1. Introducción

El estudio de comportamientos colectivos no triviales en sistemas de elementos dinámicos acoplados tiene implicaciones fundamentales para la comprensión de propiedades universales en los sistemas complejos y ha sido foco de mucha atención recientemente [1]. Este fenómeno consiste en el surgimiento de orden en la evolución temporal de cantidades macroscópicas de un sistema de elementos caóticos acoplados [2]. Por ejemplo, el campo medio del sistema puede ser periódico, al mismo tiempo que la evolución de los elementos que lo constituyen es caótica y desincronizada [3, 4]. En la mayoría de las investigaciones acerca de redes de mapas acoplados se ha asumido homogeneidad, en el sentido de que la dinámica de los elementos y las interacciones entre ellos son idénticas [5, 2]. Sin embargo, muchos sistemas de elementos son heterogéneos. En una matriz de unión Josephson, cada unidad no es idéntica. En un sistema óptico, la ganancia de cada modo depende de su número de onda. En un sistema biológico, cada unidad como una neurona o una célula es heterogénea. Por lo tanto, se estudia el comportamiento colectivo de mapas acoplado globalmente, considerando tres fuentes de heterogeneidad: en el primer caso sobre los parámetros de la dinámica local [6]; en el segundo caso en el parámetro de acoplamiento, esto hace que cada mapa del sistema reciba y/o procese una información diferente [7]; y por último se toman en cuenta, interacciones parciales, donde solo una fracción de los mapas del sistema recibe la influencia de la función de acoplamiento global [8].

La dinámica local de los mapas estará descrita por el mapa logístico [9], ampliamente estudiado y que pertenece a la clase de universalidad estándar de los mapas unimodales; y el mapa singular [10], que exhibe caos robusto en una región bien definida de su parámetro local.

Existen dos tipos principales de interacciones que se emplean para el estudio de la emergencia de comportamientos colectivos: la primera se basa en la suposición de que fuerzas externas existen, que causan los cambios y rigen el comportamiento de los elementos. En este caso se habla de Sistemas Forzados, es decir, existe un campo global externo que posee una dinámica propia, independiente de la dinámica de los elementos. La segunda interacción describe que las propiedades del sistema surgen debido a las interacciones locales entre los elementos, sin ningún comando externo. En este caso se habla de Sistemas Autónomos, donde existe un campo global regido por la misma dinámica de los elementos constituyentes [11]. Existen trabajos que demuestran la analogía entre sistemas autónomos globalmente acoplados y sistemas sujetos a interacciones globales externas [12].

2. Redes de mapas acoplados

Las redes de mapas acoplados (RMA) constituyen modelos dinámicos con espacio y tiempo discretos, pero variables locales continuas, fueron introducidos en 1984 por K. Kaneko [14], y por I. Waller y R. Kapral [15] de forma independiente.

En general las RMA pueden ser escritas en la forma que muestra la ecuación (1):

donde xⁱ_t es la variable que especifica el estado del elemento i (i = 1, 2, ... , N) de una red de . elementos en el tiempo t, f(x) es la función no-lineal descrita por el mapa local que depende de uno o varios parámetros (llamados parámetros locales) y el último término de la ecuación (1), da razón del acoplamiento entre los elementos. En el término de acoplamiento, la sumatoria es sobre todos los sitios j en una vecindad ℵi del elemento i y la función g_j es una función lineal o no lineal de las variables dinámicas.

Las dimensiones espaciales juegan un importante rol en la aplicación de las redes de mapas acoplados y en muchos problemas de la mecánica estadística. En todo caso, el presente estudio, se asume un acoplamiento global dado por la ecuación (2):

donde x_i representa el estado del elemento i-ésimo de la red en el tiempo discreto t, N es el número de elementos de la red, f(x_t) describe la dinámica interna de cada elemento i y $∊$ es el parámetro de acoplamiento correspondiente al sistema; en el intervalo de [0; 1].

Este tipo de modelo se puede considerar como un caso límite de un sistema con interacciones a gran escala. El concepto de espacio pierde significado y solamente las propiedades temporales se vuelven relevantes en estos sistemas. Esta característica permite descripciones más simples en cuanto al comportamiento del campo medio de la red. La interacción global se caracteriza por el campo medio del sistema, es decir, la media del estado de los mapas locales en el tiempo ., que se define según la ecuación (3):

La ecuación (2) es estrictamente representación de un acoplamiento global homogéneo, es el caso donde cada elemento que conforma la red siente la misma información, y que además todos los elementos se conectan de la misma forma con todos los demás.

