1 I˛vadas

Trikampis – paprastoji uždaroji laužtė, sudaryta iš trijų atkarpų (trikampio kraš- tinių), jungiančių tris taškus (trikampio viršūnes), nesančius vienoje tiesėje. Bet trikampis nėra toks paprastas geometrinis objektas, nes kai kurie trikampio egzista- vimo uždaviniai buvo sprendžiami šimtmečiais. Pavyzdžiui, Brokard’o uždavinys – trikampio egzistavimas, žinant tris jo vidaus kampų pusiaukampines [1], turi ilgą is toriją, aprašytą [3] darbe. Daug trikampio egzistavimo, kai žinomi trys jo elementai, uždavinių yra neišspręsti iki šiol (žr. 2 lentelę).

Terminas „trikampio sprendimas“ šiame darbe suprantamas kaip geometrinio už- davinio – rasti trikampio elementus, kai duoti trys jo elementai – sprendimas [15]. Darbe naudojami įprasti trikampio elementų žymėjimai: trikampio viršūnes ir atitin- kamų kampų didumai žymimi didžiosiomis raidėmis, prieš trikampio viršūnę esančios kraštinės ilgis žymimas tokia pačia, tik mažąja raide.

Nagrinėsime 6 pagrindinius trikampio elementus: tris metrinius elementus – kraš- tinių ilgius a, b, c ir 3 kampų didumus A, B, C. Klasikiniuose trikampio sprendimo uždaviniuose duoti trys iš minėtų elementų, o reikia rasti likusius tris. Sprendžiant klasikinius uždavinius, reikia rasti būtinas ir pakankamas trikampio su duotaisiais elementais egzistavimo sąlygas. Pavyzdžiui, jei duoti trikampio kraštinių ilgiai a, b, c, tai, kaip žinoma, trikampio egzistavimo būtina sąlyga nusakoma trikampio nelygybe$\textcolor{red}{}a+b>c,b+c>a,c+a>b.$. Jei teisingos šios sąlygos, trikampis nubraižomas skriestuvu ir liniuote, taigi šios sąlygos yra ir pakankamos. Tuomet visi kiti svar- biausieji trikampio elementai: 3 aukštinės$\textcolor{red}{}{h}_a,h_b,h_c,$, 3 pusiaukraštinės$m_a,m_b,m_c,$, 3 pusiaukampinės$l_a,l_b,l_c,$, apibrėžto apie trikampį apskritimo ir įbrėžto į jį apskriti- mo spinduliai$R,r,$, perimetras 2p randami pagal formules, kurios trikampio kraštinių a, b, c atžvilgiu yra arba racionalieji reiškiniai, arba reiškiniai su kvadratiniais radi- kalais. Šios formulės yra gerai žinomos, jas galima rasti mokykliniuose vadovėliuose arba kitoje moksleiviams skirtoje matematinėje literatūroje.

Šiame darbe nagrinėjami tokie trikampio elementai:

1. 1. 3 kraštinės a, b, c;
2. 2. 3 kampai A, B, C;
3. 3. 3 aukštinės $h_a,h_b,h_c,$
4. 4. 3 pusiaukraštinės$m_a,m_b,m_c,$;
5. 5. 3 pusiaukampinės$l_a,l_b,l_c,$;
6. 6. Apibrėžto ir įbrėžto apskritimų spinduliai$\mathrm{R,\; r,}$;
7. 7. Perimetras 2p.

Kai kurie autoriai, pvz., [6] darbe dar papildomai nagrinėja pribrėžtinių apskritimų spindulius$r_a,r_b,r_c,$, o taip pat trikampio plotą (pvz., [4, 5] darbuose).

2 Trikampio elementu˛ leksikografin˙e seka

Tam tikros sutvarkytos abėcėlės žodžių aibės tiesinės tvarkos sąryšį vadinsime leksi- kografine tvarka. Šio termino prasmė kildinama iš žodžių rikiavimo žodyne abėcėlės tvarka. Sakykime, kad trikampio elementai [4, 5, 6]:

yra tam tikros sąlyginės abėcėlės raidės, kurios sutvarkytos nurodyta leksikografine tvarka. Tuomet kraštinė a yra pirmoji abėcėlės raidė, kraštinė b – antroji raidė ir t. t., perimetras 2p – paskutinė abėcėlės raidė. Sudarykime žodžius iš trijų šios abėcėlės raidžių (trijų trikampio elementų) ir kelkime klausimą, kokioms sąlygoms galiojant egzistuoja trikampis, apibrėžiamas tais elementais. Tokia leksikografinė tvarka, pa- siūlyta [4, 5] darbuose, nustato tam tikrą trikampio elementų hierarchiją, ir leidžia sutvarkyti visus trikampio elementų trejetus. Pavyzdžiui, pirmiausiai užrašomi treje- tai, kuriuose yra bent viena kraštinė ir t. t.

