškiamas formule $α (β^{n} - 1) / (β - 1)$ , kur $0 < α < β$ yra pasikartojantis skaitmuo, o n – pasikartojimų skaičius.

Su tolygiaisiais skaičiais yra susijusios nemažai įdomių matematinių problemų. Šiuo metų aktyviai tyrinėjami įvairių kombinatorinių skaičių (Fibonačio, Pelio, Liuko, Padovos, Pereno ir kt.) skaidiniai tolygiųjų skaičių sumomis [2, 3], sandaugomis [1, 12, 10, 11] ir skirtumais [6] įvairiose skaičiavimo sistemose, bei šių uždavinių atvirkštiniai (t. y., kaip išreikšti tolygiuosius skaičius per tam tikrų kombinatorinių skaičių sumas [14], sandaugas [7, 5] ir skirtumus [13]). Taip pat nagrinėjami fak- torialai kaip tolygieji skaičiai $β$ -tainėje skaičiavimo sistemoje [9], sprendžiami ir kiti uždaviniai.

Įdomių savybių turi tolygiųjų skaičių laipsniai. Įrodyta, kad dešimtainėje siste- moje galioja šios laipsnių formulės [4]:

\binom{\underset{⏟}{{\overline{99 . . . 9}}^{2}}}{n} = \binom{\underset{⏟}{\overline{99 . . . 9}} \overline{8}}{n - 1} \binom{\underset{⏟}{\overline{00 . . . 0}} \overline{1}}{n - 1}, \binom{\underset{⏟}{{\overline{99 . . . 9}}^{3}}}{n} = \binom{\underset{⏟}{\overline{99 . . . 9}} \overline{6}}{n - 1} \binom{\underset{⏟}{\overline{00 . . . 0}} \overline{2}}{n - 1} \binom{\underset{⏟}{\overline{99 . . . 9}} \overline{9}}{n - 1}, \binom{\underset{⏟}{{\overline{99 . . . 9}}^{4}}}{n} = \binom{\underset{⏟}{\overline{99 . . . 9}} \overline{6}}{n - 1} \binom{\underset{⏟}{\overline{00 . . . 0}} \overline{5}}{n - 1} \binom{\underset{⏟}{\overline{99 . . . 9}} \overline{6}}{n - 1} \binom{\underset{⏟}{\overline{00 . . . 0}} \overline{1}}{n - 1}, \binom{\underset{⏟}{{\overline{99 . . . 9}}^{5}}}{n} = \binom{\underset{⏟}{\overline{99 . . . 9}} \overline{5}}{n - 1} \binom{\underset{⏟}{\overline{00 . . . 0}} \overline{9}}{n - 1} \binom{\underset{⏟}{\overline{99 . . . 9}} \overline{0}}{n - 1} \binom{\underset{⏟}{\overline{00 . . . 0}} \overline{4}}{n - 1} \binom{\underset{⏟}{\overline{99 . . . 9}} \overline{9}}{n - 1} .

(1)

Ar analogiškus dėsningumus tolygiųjų skaičių natūraliesiems laipsniams galima nustatyti $β$ -tainėje skaičiavimo sistemoje? Šio tipo uždavinių nagrinėjimas gali būti panaudotas kaip įrankis, padedantis informatikos ir informatikos inžinerijos krypčių bakalauro studijų studentams įvaldyti darbo skirtingose skaičiavimo sistemose matematinę techniką. Uždavinių apibendrinimai gali būti pasiūlyti ir kaip baigiamųjų darbų temos (pl. [8]).

Toliau straipsnyje simboliu $C_{n}^{k}$ žymėsime binominius koeficientus, Aiversono simbolis $[x]$ žymi apvalinimo su trūkumu funkciją,

⌊ x ⌋ = \max {r \in ℤ | r \leq x},

skaičiai $k, n, m, p, s, \in, ℕ$ . Formulės, jei nenurodyta kitaip, yra dešimtainėje skaičiavimo sistemoje.