Otro caracterizador del sistema empleado para medir el grado de la sincronización es el promedio para largos períodos de tiempo 〈σ〉, después de descartar los estados transitorios, de la desviación estándar σ_t de los estados de los elementos del sistema acorde con la ecuación (4):

2.1. Dinámica local heterogénea

Este tipo de heterogeneidad consiste en un modelo de acoplamiento cuyos mapas f(xⁱ_t) del sistema no presenten igual parámetro local. Para el caso del mapa logístico [9], x_t+1=f(x_t)=rx_t(1-x_t), tenemos para los N mapas del sistema una distribución uniforme de la forma mostrada en la ecuación (5),

donde ahora existe un r (i) (i = 1, 2, ... , N ) diferente para cada mapa. El primer cambio que se da al sistema definido por la ecuación (2), es sobre el parámetro local bajo la condición definida por la ecuación (5). De esta forma, la red con heterogeneidad en el parámetro local r del mapa logístico queda como se muestra en la ecuación (6):

donde fⁱ(x_tⁱ) describe la dinámica local del elemento i (ecuación (5)), y sigue siendo el parámetro de acoplamiento para todos los elementos del sistema.

Para el mapa singular x_t+1 =f (x_t)=b-|x_t |^z , la heterogeneidad recae en el parámetro b, así se tiene para el sistema ecuación (6), N mapas distribuidos, bajo dos tipos de distribuciones; uniforme y normal, de la forma expresada a través de la ecuación (7):

donde |z|<1 es un exponente fijo para los mapas que describe el orden de singularidad en el origen que separa las dos ramas de la función [10, 13]

2.2. Acoplamiento heterogéneo

El acoplamiento heterogéneo en la red, está definido como se muestra en la ecuación (8):

donde ϵ(i) es el parámetro de acoplamiento correspondiente al elemento i, la variedad de este parámetro obedece a una distribución uniforme y normal, f(x_tⁱ) describe la dinámica interna de cada elemento, con parámetro local igual para todos los elementos.

2.3. Iteraciones Parciales

Se considera el sistema discreto parcialmente acoplado propuesto por Alvarez [8] según la ecuación (9):

donde R_tes un subconjunto que contiene pN elementos del sistema (p ≤ 1), los cuales son elegidos aleatoriamente en cada tiempo t. Así, solamente una fracción p de los mapas recibe la función de acoplamiento en cada tiempo t, siendo el parámetro p la probabilidad de conexión de un elemento con el campo medio en un tiempo t.

3. Resultados

3.1. Heterogeneidad en el parámetro local

El sistema dado por la ecuación (6) se modela distribuyendo aleatoriamente el parámetro local, r(i) para el mapa logístico y b(i) para el singular, en intervalos determinados, para cada elemento i del sistema. Estos valores del parámetro local permanecen fijos durante toda la simulación para cada mapa.

A continuación se parte de condiciones iniciales aleatorias uniformemente distribuidas de los estados x₀ⁱ de los N elementos del sistema, dentro de su rango del atractor, se coloca el valor de ∊ fijo y se deja evolucionar el sistema. Luego de grandes tiempos se descartan los estados transitorios y se caracterizan las propiedades del sistema.

3.1.1. Parámetro local r(i) heterogéneo del mapa logístico

Se elige el intervalo de distribución aleatoria uniforme cercano a r=4, donde el mapa logístico exhibe comportamiento caótico.

En la Figura 1 se observa el diagrama de bifurcación del campo medio del sistema dado por la ecuación (3) en función del parámetro de acoplamiento ∊. Adicionalmente la Figura 2 muestra la convergencia a estados caóticos sincronizados a partir de ∊=0,5, determinado a través de la desviación estándar media (ecuación (4)), la cual va disminuyendo hasta 〈σ〉= 0 en ∊=1, donde el sistema se sincroniza.