Aštuoniolika (1) leksikografinės sekos narių leidžia suformuluoti $\textcolor{red}{}\text{C}\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{18}=816$ trikampio egzistavimo pagal tris duotuosius elementus variantų.

Konkretus trikampio egzistavimo, žinant jo tris elementus iš (1) leksikografinės sekos, uždavinys gali turėti arba vienintelį variantą, arba tris variantus, arba šešis variantus. Pavyzdžiui, uždaviniai abc (trikampio apibrėžimas, pagal tris kraštines), ABC (pagal tris kampais), $h_a,h_b,h_c,$ (pagal tris aukštines), $m_a,m_b,m_c,$ (pagal tris pu- siaukraštines),$l_a,l_b,l_c,$ (pagal tris pusiaukampines) yra formuluojami vienareikšmiškai. Trikampio egzistavimas pagal dvi kraštines ir kampą tarp jų turi tris ekvivalenčias formuluotes

o trikampio egzistavimas pagal dvi kraštines ir prieš vieną jų esantį kampą – šešias lygiavertes formuluotes

Taigi nagrinėjame (1) leksikografinę seką, kurią vadiname abėcėle, ši seka nustato 186 skirtingų trikampio egzistavimo pagal tris jo elementus uždavinių išdėstymo tvarką. Šiuos uždavinius surašėme į dvi lenteles. Pirmojoje lentelėje pateikti trikampiai, nubraižomi skriestuvu ir liniuote, o antrojoje – tie uždaviniai, kurie neišsprendžiami skriestuvu ir liniuote. Toliau nagrinėdami kurį nors uždavinį, rašysime jo numerį, po brūkšnelio nurodant lentelės numerį. Pavyzdžiui, Brokard’o uždavinys žymimas 64-2.

Pažymėtina, kad ne visi trikampių sprendimo uždaviniai turi vienintelį sprendinį. Uždavinius, turinčius ne vieną skirtingą sprendinį, vadinsime neapibrėžtais uždaviniais (Indeterminate). Pavyzdžiui, trikampio egzistavimas pagal tris kampus yra neapibrėžtas uždavinys – 20-2 (ABC), nes, jei duotųjų kampų suma lygi 180◦, tai bet kuris trikampis, panašus duotajam, taip pat yra uždavinio sprendinys. Kitas neapibrėžto uždavinio pavyzdys yra uždavinys 4-2 (aAR). Tikrai, judant taškui A apskritimu (1 pav.) nuo taško B iki taško C, gauname be galo daug skirtingų sprendinių.

3 Nubraižomu˛ skriestuvu ir liniuote trikampiu˛ egzistavimas

Mokykliniame geometrijos kurse svarbią vietą užima trikampių braižymo skriestuvu ir liniuote uždaviniai. 1 lentelėje išvardyta 116 uždavinių, kurie yra išsprendžiami skriestuvu ir liniuote ir jiems nustatytos pakankamos egzistavimo sąlygos [4, 5, 6].

Šioje lentelėje ženklu Su (Sufficient) pažymėti tie uždaviniai, kuriems nustatytos pakankamos egzistavimo sąlygos, o tie uždaviniai, kuriems yra rastos būtinos ir pa- kankamos vienintelio sprendinio egzistavimo sąlygos, pažymėti SuNe (Sufficient and Necessary).

Lentelėse ne visi uždaviniai yra apibrėžiami vienareikš- miškai. Pavyzdžiui, uždavinys 9-1 abR (trikampį nusta- to dvi kraštinės ir apibrėžto apskritimo spindulys) gali neturėti sprendinių, gali turėti vieną sprendinį arba du skirtingus sprendinius. 2 pav. parodytas atvejis, kai yra du skirtingi sprendiniai – trikampiai ABC ir A1BC, čia$\textcolor{red}{}{b}_1=b.$.

