Centrinė ribinė teorema trikampių masyvų klasės skaičiams, asocijuotiems su Ermito daugianariais

Igoris Belovas

Articles

Esta obra está bajo una Licencia Creative Commons Atribución 4.0 Internacional.

Recepción: 04 Noviembre 2020

Publicación: 15 Marzo 2021

DOI: https://doi.org/10.15388/LMR.2020.22466

Summary: Straipsnyje yra tęsiamas ribinių teoremų trikampių masyvų klasės skaičiams tyrimas. Yra išvedamos skaičių, asocijuotų su Ermito daugianariais, pusiau eksponentinės generuojančios funkcijos, bei pačių skaičių analizinės išraiškos. Gauti rezultatai yra panau- dojami asimptotinio normalumo įrodymui ir konvergavimo į ribinį dėsnį greičio nustatymui.

Keywords: Ribinės teoremos, konvergavimo greitis, kombinatoriniai skaičiai, asimptotinis normalumas, Ermito daugianariai.

Abstract: The paper extends the investigations of limit theorems for numbers satisfying a class of triangular arrays. We obtain analytical expressions for the semi-exponential generating function the numbers, associated with Hermite polynomials. We apply the results to prove the asymptotic normality of the numbers and specify the convergence rate to the limiting distribution.

Keywords: Limit theorems, combinatorial numbers, asymptotic enumeration, asymptotic normality, Hermite polynomials.

1 Ivadas

Straipsnyje yra nagrinejamas dalinis trikampiu masyvu klases skaiciu [3] atvejis. Trikampiumasyvu klases skaiciai apibrežiami rekurentiniu saryšiu

a_{n k} = f_{1} (n, k) a_{n - 1, k - 1} + f_{2} (n, k) a_{n - 1, k,}

(1)

$k u r a_{00} = 1$ ir $a_{n k} = 0,$ , kai $m i n (n - k, n, k) < 0$ . Taigi, pakanka nagrineti sveikuosius $n \geq k \geq 0$ . Darbe [1] buvo išvesta (1) skaiciu su tiesiniais koeficientais

f_{1} (n, k) = k_{11} n + k_{12} k + k_{13}, f_{2} (n, k) = k_{21} n + k_{22} k + k_{23}, k_{i j} \in ℝ,

(2)

generuojancios funkcijos bendroji daliniu išvestiniu diferencialine lygtis.1

1 teorema. ( Belovas [1]) Skaiciu (1)–(2) pusiau eksponentine generuojanti funkcija

F (x, y) = \sum_{n = 0}^{\infty} \sum_{k = 0}^{\infty} a_{n k} \frac{x^{n}}{n!} y^{k} = \sum_{n = 0}^{\infty} \sum_{k = 0}^{n} a_{n k} \frac{x^{n}}{n!} y^{k},

(3)

tenkina tiesine pirmosios eiles daliniu išvestiniu diferencialine lygti

(1 - k_{11} x y - k_{21} x) F_{x}^{'} - (k_{12} y^{2} + k_{22} y) F_{y}^{'} = (k_{1} y + \tilde{K_{2}}) F,

(4)

su pradine salyga $F |_{x = 0} = 1$ . Cia

k_{1} = k_{11} + k_{12} + k_{13}, \tilde{k_{2}} = k_{21} + k_{23} .

(5)

Trikampiu masyvu klases skaiciams, asocijuotiems su Ermito daugianariais,

k_{12} = - 2 k_{11}, k_{13} = k_{11}, k_{21} = k_{22} = 0, k a i k_{11}, k_{23} \neq 0 .

