Algebrinės sinusų ir kosinusų bei jų argumentų reikšmės

Mazėtis Edmundas; Melnichenko Grigorii

Articles

Esta obra está bajo una Licencia Creative Commons Atribución 4.0 Internacional.

Recepción: 30 Diciembre 2020

Aprobación: 01 Marzo 2021

DOI: https://doi.org/10.15388/LMR.2020.22717

Summary: Straipsnis supažindina skaitytoją su keletu nuostabių trigonometrinių funkci- jų savybių. Pasirodo, jei funkcijų sin $x$ , cos $x$ , tg $x$ ir ctg $x$ argumentų reikšmės, išreikštos radianais, yra algebriniai skaičiai, tai šių funkcijų reikšmės yra transcendentiniai skaičiai. Iš čia išplaukia, kad pseudo Herono trikampių visų kampų didumai (atskiru atveju Pitagoro ir Herono trikampių visų kampų didumai), išreikšti radianais, yra transcendentiniai skaičiai. Jei sinusų ir kosinusų argumentai, išreikšti radianais, yra lygūs $x = r \cdot 2 π, \overset{̌}{c} ia r -$ raciona- lieji skaičiai, tai šių funkcijų reikšmės yra algebriniai skaičiai. Pažymėtina, kad šiuo atveju argumentas $x = r \cdot 2 π$ yra transcendentinis, o išreikštas laipsniais jis tampa racionaliuoju skaičiumi.

Keywords: Rigonometrinės funkcijos sin α, cos α, tg α ir ctg α, racionalieji skaičiai, algeb-□1 riniai skaičiai, transcendentiniai skaičiai, Lindemann–Weierstrass teorema.

Abstract: The article introduces the reader to some amazing properties of trigonometric functions. It turns out that if the values of the arguments of the functions sin $x$ , cos $x$ , tg $x$ and ctg $x$ , expressed in radians, are algebraic numbers, then the values of these functions are transcendental numbers. Hence, it follows that the values of all angles of the pseudo-Heronian triangle, including the values of all angles of the Pythagoras or Heron triangle, expressed in radians, are transcendental numbers. If the arguments of functions sin $x$ and cos $x$ , expressed in radians, are equal to $x = r \cdot 2 π$ , where r are rational numbers, then the values of the functions are algebraic numbers. It should be noted that in this case the argument $x = r \cdot 2 π$ is transcendental and, if expressed in degrees, becomes a rational.

Keywords: Trigonometric functions sin α, cos α, tg α ir ctg α, rational numbers, algebraic numbers, transcendental numbers, Lindemann–Weierstrass theorem.

1 Įvadas

Iš mokyklinės matematikos žinoma, kad funkcijos sin x arba cos x visų pirma pasireiškia nustatant stačiųjų trikampių kampų ir kraštinių ryšius. Taip pat mokykliniame kurse nagrinėjami statieji Pitagoro trikampiai (pvz., egiptietiškasis statusis trikampis su kraštinėmis 3, 4, 5), kurių kraštinių ilgiai yra sveikieji skaičiai, jų kampų sinusų ir kosinusų reikšmės yra racionalieji skaičiai, bet kampų didumai, išreikšti laipsniais, Importar imagen Importar tabla nėra racionalieji skaičiai, o išreikšti radianais jie yra transcendentiniai skaičiai [3]. Pasirodo, kad tokiomis savybėmis pasižymi ir Herono trikampiai.

Autoriai [5] darbe apibrėžė pseudo Herono trikampius, kurių visų kraštinių ilgių kvadratai yra sveikieji skaičiai, o dviguba ploto reikšmė yra sveikasis skaičius. Tokie trikampiai mokyklinėje geometrijoje sutinkami gana dažnai, pvz., trikampis, kurį sudaro trys Herono trikampio pusiaukraštinės. Be to, [5] darbe įrodyta, kad kiekvienas trikampis, kurio viršūnių koordinatės yra sveikųjų skaičių poros, yra pseudo Herono trikampis. Šiame darbe yra įrodoma, kad pseudo Herono trikampių kampų didumai, išreikšti radianais, yra transcendentiniai skaičiai.