2 Tolygiu˛ju˛ skaičiu˛ laipsniu˛ formule˙s

Tegu $β$ yra skaičiavimo sistemos pagrindas, o skaitmuo $α = β - 1$ . Galima pastebėti, kad (1) tipo taisyklės laipsniams $m \in$ [2, 5], kai skaitmenų $α α . . . α$ ir $00 . . . 0$ grupės įrašomos pakaitomis tarp skaičiaus $α^{m}$ skaitmenų,

(a) galioja, kai $β \geq 10$ ; pavyzdžiui, šešioliktainėje skaičiavimo sistemoje turime

\binom{\underset{⏟}{{\overline{FF . . .F}}^{2}}}{n} = \binom{\underset{⏟}{\overline{FF . . .F}} \overline{E}}{n - 1} \binom{\underset{⏟}{\overline{00 . . . 0}} \overline{1}}{n - 1}, \binom{\underset{⏟}{{\overline{FF . . .F}}^{3}}}{n} = \binom{\underset{⏟}{\overline{FF . . .F}} \overline{C}}{n - 1} \binom{\underset{⏟}{\overline{00 . . . 0}} \overline{2}}{n - 1} \binom{\underset{⏟}{\overline{FF . . .F}} \overline{F}}{n - 1}, \binom{\underset{⏟}{{\overline{FF . . .F}}^{4}}}{n} = \binom{\underset{⏟}{\overline{FF . . .F}} \overline{C}}{n - 1} \binom{\underset{⏟}{\overline{00 . . . 0}} \overline{5}}{n - 1} \binom{\underset{⏟}{\overline{FF . . .F}} \overline{C}}{n - 1} \binom{\underset{⏟}{\overline{00 . . . 0}} \overline{1}}{n - 1}, \binom{\underset{⏟}{{\overline{FF . . .F}}^{5}}}{n} = \binom{\underset{⏟}{\overline{FF . . .F}} \overline{B}}{n - 1} \binom{\underset{⏟}{\overline{00 . . . 0}} \overline{9}}{n - 1} \binom{\underset{⏟}{\overline{FF . . .F}} \overline{6}}{n - 1} \binom{\underset{⏟}{\overline{00 . . . 0}} \overline{4}}{n - 1} \binom{\underset{⏟}{\overline{FF . . .F}} \overline{F}}{n - 1};

(b) negalioja aukštesniems laipsniams, $m > 5$ , kol skaičiavimo sistemos pagrindas nėra pakankamai didelis. Taip, pavyzdžiui, 20-tainėje $(α =J)$ , 29-tainėje $(α = S)$ ir 36-tainėje $(α = Z)$ skaičiavimo sistemose turime

\binom{\underset{⏟}{{\overline{JJ . . .J}}^{6}}}{n} = \binom{\underset{⏟}{\overline{J J . . . J}} \overline{E}}{n - 1} \binom{\underset{⏟}{\overline{00 . . . 0}} \overline{E}}{n - 1} \binom{\underset{⏟}{\overline{J J . . . J}} \overline{0}}{n - 1} \binom{\underset{⏟}{\overline{00 . . . 0}} \overline{E}}{n - 1} \binom{\underset{⏟}{\overline{J J . . . J}} \overline{E}}{n - 1} \binom{\underset{⏟}{\overline{00 . . . 0}} \overline{1}}{n - 1}, \binom{\underset{⏟}{{\overline{SS . . . S}}^{6}}}{n} = \binom{\underset{⏟}{\overline{S S . . . S}} \overline{N}}{n - 1} \binom{\underset{⏟}{\overline{00 . . . 0}} \overline{E}}{n - 1} \binom{\underset{⏟}{\overline{SS . . .S}} \overline{9}}{n - 1} \binom{\underset{⏟}{\overline{00 . . . 0}} \overline{E}}{n - 1} \binom{\underset{⏟}{\overline{SS . . . S}} \overline{N}}{n - 1} \binom{\underset{⏟}{\overline{00 . . . 0}} \overline{1}}{n - 1}, \binom{\underset{⏟}{{\overline{Z Z . . . Z}}^{7}}}{n} = \binom{\underset{⏟}{\overline{ZZ . . .Z}} \overline{T}}{n - 1} \binom{\underset{⏟}{\overline{00 . . . 0}} \overline{K}}{n - 1} \binom{\underset{⏟}{\overline{Z Z . . . Z}} \overline{1}}{n - 1} \binom{\underset{⏟}{\overline{00 . . . 0}} \overline{Y}}{n - 1} \binom{\underset{⏟}{\overline{Z Z . . . Z}} \overline{F}}{n - 1} \binom{\underset{⏟}{\overline{00 . . . 0}} \overline{6}}{n - 1} \binom{\underset{⏟}{\overline{Z Z . . . Z}} \overline{Z}}{n - 1} .