(6)

Pastebesime, kai $k_{11} = 0$ , galima atskirti kintamuosius ir išspresti (4) lygti charakteristikumetodu. Atvejai, kai $k_{11} \neq 0$ , yra sudetingesni ir reikalauja detalaus nagrinejimo.Toliau straipsnyje simboliu $ϕ (x)$ žymesime standartinio normaliojo atsitiktiniodydžio pasiskirstymo funkcija,

ϕ (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{x} e^{- \frac{1}{2} t^{2}} d t, x \in ℝ,

$T (x)$ – gama funkcija, ir $H_{n} (z)$ – (fizikinius) Ermito daugianarius,

H_{n} (z) = n! \sum_{j = 0}^{[n / 2]} \frac{(- 1)^{j}}{j! (n - 2 j)!} (2 z)^{n - 2 j} .

Visos ribos straipsnyje, jei nepažymeta kitaip, skaiciuojamos kai $n \to \infty$ .

2 Generuojanti funkcija ir analizine išraiška

1 lema.Trikampiu masyvu klases skaiciai, asocijuoti su Ermito daugianariais, turi

(i) generuojancia funkcija

F (x, y) = e x p (k_{23} x + \frac{1}{2} k_{11} k_{23} x^{2} y),

(7)

(ii) ir analizine išraiška

a_{n k} = \frac{(2 k)!}{2^{k} k!} C_{n}^{2 k} (k_{11})^{k} (k_{23})^{n - k},

(8)

Irodymas. $1^{0}$ . Tegu $a_{n k} = (k_{23})^{n} α_{n k}$ , t.y.,

α_{n k} = (β n - 2 β k + β) α_{n - 1, k - 1} + α_{n - 1, k,}

(9)

kur $β = k_{11} / k_{23}$ . Pastebime, kad

F (x, y) = \overset{}{\tilde{F} (k_{23} x, y),}

(10)

kur $\tilde{F} (x, y)$ yra skaiciu $α_{n k}$ pusiau eksponentine generuojanti funkcija. Pagal Teorema1, skaicius $α_{n k}$ atitinka daliniu išvestiniu diferencialine lygtis

(1 - β x y) {\tilde{F}}_{x}^{'} + 2 β y^{2} {\tilde{F}}_{y}^{'} = \tilde{F}, \tilde{F} |_{x = 0} = 1 .

(11)

Keitiniu

\tilde{F} (x, y) = Ψ (x, y) e x p (- (2 β y)^{- 1}) .

(12)

transformuojame daliniu išvestiniu diferencialine lygti (11) i homogenine forma:

(1 - β x y) Ψ_{x}^{'} + 2 β y^{2} Ψ_{y}^{'} = 0, Ψ |_{x = 0} = η (y) = e x p ((2 β y)^{- 1}) .

(13)

Homogenine diferencialine lygti (13) atitinka simetrine diferencialine lygtis

\frac{d x}{1 - β x y} = \frac{d y}{2 β y^{2}} .

(14)

Jos bendrasis integralas yra

φ (x, y) = \frac{β x y + 1}{β \sqrt{y}} = C .

(15)

Atsižvelge i pradine salyga, išsprendžiame (15) y atžvilgiu, $y = ω (C) = β^{- 2} C^{- 2}$ . Pakeite $C$ bendruoju integralu gauname funkcija $ω (φ (x, y))$ ir užrašome Koši uždaviniosprendini

Ψ (x, y = η (ω (ϕ (x, y)) = e x p (\frac{(1 + β x y)^{2}}{2 β y}) .

(16)

Istate $Ψ (x,) y$ išraiška i keitini (12), gauname diferencialines lygties (11) sprendini,t.y., skaiciu nk generuojancia funkcija

\tilde{F} (x, y) = e x p (x + \frac{1}{2} β y x^{2}) = e x p (k_{23} (\frac{x}{k_{23}}) + \frac{1}{2} k_{11} k_{23} y (\frac{x}{k_{23}})^{2}),

(17)

ir kartu (pl. (10)) pirma lemos teigini.

$2^{0}$ . Formali Teiloro eilute dvieju kintamuju generuojanciai funkcijai (3) yra

F (x, y) = \sum_{n = 0}^{\infty} \sum_{k = 0}^{\infty} (\frac{\partial^{n + k}}{{\partial x}^{n} {\partial y}^{k}} F (x, y) |_{(0, 0)}) \frac{x^{n} y^{k}}{n! k!} .