Straipsnyje nagrinėjami klausimai iš esmės remiasi elementariosios matematikos metodais, iškyrus Lindemano Vejerštraso (Lindemann–Weierstrass) teoremą. Autorių nuomone, tokie tyrinėjimai gali būti gera medžiaga įvairiems projektiniams darbams su matematikai gabiais vyresniųjų klasių moksleiviais, studentais ir magistrantais.

2 Algebriniai funkcijų sin α ar cos α argumentai

Kaip žinia, istoriškai matematikoje pirmiausia realieji skaičiai skirstomi į racionaliuosius ir iracionaliuosius.

1 apibrėžimas. Realusis skaičius yra vadinamas iracionaliuoju, jei jis nėra racionalusis, t. y. jis neišreiškiamas sveikųjų skaičių santykiu.

Matematikos istorijoje buvo nagrinėjami tik racionalieji skaičiai ir jų apibendrinimai – algebriniai skaičiai [2, 259 p.].

2 apibrėžimas. Kompleksinis skaičius α vadinamas algebriniu skaičiumi, jei α yra kurio nors daugianario su sveikaisiais koeficientais šaknis.

Visų algebrinių skaičių aibė sudėties ir daugybos atžvilgiu yra kūnas [2, 262 psl.],t. y. sudedant, atimant, dauginant, dalijant du algebrinius skaičius, irgi gaunami algebriniai skaičiai. Bet didžioji dalis realiųjų skaičių, pasižyminčių įdomiomis savybėmis, nėra algebriniai, ir jie vadinami transcendentiniais skaičiais.

3 apibrėžimas. Skaičius α vadinamas transcendentiniu skaičiumi, jei nėra jokio daugianario su sveikaisiais koeficientais, kurio šaknis yra skaičius α.

Aibių teorijos požiūriu transcendentinių skaičių yra gerokai daugiau, negu algebrinių skaičių, nes transcendentinių skaičių aibė yra kontinuumo galios, o algebrinių skaičių aibė yra skaičioji [2, 270 psl.].

Bet kuris transcendentinis skaičius yra iracionalusis, bet atvirkščiai, jei skaičius yra iracionalusis, jis nebūtinai yra transcendentinis. Pvz., iracionalusis skaičius $\sqrt{3} -$ algebrinis, nes jis yra daugianario su sveikaisiais koeficientais $x^{2} - 3$ šaknis.

Funkcijos, kuriomis visų algebrinių skaičių aibė atvaizduojama į transcendentinių skaičių aibę, yra trigonometrinės funkcijos sin $α$ , cos $α$ , tg $α$ ir ctg $α$ . Šio teiginio įrodymas seka iš Lindemano–Vejerštraso teoremos [2, 276 p.], [6, 117 p.].

1 teorema.(Lindemann–Weierstrass) Sakykime, kad $α_{1}, α_{2}, . . ., α_{n} -$ skirtingi algebriniai skaičiai, $o c_{1}, c_{2}, . . ., c_{n} -$ algebriniai skaičiai, iš kurių ne visi lygūs nuliui. Tuomet

c_{1} e^{α 1} + c_{2} e^{α 2} + \cdot \cdot \cdot + c_{n} e^{α n} \neq 0 .

Šios teoremos išvados yra teiginiai, kad skaičiai e ir $π -$ transcendentiniai ir Lindermano teorema, kad skaičius $e^{α} -$ transcendentinis, jei $α -$ algebrinis skaičius.

2 teorema.Jei funkcijų sin α, cos α, tg α ir ctg α argumentai, išreikšti radianais, yra algebriniai skaičiai, tai šių funkcijų reikšmės yra transcendentiniai skaičiai.