A nivel microscópico se observa un gran número de elementos cuyos estados están agrupados. La Figura 3 permite apreciar la distribución de probabilidad instantánea Pt (x) de los estados de los elementos del sistema xⁱ_t para dos valores del parámetro de acoplamiento, ambos para un mismo tiempo t = 12000.

Para ∊ = 0,10 se constata que los elementos del sistema están parcialmente ordenados, se distribuyen en el rango permitido del mapa local y se observan algunos picos en la distribución, lo que indica que ciertos elementos se agrupan en dominios dinámicos o clusters: conglomerados ordenados de elementos que comparten el mismo estado. Para ∊=0,80 los estados colectivos pertenecientes a los elementos tienden a un único pico, sin haber alcanzado la sincronización, como lo demuestra la Figura 2.

Para el caso de ∊= 0,30 los elementos tienden a moverse juntos en dos grupos diferenciables, como se puede apreciar en la Figura 4. Por otro lado, la Figura 5 ilustra la evolución temporal de un elemento escogido al azar, y se observa que sigue un período 2, es decir, a lo largo del tiempo el elemento puede alternar su estado entre dos valores posibles, tal como lo predice la probabilidad Pt (x) de la Figura 4, calculada para dos tiempos consecutivos. Este es un fenómeno de comportamientos colectivo no trivial (CCNT), donde los estados de los elementos muestran una evolución temporal regular a pesar de la dinámica caótica de los mapas para esos valores del parámetro local r.

3.1.2. Parámetro local b(i) heterogéneo del mapa singular

Para este caso, al igual que en la sección anterior se distribuye de manera uniformemente aleatoria el parámetro b, en un intervalo donde el mapa singular exhibe caos robusto, para cada elemento i del sistema. También se considera el caso de una distribución aleatoria normal o gaussiana.

Las figuras 6 y 7 muestran el diagrama de bifurcación de x en función de ∊, para dos intervalos diferentes de la distribución uniforme. Para la Figura 6b(i) se distribuye entre [0; 1] y en la Figura 7b(i) ∈ [0; 2]. En ambos casos se observa el surgimiento de CCNT, que no se puede atribuir a la dinámica del mapa singular, ya que este exhibe solamente período uno, sin presencia de bifurcaciones ni períodos de orden superior, y caos robusto, sin ventanas de periodicidad. El CCNT se puede atribuir al acoplamiento y a la heterogeneidad del sistema.

Cuando mayor es el intervalo de distribución en el espacio del parámetro local b, se observa una pérdida en la diversidad de las estructuras en los diagramas de bifurcación a favor de comportamientos colectivos periódicos, como se puede apreciar en la Figura 7.

Por otro lado, la Figura 8 muestra la distribución de probabilidad instantánea P_t (x) de los estados de los elementos del sistema xⁱ_t. para un valor fijo de en el tiempo t = 12000, en el caso b(i) ∈ [0; 2]. No se observa formación de clúster, como con el mapa logístico.

En la Figura 9 se puede apreciar el diagrama de bifurcación de x̅ en función de ∊ cuando se asigna aleatoriamente el parámetro local b(i) siguiendo una distribución normal, en este caso en particular, para una media µ = 0,5 y una desviación estándar ρ=0,5. Si se compara con las figuras 6 y 9, los valores de periodicidad de x̅ están más cercanos y las bandas caóticas reducen su ancho, producto de una menor dispersión de los b(i) con a la media.

3.2. Heterogeneidad en el parámetro de acoplamiento

A continuación se estudia el efecto de la heterogeneidad en el parámetro de acoplamiento, dejando fijo el parámetro local para todos los elementos del sistema, como se indica en la ecuación (8).

3.2.1. ∊(i)en RMA con dinámica local dada por el mapa logístico

La Figura 10 exhibe el diagrama de bifurcación del x̅ en función del parámetro local r, para el sistema dado por la ecuación (8). Se puede apreciar la aparición de período 2, lo cual puede ser es atribuido a la dinámica local del mapa logístico, particularmente para el intervalo de r ∈ [0; 3,57] aproximadamente (donde no hay comportamiento caótico). La heterogeneidad de la fuerza de acoplamiento no genera cambio alguno en el ordenamiento de los elementos del sistema. A partir de r = 3,57 aproximadamente, donde a nivel local se comienza alternar el caos con ventanas periódicas, el parámetro de acoplamiento ejerce influencia sobre el sistema; para valores mayores a este parámetro local la distribución uniforme del parámetro de acoplamiento ∊(i) elimina la presencia de la dinámica local del mapa logístico, dando lugar a pequeñas bandas caóticas colectivas reflejadas en las propiedades macroscópicas del sistema.