Skaiciu $a_{n k}$ analizine išraiška gauname skaiciuojant dalines išvestines,

a_{n k} = (k_{23})^{n} α_{n k} = \frac{(k_{23})^{n}}{k!} \frac{\partial^{n + k}}{{\partial x}^{n} {\partial y}^{k}} \tilde{F} (x, y) |_{(0, 0)}

(18)

Pritaike Leibnico formule, gauname

α_{n k} = \frac{β^{k}}{{k! 2}^{k}} \frac{\partial^{n}}{{\partial x}^{n}} x^{2 k} e x p (x + \frac{1}{2} β y x^{2}) |_{0, 0} = \frac{β^{k}}{{k! 2}^{k}} C_{n}^{2 k} (2 k!) \frac{\partial^{n - 2 k}}{{\partial x}^{n - 2 k}} e x p (x + \frac{1}{2} β y x^{2}) |_{0, 0} = \frac{(k_{11})^{k}}{(k_{23})^{k} k! 2^{k}} C_{n}^{2 k} (2 k!) \underset{⏟}{\sum_{j = 0}^{n - 2 k} C_{n - 2 k}^{j} (\frac{\partial^{j}}{{\partial x}^{j}} \sum_{r = 0}^{\infty} \frac{β^{r} y^{r} x^{2 r}}{2^{r} r!}) |_{(0, 0)}} = 1

(19)

Tai, kartu su (18), užbaigia lemos irodyma.

3 Ribine teorema

Panaudosime Chvano rezultata (žr. Lema 2) apie konvergavimo centrineje ribinejeteoremoje kombinatorinems strukturoms greiti (Išv. 2, Sk. 4 [2]). Tegu $Ω_{n}$ yrasveikaskaitis atsitiktinis dydis su tikimybemis, nusakomomis formule

P (Ω_{n} = k) : = \frac{a_{n k}}{\sum_{k = 0}^{n} a_{n k}} = \frac{a_{n k}}{\sum_{k = 0}^{n} a_{n k}} .

(20)

Atsitiktinio dydžio $Ω_{n}$ momentus generuojanti funkcija yra

M_{n} (s) = E (e^{Ω n s}) = \sum_{k = 0}^{n} P (Ω_{n} = k) e^{k s} = (\sum_{k = 0}^{n} a_{n k})^{- 1} \sum_{k = 0}^{n} a_{n k} e^{k s} .

(21)

Istate (21) i pusiau eksponentines generuojancios funkcijos išraiška (3), gauname

F (x, e^{s}) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!} \sum_{k = 0}^{n} a_{n k} e^{s k} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!} S_{n} M_{n} (s),

kur

S_{n} = \sum_{k = 0}^{n} a_{n k} .

Taigi momentus generuojancia funkcija galima rasti, skaiciuojant pusiau eksponentinesgeneruojancios funkcijos $F (x, y)$ dalines išvestines taške $x = 0$ ,

M_{n} (s) = S_{n}^{- 1} \frac{\partial^{n}}{{\partial x}^{n}} F (x, e^{s}) |_{x = 0} .

(22)

Kadangi $M_{n} (0) = 1$ , kartu turime ir formule sumai $S_{n}$ ,

S_{n} = \frac{\partial^{n}}{{\partial x}^{n}} F (x, e^{s}) |_{(0, 0)} .

(23)

2 lema. (Chvanas [2]) Tegu Pn (z) yra neneigiamo sveikaskaicio atsitiktinio dydžion $Ω_{n}$ generuojanti funkcija, su vidurkiu $μ_{n}$ ir dispersija $σ_{n}^{2}$ . Tarkime, kad bet kokiamfiksuotam $n \geq 1$ , Pn(z) yra Hurvico daugianaris. Jei $σ_{n} \to \infty$ , tai

P (\frac{Ω_{n} - μ_{n}}{σ_{n}} < x) =Φ (x) + O (\frac{1}{σ_{n}}), x \in ℝ .