Kokiomis sąlygomis tokio tipo formulės galioja $β$ -tainėje skaičiavimo sistemoje? Atsakymą į šį klausimą pateikia toliau nurodoma teorema.

1 teorema. Tegu $β$ yra skaičiavimo sistemos pagrindas, $β_{k}$ – skaitmenys. Tuomet, jei

$α = β - 1$ ir $α^{m} = \binom{\underset{⏟}{\overline{β_{m - 1} β_{m - 2} . . . β_{0}}}}{m > 1} = \sum_{k = 0}^{m - 1} β_{k} β^{k},$
$β \geq C_{m}^{⌊ m / 2 ⌋},$

tai

\binom{\underset{⏟}{{\overline{α α . . . α}}^{m}}}{n > 1} = \{\begin{array}{lr} \binom{\underset{⏟}{\overline{α α . . . α}} \overline{β_{m - 1}}}{n - 1} \binom{\underset{⏟}{\overline{00 . . . 0}} \overline{β_{m - 2} . . .}}{n - 1} \binom{\underset{⏟}{\overline{00 . . . 0}} \overline{1}}{n - 1}, & m -lyginis, \\ \binom{\underset{⏟}{\overline{α α . . . α}} \overline{β_{m - 1}}}{n - 1} \binom{\underset{⏟}{\overline{00 . . . 0}} \overline{β_{m - 2} . . .}}{n - 1} \binom{\underset{⏟}{\overline{α α . . . α}} \overline{α}}{n - 1}, & m -nelyginis . \end{array}

(2)

I˛rodymas. Pasinaudoję Niutono formule, gauname

\binom{\underset{⏟}{{\overline{α α . . . α}}^{m}}}{n} = (β^{n} - 1)^{m} = \sum_{k = 0}^{m} C_{m}^{k} (- 1)^{k} β^{n (m - k)} = \binom{\underset{⏟}{(β^{n - 1} - 1)}}{= \overline{α α . . . α}} β^{(m - 1) n + 1} + \binom{\underset{⏟}{(β - C_{m}^{1}) β^{(m - 1) n}}}{= β_{m - 1}} + \binom{\underset{⏟}{(C_{m}^{2} - 1)}}{= β_{m - 2}} β^{(m - 2) n} + \binom{\underset{⏟}{(β^{n - 1} - 1)}}{= \overline{α α . . . α}} β^{(m - 3) n + 1} + \binom{\underset{⏟}{(β - C_{m}^{3})}}{= β_{m - 3}} β^{(m - 3) n} + \binom{\underset{⏟}{(C_{m}^{4} - 1)}}{= β_{m - 4}} β^{(m - 4) n} + . . . + R_{n, m} (β),

kur liekana lygi

R_{n, m} (β) = \{\begin{array}{lr} \binom{\underset{⏟}{(β^{n - 1} - 1)}}{= \overline{α α . . . α}} β^{(m - (m - 1)) n + 1} & + \binom{\underset{⏟}{(β - C_{m}^{m - 1})}}{= β_{1}} β^{(m - (m - 1)) n} + \binom{\underset{⏟}{C_{m}^{m}},}{= β_{0}} \\ m -lyginis, \binom{\underset{⏟}{(C_{m}^{m - 1} - 1)}}{= β 1} β^{(m - (m - 1)) n} + \binom{\underset{⏟}{β^{n} - 1,}}{= \overline{α α . . . α}} \\ m -nelyginis . \end{array}

Pastebėję, kad

β_{m - (2 s - 1)} = β - C_{m}^{2 s} |^{- 1}, β_{m - 2 s} = C_{m}^{2 s} - 1 .

gauname teoremos teiginį.

3 Uždaviniai studentams

I Įrodykite Teiginius 1–3.