Irodymas.Iš Muavro formulėssin $α \frac{e^{i α} - e^{- i α}}{2 i}$ iišplaukia, kad $2 i$ sin ${α e}^{0} + (- 1) e^{i α} + e^{i α} = 0$ . Tarę, kad sin α yra algebrinis skaičius, iš 1 teoremos gauname prieštaravimą. Iš Muavro formulės cos $α = \frac{e^{i α} + e^{- i α}}{2}$ analogiškai išplaukia, kad teorema teisinga ir cos $α$ reikšmei. Kadangi $t g α = \frac{sin α}{cos α} = \frac{e^{i α} - e^{- i a}}{i (e^{i a} + e^{- i a})}$ , $tai i t g {α e}^{i a} + i t g α e^{- i α} + (- 1) e^{i α} + e^{i a} = 0$ . Tuomet teiginys, kadtgαyra algebrinis, prieštarauja 1 teoremai.Analogiškai teorema įrodoma ir dėlctg $α .$

3 teorema.Jei skaičius α yra racionalusis, o skaičius r yra transcendentinis, tai skaičius αr yra transcendentinis.

Įrodymas. Tarkime, kad skaičius αr yra algebrinis. Sakykime, kad $α = \frac{m}{n}$ , čia $m, n \in ℤ$ . Tuomet egzistuoja daugianaris su sveikaisiais koeficientais, kurio šaknis yra α $α r = \frac{m}{n} r, t . y .$ teisinga lygybė:

a_{k} (\frac{m}{n} r)^{k} + a_{k} (\frac{m}{n} r)^{k - 1} + \cdot \cdot \cdot + a_{0} = 0,

š kurios išplaukia lygybė

m^{k} a_{k} r^{k} + m^{k - 1} {n a}_{k} r^{k - 1} + \cdot \cdot \cdot + n^{k} a_{0} = 0,

reiškianti, kad skaičius $r$ yra daugianario su sveikaisiais koeficientais šaknis, taigi $r$ yra algebrinis skaičius. Gavome prieštarą tam, kad skaičius $r$ yra transcendentinis.

3 Algebrinės funkcijų sin α ar cos α reikšmės

Sakykime, kad $α = \frac{m}{n} \cdot 2 π, \overset{̌}{c} ia m, n \in ℤ$ . Nagrinėjame klausimus:

1. Su kuriomis $α$ reikšmėmis sin $x$ ir cos $x$ yra racionalieji skaičiai?
2. Su kuriomis $α$ reikšmėmis sin $x$ ir cos $x$ yra algebriniai skaičiai?

Šie klausimai seniai domina matematikus ir turi ilgą istoriją [1]. Jie yra ekviva-lentūs, kai trigonometrinių funkcijų argumentai, išreikšti laipsniais, yra racionaliejiskaičiai. Iš tikrųjų turime $α = \frac{m}{n} \cdot 2 π = \frac{360 \cdot m}{n} \cdot \frac{π}{180} = (\frac{360 \cdot m}{n})^{°}$ , kai kampo laipsninismatas $α^{°} = \frac{360 \cdot m}{n}$ yra racionalusis

Gerai zinom , kad $0, \pm \frac{1}{2}, \pm 1$ yra sinuso ir kosinuso specilios reksmens , kuriu kampų laipsniniai matai yra racionalieji skaičiai. Pasirodo, kad tai yra vieninteliai racionalieji skaičiai, pasižymintys šia savybe. [1] darbe pateiktos nuorodos į įvairius šio teiginio įrodymus. Mes šį teiginį įrodysime [7], o taip pat ir [4] darbuose pateiktu metodu. Pradėsime nuo lemos, kurios įrodymas remiasi kosinusų sumos formule.

1 lema. Su bet kuriuo natūraliuoju k 2 cos kα yra k ojo laipsnio daugianaris su sveikaisiais koeficientais atžvilgiu 2 cos $α$ :

2 c o s k α = (2cos α)^{k} + a_{k - 1} (2cos α)^{k - 1} + a_{k - 2} (2cos α)^{k - 2} + \cdot \cdot \cdot + a_{0}

(1)