(24)

2 teorema. Jei $F_{n} (x)$ yra atsitiktinio dydžio $Ω_{n}$ (20) skirstinys, skaiciai ank tenkinaLemos 1 salygas ir $β$ yra teigiamas, tai

F_{n} (σ_{n} x + μ_{n}) =ϕ (x) + O (n^{- 1 / 4}), x \in ℝ .

(25)

Atsitiktinio dydžio $Ω_{n}$ vidurkis ir dispersija yra lygus

μ_{n} = \frac{n}{2} (1 - 2 τ \frac{H_{n - 1} (τ)}{H_{n} (τ)}), σ_{n}^{2} = - \frac{{n t}^{2}}{2} (1 - (2 τ + 1 / τ) \frac{H_{n - 1} (τ)}{H_{n} (τ)} + 2 n (\frac{H_{n - 1} (τ)}{H_{n} (τ)})^{2}),

(26)

atitinkamai. Cia $τ = 1 / (i \sqrt{2 β})$ .

Irodymas. Atsižvelge i apibrežima (20), toliau nagrinesime skaicius nk iš Lemos 1.Raskime atsitiktinio dydžio n momentus generuojancia funkcija (žr. (22)). Skaiciuojant funkcijos $\tilde{F} (x, e^{s})$ n-aja daline išvestine, gauname

\frac{\partial^{n}}{{\partial x}^{n}} \tilde{F} (x, e^{s}) |_{x = 0} = \sum_{j = 0}^{n} C_{n}^{j} \frac{\partial^{j}}{{\partial x}^{j}} e x p (\frac{1}{2} β e^{s} x^{2}) |_{x = 0} = \sum_{j = 0}^{n} C_{n}^{j} \sum_{r = 0}^{\infty} \frac{β^{s} e^{s r}}{2^{r}} (x^{2 r})_{x = 0}^{(j)} = \sum_{j = 0}^{[n / 2]} \frac{n! t^{j}}{j! (n - 2 j)!} = (i \sqrt{t})^{n} H_{n} (\frac{1}{2 i \sqrt{t}}) .

(27)

kur $t = {β e}^{s} / 2$ . Pagal (22)–(23), momentus generuojanti funkcija yra

M_{n} (s) = \frac{\sum_{j = 0}^{[n / 2]} \frac{({β e}^{s} / 2)^{j}}{j! (n - 2 j)!}}{\sum_{j = 0}^{[n / 2]} \frac{(β / 2)^{j}}{j! (n - 2 j)!}} = e^{s n / 2} \frac{H_{n} ({τ e}^{- s / 2})}{H_{n} (τ)} .

(28)

Ermito daugianariu išvestine yra $H_{n}^{'} (x) = 2 n H_{n - 1} (x)$ , taigi

M_{n}^{'} (0) = μ_{n} = \frac{n}{2} (1 - 2 τ \frac{H_{n - 1} (τ)}{H_{n} (τ)}), M_{n}^{''} (0) = \frac{n^{2}}{4} - (n^{2} - n / 2) τ \frac{H_{n - 1} (τ)}{H_{n} (τ)} + (n^{2} - n) τ^{2} \frac{H_{n - 2} (τ)}{H_{n} (τ)}

(29)

Pritaikius formule $σ_{n}^{2} = M_{n}^{''} (0) - M_{n}^{2} (0)$ ir Ermito daugianariu rekurentini saryši $H_{n} (x) = 2 x H_{n - 1} (x) - 2 (n - 1) H_{n - 2} (x)$ , apskaiciuojame dispersija

σ_{n}^{2} = \frac{n}{2} τ \frac{H_{n - 1} (τ)}{H_{n} (τ)} + (n^{2} - n) τ^{2} \frac{H_{n - 2} (τ)}{H_{n} (τ)} - n^{2} τ^{2} \frac{H_{n - 1}^{2} (τ)}{H_{n}^{2} (τ)} = - \frac{{n τ}^{2}}{2} (1 - (2 τ + 1 / τ) \frac{H_{n - 1} (τ)}{H_{n} (τ)} + 2 n (\frac{H_{n - 1} (τ)}{H_{n} (τ)})^{2}) .