Uždavinio 56-1 (aRr) (kai duota trikampio kraštinė, apibrėžto ir įbrėžto apskritimų spinduliai) sprendinio vie- natis priklauso nuo atstumo $\textcolor{red}{}d=\sqrt{R^2-\text{2rR}}$ tarp apibrėž to ir įbrėžto apskritimų centrų, esant būtinai egzistavimo sąlygai R > 2r. Detaliau apie tai galima rasti [13] darbe. 1 lentelėje SuNe pažymėti trys gerai žinomi uždaviniai [16]: 1-1 (abc), 98-1 ( $h_a,h_b,h_c,$ ), 114-1 ($m_a,m_b,m_c,$). Taip pat sąlyga SuNe teisinga ir 111-1 ($h_a,Rr$) uždaviniui [13]. Įro- dymus, kad 1 lentelėje uždaviniams 3-1, 6-1, 7-1, 10-1, 11-1, 19-1, 20-1, 30-1, 31-1, 32-1, 59-1 – 67-1, 107-1 yra teisingos SuNe, paliekame skaitytojui. Kitiems 1 lentelės uždaviniams nežinoma, kada yra teisingos sąlygos SuNe.

4 Nenubraižomu˛ skriestuvu ir liniuote trikampiu˛ egzistavimas

2 lentelėje išvardyta 70 uždavinių [4, 5, 6], kai žinant tris trikampio elementus, trikam- pis nėra nubraižomas skriestuvu ir liniuote, taip pat lentelėje nurodyti ir neapibrėžti uždaviniai. Tai, kad apibrėžtų uždavinių atveju trikampiai nenubraižomi skriestuvu ir liniuote, įrodyta [9] darbe, nors [5] darbe rašoma, kad šiems uždaviniams buvo išnag- rinėta neišsprendžiamumo skriestuvu ir liniuote problema, bet tai nebuvo paskelbta.

Neapibrėžti uždaviniai, kurie turi arba be galo daug sprendinių, arba nė vieno sprendinio, pažymėti simboliu In (Indeterminate). Ženklu Un (Unknown) pažymė- ti uždaviniai, kuriems kol kas nežinomos net ir pakankamos trikampio egzistavimo sąlygos, arba neaišku, ar uždavinys apibrėžtas. Kaip ir 1 lentelėje simboliu SuNe (Sufficient and Necessary) pažymėti uždaviniai, kuriems surastos būtinos ir pakankamos vienintelio sprendinio egzistavimo sąlygos.

2 lentelėje simboliu SuNe pažymėta nedaug uždavinių: 15-2 (${al}_a,l_b,$) [13], 17-2 (${al}_b,l_c,$) [12], 29-2 (${al}_b,l_c,$) [2], 64-2 ($l_a,l_b,l_c,$) [10, 16], 68-2$l_a\mathrm{R2p}$) [14], 70-2 (Rr2p) [14]. Kitiems 2 lentelės uždaviniams yra nežinoma, kada yra teisingos sąlygos SuNe.

Ko gero, sunkiausias uždavinys iš pažymėtų SuNe – tai 64-2 ($l_a,l_b,l_c,$) uždavinys. Jį suformulavo prancūzų matematikas Brokard’as 1875 m., o tik 1994 m. buvo gautas jo sprendimas [3, 7, 10, 11] taikant Brauerio teoremą apie nejudantį tašką. Vėliau gautas įrodymas mokyklinės geometrijos metodais [16].

5 Stačiojo trikampio egzistavimas, kai duoti du jo elementai

Stačiojo trikampio brėžimas skriestuvu ir liniuote, kai žinomi du jo elementai, daž- nai sprendžiamas paprasčiau, negu nestačiojo trikampio atveju. Bet kai trikampis nenubraižomas skriestuvu ir liniuote, rasti jo egzistavimo ir vienaties būtinas ir pa- kankamas sąlygas dažnai būna sunkus uždavinys. Neatsitiktinai geometrijoje dažnai yra skiriami ir atskirai nagrinėjami smailiojo, stačiojo ir bukojo trikampio atvejai.