Įrodymas. Kai $k =$ 1, tai 2 cos 1 $α$ = 2 cos $α$ , o kai $k =$ 2, tai 2 cos 2 $α$ = (2 cos $α$ )²− 2 = (2 cos $α$ )(2 cos $α$ ) − 2. Sakykime, kad $β = (k + 2) α, o γ = k α$ , tuomet $\frac{β + γ}{2} = \frac{(k + 2) α + k α}{2} = (k + 1) α, o \frac{β - γ}{2} = \frac{(k + 2) α - k α}{2} = α .$ . Tuomet kosinusų sumos formulė

cos β +cos γ = 2cos \frac{β + γ}{2} cos \frac{β - γ}{2},

kai $\frac{β + γ}{2} = (k + 1) α, o \frac{β - γ}{2} = α$ , tampa tokia

2cos (k + 2) α = (2cos α) (2cos (k + 1) α) - 2cos k α .

Iš čia išplaukia, kad pagal matematinės indukcijos principą lemos tvirtinimo teisin gumas įrodytas.

2 lema. Jei daugianario su sveikaisiais koeficientais vyriausias narys lygus 1, tai to daugianario racionaliosios šaknys yra sveikieji skaičiai.

Įrodymas. Sakykime, kad racionalusis skaičius $x_{0} = \frac{p}{q} \overset{̌}{c} ia p$ ir $q -$ tarpusavyje pirminiai sveikieji skaičiai, yra daugianario su sveikaisiais koeficientais

x^{k} + a_{k - 1} x^{k - 1} + \cdot \cdot \cdot + a_{1} x + a_{0} = 0

racionalioji šaknis. Tuomet

\frac{p^{k}}{q^{k}} + a_{k - 1} \frac{p^{k - 1}}{q^{k - 1}} + \cdot \cdot \cdot + a_{1} \frac{p}{q} a_{0} = 0

Padauginę abi šios lygybės puses iš $q^{k - 1}$ , gauname, kad

\frac{p^{k}}{q} + a_{k - 1} p^{k - 1} + \cdot \cdot \cdot + a_{1} {p q}^{k - 1} + a_{0} q^{k - 1} = 0

Kadangi kairiojoje lygybės pusėje visi dėmenys, pradedant antruoju, yra sveikieji skaičiai, tai skaičius $\frac{p^{k}}{q}$ irgi yra sveikasis. Kadangi skaičiai $p$ ir $q$ yra tarpusavyje pirminiai, tai $q = \pm 1$ , taigi $x_{0} -$ sveikasis skaičius.

4 teorema Sakykime, kad $α \frac{m}{n}, \overset{̌}{c} i a m, n \in ℤ$ . Skaičiaicosαirsinαyra raciona-lieji tik tada, kai

c o s α \in {0, \pm \frac{1}{2}, \pm 1},sin α \in {0, \pm \frac{1}{2} \pm 1} \cdot

Visais kitais atvejais skaičiaicosαirsinαyra iracionalieji skaičiai.

Įrodymas. Nemažindami bendrumo tarkime, kad $m > 0$ . (1) lygybėje įrašę $α = \frac{m}{n} \cdot 2 π$ ir pažymėję 2 cos $(\frac{m}{n} \cdot 2 π) = x$ gauname, ka

2 c o s m \cdot 2 π = x^{k} + a_{k - 1} x^{k - 1} + a_{k 2} x^{k - 2} + \cdot \cdot \cdot a_{0 .}

Atsižvelgę į tai, kad 2 cos $(m - 2 π) = 2$ turime

x^{k} + a_{k - 1} x^{k - 1} + a_{k} x^{k - 2} + \cdot \cdot \cdot + a_{0} - 2 = 0 .

(2)

Iš 2 lemos išplaukia, kad (2) daugianario racionalioji šaknis yra sveikasis skaičius, taigi skaičius $x = 2 c o s (\frac{m}{n} \cdot 2 π)$ yra sveikasis. Akivaizdu, kad sveikoji (2) lygties šaknis nelygi nuliui. Kadanngi $- 1 \leq c o s \frac{m}{n} \cdot 2 π \leq 1$ , tai skaičius $2 c o s (\frac{m}{n} \cdot 2 π) 2 c o s α$ , kuris yra (2) lygties sveikoji šaknis, įgyja tik reikšmes $\pm 1, \pm 2 .$