(30)

Pasinaudoje Ermito daugianariu

H_{n} (x) ~ \frac{2^{n}}{\sqrt{π}} e^{x 2 / 2} T (\frac{n + 1}{2}) c o s (x \sqrt{2 n - n π / 2,}

ir santykio $T (n + d) / T (n) ~ n^{d}$ asimptotinemis išraiškomis, gauname

\frac{H_{n - 1} (τ)}{H_{n} (τ)} ~ - \frac{1}{\sqrt{2 n}} \frac{s i n (τ \sqrt{2 n - 2 - n π / 2}}{c o s (τ \sqrt{2 n - 2 - n π / 2}} ~ \frac{i}{\sqrt{2 n}} e^{\frac{- 1}{\sqrt{β (\sqrt{n - 1} \sqrt{n}}}}

(31)

Turime (žr. (30))

σ_{n}^{2} ~ \frac{n}{4 β} (1 + \frac{β - 1}{\sqrt{β n}} e^{\frac{- 1}{\sqrt{β (\sqrt{n - 1} + \sqrt{n}})}} - e \frac{- 2}{\sqrt{β (\sqrt{n - 1} + \sqrt{n}})}) ~ \frac{\sqrt{n}}{4 \sqrt{β}},

taigi $σ_{n}^{2} \to \infty$ . Atsitiktinio dydžio $Ω_{n}$ generuojanti funkcija yra

P_{n} (z) = M_{n} (I n z) = z^{n / 2} \frac{H_{n} ({τ z}^{- 1 / 2})}{H_{n} (τ)} .

(32)

Hurvico daugianariu yra vadinamas daugianaris, kurio nuliai guli pusplokštumeje $R z \leq 0$ . Ermito daugianariu šaknys $u_{j}$ yra realieji skaiciai. Taigi, generuojancios funkcijos $P_{n} (z)$ šaknys yra neigiamos. Iš tikruju,

z_{j} = τ^{2} / u_{j}^{2} = - \frac{1}{2 {β u}_{j}^{2}} < 0,

užbaigiant teoremos irodyma.

1 pastaba. Iš formuliu (10), (23) ir (27) išplaukia, kad skiaciu ank suma yra

S_{n} = (k_{23})^{n} \sum_{j = 0}^{[n / 2]} \frac{n! (β / 2)^{j}}{j! (n - 2 j)!} = Q_{n} (k_{23}, \frac{k_{11} k_{23}}{2}),

(33)

kur $Q_{n} (x, t)$ yra n-jo laipsnio šilumos laidumo daugianaris, t.y. paraboliškai n-homogeninisdaugianaris, tenkinantis šilumos laidumo lygti $Q_{t} = Q_{x x}$ . „Paraboliškai n-homogeninis” reiškia $Q (λ x, λ^{2} t) = λ^{n} Q (x, t)$ su $λ > 0$ (žr. [4]).

Literatūra

[1] I. Belovas. Limit theorems for numbers satisfying a class of triangular arrays. Glas. Mat., 2021 (įteiktas).

[2] H.-K. Hwang. On convergence rates in the central limit theorems for combinatorial struc- tures. Eur. J. Combin., 19(3):329–343, 1998. https://doi.org/10.1006/eujc.1997.0179.

[3] A. Kyriakoussis. A central limit theorem for numbers satisfying a class of triangular ar- rays. Discrete Math., 51:41–46, 1984. https://doi.org/10.1016/0012-365X(84)90022-0.

[4] P. Pol´ačik, V. Šverak. Zeros of complex caloric functions and singularities of comp- lex viscous Burgers equation. J. für die Reine und Angew. Math., 616:205–217, 2008. https://doi.org/10.1515/CRELLE.2008.022.