3.2.2. ∊(i) en RMA con dinámica local dada por el mapa singular

La distribución normal de ∊(i) para el sistema ecuación (8) con dinámica local dada por el mapa singular, no exhibe una diferenciación considerable entre el comportamiento local de los mapas y las características macroscópicas exhibidas por el sistema acoplado, sin embargo induce CCNT expresado como bandas caóticas colectivas bien definidas exhibida por la variables macroscópicas del sistema en un rango donde la dinámica local de este mapa es caótico sin ventanas periódicas, además no se observan estados sincronizados, de acuerdo con la Figura 11.

3.3. RMA con interacciones parciales aleatorias

Por último, se introduce heterogeneidad en la aplicación de la interacción. Se considera el sistema definido por la ecuación (9), donde solo una fracción al azar de los elementos recibe la función de acoplamiento en un tiempo t, y la otra fracción evoluciona según su propia dinámica.

3.3.1. Interacción parcial con dinámica local dada por el mapa logístico

En la Figura 12 se observa el diagrama de bifurcación de x (eje vertical izquierdo), sobrepuesta con la desviación estándar promedio asintótica del sistema 〈σ〉 (eje vertical derecho), ambas como función de la fracción de los elementos que recibe la función de acoplamiento p. Se exhibe la emergencia de CCNT y el cambio de fase a estados sincronizados; la influencia de que una pequeña fracción de elementos tenga la posibilidad de acoplarse induce a la presencia de una primera banda caótica, que se bifurca a partir de un p=0,4 aproximadamente. La desviación estándar del sistema revela que la reinyección de la función global de acoplamiento a una fracción de elementos seleccionados al azar en el sistema es suficiente para que este se sincronice a partir de p=0,63 aproximadamente [8].

La Figura 13 muestra el diagrama de bifurcación de x vs ∊ para p=0,5. Se comprueba que mientras menor sea el número de elementos acoplados mayor será la probabilidad de CCNT. Por otro lado, la Figura 14 corresponde a p=1 (todos los elementos acoplados, ecuación (2)), donde se evidencia la formación de clústers, (sub-estructuras ordenadas) para pequeños valores del acoplamiento y el surgimiento de sincronización a partir de ∊=0,5, caracterizado por 〈σ〉 = 0.

3.3.2. Interacción parcial con dinámica local dada por el mapa singular

La Figura 15 muestra el diagrama de bifurcación de x̅ en función de la probabilidad p con ∊=0,4, para el mapa singular. La Figura 15 revela la emergencia de diversos tipos de CCNT en relación a x̅: i) una región de turbulencia en el intervalo p ∈ [0,0; 0,071], donde x̅ sigue un comportamiento estadístico normal alrededor de un valor medio «un punto fijo colectivo» con fluctuaciones que reflejan el promedio de los N elementos caóticos completamente desincronizados; ii) estados colectivos periódicos: periodo-2 a partir de p ≃0,071, periodo-4 en p ≃0,38, periodo-8 en p ≃0,47, correspondiente a fluctuaciones intrínsecas de órbitas periódicas del campo medio; iii) bandas caóticas a partir de p ≃0,58; y iv) estados sincronizados a partir de p ≃0,80, como se evidencia en la Figura 16.

La Figura 17 representa el diagrama de bifurcación de x̅_t vs. ∊, correspondiente al sistema ecuación (9) con probabilidad fija p=0,5 y N=10⁵ elementos. Se pueden distinguir los estados colectivos de periodo 2 y 4 además de una banda caótica.

En todos los casos anteriores la amplitud del comportamiento colectivo periódico manifestado en el x̅ no decrece con el incremento del tamaño del sistema N[8]. Las iteraciones mostradas en esta sección revelan la existencia de CCNT, donde las cantidades macroscópicas en la dinámica espaciotemporal del sistema exhibe una evolución ordenada, coexistiendo con el caos local [16].