Taigi įrodėme, kad skaičiai $c o s (\frac{m}{n} \cdot 2 π)$ su visais $m, n \in ℤ$ yra iracionalieji skaičiai išskyrus atvejus, kai šie skaičiainyra lygūs $0, \pm 1, \pm \frac{1}{2} \cdot$ . Taikydami lygybę sin $α = c o s (\frac{π}{2} - α)$ gauname, kad sin $α \in {0, \pm \frac{1}{2} \pm 1}, t . y .kai α = \frac{m}{n} \cdot 2 π, \overset{̌}{c} ia m, n \in ℤ .$ .Taigi išskyrus tuos atvejus, kai $skai \overset{̌}{c} ai cos (\frac{m}{n} \cdot 2 π)$ ir sin $(\frac{m}{n} \cdot 2 π)$ su visais $m, n \in ℤ$ yra iracionalieji isskyrus tuos atvjus,kai jie lygūs $0, \pm 1, \pm \frac{1}{2}$ . Teorema įrodyta.

Tačiau iracionalieji skaičiai gali būti ir algebriniai, ir transcendentiniai. Pasirodo, kad skaičiai cos $(\frac{m}{n} \cdot 2 π)$ ir sin $(\frac{m}{n} \cdot 2 π)$ yra algebriniai skaičiai su visais $m, n \in ℤ$

5 teorema. Jei $α = \frac{m}{n} \cdot 2 π$ , čia $m, n \in ℤ$ , tai skaičiai cos α yra algebriniai.

Įrodymas. Nemažindami bendrumo tarkime, kad $m > 0$ . Kadangi cos $c o s n a = c o s m \cdot 2 π = 1$ , tai iš 1 lemos išplaukia, kad

2 = (2 c o s α)^{k} + a_{k - 1} (2 c o s α)^{k - 1} + a_{k - 2} (2 c o s α)^{k - 2} + \cdot \cdot \cdot + a_{0},

t. y.

P_{k} (cos α) = 2^{k} (cos α)^{k} + a_{k - 1} 2^{k - 1} (cos α)^{k - 1} + a_{k - 2} 2^{k - 2} (cos α)^{k - 2} + \cdot \cdot \cdot + a_{0} - 2 .

Taigi skaičius cos α yra nenulinio daugianario $P_{k} (x)$ su sveikaisiais koeficientais šaknis, todėl cos $α -$ algebrinis skaičius.

6 teorema.Jei $α = \frac{m}{n} \cdot 2 π$ , čia $m, n \in ℤ$ , tai skaičiai sin $α$ yra algebriniai.

Įrodymas. Akivaizdu, kad

sin α = c o s (\frac{π}{2} - α) = c o s (\frac{1}{4} \cdot 2 π - \frac{m}{n} \cdot 2 π) = c o s (\frac{n - 4 m}{4 n} \cdot 2 π),

be to $(n - 4 m), 4 n \in ℤ$ . Tuomet pagal 5 teoremą skaičius sin $α -$ algebrinis.

4 Trikampio kampų transcendentinės reikšmės, kampų racionalieji sinusai ir kosinusai

[3] darbe yra suformuluoti rezultatai Pitagoro trikampio smailiesiems kampams. Šiame skyrelyje pateiskime analogiškus rezultatus pseudo Herono trikampiams (tame tarpe Herono trikampiams). Visų pirma pateiksime keletą apibrėžimų.

4 apibrėžimas. Statusis trikampis, kurio kraštinių ilgiai ir plotas yra sveikieji skaičiai, vadinamas Pitagoro trikampiu.

5 apibrėžimas. Trikampis, kurio kraštinių ilgiai ir plotas yra sveikieji skaičiai, vadinamas Herono trikampiu.

Apibrėšime pseudo Herono trikampių sąvoką, kurios atskiras atvejis yra Herono trikampiai.

6 apibrėžimas. Trikampis, kurio kraštinių ilgių kvadratai yra sveikieji skaičiai, o dviguba ploto reikšmė – irgi sveikasis skaičius, vadinamas pseudo Herono trikampiu.