1 teiginys.Kai $m \in$ [6, 8] ir $n > 2$ , formulės (3) gaunamos įrašant pakaitomis skaitmenų 99 . . . 9 ir 00 . . .0 grupes tarp skaičiaus $9 9^{m}$ skaitmenų,

\binom{\underset{⏟}{{\overline{99 . . . 9}}^{6}}}{n} = \binom{\underset{⏟}{\overline{99 . . . 9}} \overline{94}}{n - 2} \binom{\underset{⏟}{\overline{00 . . . 0}} \overline{14}}{n - 2} \binom{\underset{⏟}{\overline{99 . . . 9}} \overline{80}}{n - 2} \binom{\underset{⏟}{\overline{00 . . . 0}} \overline{14}}{n - 2} \binom{\underset{⏟}{\overline{99 . . . 9}} \overline{94}}{n - 2} \binom{\underset{⏟}{\overline{00 . . . 0}} \overline{01}}{n - 2}, \binom{\underset{⏟}{{\overline{99 . . . 9}}^{7}}}{n} = \binom{\underset{⏟}{\overline{99 . . . 9}} \overline{93}}{n - 2} \binom{\underset{⏟}{\overline{00 . . . 0}} \overline{20}}{n - 2} \binom{\underset{⏟}{\overline{99 . . . 9}} \overline{65}}{n - 2} \binom{\underset{⏟}{\overline{00 . . . 0}} \overline{34}}{n - 2} \binom{\underset{⏟}{\overline{99 . . . 9}} \overline{79}}{n - 2} \binom{\underset{⏟}{\overline{00 . . . 0}} \overline{06}}{n - 2} \binom{\underset{⏟}{\overline{99 . . . 9}} \overline{99}}{n - 2} \binom{\underset{⏟}{{\overline{99 . . . 9}}^{8}}}{n} = \binom{\underset{⏟}{\overline{99 . . . 9}} \overline{92}}{n - 2} \binom{\underset{⏟}{\overline{00 . . . 0}} \overline{27}}{n - 2} \binom{\underset{⏟}{\overline{99 . . . 9}} \overline{44}}{n - 2} \binom{\underset{⏟}{\overline{00 . . . 0}} \overline{27}}{n - 2} \binom{\underset{⏟}{\overline{99 . . . 9}} \overline{92}}{n - 2} \binom{\underset{⏟}{\overline{00 . . . 0}} \overline{01}}{n - 2} .

2 teiginys.Kai $m \in$ [9, 12] ir $n > 3$ , formulės (4) gaunamos įrašant pakaitomis skaitmenų 99 . . . 9 ir 00 . . .0 grupes tarp skaičiaus $99 9^{m}$ skaitmenų,

\binom{\underset{⏟}{{\overline{99 . . . 9}}^{9}}}{n} = \binom{\underset{⏟}{\overline{99 . . . 9}} \overline{991}}{n - 3} \binom{\underset{⏟}{\overline{00 . . . 0}} \overline{035}}{n - 3} \binom{\underset{⏟}{\overline{99 . . . 9}} \overline{916}}{n - 3} \binom{\underset{⏟}{\overline{00 . . . 0}} \overline{125}}{n - 3} \binom{\underset{⏟}{\overline{99 . . . 9}} \overline{874}}{n - 3} \binom{\underset{⏟}{\overline{00 . . . 0}} \overline{083}}{n - 3} \binom{\underset{⏟}{\overline{99 . . . 9}} \overline{964}}{n - 3} \binom{\underset{⏟}{\overline{00 . . . 0}} \overline{008}}{n - 3} \binom{\underset{⏟}{\overline{99 . . . 9}} \overline{999}}{n - 3} \binom{\underset{⏟}{{\overline{99 . . . 9}}^{11}}}{n} = \binom{\underset{⏟}{\overline{99 . . . 9}} \overline{989}}{n - 3} \binom{\underset{⏟}{\overline{00 . . . 0}} \overline{054}}{n - 3} \binom{\underset{⏟}{\overline{99 . . . 9}} \overline{835}}{n - 3} \binom{\underset{⏟}{\overline{00 . . . 0}} \overline{329}}{n - 3} \binom{\underset{⏟}{\overline{99 . . . 9}} \overline{358}}{n - 3} \binom{\underset{⏟}{\overline{00 . . . 0}} \overline{461}}{n - 3} \binom{\underset{⏟}{\overline{99 . . . 9}} \overline{670}}{n - 3} \binom{\underset{⏟}{\overline{00 . . . 0}} \overline{164}}{n - 3} \binom{\underset{⏟}{\overline{99 . . . 9}} \overline{945}}{n - 3} \binom{\underset{⏟}{\overline{00 . . . 0}} \overline{010}}{n - 3} \binom{\underset{⏟}{\overline{99 . . . 9}} \overline{999}}{n - 3} \binom{\underset{⏟}{{\overline{99 . . . 9}}^{12}}}{n} = \binom{\underset{⏟}{\overline{99 . . . 9}} \overline{988}}{n - 3} \binom{\underset{⏟}{\overline{00 . . . 0}} \overline{065}}{n - 3} \binom{\underset{⏟}{\overline{99 . . . 9}} \overline{780}}{n - 3} \binom{\underset{⏟}{\overline{00 . . . 0}} \overline{494}}{n - 3} \binom{\underset{⏟}{\overline{99 . . . 9}} \overline{208}}{n - 3} \binom{\underset{⏟}{\overline{00 . . . 0}} \overline{923}}{n - 3} \binom{\underset{⏟}{\overline{99 . . . 9}} \overline{208}}{n - 3} \binom{\underset{⏟}{\overline{00 . . . 0}} \overline{494}}{n - 3} \binom{\underset{⏟}{\overline{99 . . . 9}} \overline{780}}{n - 3} \binom{\underset{⏟}{\overline{00 . . . 0}} \overline{065}}{n - 3} \binom{\underset{⏟}{\overline{99 . . . 9}} \overline{988}}{n - 3} \binom{\underset{⏟}{\overline{00 . . . 0}} \overline{001} .}{n - 3}