4. Conclusiones

Se han investigado los efectos de introducir heterogeneidad en sistemas de mapas acoplados, proponiendo modelos dinámicos con ingredientes mínimos capaces de generar comportamientos colectivos no triviales. Se han elegido dos tipos de dinámicas caóticas: la primera corresponde a un mapa unimodal clásico, el mapa logístico, que exhibe una ruta al caos por bifurcación de períodos y la presencia de ventanas periódicas intercaladas dentro de los estados caóticos; la segunda dinámica corresponde a una familia de mapas que exhibe período uno y caos robusto (sin ventanas periódicas en su interior) denominados mapas singulares.

La heterogeneidad en estos modelos se ha introducido con el empleo de distribuciones uniformes o gaussianas de los parámetros dinámicos que rigen la evolución del sistema, así como también por la aplicación parcial de la función de acoplamiento sobre los elementos que lo conforman. Se ha caracterizado el comportamiento de estos sistemas mediante el promedio de las variables de estado, el cálculo de la desviación estándar, la distribución de probabilidad de los estados de los elementos y las series de tiempo.

Se ha constatado que la heterogeneidad en los parámetros locales, produce el surgimiento de diversos comportamientos macroscópicos, conocidos como comportamientos colectivos no triviales: estados periódicos, bandas caóticas y clústers. Si bien, la presencia de ventanas periódicas en las dinámicas locales, exhibidas por el mapa logístico, no parece determinante en la aparición de conducta ordenada colectiva en los mapas acoplados [18], si tiene un rol determinante en la formación de clústers.

De igual forma, se observó que, la variedad en el parámetro de acoplamiento da lugar a la emergencia de CCNT, excluyendo la formación de clústers. Tanto en la heterogeneidad de los parámetros locales como en el de acoplamiento, no se observó la emergencia del fenómeno de sincronización, lo cual se puede atribuir a que la diversidad introducida en los sistemas no permite que los elementos lleguen a tener estados exactamente iguales.

En relación con el acoplamiento parcial, la desviación estándar del sistema revela que la reinyección de la función de acoplamiento a una fracción de elementos seleccionados al azar del sistema, en un tiempo t, es suficiente para que este se sincronice [8]. Sin embargo, se comprueba que mientras menor sea el número de elementos que recibe la interacción, mayor será la tendencia de que emerja CCNT. El valor crítico de p para la presencia de sincronización sigue dependiendo de los parámetros del sistema. Por ejemplo, es conocido que al aumentar la fuerza de acoplamiento se está aumentando el flujo de información entre los elementos de la red [17], originando que estos sigan un mismo patrón de conducta. Al sobrepasar un valor crítico del parámetro de acoplamiento, el sistema tiende definir un comportamiento único y sincronizado de sus elementos.

La distribución uniforme empleada para introducir variedad en los parámetros del sistema parece promover con más facilidad la aparición de CCNT, en comparación con la distribución gaussiana. Esto puede ser debido a que el número de valores que tienen una diferencia determinada con la media de la distribución uniforme es el mismo, en cambio, con la distribución normal los valores tienden a agruparse en torno a la media y mientras tengan más diferencia con la media, menor es el número de estos valores.

Así podemos decir que la distribución uniforme introduce una mayor diversidad en los sistemas.

Con respecto a las dinámicas locales utilizadas en los modelos se observó que el mapa singular es más apropiado para exhibir CCNT que el mapa logístico. Éste último solamente mostró bandas caóticas en casi todos los casos y comportamientos periódicos con el parámetro de acoplamiento distribuido uniformemente, no obstante, mostró la formación de clústers con la distribución uniforme del parámetro local, fenómeno no exhibido con el mapa singular.

Finalmente, se puede aseverar que muy a pesar de las variaciones individuales en un sistema, e independientemente de su contexto: físico, químico, social o biológico, es posible alcanzar estados con cierto grado apreciable de consenso y coherencia.

Agradecimientos

Agradecemos a la Corporación Ecuatoriana para el Desarrollo de la Investigación y Academia (CEDIA) por el financiamiento otorgado a la presente investigación mediante el proyecto CEPRA-XIII-2019-10: Interacciones Globales en Sistemas Complejos.

5. Referencias

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Enlace alternativo

http://servicio.bc.uc.edu.ve/ingenieria/revista/v26n3/art04.pdf (pdf)