Iš mokyklinės geometrijos žinomi trikampiai, kurių kampai 30^◦60^◦ 90^◦, 60^◦ 60^◦ 60^◦ ir 30^◦ 30^◦ 120^◦, kurių kampų kosinusų arba sinusų reikšmės yra racionalieji skaičiai. Nagrinėsime klausimą ar yra pseudo Herono trikampių, kurių kampų sinuso ar kosinuso reikšmės yra racionalieji skaičiai.

7 teorema. Neegzistuoja pseudo Herono trikampiai (o atskiru atveju ir Herono trikampių, ir Pitagoro trikampių), kurių kampų didumai išreikšti laipsniais yra racionalieji skaičiai, dviejų kampų sinusai arba kosinusai yra racionalieji skaičiai, o trečiojo kampo ir sinuso ir kosinuso reikšmės yra racionalieji skaičiai.

Įrodymas išplaukia iš 4 teoremos. Pastebėkime, kad trikampis, kurio kampai 60^◦ 90^◦, statinių ilgiai 1 ir √3, o įžambinė lygi 2, netenkina 7 teoremos sąlygos, nes jis nėra pseudo Herono trikampis – jo dvigubas plotas nėra racionalusis skaičius.

8 teorema.Neegzistuoja nė vieno pseudo Herono trikampio (o atskiru atveju ir Herono trikampių, ir Pitagoro trikampių), kurio kampų laipsniniai matai yra racionalieji skaičiai, o kiekvieno kampo sinuso ar kosinuso reikšmės yra racionalieji skaičiai.

rodymas seka iš 4 teoremos. Nei lygiakraštis trikampis su kampais 60◦ 60◦60◦ ir kraštinės ilgiu lygiu , nei lygiašonis trikampis su kampais 30 $^{°} -$ 30 $^{°} -$ 120 $^{°}$ ir šoninėmis kraštinėmis lygiomis 1, o trečia kraštine lygia $\sqrt{3}$ , netenkina 8 teoremos sąlygų, nes jų dvigubi plotai nėra racionalieji skaičiai.

9 teorema.Pseudo Herono trikampių (o atskiru atveju ir Herono trikampių, ir Pitagoro trikampių) kampų laipsniniai matai yra iracionalieji skaičiai.

Įrodymas išplaukia iš 7 ir 8 teoremų.

10 teorema.Pitagoro ir Herono trikampių kampų didumai, išreikšti radianais, yra transcendentiniai skaičiai.

Įrodymas. Visų pirma įrodysime teiginį Pitagoro trikampiams. Pitagoro trikampių sinuso ir kosinuso reikšmės yra racionalieji skaičiai. Jei smailiųjų kampų didumai, išreikšti radianais, būtų algebriniai skaičiai, tai prieštarautų 2 teoremai, teigiančiai, kad tuo atveju tų kampų sinusų ir kosinusų reikšmės yra transcendentiniai skaičiai.

Pastebėkime, kad iš 3 teoremos gauname, kas stačiojo kampo $90^{°} = \frac{π}{2}$ dydisradianais – skaičius $\frac{π}{2}$ yra transcendentinis, nes jis yra racionaliojo skaičiaus $\frac{1}{2}$ ir transcendentinio skaičiaus $π$ sandauga.

Įrodysime teiginį Herono trikampiui. Sakykime, kad $α, b$ ir $c -$ Herono trikampiokraštinių ilgiai, kurie pagal apibrėžima yra sveikieji skaičiai. Tuomet iš kosinusų teore-mos gauname, kad cos $α = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}, c o s β = \frac{c^{2} + a^{2} - b^{2}}{2 c a}, c o s γ = \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 a b}$ . Iš čia seka,kad visų trikampio kampų kosinusai yra racionalieji skaičiai. Tarę, kad šių kampų di-dumai, išreikšti radianais yra algebriniai skaičiai, gauname prieštaravimą 2 teoremai,kuri teigia, kad kosinusų reikšmės tokiu atveju yra transcendentiniai skaičia

11 teorema. Pseudo Herono trikampio kampų didumai, išreikšti radianais, yra transcendentiniai skaičiai.