3 teiginys.Kai $m \in$ [13, 15] ir $n > 4$ , formulės (5).(6) gaunamos įrašant pakaitomis skaitmenų 99 . . . 9 ir 00 . . . 0 grupes tarp skaičiaus $999 9^{m}$ skaitmenų

\binom{\underset{⏟}{{\overline{99 . . . 9}}^{13}}}{n} = \binom{\underset{⏟}{\overline{99 . . . 9}} \overline{9987}}{n - 4} \binom{\underset{⏟}{\overline{00 . . . 0}} \overline{0077}}{n - 4} \binom{\underset{⏟}{\overline{99 . . . 9}} \overline{9714}}{n - 4} \binom{\underset{⏟}{\overline{00 . . . 0}} \overline{0714}}{n - 4} \binom{\underset{⏟}{\overline{99 . . . 9}} \overline{8713}}{n - 4} \binom{\underset{⏟}{\overline{00 . . . 0}} \overline{1715}}{n - 4} \binom{\underset{⏟}{\overline{99 . . . 9}} \overline{8284}}{n - 4} \binom{\underset{⏟}{\overline{00 . . . 0}} \overline{1286}}{n - 4} \binom{\underset{⏟}{\overline{99 . . . 9}} \overline{9285}}{n - 4} \binom{\underset{⏟}{\overline{00 . . . 0}} \overline{0285}}{n - 4} \binom{\underset{⏟}{\overline{99 . . . 9}} \overline{9922}}{n - 4} \binom{\underset{⏟}{\overline{00 . . . 0}} \overline{0012}}{n - 4} \binom{\underset{⏟}{\overline{99 . . . 9}} \overline{9999}}{n - 4} \binom{\underset{⏟}{{\overline{99 . . . 9}}^{14}}}{n} = \binom{\underset{⏟}{\overline{99 . . . 9}} \overline{9986}}{n - 4} \binom{\underset{⏟}{\overline{00 . . . 0}} \overline{0090}}{n - 4} \binom{\underset{⏟}{\overline{99 . . . 9}} \overline{9636}}{n - 4} \binom{\underset{⏟}{\overline{00 . . . 0}} \overline{1000}}{n - 4} \binom{\underset{⏟}{\overline{99 . . . 9}} \overline{7998}}{n - 4} \binom{\underset{⏟}{\overline{00 . . . 0}} \overline{3002}}{n - 4} \binom{\underset{⏟}{\overline{99 . . . 9}} \overline{6568}}{n - 4} \binom{\underset{⏟}{\overline{00 . . . 0}} \overline{3002}}{n - 4} \binom{\underset{⏟}{\overline{99 . . . 9}} \overline{7998}}{n - 4} \binom{\underset{⏟}{\overline{00 . . . 0}} \overline{1000}}{n - 4} \binom{\underset{⏟}{\overline{99 . . . 9}} \overline{9636}}{n - 4} \binom{\underset{⏟}{\overline{00 . . . 0}} \overline{0090}}{n - 4} \binom{\underset{⏟}{\overline{99 . . . 9}} \overline{9986}}{n - 4} \binom{\underset{⏟}{\overline{00 . . . 0}} \overline{0001},}{n - 4}