Ankstesniame darbe [8] autoriai rado būtinas ir pakankamas egzistavimo ir vie- naties sąlygas statiesiems trikampiams šiais atvejais:

• $\textcolor{red}{}(C=90◦m_a{l}_a)\text{–}$ trikampis egzistuoja tada ir tik tada, kai teisinga nelygybė la > ma. Be to, toks statusis trikampis nustatomas vienareikšmiškai ir bendruoju atveju jo negalima nubrėžti skriestuvu ir liniuote;

• $(C=90◦m_a{l}_a)\text{–}$ trikampis egzistuoja tada ir tik tada, kai teisinga nelygybė $\textcolor{red}{}\text{2}{m}_c>l_a.$ Be to, toks statusis trikampis nustatomas vienareikšmiškai ir bend- ruoju atveju jo negalima nubrėžti skriestuvu ir liniuote.

6 Uždaviniai tolesniems tyrin˙ejimams

Autorių nuomone, galimi tokie tolimesni tyrinėjimai, susiję su nagrinėjama tematika.

1. 1. Išsiaiškinti, kuriems iš 1 lentelės 116 uždavinių, išsprendžiamų skriestuvu ir liniuote:

   • pakankamos sąlygos yra ir būtinos ir jos garantuoja sprendinio vienatį;

   • pakankamos sąlygos yra ir būtinos, bet jos garantuoja dviejų, trijų ir dau- giau sprendinių egzistavimą;

   • pakankamos sąlygos yra ir būtinos, bet dar reikalingas ir papildomų sąlygų įvykdymas, garantuojantis sprendinio vienatį.

2. 2. Surasti sąlygas sprendinio egzistavimui 2 lentelės uždaviniams, kuriems tos są- lygos yra nesurastos.
3. 3. Toliau tyrinėti stačiojo trikampio egzistavimo pagal du elementus uždavinius.
4. 4. Išnagrinėti lygiašonių trikampių egzistavimo klausimus.

Kadangi šie uždaviniai yra dažniausiai sprendžiami elementariosios geometrijos metodais, jie gali būti medžiaga tiek gabių mokinių papildomam darbui, tiek studentų kursiniams ir diplominiams darbams.

Referencias

1 H. Brocard. Question 58. Nouvelle Correspondance Math, 1:208, 1875.

2 J. Bukor. On the existence of triangle with given angle and opposite angle bisectors length. Ann. Math. Inform., 36:43–46, 2009.

3 G. Dinca, J. Mawhin. A constructive fixed point approach to the existence of a triangle with prescribed angle bisector lengths. Bull. Belg. Math. Soc., 17:333–341, 2010.

4 V.B. Fursenko. Lexicographic account of triangle construction problems (Part I). Mat- hematics in Schools, 5:4–30, 1937.

5 V.B. Fursenko. Lexicographic account of triangle construction problems (Part II). Mat- hematics in Schools, 6:21–45, 1937.

6 V.I. Golubev, L.N. Erganzhieva, K.K. Mosevich. Construction of a Triangle. Knowledge Lab, Moscow, 2016.

7 G. Heindl. How to compute a triangle with prescribed lengths of its internal angle bisectors. Forum Geom., 16:407–414, 2016.

8 J. Kirjackis, E. Mazėtis, G. Melničenko. The existence of a triangle with prescribed angle bisector lengths. Liet. matem. rink., LMD darbai, ser. B, 58:33–38, 2017.

9 O. Krötenheerdt. Zur theorie der dreieckskonstruktionen. Wissenschaftliche Zeitschrift der Martin-Luther-Univ. Halle-Wittenberg, Math.-Naturw. Reihe, 15:677–700, 1966.

10 P. Mironescu, L. Panaitopol. The existence of a triangle with prescribed angle bisector lengths. Amer. Math. Monthly, 101:58–60, 1994.

11 S.F. Osinkin. On the existence of a triangle with prescribed bisector lengths. Forum Geom., 16:399–405, 2016.

12 V. Oxman. On the existence of triangles with given lengths of one side and two adjacent angle bisectors. Forum Geom., 4:215–218, 2004.

13 V. Oxman. On the existence of triangles with given circumcircle, incircle, and one additional element. Forum Geom., 5:165–171, 2005.

14 V. Oxman. On the existence of triangles with given lengths of one side, the opposite and one adjacent angle bisectors. Forum Geom., 5:21–22, 2005.

15 M. Vygodsky. Mathematical Handbook Elementary Mathematics. Mir Publishers, Mos- cow, 1979.

16 A. Zhukov, I. Akulich. Is the triangle defined uniquely? Kvant, 1:29–31, 2003.