Irodymas. Sakykime, kad $a, b$ ir $c$ yra pseudo Herono trikampio kraštinių ilgiai, kuriųkvadratai pagal apibrėžimą yra sveikieji skaičiai, $oS - j o$ plotas, ir čia $2S -$ sveikasisskaičius. Tuomet teisingos lygybės: $c o s α = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c},sin α = \frac{2S}{b c} c o s β = \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 a c},sin β = \frac{2S}{a}, c o s γ = \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 a b},sin γ = \frac{2S}{a b} \cdot$ . Iš jų išplaukia, kad visų pseudo Heronotrikampio kampų tangentai yra racionalieji skaičiai. Tuomet iš 2 teoremos išplaukia,kad trikampio kampų didumai, išreikšti radianais, yra transcendentiniai skaičiai

12 teorema. Trikampių, kurių viršūnių koordinatės yra sveikųjų skaičių poros, radianais išreikšti kampų didumai yra transcendentiniai skaičiai.

Įrodymas. Autoriai [5] darbe įrodė, kad trikampis, kurio viršūnės yra sveikaskaitės gardelės taškuose, yra pseudo Herono trikampis. Tuomet pagal 10 teoremą jo kampų didumai, išreikšti radianais, yra transcendentiniai skaičiai.

Iš 10 teoremos gauname, kad Pitagoro trikampio smailiųjų kampų α ir $β$ didumai, išreikšti radianais, yra transcendentiniai skaičiai, be to, pagal 7 teoremą jie neišreiškiami pavidalu $\frac{m}{n} \cdot 2 π, \overset{̌}{c} ia m, n \in ℤ$ . Įdomu būtų nustatyti, kaip Pitagoro trikampio kiekvieno iš smailiųjų kampų $α$ ir $β$ didumai susiję su skaičiumi $π$ . Kol kas šis klausimas yra atviras, viena žinoma tik kad $α + β = \frac{π}{2}$ .

10 teoremos įrodymai naudojama Lindemano–Vejerštraso 1 teoremą, kurios įrodymas yra netrivialus. Įdomu būtų rasti paprastesnį 10 teoremos įrodymą.

Baigiant pažymėsime, kad reikalaudami, jog trikampiai pasižymtų tam tikra prasme geromis savybėmis (pvz., kad visų trikampio kraštinių ilgiai būtų sveikieji skaičiai kaip Pitagoro ar Herono trikampiai), gauname kampus, kurių didumai išreikšti radianais, yra transcendentiniai skaičiai. Taigi jau Egipto piramidžių statytojai, kurie stačiojo kampo nustatymui naudojo egiptietiškuosius trikampius su kraštinėmis 3, 4 ir 5, susidurdavo su transcendentiniais jo smailiųjų kampų didumais. Stačiojo kampo dydi, isreiskiama, transcendentiniu skaiciumi $\frac{π}{2}$ zmonija apeidavo ivesdama laipsninu mata $\frac{π}{2} = 90^{°}$

Literatūra

[1] A. Berger. On linear independence of trigonometric numbers. Carpathian J. Math.,34:157–166, 2018.

[2] A.A. Buhshtab. Teoriya chisel. Prosveshchenie, Moscow, 1966 (in Russian).

[3] J.S. Calcut. Grade school triangles. Amer. Math. Monthly, 117:673–685, 2010.

[4] J. Mačys. Kodėl cos 180./17 iracionalus? Alfa plius omega, .:62–64, 2002.

[5] E. Mazetis, G. Melničenko. Trikampio kampų kotangentų racionaliosios reikšmės. Liet. matem. rink., LMD darbai, ser. B., 54:151–154, 2013.

[6] I. Niven. Irrational Numbers, The Carus Mathematical Monographs 11. Wiley, New York, 1956.

[7] I. Niven, H.S. Zuckerman, H.L. Montgomery. An Introduction to the Theory of Numbers, 5th ed. JohnWiley and Sons, New York, 1991.