(5)

\binom{\underset{⏟}{{\overline{99 . . . 9}}^{15}}}{n} = \binom{\underset{⏟}{\overline{99 . . . 9}} \overline{9985}}{n - 4} \binom{\underset{⏟}{\overline{00 . . . 0}} \overline{0104}}{n - 4} \binom{\underset{⏟}{\overline{99 . . . 9}} \overline{9545}}{n - 4} \binom{\underset{⏟}{\overline{00 . . . 0}} \overline{1364}}{n - 4} \binom{\underset{⏟}{\overline{99 . . . 9}} \overline{6997}}{n - 4} \binom{\underset{⏟}{\overline{00 . . . 0}} \overline{5004}}{n - 4} \binom{\underset{⏟}{\overline{99 . . . 9}} \overline{3565}}{n - 4} \binom{\underset{⏟}{\overline{00 . . . 0}} \overline{6434}}{n - 4} \binom{\underset{⏟}{\overline{99 . . . 9}} \overline{4995}}{n - 4} \binom{\underset{⏟}{\overline{00 . . . 0}} \overline{3002}}{n - 4} \binom{\underset{⏟}{\overline{99 . . . 9}} \overline{8635}}{n - 4} \binom{\underset{⏟}{\overline{00 . . . 0}} \overline{0454}}{n - 4} \binom{\underset{⏟}{\overline{99 . . . 9}} \overline{9895}}{n - 4} \binom{\underset{⏟}{\overline{00 . . . 0}} \overline{0014}}{n - 4} \binom{\underset{⏟}{\overline{99 . . . 9}} \overline{9999} .}{n - 4}

(6)

Apibendrinkite Teiginius 1–3
- laipsniams $m > 15$ ,
- $β$ -tainėje skaičiavimo sistemoje, $β \neq 10$ .
Įrodykite arba paneikite sekantį teiginį.

4 teiginys. Kai $m \geq 2$ ir $n > 1$ , laipsnių $\binom{\underset{⏟}{{\overline{99 . . . 9}}^{m}}}{n}$ formulės yra gaunamos įrašant pakaitomis skaitmenų $\binom{\underset{⏟}{99 . . . 9}}{n - p}$ ir $\binom{\underset{⏟}{00 . . . 0}}{n - p}$ grupes tarp skaičiaus $\binom{\underset{⏟}{{\overline{99 . . . 9}}^{m}}}{p}$ skaitmenų.

Čia

$p = \{\begin{array}{lr} 2_{k 1} + 1, & k_{2} \leq 5, \\ 2_{k 1} + 2, & k_{2} > 5, \end{array}, kur, \{\begin{array}{lr} k_{1} = ⌊ (m - 2) / 7 ⌋, \\ k_{2} = m - 7_{k 1}, \end{array}$
Įrodykite formules

$\binom{\underset{⏟}{{\overline{11 . . . 1}}^{2}}}{n} = \binom{\underset{⏟}{\overline{12 . . . n}}}{n} \binom{\underset{⏟}{\overline{. . . 21}}}{n - 1} n \leq 9 \binom{\underset{⏟}{{\overline{33 . . . 3}}^{2}}}{n} = \binom{\underset{⏟}{\overline{11 . . . 1}} \overline{0}}{n - 1} \binom{\underset{⏟}{\overline{88 . . . 8}} \overline{9}}{n - 1}, \binom{\underset{⏟}{{\overline{66 . . . 6}}^{2}}}{n} = \binom{\underset{⏟}{\overline{44 . . . 4}} \overline{3}}{n - 1} \binom{\underset{⏟}{\overline{55 . . . 5}} \overline{6},}{n - 1}$
Įrodykite formulę

$A : = \binom{\underset{⏟}{{\overline{α α . . . α}}^{- 1}}}{n > 1} = 0, \binom{\underset{⏟}{00 . . . 0}}{n - 1} \binom{\underset{⏟}{(\frac{9}{α} 1 0^{n - 1})}}{periodas}, A \notin{44, 88, 88 8}, α \notin{0, 7}.$

1 pastaba. Panaudokite formulę $P / (1 0^{n} - 1) = 0, (P),$ , kur $P$ yra $n$ skaitmenų periodas.
Apibendrinkite V užd. teiginį $β$ -tainėje skaičiavimo sistemoje, $β \neq 10 .$
Parašykite algoritmą (ir programinį kodą) tolygiųjų skaičių laipsnių formulių $β$ -tainėje skaičiavimo sistemoje paieškai bei patikrinimui. Kaip organizuoti skai- čiavimus, kai skaičiavimo sistemos pagrindas $β > 36 ?$
Apibendrinkite Teoremą 1. Kaip pasikeis sąlyga (ii), kai $α < β - 1 ?$

Literatu¯ra

[1] K.N. Adédji, A. Filipin, A. Togbé. Padovan and Perrin numbers which are products of two repdigits in base .. Results Math., 76:193, 2021. https://doi.org/10.1007/s00025- 021-01502-6.

[2] C. Adegbindin, F. Luca, A. Togbé. Lucas numbers as sums of two repdigits. Lith. Math. J., 59:295–304, 2019. https://doi.org/10.1007/s10986-019-09451-y.

[3] C. Adegbindin, F. Luca, A. Togbé. Pell and Pell-Lucas numbers as sums of two repdigits. Malays. Math. Sci. Soc., 43:1253–1271, 2020. https://doi.org/10.1007/s40840- 019-00739-3.

[4] I. Belovas. Etiudas apie skaičiaus 99...9 laipsnius. Alfa plius Omega, .:102, 1997.

[5] F. Erduvan, R. Keskin, Z. S¸iar. Repdigits base . as products of two Lucas numbers. Quaestiones Mathematicae, 44(10):1283–1293, 2021. https://doi.org/10.2989/16073606.2020.1787539.

[6] F. Erduvan, R. Keskin, F. Luca. Fibonacci and Lucas numbers as difference of two repdigits. Rend. Circ. Mat. Palermo, II. Ser, 71:575–589, 2021. https://doi.org/10.1007/s12215-021-00645-3.

[7] F. Erduvan, R. Keskin, Z. S¸iar. Repdigits base . as products of two Fibonacci numbers. Indian J. Pure Appl. Math., 52:861–868, 2021. https://doi.org/10.1007/s13226-021- 00041-8.

[8] D. Grimailaitė. Kolatso uždavinys ¸ivairiose skaičiavimo sistemose. Bakalauro darbas. Vadovė prof. dr. R. Kačinskaitė. ŠU, 2015. https://www.lvb.lt/permalink/f/16nmo04/ ELABAETD8724550.

[9] N. Irmak, A. Togbé. Factorials as repdigits in base .. Notes on Number Theory and Discrete Mathematics, 28(1):21–25, 2022. https://doi.org/10.7546/nntdm.2022.28.1.21- 25.

[10] S. E. Rihane. .-Fibonacci and .-Lucas numbers as product of two repdigits. Results Math., 76:208, 2021. https://doi.org/10.1007/s00025-021-01526-y.

[11] S.E. Rihane. k-Pell numbers as products of two repdigits. Mediterr. J. Math., 19:61, 2022. https://doi.org/10.1007/s00009-022-01983-x.

[12] Z. S¸iar, R. Keskin, F. Erduvan. Fibonacci or Lucas numbers which are products of two repdigits in base .. Bull. Braz. Math. Soc. New Series, 52:1025–1040, 2021. https://doi.org/10.1007/s00574-021-00243-y.

Z. S¸iar, R. Keskin, F. Erduvan. Repdigits base b as difference of two Fibonacci numbers. J. Math. Study, 55(1):88–94, 2022. https://doi.org/10.4208/jms.v55n1.22.07.

P. Trojovsky´. On repdigits as sums of Fibonacci and tribonacci numbers. Symmetry, 12(11):1744, 2020. https://doi.org/10.3390/sym12111774.